Extremos absolutos analisis 3

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  • 1. ANALISIS MATEMATICO 3EXTREMOS DE FUNCIONES DE 2 VARIABLESALUMNO LEONARDO LPEZ

2. GENERALIDADESUna aplicacin importante de la derivada de una funcin de unavariable se relaciona con los valores extremos de una funcin.A partir de procedimientos que involucran a la primera y segundaderivada, se determinan los valores mximos y mnimos relativosde la funcin, luego a partir de estos valores, se examina laposibilidad de que los mismos sean tambin extremos absolutosAl extender la teora a funciones de dos variables, se vera, que elprocedimiento es similar al de una variable, con algunacomplicacin adicional. 3. Definicin de extremos absolutos de funciones De dos variablesA)B) 4. Definicin de extremos relativos de funcionesde dos variablesC)D) 5. En el caso de la funcinSe trata de un disco abierto ((0,0);r) para el cual r3 V (x ; y) (-2 ; 3)Por lo tanto es el minimo de f(x; y) = (-2;3;3) 9. Ahora bien, si tenemos la siguiente funcin:Z = f(x , y) = y - xcuya grafica es:Existen las de derivadas parciales ya que: 10. Zx = -2xZy = 2yExisten Zx y Zy V (x ; y) RDonde:Zx = -2x = 0 X=0 Zy = 2y = 0Y=0Sin embargo en (0 ; 0) la funcin no tiene ni mnimo ni mximo, yaque en cualquier entorno de centro (0 ; 0) tiene puntos (x ; y) que sonmayores que f(0 ; 0) y tiene puntos que son menores a f(0 ; 0), por lotanto no se verifica la definicin ni de mximo ni de mnimo, por loque no hay extremos.En cualquier entorno de centro 0 y radio r, la superficie tiene la formade una silla de montar y el punto (0 ; 0) recibe el nombre de punto desilla o punto de ensilladura de la funcin f.Sacamos la conclusin que tal como ocurra en funciones de unavariable los puntos crticos no siempre conducen a extremos relativos 11. Si tomamos los puntos del plano XZ donde Y = 0 y X0, los valoresde la funcin son negativos, la grafica de tal situacin es En cambio en los puntos del plano YZ, donde X=0 y Y0, los valores de la funcin son positivos 12. El criterio bsico para determinar extremos relativos defunciones de dos variables es el de la segunda derivada,el cual proporciona condiciones que garantizanel hecho de que una funcin tiene un extremo relativo enun punto en donde las primeras derivadas son iguales aceroCondicin suficiente para la existencia de extremosDe una funcin de dos variablesTeorema criterio de la segunda derivada 13. El resultado de este determinante esfxx(a , b) . fyy(a , b) fyx(a , b).fxy(a , b)O fxx(a , b) . fyy(a , b) fxy(a , b)La expresin fxy(a , b), recibe el nombre de hessiano, y se debe al matemticoalemn Hesse, podemos decir, que la condicin suficiente para que unafuncin de 2 variables alcance un extremo relativo en (a , b) es que eldeterminante hessiano sea positivo en ese punto 14. Re expresando las condiciones i), ii) y iii) 1) Si h = fxx (a , b) . fyy(a , b) - fxy(a , b) > 0 y fxx(a, b)>0 entonces f(a , b) tiene un mnimo relativo en (a , b)2) Si ) Si h = fxx (a , b) . fyy(a , b) - fxy(a , b) > 0yfxx(a, b) 0 hay extremos-12Como fxx(-4/3 , 1/3) = 2 > 0 la funcin tiene un mnimo en elPunto (-4/3 , 1/3) METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGEEn muchas funciones el calculo de extremos debe realizarse,teniendo en cuenta restricciones o ligaduras.Se deben calcular extremos restringidos, en estos casos, se utilizanen la resolucin los multiplicadores de Lagrange 18. Supongase que se quiere calcular los extremos relativosDe una funcin Z= f(x , y) sujeta a la restriccin g(x , y) = 0Este metodo emplea una funcin auxiliar de 3 variablesX, Y, que se indicaran como: F(X,Y, ) = f(x,y) + g(x,y) La funcin Z=f(x,y) debe admitir derivadas parciales continuas y la funcin g(x,y), derivadas parciales continuas no todas nulas.Condicin Necesaria Fx = 0; Fy = 0; F = 0 19. Condicin suficiente df > 0 se tiene un mnimo relativo condicionadodf 0 df < 0 se tiene un mximo relativo condicionado Pasos para calcular los extremos condicionados1) Definir la funcin auxiliar F de las tres variables x,y, para la cual F(x,y,) = f(x,y) + g(x,y)2) Considerar el sistema de ecuaciones que se forma aligualar a 0 las tres primeras derivadas parciales de F 20. Fx (x,y,) = 0Fy (x,y,) = 0 F (x,y,) = 03)Resolver el sistema de ecuaciones del paso 2 para determinarlos puntos crticos de F4) Entre las primeras dos coordenadas de los puntos crticosde F, obtenidos en el paso 3, se encuentran los valores dex e y que proporcionan los extremos relativos deseados 21. Ejemplo Calcular los extremos de la funcin f(x,y) = x^2+y^2 con la restriccin g(x,y)= x + 2y -2 = 0 F(x,y, ) = x^2 + y^2 + (x + 2y 2) Fx = 2x + = 0x=2/5 Fy = 2y + 2 = 0y=4/5 F = (x + 2y +2) = 0 =-4/5Calculando el diferencial segundodf = Fxx.dx^2 + 2.Fxy.dx.dy+Fyy.dy^2 22. Fxx = 2df = 2.dx + 2.0.dx.dy + 2.dyFyy= 2Fxy = 0 = 2.dx + 2.dy > 0Luego en el punto P(2/5 ; 4/5) hay un mnimo relativocondicionado