Introductionaucalculdesprobabiliteset`alastatistiqueExercices, Probl`emesetcorrectionsResponsabledepublication:EnapplicationduCodedelaProprieteIntellectuelleetnotammentdesesarticlesL.122.4, L. 122-5 et L. 335-2, toute representation ou reproduction integrale ou partielle faite sans leconsentement de lauteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite. Une telle representationoureproductionconstitueraitundelitdecontrefacon, punidetroisansdemprisonnementetde300000eurosdamende.Nesontautorisesquelescopiesoureproductionsstrictementreservees`alusagepriveducopisteetnondestinees`auneutilisationcollective,ainsique lesanalysesetcourtescitations,sousreservequesoientindiquesclairementlenomdelauteuretlasource.c LesPressesdelENSTA,ImprimeenFranceISBNwww.ensta.frJean-Fran coisDelmasIntroductionaucalculdesprobabiliteset`alastatistiqueExercices, Probl`emesetcorrectionsPARISLESPRESSESDELENSTA32,boulevardVictor,Paris15eTabledesmati`eresI Espacesprobabilises 9I.1 Denombrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.2 Formuleducribleetapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.3 Probabilitesconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II Variablesaleatoiresdiscr`etes 15II.1 Exercicesdemanipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.2 Jeudepileouface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.3 Loisconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.4 Modelisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20III Variablesaleatoirescontinues 25III.1 Calculsdeprobabilitesoudesperance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25III.2 Calculsdeloi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III.3 Modelisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27IV Fonctionscaracteristiques 33IV.1 Calculsdeloi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.2 Modelisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34V Theor`emeslimites 37V.1 Quelquesconvergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37V.2 Calculdelimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40V.3 Modelisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41VI VecteursGaussiens 47VI.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47VI.2 Proprietesetapplications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Tabledesmati`eresVII Simulation 51VIII Estimateurs 53IX Tests 61X Intervallesetregionsdeconance 73XI Controles`ami-cours 75XI.1 1999-2000:Lecollectionneur(I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75XI.2 2000-2001:Lecollectionneur(II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76XI.3 2001-2002:Leparadoxedubus(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79XI.4 2002-2003:LastatistiquedeMannetWhitney. . . . . . . . . . . . . . . . . 81XI.5 2003-2004:LeprocessusdeGaltonWatson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84XI.6 2004-2005:Theor`emedeCochran ;LoideBose-Einstein. . . . . . . . . 86XI.7 2005-2006:Leparadoxedubus(II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89XI.8 2006-2007:Formulededuplication ;Sondages(I) . . . . . . . . . . . . . . . 91XI.9 2007-2008:Lecollectionneur(III) ;LoideYule(I). . . . . . . . . . . . . . 