IIExperimento Nº1: MediciónFechas:

Realización del experimento: martes 2 de abril. Presentación del informe: viernes 12 de abril.

1. Objetivos del Experimento.-

Objetivo principal: “Llegar a comprender el proceso de medición teniendo en cuenta el error experimental, a pesar de los cuidados del experimentador por realizar buenas mediciones.”

Objetivos Particulares:Parte 1: Medición y error experimental (Incertidumbre):- “Determinar la curva de distribución normal en un proceso de medición, correspondiente al número de frijoles que caben en un puñado normal.” – “Determinar la incertidumbre en este proceso de medición.

Parte 2: Propagación del error experimental: - “Expresar los errores cometidos al medir directamente longitudes con escalas en milímetros y en 1/20 de milímetro.” – “Determinar magnitudes derivadas o indirectas, calculando la propagación de las incertidumbres.”

Parte 3: Gráfica de resultados de una medición: -“Determinar las circunstancias para que un péndulo simple tenga su periodo independiente de su amplitud angular.” –“Determinar la relación entre el periodo y la longitud “l” del péndulo”. –“Construir funciones polinómicas que representen dicha función.”

2. Fundamento Teórico.-

Parte 1.Medidas de dispersión Miden el grado de dispersión o de variabilidad de los datos respecto a un promedio. Las medidas de dispersión utilizadas en el experimento son:Media aritmética (x):

x = ∑i=1k

xі . fі

nK : # intervalos de clase.xі : Marca de clase і.fі : Frecuencia absoluta de clase і.

Varianza (σ 2): Para datos clasificados.-

σ 2 = ∑ fі¿¿¿

Desviación estándar (σ): Se calcula hallando la raíz cuadrada de la varianza.2√varianza = σ

Ley de la distribución Normal:Para una variable que sigue la ley de distribución normal se cumple que: P (|x|≤μ±3σ ¿=¿ 99.73%

La función de distribución normal es utilizada en el cálculo de incertidumbre cuando: Es hecho un estimado de observaciones repetidas de un proceso que varía

aleatoriamente. Es hecho un estimado en forma de un intervalo de confianza de un 95% (u otro) de

probabilidad sin especificar la distribución.

Parte 2.Operaciones con incertidumbres:Una medición es de la forma A = A₀ ± ΔA; A₀ es el valor más probable y ΔA es la incertidumbre.Las medidas indirectas también poseen incertidumbres. Estas provienen de la propagación de las incertidumbres de las medidas directas. Si deseamos calcular el área de una superficie, o el volumen de un paralelepípedo a partir de los valores medidos de sus aristas, debemos expresar los resultados con sus incertidumbres asociadas, como lo hacemos con las medidas directas.

Además, V una variable física que se expresa como el producto de tres variables independientes, A, B Y C, es decir V = ABC. Como A, B Y C son variables medidas directamente, poseen incertidumbres en su lectura, o sea: A= aₒ ± Δa, B= bₒ ± Δb y C= cₒ ± Δc

La incertidumbre relativa porcentual de V se calcula como:

Δ% = ΔVVₒ×100=√( Δaaₒ ×100)

2

+( Δbbₒ ×100)2

+( Δccₒ ×100)2

De donde su incertidumbre absoluta se obtiene como:

ΔV = Vₒ× Δ%100

Vₒ = aₒ×bₒ×cₒ

Parte 3.Péndulo simple

3. Equipo utilizado.-

Parte 1: - Un tazón de frijoles. – Dos hojas de papel cuadriculado. – Un tazón mediano de plástico.

Parte 2: - Un paralelepípedo de metal. – Una regla graduada en milímetros. – Un pie de rey.

Parte 3: -Un péndulo simple de 1.5 m de longitud. – Una regla graduada en mm. – Un cronómetro. – 02 hojas de papel milimetrado.

4. Diagrama de flujo del experimento realizado.-

Parte 1: Medición y error experimental

Gráfico 1

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 700123456789

10111213141516171819202122

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

FrecuenciasCurva normal

Gráfico 2

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

28 30 32 34 36 38 40 42 44

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Fre-cuencias

Curva normal

5. Procedimiento experimental.-

Parte 1: Depositamos los frijoles en un tazón. Cogemos un puñado de frijoles del recipiente una y otra vez hasta lograr un puñado normal. Después uno toma un puñado normal y cuenta el

número de gramos obtenido. Otro apunta el resultado y repiten ambos la operación, en este caso se realizaron 160 repeticiones llenando una tabla estadística.

