ANALISIS MATEMATICO 3

EXTREMOS DE FUNCIONES DE 2 VARIABLES

ALUMNO – LEONARDO LÓPEZ

GENERALIDADES

Una aplicación importante de la derivada de una función de una variable se relaciona con los valores extremos de una función. A partir de procedimientos que involucran a la primera y segunda derivada, se determinan los valores máximos y mínimos relativos de la función, luego a partir de estos valores, se examina la posibilidad de que los mismos sean también extremos absolutos

Al extender la teoría a funciones de dos variables, se vera, que el procedimiento es similar al de una variable, con alguna complicación adicional.

Definición de extremos absolutos de funcionesDe dos variables

A)

B)

Definición de extremos relativos de funcionesde dos variables

C)

D)

En el caso de la función

Se trata de un disco abierto ((0,0);r) para el cual r<5; de la definición “D” la funcióntiene un máximo relativo de 5 en el punto donde X=0 y Y=0, de la definición “A”, tambien 5 es el máximo absoluto de f

La siguiente grafica correspondiente a la función

El dominio de g es el plano xy completo, en este caso según las definiciones, g tieneun mínimo relativo de 0 en el origen, también 0 es el mínimo absoluto de g, considerando un disco abierto ((0,0);r)

Condición necesaria para la existencia de extremos

z = f(x , y) definida para todo punto de un entorno de (X0, Y0).

Se dice que (X0, Y0) es un punto critico de z = f(x , y) si se verifica que

1) fx (X0, Y0) = 0 y fy (X0, Y0) = 0 2) fx (X0, Y0) no existe o fy (X0, Y0) no existe

EjemploSea Z= f(x,y) = 2x² + y² + 8x – 6y + 20Hallar los puntos críticos y analizar si son extremosZx = 4x+8Zy= 2y-6

4x+8=0 2y-6=0X= -2 y = 3 punto critico (-2;3)

Sea

Con X=2 e Y=3, entonces el valor de la función en el mismo es =3 y su grafica es la siguiente

Como f(x , y)>3 V (x ; y) ≠ (-2 ; 3)Por lo tanto es el minimo de f(x; y) = (-2;3;3)

Ahora bien, si tenemos la siguiente función:

Z = f(x , y) = y² - x² cuya grafica es:

Existen las de derivadas parciales ya que:

Zx = -2xZy = 2y Existen Zx y Zy V (x ; y) Є R²

Donde:Zx = -2x = 0 X=0

Zy = 2y = 0 Y = 0

Sin embargo en (0 ; 0) la función no tiene ni mínimo ni máximo, ya que en cualquier entorno de centro (0 ; 0) tiene puntos (x ; y) que son mayores que f(0 ; 0) y tiene puntos que son menores a f(0 ; 0), por lo tanto no se verifica la definición ni de máximo ni de mínimo, por lo que no hay extremos.En cualquier entorno de centro 0 y radio r, la superficie tiene la forma de una silla de montar y el punto (0 ; 0) recibe el nombre de punto de silla o punto de ensilladura de la función f.Sacamos la conclusión que tal como ocurría en funciones de una variable los puntos críticos no siempre conducen a extremos relativos

Si tomamos los puntos del plano XZ donde Y = 0 y X≠0, los valores de la función son negativos, la grafica de tal situación es

En cambio en los puntos del plano YZ, donde X=0 y Y≠0, los valores de la función son positivos

El criterio básico para determinar extremos relativos de funciones de dos variables es el de la segunda derivada, el cual proporciona condiciones que garantizanel hecho de que una función tiene un extremo relativo en un punto en donde las primeras derivadas son iguales a ceroCondición suficiente para la existencia de extremosDe una función de dos variables

Teorema criterio de la segunda derivada

El resultado de este determinante es

fxx(a , b) . fyy(a , b) – fyx(a , b).fxy(a , b)

O fxx(a , b) . fyy(a , b) – f²xy(a , b)

La expresión f²xy(a , b), recibe el nombre de hessiano, y se debe al matemáticoalemán Hesse, podemos decir, que la condición suficiente para que unafunción de 2 variables alcance un extremo relativo en (a , b) es que eldeterminante hessiano sea positivo en ese punto

Re expresando las condiciones i), ii) y iii)

