Expresiones Regulares y Gramáticas Regulares - Sistemas Lineales. · 2017-06-02 · Idea...
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IdeaEcuaciones Lineales
Equivalencia entre ER y GR
Expresiones Regulares y GramáticasRegulares
Sistemas Lineales.
Universidad de Cantabria
Expresiones Regulares
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IdeaEcuaciones Lineales
Equivalencia entre ER y GR
Esquema
1 Idea
2 Ecuaciones Lineales
3 Equivalencia entre ER y GR
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IdeaEcuaciones Lineales
Equivalencia entre ER y GR
Problema
Nos preguntamos si las expresiones regulares generan losmismos lenguajes que las gramáticas regulares.Sabemos que a partir de una expresión regular podemos hallaruna gramática regular que genera el mismo lenguaje, pero nosabemos el recíproco.
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Equivalencia entre ER y GR
Problema
Nos preguntamos si las expresiones regulares generan losmismos lenguajes que las gramáticas regulares.Sabemos que a partir de una expresión regular podemos hallaruna gramática regular que genera el mismo lenguaje, pero nosabemos el recíproco.
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Equivalencia entre ER y GR
Ejemplo Sencillo
Si tenemos la siguiente gramática regular:
q0 7→ aq1,q1 7→ aq1|b.
¿Existe una expresión regular que lo genera?Cosas que podemos deducir: las palabras empiezan por “a”,terminan en “b”...
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Equivalencia entre ER y GR
Ejemplo Sencillo
Si tenemos la siguiente gramática regular:
q0 7→ aq1,q1 7→ aq1|b.
¿Existe una expresión regular que lo genera?Cosas que podemos deducir: las palabras empiezan por “a”,terminan en “b”...
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Equivalencia entre ER y GR
Ejemplo Sencillo
Cosas que podemos hacer:Consideremos diferentes gramáticas, donde las produccionesson las mismas pero tienen diferentes símbolos iniciales y acada uno de ellos se le asocia un lenguaje.
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Ejemplo Sencillo
Obtengo esta ecuación de conjuntos:
L0 = aL1,L1 = aL1 ∪ {b}.
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Ejemplo Sencillo
Supongamos que estos lenguajes están generados porlenguajes regulares:
X0 = aX1,X1 = aX1 + b.
Vamos a suponer que todos estos lenguajes son dados poruna expresión regular, ¿como hallar una expresión regular quelo genere?
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Equivalencia entre ER y GR
Ejemplo Sencillo
Supongamos que estos lenguajes están generados porlenguajes regulares:
X0 = aX1,X1 = aX1 + b.
Vamos a suponer que todos estos lenguajes son dados poruna expresión regular, ¿como hallar una expresión regular quelo genere?
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Ecuaciones Lineales
Definición
Llamaremos sistema de ecuaciones lineales en expresionesregulares a toda ecuación del tipo siguiente: X1
...Xn
=
α1,1 · · · α1,n...
. . ....
αn,1 · · · αn,n
X1
...Xn
+
β1...βn
,
donde los αi,j y los βk son expresiones regulares sobre unalfabeto Σ.
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Equivalencia entre ER y GR
Ecuación Fundamental
DefiniciónSe denomina ecuación lineal fundamental en expresionesregulares a la ecuación lineal en una variable X siguiente:
X = αX + β,
donde α y β son expresiones regulares sobre un alfabeto finitoΣ.
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Lema de Arden
Teorema (Lema de Arden)Dada la ecuación fundamental siguiente:
X = αX + β,
donde α, β son expresiones regulares sobre un alfabeto Σ.Se verifican las propiedades siguiente:
1 La ecuación fundamental anterior posee una soluciónúnica si y solamente si λ 6∈ L(α).
2 La expresión regular α∗ · β es siempre solución de laecuación fundamental anterior.
3 Si λ ∈ L(α), para cualquier expresión regular γ, laexpresión α∗ · (β + γ) es una solución de la ecuaciónfundamental.
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Equivalencia entre ER y GR
Resolución Gausiana
El caso n = 1 se resuelve mediante el Lema de Arden. Para elcaso n > 1, usaremos un doble paso:Despejar. Podemos despejar Xn en la última ecuación,mediante la expresión siguiente:
Xn := α∗n,nRn,
donde Rn :=∑n−1
j=1 αn,jXj + βn.
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Equivalencia entre ER y GR
Resolución Gausiana
Sustituir. Podemos sustituir la expresión anterior en el resto delas ecuaciones obteniendo un nuevo sistema de (n − 1)ecuaciones en (n − 1) variables. Este sistema viene dado,obviamente, por las expresiones siguientes para 1 ≤ i ≤ n − 1:
Xi :=
n−1∑j=1
(αi,j + αi,nα
∗n,nαn,j
)Xj
+(βi + αi,nα
∗n,nβn
).
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Equivalencia entre ER y GR
Resolución Gausiana
Levantamiento. Una vez llegados al caso n = 1, se obtiene unaexpresión regular válida para X1 y se procede a levantar elresto de las variables usando las expresiones obtenidas en lafase de despejado.
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Equivalencia entre ER y GR
Sistema Lineal asociado a una Gramática
Supongamos V = {q0, . . . ,qn} es el conjunto de los símbolosno terminales, que supondremos de cardinal n + 1. Definamosun conjunto de variables {X0, . . . ,Xn} con el mismo cardinal ycon la asignación qi 7→ Xi como biyección.
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Sistema Lineal asociado a una Gramática
Definamos para cada i , 0 ≤ i ≤ n, la expresión regular βimediante la construcción siguiente. Consideremos todas lasproducciones que comienzan en la variable qi y terminan enelementos de Σ ∪ {λ}. Supongamos que tales produccionessean
qi 7→ a1 | . . . | ar .
Definimosβi := a1 + . . .+ ar .
Si no hubiera ninguna producción del tipo qi 7→ a ∈ Σ ∪ {λ},definiremos βi := ∅.
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Equivalencia entre ER y GR
Sistema Lineal asociado a una Gramática
Para cada i y para cada j , definiremos el coeficiente αi,j delmodo siguiente. Consideremos todas las producciones quecomienzan en el símbolo no terminal qi e involucran al símbolono terminal qj . Supongamos que tales producciones sean:
qi 7→ a1qj | · · · | ar qj ,
con ak ∈ Σ ∪ {λ}. Entonces definiremos
αi,j := a1 + · · ·+ ar .
Si no hubiera ninguna de tales producciones, definiremosαi,j := ∅.
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Equivalencia entre ER y GR
Sistema Lineal asociado a una Gramática
Definición (Sistema asociado a una gramática)
Dada una gramática G = (V ,Σ,q,P) llamaremos sistemaasociado a G y lo denotaremos por S(G) al sistema:
S(G) :=
X0
...Xn
=
α0,1 · · · α0,n...
. . ....
αn,0 · · · αn,n
X0
...Xn
+
β0...βn
,
dado por las anteriores reglas de construcción.
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Equivalencia entre ER y GR
Equivalencia entre ER y GR
TeoremaCon las anteriores notaciones, sea (α0, . . . , αn) una solucióndel sistema S(G) asociado a una gramática G. Entonces, L(α0)es el lenguaje generado por la gramática G.
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