Parte 2: Tome el paralelepípedo de metal y mida sus tres dimensiones con una regla graduada en milímetros y un pie de rey. Realizar mediciones provistas de las incertidumbres correspondientes a cada instrumento.

Parte3: - Sostenga el péndulo de manera que el hilo de soporte forme un ángulo con la vertical. Suéltelo y mida el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas. Determine el significado de: “para varios ángulos suficientemente pequeños el tiempo que dura la oscilación no depende del valor de cualquiera de estos.” Fije una cierta longitud para el péndulo entre 10cm y 150cm y midiendo 10 oscilaciones completas determine el periodo por cada longitud de dicho péndulo. Repita esto 5 veces. Luego determine el periodo más probable para la longitud escogida. Repita este procedimiento para 10 longitudes diferentes cada una con su respectivo periodo más probable.

6. Cálculos y resultados.-

Parte 1.A partir de las tablas de frecuencias realizadas en el laboratorio se simplificó 2 cuadros utilizando intervalos de clase de una amplitud de2 unidades. Gráfico 1

Intervalo Grupo (xі) Frecuencia (fі) Distribución normal[48-50> 49 3 0.010102647[50-52> 51 9 0.022900005[52-54> 53 12 0.042767861[54-56> 55 14 0.065808357[56-58> 57 31 0.083430746[58-60> 59 27 0.087147067[60-62> 61 26 0.074999953[62-64> 63 19 0.053180298[64-66> 65 10 0.031068631[66-68> 67 2 0.014954608[68-70> 69 7 0.005930748

Promedio 58.45 ∑i=1

11

xі . fі

160

Desviación Estándar 4.544 2√ 1160 [∑

і=1

11

fі(xі−x )2]

Gráfico 2Intervalos Valor medio (xі) Frecuencias (fі) Distribución normal[30-32> 31 1 0.001468814[32-34> 33 3 0.013038254[34-36> 35 13 0.059000815[36-38> 37 39 0.136107616[38-40> 39 49 0.160063646[40-42> 41 38 0.095959691[42-43> 42.5 17 0.042015343

Promedio 38.481 ∑i=1

11

xі . fі

160

Desviación Estándar 2.43654533 2√ 1160 [∑

і=1

7

fі(xі−x )2]Parte 2.

Determinaremos los valores pedidos trabajando con un paralelepípedo de metal con dos orificios de forma cilíndrica con diferente diámetro. Las medidas citadas para las dimensiones provienen de un promedio de las tomadas del laboratorio. Modelo del paralelepípedo

Con la regla∆x = ± 0.25 mm

Con el pie de Rey∆x = 0.025 mm

Porcentaje de incertidumbre

Largo a 30.6 ± 0.25 30.265 ± 0.025 1.63% 0.1652%Ancho b 30.9 ± 0.25 30.89 ± 0.025 1.62% 0.1618%

Alto h 12.5 ± 0.25 12.565 ± 0.025 4.00% 0.3979%Ǿ mayor 14.3 ± 0.25 14.26 ± 0.025 3.50% 0.3506%Ǿ menor 6.5 ±0.25 6.56 ± 0.025 7.69% 0.7621%

Profundidad M 8.1 ± 0.25 8.15 ± 0.025 6.17% 0.6134%Profundidad m 4.4 ± 0.25 4.415 ± 0.025 11.36% 1.1325%

a = aₒ ± Δa

b = bₒ ± Δb

h = hₒ ± Δh

Ǿ mayor = Ǿₒ ± Δ Ǿ

Los resultados obtenidos presentados en el cuadro provienen de aplicar la teoría desarrollada en las operaciones con incertidumbres.

Para el caso del área de un paralelepípedo sin aberturas y con las mismas dimensiones tomadas en el laboratorio se halló su área y volumen de la siguiente manera:

Área = Aₒ ± ΔA

Área = 2(a×b) + 2(b×h) +2(a×h) ⇒ Aₒ = 2[aₒ×bₒ + bₒ×hₒ + aₒ×hₒ]

Hacemos el cálculo remplazando los datos que se muestran en el cuadro de anaranjado tomando una cifra extra (en total 4) aparte de las tres cifras significativas de los datos para las operaciones pero 3 para el resultado.

Aₒ = 2[945.5 + 382.5 + 386.2] = 3428.4 mm3 ⇒ 3.43 × 103 mm2

ΔA = 21.74 + 16.52 + 16.66 = 54.9 mm2

o Volumen ⇒ V = Vₒ ± ΔV

V = a×b×hVₒ = aₒ×bₒ×hₒ

ΔV= Vₒ100 √( Δaaₒ ×100)

2

+( Δbbₒ ×100)2

+( Δhhₒ ×100)2

Remplazando valores obtenemos: Vₒ = 1.18 ×104 mm3

ΔV = 273 mm3

A (3.43 × 103 ± 54.9) mm2

V (1.18 ×104 ± 273) mm3

a₁₀₀b₁₀₀h₁₀₀A₁₀₀V₁₀₀

Parte 3.