94XI.10 2008-2009:Mathematiquesnanci`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97XI.11 2009-2010:Transmissiondemessage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100XII Controlesdendecours 103XII.1 1999-2000:Lemod`eledeHardy-Weinberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103XII.2 2000-2001:Estimationdelatailledunepopulation. . . . . . . . . . . . . 106XII.3 2001-2002:Comparaisondetraitements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109XII.4 2002-2003:Ensemencementdesnuages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114XII.5 2003-2004:Comparaisondedensiteosseuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117XII.6 2004-2005:Tailledesgrandesvilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122XII.7 2005-2006:Resistanceduneceramique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128XII.8 2006-2007:Geyser ;Sondages(II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131XII.9 2007-2008:LoideYule(II) ;Sexedesanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135XII.10 2008-2009:Comparaisondechantillonsapparies. . . . . . . . . . . . . . . . 140XII.11 2009-2010:Mod`eleauto-regressifpourlatemperature. . . . . . . . . . . 144XIII Corrections 149XIII.1 Espacesprobabilises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149XIII.2 Variablesaleatoiresdiscr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160XIII.3 Variablesaleatoirescontinues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177XIII.4 Fonctionscaracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195XIII.5 Theor`emeslimites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199XIII.6 VecteursGaussiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215XIII.7 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216Tabledesmati`eresXIII.8 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223XIII.9 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240XIII.10 Intervallesetregionsdeconance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264XIII.11 Contr oles`ami-cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267XIII.12 Contr olesdendecours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312Index 3777IEspacesprobabilisesI.1DenombrementExerciceI.1.Ontireauhasarddeuxcartesdansunjeude52cartes.1. Quelleestlaprobabilitepourquelacouleurdesdeuxcartessoitpique ?2. Quelleestlaprobabilitepourquelesdeuxcartesnesoientpasdelamemecouleur(pique,cur,carreau,tr`ee) ?3. Quelle est laprobabilite pour que la premi`ere carte soitun pique etla secondeuncur ?4. Quelleestlaprobabilitepourquilyaitunpiqueetuncur ?5. Quelleestlaprobabilitepourquilyaitunpiqueetunas ?ExerciceI.2.LejoueurAposs`ededeuxdes`asixfaces, etlejoueurBposs`edeunde`adouzefaces. Le joueur qui fait le plus grand score remporte la mise (match nul si egalite).CalculerlaprobabilitequeAgagneetlaprobabilitedavoirunmatchnul.Lejeuest-ilequilibre ?ExerciceI.3.Onconsid`ere une classede n el`eves.On suppose quil ny a pas dannee bissextile.1. Quelle est la probabilite, pn, pour que deux el`eves au moins aient la meme datedanniversaire ? Trouver le plus petit entier n1tel que pn1 0.5.Calculerp366.2. Quelle est la probabilite, qn, pour quaumoins unel`eve ait la meme datedanniversairequeSocrate ?Calculerqn1etq366.I EspacesprobabilisesExerciceI.4.Eug`ene et Diog`ene ont lhabitude de se retrouver chaque semaine autour dun verreetdedecider`apileoufacequi r`egleladdition. Eug`eneselamentedavoirpayelesquatrederni`eresadditionsetDiog`ene,pourfaireplaisir`asonami,proposedemodierexceptionnellementlar`egle: Eug`ene, tuvaslancerlapi`ececinqfoisettu ne paieras que si on observe une suite dau moins trois piles consecutifs oudaumoins troisfacesconsecutives.Eug`enese felicitedavoir unsi bonami.