Explicacion de problemas

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PROBABILIDAD.

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  • 1. AZUCENA AGERO TORRES 2. CLIC. GERARDO EDGAR MATA ORTIZ

2. DISTRIBUCIONES :DistribucinDistribucin Distribucin Bernoulli BinomialPoissonUna distribucin de probabilidad indica toda la gama de valores quepueden representarse como resultado de un experimento si ste sellevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento serealice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede disear un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales dediversos fenmenos naturales DistribucinDistribucinDistribucin T NormalGammade student 3. Un ensayo bernoulli es un Para cualquier ensayo de bernoulli se define a la variableexperimento que tiene dosaleatoria x as: si el resultadosexperimento propicio xito , entonces x = 1. De locontrario, x = 0. De ah que x sea una variable aleatoria Al primerodiscreta, con funcin de masaY al otro de probabilidad p(x) se e llamafracaso xito LaPorprobabilidad consecuencia, P(0) =P(X = 0) = 1-P la probabilidadde xito sede fracaso esP(1) =P(X = 1) =Pdenota por P 1-PMedia y varianza de una variable aleatoria de BernoulliMedia = PVarianza = P(1-P) 4. Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la partesuperior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro esde 0.55. Sea X = 1, si anota el tiro, si no lo hace, X = 0. Determinela mediana y la varianza de XEventos ProbabilidadX=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.55X=0P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.45La probabilidad de xito, P(X =1), es igual a 0.1. Por lo tanto,X~ Bernoulli (0.55) Media: =P 0.55 Varianza:= P(1-P) 0.2475 5. En un restaurante de comida rpida, 25% delas ordenes para beber es unabebida pequea, 35% una mediana y 40% una grande. Sea X = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequea y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y = 1 si la orden es una bebida median y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si la orden es una bebida pequea o mediana y Z = 0 en cualquierotro caso.Eventos Si la bebida es pequea Probabilidad X=1 P(1) =P(X = 1) =P0.25 Media:=P 0.25 X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.75 Varianza: = P(1-P) 0.1875Eventos Si la bebida es mediana Probabilidad Y=1 P(1) =P(Y = 1) =P0.35 Media:=P 0.35 Y=0 P(0) =P(Y = 0) = 1-P 0.65 Varianza: = P(1-P) 0.2275Eventos Si la bebida es pequea o Probabilidadmediana Z=1 P(1) =P(Z = 1) =P0.60 Media:=P 0.60 Z=0 P(0) =P(Z = 0) = 1-P 0.40 Varianza: = P(1-P) 0.24 6. Extraer un solo componente de una poblacin y determinar siest o no defectuosa es ejemplo de un ensayo bernoulli. En laprctica, es posible extraer varios componentes de una granpoblacin y contar el nmero de elementos defectuosos. Estoimplica realizar diversos ensayos de bernoulli independientesy contar el nmero de xitos. El nmero de xitos es unavariable aleatoria, que tiene una distribucin binomial. Suponga que se lleva a cabo una serie de n ensayos debernoulli, cada uno con la misma probabilidad de xito p.adems, suponga que los ensayos son independientes: esto es,que el resultado de un ensayo no influyen en los resultados dealguno de los otros ensayos. Sea la variable aleatoria Xigual al numero de xitos en n ensayos, entonces X tiene ladistribucin binomial con parmetros n y p. la notacin esX~Bin(n,p). X es una variable aleatoria discreta y sus posiblesvalores son 0,1n. 7. Si X ~Bin (n,p), la funcin de masa deprobabilidad de X es: P(X) = P(X = x) = 8. Sea X~ Bin(8, 0.4). Determine X Valores de la formula Sustituir formula Resultado 0 n=8 p=0.4 X=0 (8!