ΔA=2aₒbₒ100 √( Δaaₒ ×100)

2

+( Δbbₒ ×100)2

+ 2a ₒ hₒ100 √( Δaaₒ ×100)2+( Δhhₒ ×100)

2

+

2b ₒ h ₒ100 √( Δbbₒ ×100)

2

+( Δhhₒ ×100)2

7. Cuestionario.-

Parte 1.1.- En vez de medir puñados, ¿podría medirse el número de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.?Sí, pero se tendría que tener en cuenta que entre el máximo y mínimo valor habrá una pequeña diferencia dado que trabajamos con un instrumento que no deforma su volumen; en cambio, al medir con puñados, el experimentador puede variar el tamaño de su puño, por diversos factores (como el cansancio).

2.- Según UD. ¿a qué se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus compañeros?Se debe fundamentalmente al tamaño de la mano y la manera en cómo cogen los frijoles.

3.- Después de realizar los experimentos, ¿Qué ventaja le ve a la representación de π [r,r+2] frente a π [r,r+1]?

4.-¿Qué sucedería si los frijoles fuesen de tamaños apreciablemente diferentes?Si fuera así, habrá un rango más amplio de frijoles dado que la precisión del experimento depende de la uniformidad del universo. Por ejemplo, en una muestra se podría obtener 50 frijoles grandes y en otra de igual tamaño, 60 frijoles pequeños y así alteraría la medición.

5.- En el ejemplo mostrado se debía contar alrededor de 60 frijoles por puñado. ¿Sería ventajoso colocar sólo 100 frijoles en el recipiente, y de esta manera colocar el número de frijoles en un puñado, contando los frijoles que quedan en el recipiente?

6.- ¿Qué sucedería si en el caso anterior colocara sólo, digamos, 75 frijoles en el recipiente?Al tener un universo más reducido y la posibilidad de agarrar menos frijoles los datos obtenidos no cumplirán con la………………………………………………….

7.- La parte de este experimento que exige “más paciencia” es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea en tres personas. ¿Cuál de las sugerencias propondría Ud.? ¿Por qué?

Parte2.1.- ¿Las dimensiones de un paralelepípedo se pueden determinar con una sola medición? Si no, ¿cuál es el procedimiento más apropiado?No, para poder obtener sus dimensiones es necesario medir el ancho, largo y ancho con el instrumento apropiado, considerando la incertidumbre del instrumento además de medir cuidadosamente evitando así de incrementar el error.

2.- ¿Qué es más conveniente para calcular el volumen del paralelepípedo: una regla en milímetros o un pie de rey? Como el paralelepípedo, en este caso, es de pequeñas dimensiones, se puede medir con el pie de rey para amenguar la incertidumbre y realizar una medición más precisa; sin embargo, si el objeto es de mayores dimensiones será conveniente utilizar una regla milimétrica.

Parte 3. 1.- Anteriormente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la masa del péndulo. ¿Qué sucede si en vez de ello Ud. lanza la “masa”?Si lanzo la masa, al tener velocidad inicial, hace que esta deba de encontrar un nuevo punto de partida desde el cual iniciara su periodicidad y este empezara cuando su velocidad sea cero por primera vez.

2.- ¿Depende el periodo del tamaño que tenga la “masa”? Explique.Para un ángulo pequeño el tamaño de su masa no influye en el periodo, ya que la masa tiende a realizar un movimiento horizontal.

3.- ¿Depende el periodo del material que constituye la “masa”, (una pesa de metal, una bola de papel, etc.? %%el periodo no depende dela masa por lo que tampoco depende del material ello lo podemos

analizar en la siguiente formula

s = θ L

Esta ecuación nos da el arco recorrido por la masa para un ángulo dado. A partir de ahí buscamos

la ecuación de la velocidad lineal, la derivada de la posición respecto al tiempo:

v = ds/dt = L dθ/dt (la longitud L del péndulo es constante)

a = dv/dt = L d²θ/dt²

F = – m g sen θ

Es decir, tenemos dos expresiones de la misma aceleración que deben coincidir:

a = L d²θ/dt² .......... y .......... a = – g sen θ

L d²θ/dt² = – g sen θ ----------> [1]