`A tortou`araison ?ExerciceI.5.Uneurnecontientrboulesrougesetbboulesbleues.1. Ontireavecremisep Nboules.Calculerlaprobabilitepourquilyaitprboulesrougesetpbboulesbleues(pr +pb= p).2. Ontiresansremisep r + bboules. Calculerlaprobabilitepourquilyaitprboulesrougesetpbboulesbleues(pr r,pb betpr +pb= p).3. Calculer, danslesdeuxcas, lesprobabiliteslimitesquandr , b etr/(b +r) ]0, 1[.I.2FormuleducribleetapplicationsExerciceI.6.Laformuleducrible.SoitA1, , Andes ev`enements.1. MontrerqueP(A1 A2) = P(A1) +P(A2) P(A1 A2).2. Montrerlaformuleducribleparrecurrence.P_n_i=1Ai_=n

p=1(1)p+1

1i1 x, Y y) pour tout (x, y) 0, , N2. En deduire la loi ducouple(X, Y ).ExerciceII.9.Ondesirerepondre`alaquestionsuivante: Peut-onreproduireleresultat dunlancerdun de equilibre `a onze faces, numerotees de 2 `a 12,comme la somme dunlancerdedeuxdes`asixfaces,numeroteesde1`a6,eventuellementdieremmentbiaises ?1. SoitXdeloi uniformesur 2, . . . , 12. VerierquelafonctiongeneratricedeXestunpolynome.Quellessontsesracinesreelles ?2.Etudierlesracinesdelafonctiongeneratriceassociee`alasommedunlancerdedeuxdes`asixfaces.Conclure.II.2JeudepileoufaceExerciceII.10.Deuxjoueurs lancentune pi`ecedemonnaieparfaitement equilibreenfoischacun.Calculerlaprobabilitequilsobtiennentlememenombre defoispile.17II Variablesaleatoiresdiscr`etesExerciceII.11.Les botes dallumettes de Banach1. Ce probl`eme est d u `a H. Steinhaus (1887-1972)quilededia`aS.Banach(1892-1945), luiaussigrandfumeur.Unfumeur a dans chacune de ses deuxpoches une bote dallumettes quicontientinitialementNallumettes.`Achaquefoisquilveutfumerunecigarette,il choisitauhasardunedesesdeuxpochesetprenduneallumettedanslabotequisytrouve.1. Lorsquil netrouveplusdallumettedanslabotequil achoisi, quelleestlaprobabilitepourquilrestekallumettesdanslautrebote ?2. Le fumeur cherchealors uneallumette dans sonautre poche. Quelleest laprobabilitepourquelautrebotesoitvide, cequisut` agacherlajournee ?Applicationnumerique :N= 20(laboteplate),N= 40(lapetitebote).ExerciceII.12.On consid`ere un jeu de pile ou face biaise : les variables aleatoires (Xn, n N) sontindependantes et de meme loi de Bernoulli de param`etre p ]0, 1[:P(Xn= 1) = pet P(Xn=0) =1 p. OnnoteTklinstant duk-i`emesucc`es : T1=infn 1; Xn= 1etpourk 2,Tk= infn Tk1 + 1; Xn= 1.1. MontrerqueT1etT2T1sontindependants.2. On pose T0= 0. Montrer que T1T0, T2T1, , Tk+1Tksont independantesetdememeloi.3. CalculerE[Tk]etVar(Tk).4. DeterminerP(Tk=n)directement. DonnerlafonctiongeneratricedeTk. LaloideTkestappeleeloibinomialenegativedeparam`etre(k, p).Onposs`ede une seconde pi`ece de param`etre ]0, 1[. Onnote linstant dupremier succ`es de laseconde pi`ece. Ondecide de jouer avec lapremi`ere pi`ecejusquau-i`emesucc`es(cest-` a-direT).5. Determinerlaloi deT`alaidedesfonctionsgeneratrices. ReconnatrelaloideT.6. Retrouverceresultat`alaidedunraisonnementprobabilistesurlespremierstempsdesucc`es.1Feller, An introductionto probabilitytheoryand its applications, Vol. 1. Third ed. (1968). Wiley&Sons.18II.3 LoisconditionnellesExerciceII.13.On consid`ere un jeu de pile ou