/0!(8-0)!)(0.40)(1-0.4) 8-0 0.01679616 1 n=8 p=0.4 X=1 (8!/1!(8-1)!)(0.41)(1-0.4) 8-1 0.08957952 2 n=8 p=0.4 X=2 (8!/2!(8-2)!)(0.42)(1-0.4) 8-2 0.20901888 3 n=8 p=0.4 X=3 (8!/3!(8-3)!)(0.43)(1-0.4) 8-3 0.27869184 4 n=8 p=0.4 X=4 (8!/4!(8-4)!)(0.44)(1-0.4) 8-4 0.2322432 5 n=8 p=0.4 X=5 (8!/5!(8-5)!)(0.45)(1-0.4) 8-5 0.12386304 6 n=8 p=0.4 X=6 (8!/6!(8-6)!)(0.46)(1-0.4) 8-6 0.04128768 7 n=8 p=0.4 X=7 (8!/7!(8-7)!)(0.47)(1-0.4) 8-7 0.0688128 8 n=8 p=0.4 X=8 (8!/8!(8-8)!)(0.48)(1-0.4) 8-8 0.00065536 9. Se toma una muestra de cinco elementos de una poblacingrande, en la cual 10% de los elementos esta defectuosa Sea X~ Bin(5, 0.1). DetermineX Valores de la formula Sustituir formulaResultado0n=5 p=0.1X=0 (5!/0!(5-0)!)(0.10)(1-0.1) 5-0 0.590491n=5 p=0.1X=1 (5!/1!(5-1)!)(0.11)(1-0.1) 5-1 0.328052n=5 p=0.1X=2 (5!/2!(5-2)!)(0.12)(1-0.1) 5-2 0.07293n=5 p=0.1X=3 (5!/3!(5-3)!)(0.13)(1-0.1) 5-3 0.00814n=5 p=0.1X=4 (5!/4!(5-4)!)(0.14)(1-0.1) 5-4 0.000455n=5 p=0.1X=5 (5!/5!(5-5)!)(0.15)(1-0.1) 5-5 0.00001 10. Se lanza una moneda 10 veces y la probabilidad de obtenercara es de .5 Sea X~ Bin(10, 0.5). Determine XValores de la formulaSustituir formulaResultado 0n=10 p=0.5 X=0(10!/0!(10-0)!)(0.50)(1-0.5) 10-0 0.000976562 1 n=10 p=0.5 X=1 (10!/1!(10-1)!)(0.51)(1-0.5) 10-1 0.009765625 2 n=10 p=0.5 X=2 (10!/2!(10-2)!)(0.52)(1-0.5) 10-2 0.043945312 3 n=10 p=0.5 X=3 (10!/3!(10-3)!)(0.53)(1-0.5) 10-30.1171875 4 n=10 p=0.5 X=4 (10!/4!(10-4)!)(0.54)(1-0.5) 10-4 0.205078125 5 n=10 p=0.5 X=5 (10!/5!(10-5)!)(0.55)(1-0.5) 10-5 0.24609375 6 n=10 p=0.5 X=6 (10!/6!(10-6)!)(0.56)(1-0.5) 10-6 0.205078125 7 n=10 p=0.5 X=7 (10!/7!(10-7)!)(0.57)(1-0.5) 10-70.1171875 8 n=10 p=0.5 X=8 (10!/8!(10-8)!)(0.58)(1-0.5) 10-8 0.043945312 9 n=10 p=0.5 X=9 (10!/9!(10-9)!)(0.59)(1-0.5) 10-0.00976562510n=10 p=0.5 X=10 (10!/10!(10-10)!)(0.510)(1-0.5) 10- 0.00097656210 11. La distribucin de poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo cientfico. Unamanera de considerarla es como una aproximacin de la distribucin binomial cuandon es grande y p es pequeo. Esto se muestra con un ejemplo:Una masa contiene 10 000 tomos de una sustancia radiactiva. La probabilidad deque cierto tomo decaiga en un periodo de un minuto es 0.0002. Sea X el nmero detomos que decae en un minuto. Se puede considerar a cada tomo como un ensayode bernoulli, en lo que el xito ocurre si el tomo decae. Por tanto, X es el numero dexitos en 10 000 ensayos de bernoulli independientes, cada uno con probabilidad dexito de 0.0002, de tal forma que la distribucin de X es Bin (10 000, 0.0002). Lamedia de X es x =(10 000)(0.0002) = 2.Otra masa contiene 5 000 tomos y cada uno de estos tiene probabilidad de 0.0004de decaer en un intervalo de un minuto. Se Y el numero de tomos de esta masaque decae en un minuto.Por lo tanto Y ~ Bin(5 000, 0.0004) y y = (5 000)(0.0004)=2. 