Pero además, el valor en el tiempo del ángulo del péndulo se ajusta al de las oscilaciones

armónicas y sabemos que la ecuación de posición en los M.A.S. es:

θ = θo sen(ω t + φ) ---------> [2]

Derivando 2 veces respecto al tiempo:

θ'' = d²θ/dt² = – ω² θo sen(ω t + φ)

y viendo en [2] que θo sen(ω t + φ) = θ

d²θ/dt² = – ω² θ

Sustituyendo este valor en [1]:

L (– ω² θ) = – g sen θ

Y ahora viene una aproximación que se aplica normalmente a los péndulos cuando hablamos de

ángulos pequeños :

sen θ ≈ θ

L (– ω² θ) = – g sen θ = – g θ

ω² = g/L

ω = √ (g/L)

Pero el periodo T es, por definición, el tiempo que se tarda en recorrer un ciclo completo (2 π) con

la velocidad angular ω. Luego:

T = 2 π / ω = 2 π / √ (g/L) = 2 π √ (L/g) ►

4.- Supongamos que se mide el periodo con θ = 5º y con θ = 10º. ¿En cuál de los dos casos resulta mayor el periodo?El periodo para ángulos pequeños no depende del valor de θ.

5.- Para determinar el periodo, se ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una sola oscilación? ¿Qué sucedería si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones?Si midiera el tiempo para 50 oscilaciones habría un margen mayor de error en el periodo resultante ya que la amplitud de oscilación varía en un lapso de tiempo grande.

6.- Dependen los coeficientes a, b y c de la terna de puntos por donde pasa f?Si, ya que al escoger los puntos por donde pasa f se podrán hallar los valores de a, b y c.

7.- Para determinar a, b y c se eligieron 3 puntos. ¿Por qué no 2? ¿O cuatro? %%Se escogieron 3 puntos ya que la ecuación a resolver presenta tres incógnitas.

8.- En general, según como elija a, b y c obtendrá un cierto valor para ∆f. ¿Podría Ud. elegir a, b y c de manera que ∆f sea mínima (aunque f no pase por ninguno de los puntos función discreta)? ¿Puede elegir a, b y c de manera que ∆f =0?%%la incertidumbre dela función no puede ser cero ya que esta es una aproximación y como tal presenta un error que ara que nuestro resultado por mas mínimo que sea no llegara a ser cero 9.- ¿Qué puede afirmarse, en el presente experiment o, con respecto al coeficiente g de la función g(T)?%%

10.- ¿Cuántos coeficientes debería tener la función g para estar seguros de ∆ g = 0? %%

11.- ¿Opina Ud. que, por ejemplo, usando un trozo de hilo de coser y una tuerca, puede repetir estos experimentos en su casa? %%%No, ya que la tuerca presenta una figura irregular que aumenta la rotación del cuerpo haciendo variar sus oscilaciones.

12.- ¿Tiene Ud. idea de cuántas oscilaciones puede dar el péndulo empleado, con lĸ = 100 cm, antes de detenerse?%%

13.- Observe que al soltar el péndulo es muy difícil evitar que sula masa “rote”. ¿Modifica tal rotación el valor del periodo? ¿Qué propondría Ud. para eliminar la citada rotación?%%si, pues la rotación conlleva una perdida de energía a causa de el rozamiento del aire y otros factores. crear un sistema donde no exista ningún factor que ocasione alguna variación en la energía del péndulo .

8. ´Conclusiones.- ´péndulo: Dado en efecto los resultados presentados en este experimento, concluimos que: El periodo del movimiento, es independiente de la masa ya que en la formula dada: T=2π√I/mgd, remplazando del momento de inercia la masa del péndulo se cancela.Por lo tanto el periodo no depende de la masa sino de la longitud del punto del eje al punto en que esta la masa situada, si la ubicación de la masa varia si es tomado es cuenta el cambio de oscilación que puedepresentarse.El periodo solo depende de una amplitud menor que la distancia x del ángulo que corresponde al vértice de la cuerda, con respecto al eje vertical que tomemos. Sabiendo que si el ángulo es mayor que 15 grados, el movimiento del péndulo se tornaría a demás de oscilatorio, rotatoriocoaxial.Al variar, la longitud de la varilla determinamos que el periodo experimental de ella fue en incremento, ya que guardaba una relación no lineal con respecto al tiempo de oscilación que aumentaba proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de la varilla9. Bibliografía.-

física para estudiante de ciencias e ingeniería,Halliday,Resnick y Krane, 4ta.Ed.,Vol.II,Ciá. editorial continental,S.A.Mexico,(1985)