face biaise : les variables aleatoires (Xn, n N) sontindependantes etde meme loide Bernoulli de param`etre p ]0, 1[:P(Xn= 1) = petP(Xn= 0) = 1 p.Onconsid`erelepremiertempsdapparitiondelasequence10:T= infn 2; Xn1= 1, Xn= 0,aveclaconventioninf = +.1. MontrerqueP(T< +) = 1.2. Calculer la loi de T, et montrer que Ta meme loi que U +Vo` u Uet Vsont desvariablesaleatoiresindependantes deloigeometriquedeparam`etrerespectifpet1 p.3. TrouverlafonctiongeneratricedeT.4. CalculerlamoyenneetlavariancedeT.ExerciceII.14.Soit (Xn, n 1) une suite de variables aleatoires independantes de loi de Bernoullideparam`etrep ]0, 1[, P(Xn=1)=petP(Xn=0)=1 p, etNunevariablealeatoire`avaleursdansNindependantede(Xn, n 1).OnposeS= 0siN= 0etS=

Nk=1Xksinon.OndesiredeterminerlesloisdeNtellesquelesvariablesSetN Ssoientindependantes.OnnotelafonctiongeneratricedeN.1. OnsupposequelaloideNestlaloidePoissondeparam`etre> 0: P(N=n) =nn!epour n N. Determiner laloide (S, N S). Reconnatrela loideS.VerierqueSetN Ssontindependants.OnsupposequeSetN Ssontindependants.2. Monterquepourtoutz [1, 1], (z)=((1 p) + pz)(p + (1 p)z). Onposeh(z) = (z)/(z),pourz ]0, 1[.Montrerqueh(z) = ph((1 p) +pz) +(1 p)h(p + (1 p)z).3. Onsupposep = 1/2.Verierqueh(z) = h((1 + z)/2).Endeduirequeh(z) =limr1h(r),puisquesoitN= 0p.s.,soitNsuituneloidePoisson.4. Onsupposep ]0, 1/2[.Montrer,ensinspirant delaquestionprecedente,quesoitN= 0p.s.,soitNsuituneloidePoisson.II.3LoisconditionnellesExerciceII.15.Soit (X1, . . . , Xn) une suite de variables aleatoires independantes de loi de Bernoullideparam`etrep ]0, 1[.OnnoteSn=

ni=1Xi.19II Variablesaleatoiresdiscr`etes1. Calculerlaloide(X1, . . . , Xn)conditionnellement`aSn.2. CalculerlaloideXiconditionnellement`aSn(pourn i).3. Les variables X1et X2sont-elles independantes conditionnellement `a Sn(pourn 2) ?ExerciceII.16.SoitXetY deuxvariablesaleatoiresindependantesdeloigeometriquedememeparam`etrep ]0, 1[.1. Calculer les fonctions generatrices de Xet de Y , en deduire celle de S= X+Y .CalculerP(S= n)pourn N.2. DeterminerlaloideXsachantS.EndeduireE[X[S].3. VerierlaformuleE[E[X[S]] = E[X].II.4ModelisationExerciceII.17.Optimisationdeco uts. Leco utdedepistagedelamaladieM`alaideduntestsanguinestc. LaprobabilitequunepersonnesoitatteintedelamaladieMestp. Chaquepersonneest maladeindependamment des autres. Pour eectuer undepistageparmiNpersonnes,onproposelesdeuxstrategiessuivantes:Strategie1: Untestparpersonne.Strategie2: OnsupposequeN/nestentieretonregroupelesNpersonnesenN/ngroupesdenpersonnes. Pargroupe, onmelangelesprel`evementssanguinsdesnpersonnesetoneectueletest. Si ondetectelamaladieMdans le melange, alors on refait un test sanguin pour chacune des n personnes.Calculer leco ut delastrategie 1, puis le co ut moyendelastrategie 2. Onsupposeranp 1, et onmontreraquen p1/2est unetaille qui minimisecorrectement le co ut moyende lastrategie 2. Quelle strategie choisissez-vous ?Illustrervosconclusionspourlecaso` up = 1%.Cettedemarche a eteutiliseeinitialementparR.Dorfman2,durant laSecondeGuerre mondiale, dans un programme commun avec lUnited States Public HealthService et le Selective Service System, an de reformer les futurs appeles du contin-gentayantlasyphilis(tauxdesyphilisenAmeriquedunord: delordrede1%2The detection of defective numbers of large populations, Ann. Math. Statist. 