1) Si h = fxx (a , b) . fyy(a , b) - f²xy(a , b) > 0 y fxx(a, b)>0entonces f(a , b) tiene un mínimo relativo en (a , b)

2) Si ) Si h = fxx (a , b) . fyy(a , b) - f²xy(a , b) > 0 y fxx(a, b)<0F(a , b) tiene un máximo relativo en (a , b)

3) f(a , b) tiene un punto de ensilladura en (a , b) si fxx (a , b) . Fyy(a , b) - f²xy(a , b) < 0Si esta expresión: fxx (a , b) . Fyy(a , b) - f²xy(a , b) = 0, no se puede afirmar nada en cuanto aLa existencia de extremos

Pasos para calcular extremos relativos

1) se calculan las derivadas parciales de 1er orden y se igualana 0, quedan determinados sistemas de ecuaciones que alresolverlos dan los puntos críticos

2) Se calculan las derivadas parciales 2das, se forma el hessiano, y se analiza el signo del mismo en cada punto criticosi es positivo hay extremos

3) Se analiza el signo de la derivada parcial 2da fxx en los puntos seleccionados para determinar que tipo de extremos hay

4) Puede ocurrir que se verifique la condición necesaria queambas derivadas parciales en el punto critico no existan, en estecaso se debe estudiar la variación de la función en un entornode dicho punto

5) Si el hessiano es igual a 0 se procede como en 4, se analizala variación de la función

EjemploZ=f(x , y) = x²-xy+y²+3x-2y+1fx (x,y) = 2x – y + 3 = 0fy (x,y) = -x+2y-2 = 0

fxx = 2 fxx (-4/3 , 1/3) = 2 fyx = -1fyy = 2 fyy (-4/3 , 1/3) = 2 fxy = -1

La solución del sistema da como punto critico(-4/3 , 1/3)

Calculando el hessiano

2

2

-1

-1= 3 > 0 hay extremos

Como fxx(-4/3 , 1/3) = 2 > 0 la función tiene un mínimo en elPunto (-4/3 , 1/3)

METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En muchas funciones el calculo de extremos debe realizarse, teniendo en cuenta restricciones o ligaduras. Se deben calcular extremos restringidos, en estos casos, se utilizan en la resolución los multiplicadores de Lagrange

Supongase que se quiere calcular los extremos relativosDe una función Z= f(x , y) sujeta a la restricción g(x , y) = 0Este metodo emplea una función auxiliar de 3 variables X, Y, λ que se indicaran como:

F(X,Y, λ) = f(x,y) + λg(x,y)

La función Z=f(x,y) debe admitir derivadas parcialescontinuas y la función g(x,y), derivadas parcialescontinuas no todas nulas.

Condición Necesaria

Fx = 0; Fy = 0; Fλ = 0

Condición suficiente

d²f ≠ 0 d²f > 0 se tiene un mínimo relativo condicionado

d²f < 0 se tiene un máximo relativo condicionado

Pasos para calcular los extremos condicionados

1) Definir la función auxiliar F de las tres variables x,y,λ para la cual F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

2) Considerar el sistema de ecuaciones que se forma al igualar a 0 las tres primeras derivadas parciales de F

Fx (x,y,λ) = 0

Fy (x,y,λ) = 0

Fλ (x,y,λ) = 0

3)Resolver el sistema de ecuaciones del paso 2 para determinarlos puntos críticos de F

4) Entre las primeras dos coordenadas de los puntos críticos de F, obtenidos en el paso 3, se encuentran los valores dex e y que proporcionan los extremos relativos deseados

Ejemplo

Calcular los extremos de la función f(x,y) = x^2+y^2 con larestricción g(x,y)= x + 2y -2 = 0

F(x,y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + 2y – 2)

Fx = 2x + λ = 0 x=2/5 Fy = 2y + 2 λ = 0 y=4/5F λ = (x + 2y +2) = 0 λ =-4/5

Calculando el diferencial segundo

d²f = Fxx.dx^2 + 2.Fxy.dx.dy+Fyy.dy^2

Fxx = 2Fyy= 2Fxy = 0

d²f = 2.dx² + 2.0.dx.dy + 2.dy²

= 2.dx² + 2.dy² > 0

Luego en el punto P(2/5 ; 4/5) hay un mínimo relativocondicionado