12. En cada uno de estos casos, el nmero de ensayos n y la probabilidad de xito pson diferentes, pero el nmero promedio de xitos, que es igual al producto np, es elmismo. Ahora suponga que se quiere calcular la probabilidad de que solo trestomos decaigan en un minuto para cada uno de estas masas. Mediante la funcinde masa de probabilidad binomial, se calcula de la siguiente manera: 13. Esta probabilidades son casi iguales entre s. Aunque a partir de la frmula de lafuncin de masa de probabilidad binomial esto no es obvio, cuando n es grande y pes pequeo la funcin de masa depende por completo de la media np, y muy pocosde los valores especficos de n y p. por consiguiente, se puede aproximar la funcin de masa binomial con una cantidad que dependa solo del producto np. Especficamente, si n es grande y p es pequea, y =np, se puede demostrar mediante mtodos avanzados que para toda las X. 14. Esto conduce a la definicin de una nueva funcin de probabilidad, denominadafuncin de masa de probabilidad de poisson, que se define medianteSiempre y cuando X sea un numero entero y no negativo 15. Suponga que 0.03% de los contenedores plsticos producidos encierto proceso tiene pequeos agujeros que los dejaninservibles. X representa el numero de contenedores en unamuestra aleatoria de 10 000 que tiene estos defectosdetermine P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5) =np =(10 0008)(0.03%)=3P(X = x) Sustitucin de laResultado formulaP(X = 1) e-3 (31/1!) 0.149361205P(X = 2) e-3 (32/2!) 0.224041807P(X = 3) e-3 (33/3!) o.224041807P(X = 4) e-3 (34/4!) 0.168031355P(X = 5) e-3 (35/5!) 0.100818813 16. Si X ~Poisson (5), calcule: P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X =4) y P(X = 5)P(X = x)Sustitucin de la formula ResultadoP(X = 1)e-5 (51/1!) 0.033689735P(X = 2)e-5 (52/2!) 0.084224337P(X = 3)e-5 (53/3!) 0.140373895P(X = 4)e-5 (54/4!) 0.175467369P(X = 5)e-5 (55/5!) 0.175467369 17. Una distribucin normal de media y desviacin tpica se designa por N (, ). Sugrfica es la campana de Gauss: El rea del recinto determinado por la funcin y el eje de abscisas es igual a launidad. Al ser simtrica respecto al eje que pasa por x = , deja un rea igual a 0.5 a laizquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al rea encerrada bajo la curva. Distribucin normal estndar N (0, 1) La distribucin normal estndar, o tipificada o reducida, es aquella que tienepor media el valor cero, =0, y por desviacin tpica la unidad, =1. La probabilidad de la variable X depender del rea del recinto sombreado en lafigura. Y para calcularla utilizaremos una tabla. 18. Tipificacin de la variable Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigueuna distribucin N (, ) en otra variable Z que siga una distribucin N (0, 1). Clculo de probabilidades en distribuciones normales La tabla nos da las probabilidades de P (z k), siendo z la variabletipificada. Estas probabilidades nos dan la funcin de distribucin (k). (k) = P (z k) 19. Determine el rea bajo la curva normala) Ala derecha de z= -0.85.b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.c) Entre z =0.30 y z = 0.90.d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemasa) 1 0.1977 = 0.8023b) 0.9032 0.6554 = 0.2478c) 0.8159 0.3821 = 0.4338d) 0.0668 + (1 0.3264) = 0.7404 20. Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media de 480 y desviacin estndar de 90.a) Cual es la proposicin de puntuaciones mayores a 700?b) Cual es el 25? Percentil de las puntuaciones?Si la puntuacin de alguien es de 600. En que percentil se encuentra?c) Qu proporcin de las puntuaciones se encuentra entre 42