14, 436-440 (1943).20II.4 Modelisation`a2%dans les annees 1940et delordrede5`a20pour 100000en1990). Denombreusesgeneralisationsontensuite ete etudiees.ExerciceII.18.Ondesiremodeliser laloi dutemps dattentedunepannedemachine`alaidedune lois sans memoire : la probabilite pour que la machine tombe en panne apr`esladatek + nsachantquellefonctionne`alinstantnestindependanteden.Plusprecisement, onditquunevariablealeatoireX`avaleursdans Nestdeloi sansmemoiresi P(X> k +n[X> n)estindependant den Npourtoutk N.1. Montrerquelaloigeometriquedeparam`etrepestsansmemoire.2. CaracterisertouteslesloissansmemoiredesvariablesaleatoiresX`avaleursdansN.OnpourracalculerP(X> 1 +n)enfonctiondeP(X> 1).3. CaracterisertouteslesloissansmemoiredesvariablesaleatoiresX`avaleursdansN.ExerciceII.19.LaFrancea eu38medaillesdont 13doraux jeux olympiques de Sydney en2000,sur928medaillesdont301dor. Onestimelapopulation`a6milliardsdont60millions en France. Peut-on dire que les sportifs de haut niveau sont uniformementrepartisdanslapopulationmondiale ?ExerciceII.20.Onsinteresse auxnombres de suites typiques contenant des 0oudes 1. Plusprecisement, onconsid`erenlensembledes suites =(1, . . . , n) 0, 1nmuni delaprobabiliteP()=pPni=1iqnPni=1 i. Ondenitlesous-ensemblededessuitestypiquesdelongueurnpar:Cn=_ n;1nn

i=1ip n_,o` u limnn= 0 et limnnn= +. Le but de lexercice est de montrer quelensembleCnestdeprobabiliteprochede1etdestimersoncardinal (qui peutetresignicativementpluspetitqueceluidenquivaut2n).1. Soit ]0, 1[.Montrer,`alaidedelinegalitedeTchebychevquepournassezgrand,onaP(Cn) 1 .21II Variablesaleatoiresdiscr`etesOn denit lentropie de la loi de Bernoulli de param`etre p par Hp= p log(p)(1 p) log(1 p).2. Pourquellevaleurdeplentropieest-ellemaximale ?3. Montrerquepournassezgrand,onapourtout Cn:en(Hp+n) P() en(Hpn/2) en(Hpn),avec0 n= cpn,laconstantecpdependantseulementdep.4. Montrerquepourtoutnassezgrand,ona:en(Hpn) Card (Cn) en(Hp+n),5. Quelresultatobtenez-voussip = 1/2,sip 0oup 1 ?Certainestechniquesdecompressionconsistent`atrouverlessuitestypiquespourune longueur n xee, et `a les coder par des sequences courtes (do` u la compression).La contre-partie est que les suites non-typiques sont codees par des sequences pluslongues. Comme les suites non-typiques sont tr`es rares, elles apparaissent peusouventetdonclacompressionestpeudegradeeparlessuitesnon-typiques. Lacompressionestdautantplusimportantequelensembledessuitestypiquesestpetit. Dans le cas de sequences aleatoires traitees dans cet exercice, cela correspondauxcasp 0oup 1.ExerciceII.21.Onsouhaitemodeliserdesphenom`enesquiserep`etent`adesintervallesdetempsaleatoiresindependantsetidentiquementdistribues(theoriedesprocessusdere-nouvellement). On ne peut pas predire la date o` u ces phenom`enes vont se produiremais on peut estimer la probabilite que ces phenom`enes se produisent `a un instantndonne,pourn N,P(lephenom`eneseproduit` alinstantn) = vn.Lobjetif decetexerciceestdutiliserlesfonctionsgeneratricespourcalculercesprobabilites enfonctiondes lois des intervalles de temps aleatoires, puis, dendeduire les lois des intervalles de temps quand les probabilites vn sont stationnaires,i.e.independantesden.OnnoteTnlinstantden-i`emeoccurrenceduphenom`eneconsidere. OnposeX1= T1,etpour n 2,Xn= TnTn1,lintervalledetempsouletemps ecouleentrelan-i`emeetla(n 1)-i`emeoccurrenceduphenom`ene.Onsupposequelesvariablesaleatoires(Xn, n 1)sontindependantes,queX1est`avaleursdansNet que les variables aleatoires(Xn, n 2) sont identiquement distribuees `a valeurs22II.4 ModelisationdansN.LaloideX1estapriori dierentedecelledeX2carlechoixdutemps`apartirduqueloncommence`acompterlesoccurrencesestarbitraire.Pourk N,onposebk=P(X1= k)etpours [1, 1],B(s) =

