Expansão de funções em frações contínuas -...
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*Aluno do PROMAT-UFU ** Tutor do PET Matemática-UFU
Expansão de funções em frações contínuas
Joabe Oliveira Santos*, Marcos Antônio da Câmara** Faculdade de Matemática, Famat, UFU,
38.408-100, Uberlândia, MG
Email: [email protected] [email protected]
Palavras - chave: resumos estendidos, frações contínuas, expansão de funções,
convergente.
Resumo: Neste artigo definimos frações contínuas, convergentes e algumas propriedades de
convergente. Nosso objetivo é expandir funções em frações contínuas e depois comparar a
precisão desta expansão com expansão em série de Taylor.
1 Introdução
A origem das frações contínuas é tradicionalmente atribuída ao desenvolvimento do Algoritmo de Euclides. Manipulando algebricamente, o algoritmo, pode-se obter a fração
contínua simples de um número racional p/q.
Por mais de mil anos, todo trabalho que usava frações contínuas era restrito a exemplos
específicos. A parte teórica das frações contínuas só se desenvolveu a partir do trabalho de John
Wallis (1616-1703). Em seu livro "Opera Mathematica” (1695), Wallis introduziu alguns dos
fundamentos básicos das frações contínuas, tais como: calcular o n-ésimo convergente e algumas propriedades de convergentes. Neste trabalho o termo "fração contínua" foi usado pela
primeira vez.
O primeiro matemático a demonstrar uma aplicação prática de frações contínuas foi Christiaan Huygens (1629-1695). Ele escreveu um artigo explicando como usar os
convergentes de uma fração contínua para encontrar as melhores aproximações racionais para as
relações entre as engrenagens. Essas aproximações permitiram-lhe escolher as engrenagens com
o número correto de dentes. Este trabalho foi motivado pelo desejo de construir um planetário mecânico.
Neste trabalho vamos mostrar que é possível aproximar funções por frações contínuas.
2 Convergentes
Definição: Uma fração contínua é uma expressão da forma
3
32
21
10
a
ba
ba
ba
em que os termos ia e ib são números reais ou complexos, ou funções de variáveis reais ou
complexas, para todo i . O número de termos pode ser finito ou infinito.
Notação: Podemos escrever a fração contínua na forma 3
3
2
2
1
10 a
b
a
b
a
ba
em que i
i
b
a, i , será chamado de i-ésimo quociente parcial da fração contínua.
Convergentes
Vamos considerar as frações ,1
1,
1,
1
32
132
121
1
aa
aca
aca
c obtidos pelas
expansões das frações contínuas ],,,[],,[],[ 321211 aaaaaa .
Estas frações são chamadas de primeiro, segundo, terceiro, .... convergentes, respectivamente,
da fração contínua ],,,,,[ 1321 nn aaaaa .É claro que o n-ésimo convergente é igual à própria
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fração contínua. Vamos considerar 1
111 1 q
pac , em que 11 ap e 11q . Assim,
2
2
2
21
212
11q
p
a
aa
aac em que 1212 aap e 22 aq .
Calculando 3c , obtemos:123
123
32
1213
32
31321
32
13 1
)1(
111
qqa
ppa
aa
aaaa
aa
aaaaa
aa
ac .
De maneira geral, temos o seguinte resultado.
Teorema: Sejai
ii
q
pc o i-ésimo convergente da fração contínua ],,,[ 21 naaa . Então, o
numerador ip e o denominador iq de ic satisfazem as seguintes relações: 21 iiii ppap ,
21 iiii qqaq , para ;,,5,4,3 ni em que 11 ap , 1122 aap , 11q , .22 aq
3 Expansão de funções em frações contínuas
Para calcular a expansão de uma função em fração contínua, vamos utilizar substituições
sucessivas. Seja f uma função e 10 Taf sua expansão em série de Taylor. Calculamos
,,,,, 121 nTTT tais que ,10 Taf
,1,,,132
22
21
11 ni
Ta
bT
Ta
bT
Ta
bT
ii
ii
em que 0a , ii ba , são escolhidos arbitrariamente e podem ser funções dos argumentos de f.