k=0bksklafonctiongeneratricedeX1.Pourk N,onposefk=P(X2= k)(avecf0= 0)etpours [1, 1],F(s) =

k=0fksklafonctiongeneratricedeX2.Ondenitu0= 1et,pourj 1,uj= P_k

i=2Xi= jpourunk 2, . . . , j + 1_.Pours ] 1, 1[,onposeU(s) =

n=0snunainsiqueV (s) =

n=0vnsn.1. VerierquelesfonctionsUetV sontbiendeniespours ] 1, 1[.2. Montrerquevn=bnu0 + bn1u1 + bn2u2 ++ b0un.Endeduirequepours ] 1, 1[,onaV (s) = B(s)U(s).3. Montrerqueun= f1un1 +f2un2 + +fnu0.EndeduirequeV (s) =B(s)1 F(s)pours ] 1, 1[. (II.1)Onsupposequelesprobabilitesvnsontstationnairesetnontriviales,i.e.ilexistep ]0, 1[etvn= ppourtoutn 0.4. CalculerV .Calculerb0.Montrer,encalculantlesderiveessuccessives deFenfonctiondecellesdeB,quefn=bn1bnppourtoutn 1.5. Onsupposedeplusquelechoixarbitrairedutemps`apartirduqueloncom-mence`acompterlesoccurrencesnechangepasleprocessusdesoccurrences:plusprecisementsi il nyapasdoccurrence`alinstantinitial, alorsletempsdelapremi`ereoccurrenceamemeloiqueX2.Autrementdit,onsupposequelaloi deX1sachant X1>0estlaloi deX2. MontreralorsqueX2suitlaloigeometriquedeparam`etrep,i.e.fn= p(1 p)n1pourn 1,etqueX1amemeloiqueX2 1.Ce mod`elesimple permet,parexemple,de rendre comptedes temps darriveesdesparticules`auncompteurGeiger:lesprobabilitesdobserverlarriveeduneparticuleaucompteurGeigernevariepasavecletempsdobservation(regimestationnaire),et lechoix du debut des mesures ne change pas la loidattente de lapremi`ere mesure. Avec une discretisation reguli`ere du temps, on peut modeliser lesintervalles de temps entre deux arrivees de particules par des variables aleatoiresindependantesdeloigeometrique.23IIIVariablesaleatoirescontinuesIII.1CalculsdeprobabilitesoudesperanceExerciceIII.1.SoitlafonctionfdeniesurRpar:f(x) = xex2/21x>0.1. Verierquefestunedensitedeprobabilite.2. SoitXunevariablealeatoirecontinuedontlaloi apourdensitef. MontrerqueY =X2estunevariablealeatoirecontinue,dontonpreciseraladensite.ReconnatrelaloideY .3. CalculerlesperanceetlavariancedeYExerciceIII.2.On consid`ere une galettedes rois circulaire de rayon R, une f`eve de rayon rcacheedanslagalette(R>2r >0). Calculer laprobabilitedetoucher lafevequandondonnelepremiercoupdecouteaudanslagalette. (Onsupposequelecoupdecouteaucorrespond`aunrayondelagalette.)Donnerunequivalentdecetteprobabilitepourrpetit.ExerciceIII.3.On consid`ere un gateau circulaire avec une cerise sur le bord. On decoupe le gateauendeuxpartsencoupantsuivantdeuxrayonschoisisauhasard.1. Avecquelleprobabilitelapartcontenantlaceriseest-ellepluspetitequelapartnecontenantpaslacerise ?2. Quelleestlalongueurangulairemoyennedelapartcontenantlacerise ?III VariablesaleatoirescontinuesExerciceIII.4.Onconsid`ereunb atonsurlequel ontraceauhasarddeuxmarques.Ondecoupeleb atonsuivantlesdeuxmarques.Quelleestlaprobabilitepourquelonpuissefaireuntriangleaveclestroismorceauxainsiobtenus ? ExerciceIII.5.Soit (Xn, n 1) une suite de variables aleatoires independantes de loi exponentielledeparam`etrerescpectif n>0. Montrerquelestroisconditionssuivantessontequivalentes.1.

n11n< .2. E_

n1Xn_< .3. P_

n1Xn< _> 0.Pour3 1,onpourraconsidererE[ePn1 Xn].III.2CalculsdeloiExerciceIII.6.SoitY unevariablealeatoiredeloiexponentielle > 0etunevariablealeatoirediscr`ete independante de Yet tellequeP( = 1) = P( = 1) = 1/2.MontrerquelaloidelavariablealeatoireZ= Y poss`edeunedensiteetlacalculer.Cetteloiestappeleeloiexponentiellesymetrique. ExerciceIII.7.SoitXetY deuxvariablesaleatoiresindependantesdeloi respective(, a)et(, b)aveca, b, ]0, [.1. Calculerlaloiducouple(X +Y,XX +Y).2. MontrerqueX +Y etXX +Ysontindependantesetidentierleurloi.ExerciceIII.8.SoitXunevariablealeatoiredeCauchy.1. Determinerlaloide1/X.26III.3 Modelisation2. MontrerquesiY etZsontdeuxvariablesgaussiennescentreesreduitesinde-pendantes,alorsY/ZsuituneloideCauchy.3. Retrouverainsileresultatdelaquestion1.ExerciceIII.9.SoitX1, X2desvariablesaleatoiresindependantesdeloi ^(0, 1).1. MontrerqueX21suitlaloi2(1).2. MontrerqueX21+X22suitlaloi2(2).ExerciceIII.10.Soitn 2etX1, . . . , Xnunesuitedenvariablesaleatoiresindependantesdeloiuniformesur[0, 1].OnnoteY= min1inXietZ= max1inXi.1. Calculerlaloide(Y, Z).2. EndeduirelaloideY etlaloideZ.Reconnatrecesdeuxlois.3. CalculerE[Y [Z].4. CalculerE[g(Y/Z)[Z],pourunefonctiongmesurablebornee.Endeduirepuisreconnatrelaloi deY/Zconditionnellement`aZ. Retrouverleresultatdelaquestion3.5. Montrerque(1 Z, 1 Y )amemeloique(Y, Z).6. Endeduireque(1 Z)/(1 Y )estindependant deY .III.3ModelisationExerciceIII.11.La duree de vie, exprimee en annees, dun circuit electronique est une variable alea-toire Tdont la fonction de repartition Fest denie par : F(t) = (1et2/2)1t0.1. DonnerladensitedeprobabilitefdeT.CalculerE[T].2. Sachantquelecircuitadej`afonctionnedurant1an,quelleestlaprobabilitequil continue `afonctionnerencoredurant aumoins 2ans ? Laloiest-ellesansmemoire ?UnequipementelectroniqueEestcomposede10circuitsidentiquesetindepen-dants.Aucircuiti(1 i 10)estassocieelavariablealeatoireXi,avecXi= 1siladureedevieducircuitiestinferieure`aunanetXi= 0sinon.27III Variablesaleatoirescontinues3. Quelle est la loi du nombre, N, de circuits de E dont la duree de vie est inferieure`a1an ?4. LequipementE estditenseriesi ladefaillancede lundesescircuitsentranesadefaillance.Quelleestalorslaprobabilitequilsoitdefaillantavant1an ?5. LequipementEestditenparall`elesi sadefaillancenepeutseproduirequesi tous ses circuits sont defaillants. Quelleest alors laprobabilitequil soitdefaillantavant1an ?ExerciceIII.12.Onutilisedesf utspourstockerundechettoxiqueliquide.Onsupposequesurlatr`es longueperiodede stockagelesf uts sedegradent. Enparticulier, parcorrosiondes perforations aleatoires apparaissent sur les f uts. Leliquidetoxiquesecoulealorsparcesperforations.Onconsid`erenf uts dehauteur het onsupposequelenombredeperfora-tionsparf utsuituneloi dePoissondeparam`etreetquecesperforationssontuniformementrepartissurlahauteurduf ut.Onsinteresse`aunseulf