Deste modo, temos que 11
1
2
2
1
10
21
1010
nn
n
n
n
Ta
b
a
b
a
b
a
ba
Ta
baTaf
.
Continuando esse processo de substituições sucessivas, obtemos a fração contínua.
Vamos apresentar duas expansões em frações contínuas para a função xe para mostrar que a
aproximação de uma função por frações contínuas não é única. Nesses exemplos, vamos
escolher 10a e ia e ib da forma ;x Z, .
Exemplo 1: Considere a expansão em série de Taylor em torno de 00x da função xe , ou
seja,
!7201202462
165432
nxxxxxxxe
nx
. Vamos obter a seguinte expansão de xe em
frações contínuas:
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xex
544
33
221
154
43
32
211 .
Tome 10a , daí 11 1110xx eTTTae .
Assim, 1
5432
5432
1
72012024621
72012024621
xxxxxx
xxxxxxxxT
720122
1720122
14242
xxxx
x
xxx
x . (1)
Portanto, 21
11 Ta
bT , em que escolhemos xaxb 1, 11 e
720122
42
2xxxT .
Mas,
270183
22
36061
1
236061
2 3213
3
2xxx
x
x
xx
xxxxT
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Logo, 32
22 Ta
bT , em que escolhemos xaxb 2, 22 e
2701832 32
3xxxT . Se
continuarmos deste modo, encontraremos xiaxib ii ,)1( e 1
11
i
kki xe
iixT o que
novamente sugere escolhermos xiaxib ii )1(,)( 11 .
Exemplo 2: Se em (1) escolhermos xb1 , 11a , então 720122
42
2xxxT . Escolhendo
2, 22 axb , teremos 270183
32
3xxxT . Escolhendo ,3 xb ,33a teremos
360202
32
4xxxT . Procedendo de forma análoga, ou seja, escolhendo xbi , ,2,1i
obteremos a expansão 2)3()2(1
1 xxxxe x que é outra expansão da função xe por
frações contínuas.
4 Comparação da expansão de uma função em série de Taylor com sua
expansão em fração contínua.
Euler obteve outra expansão para a função exponencial 141062
2110
422 xxxxxex
Os primeiros convergentes são dados por
2
2
12
2
12
2
3
3
01
01
2
2
1
1
0
0
612
612
6
6,
22
)2()2(
)2()2(,
11,
10
xx
xx
qxq
pxp
q
p
xx
qxqx
pxpx
q
p
q
p
q
p
432
432
32
4
32
4
5
5
22
22
22
3
22
3
4
4
201808401680
201808401680
14
14,
1260120
1260120
10
10
xxxx
xxxx
qxq
pxp
q
p
xxx
xxx
qxq
pxp
q
p
Note que os convergentes são funções racionais que podem aproximar valores para a função xe .
Podemos, por exemplo, aproximar o valor de 1e através desses convergentes. Vamos compará-
los com os valores obtidos pela expansão em série de Taylor.
Queremos aproximar o valor 713678794411.01e . Fazendo 1x , obtemos os
seguintes valores:
Nº termos Convergentes Taylor
1 0 1
2 1 0
3 0.3333333333 0.5000000000
4 0.3684210526 0.3333333333 5 0.3678756477 0.3750000000
6 0.3678794561 0.3666666667
Tabela 1: Aproximação de 1e
Vimos neste exemplo que a expansão da função em fração contínua tem uma precisão maior do que a expansão em série de Taylor.
Referências
[1] Andrade, Eliana Xavier Linhares de, Cleonice Fátima Bracciali, “Frações contínuas:
propriedade e aplicações”, SBMAC, São Paulo, Plêiade, 2005.
[2] Lemes, Leandro Cruvinel, “Frações Contínuas, aproximações de números reais por racionais e números transcendentes”, Monografia, FAMAT-UFU, 2007.
[3] Olds, C.D., “Continued Fractions”, Random House, 1963.
[4] Santos, José Plínio de Oliveira, “Introdução à teoria dos números”, 3 ed, IMPA, Rio de Janeiro, 2009.
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