ut.1. On note Zla variable aleatoirecorrespondant `a la hauteur de la perforationlaplusbassesurlecoteduf utetNlavariablealeatoiredonnantlenombredeperforationssurcef ut.DonnerlaloideZconditionnellement`aN.2. Quelpourcentagedeliquidepeut-onespererconserverconnaissantlenombredeperforationsduf ut ?Onconsid`erelensembledesnf uts,avecngrand.3. Quelpourcentageduliquidetoxiquepeut-onespererconserver ?Applicationnumerique : = 5.ExerciceIII.13.Leparadoxe deBertrand1estunexempleclassique(cflelivreCalcul desprobabi-lites dePoincareen1912), qui metenevidenceladicultedetendrelaformuleclassiquedesprobabilitesuniformes:Probabilitedun ev`enement =nombre deresultatsfavorablesnombrederesultatspossiblesauxespacesdetatsnondenombrables.1JosephBertrand,mathematicienfrancais(1822-1900).28III.3 ModelisationOnchoisitauhasardunecordesuruncerclederayonretdecentreO. OnnoteLsalongueur.Pourlestroischoixci-dessousdelacorde,donnerlaloideL,sonesperance, sa variance et p = P(L >3r) la probabilite pour que la corde soitpluslonguequelecotedutriangleequilateral inscrit(i.e. ladistancedelacordeaucentreducercleestinferieure`ar/2).1. OnsedonneunrayonauhasardetunpointJuniformement surlerayon.LacordechoisieestperpendiculaireaurayonetpasseparJ.2. OnchoisitlacordeABo` uAetBsontchoisisindependammentetuniforme-ment sur le cercle. On pourra faire intervenir langle au centre

AOBet montrerquilestdeloiuniformesur[0, 2].3. On choisit le milieu de la corde, I, uniformement dans le le disque : les coordon-nees (X, Y ) de Isuivent la loi uniforme sur le disque de densite1r21x2+y2r2.Quelleestvotreconclusion ?ExerciceIII.14.Les vehicules spatiaux desirant sarrimer ` a la Station Spatiale Internationale (ISS)sappuient sur lesyst`emedeguidageGPS(Global Positioningsystem) pour laphasedapprochedelastation.Cependant,`afaibledistancedelISS,lessignauxemitsparlaconstellationdesatellites qui constituentlesyst`emeGPSsontfor-tementperturbesparlesphenom`enesdereexionsmultiplessurlastructureme-talliquedelastation. Londeelectromagnetiquere cuepar lerecepteur GPSduvehiculespatial sepresentedonccommelasuperpositiondedeuxondesenqua-draturedont lesamplitudes XetY sont desvariablesaleatoiresdeloigaussienne^(0, 2)supposees independantes (pourdes raisons disotropie).Letude delam-plitudeR=X2+Y2delondere cueestdepremi`ereimportancepourassurerunguidageableduvaisseaulorsdelamanuvredarrimage2.1. Quelleestlaloiducouple(X, Y ) ?2. EnfaisantlechangementdevariableX= Rcos , Y= Rsin ,donnerlaloiducouple(R, ).3. MontrerqueRet sontindependants. Reconnatrelaloi de. Donner ladensitedelaloideR.CetteloiestappeleeloideRayleigh.4. CalculerlesperanceetlavariancedeR.2D. E. Gaylor, R. Glenn Lightsey, K. W. Key. Eects of Multipath and Signal Blockageon GPSNavigationintheVicinityoftheInternationalSpaceStation(ISS),IONGPS/GNSS(2003),Portland,OR.29III VariablesaleatoirescontinuesExerciceIII.15.LaiguilledeBuon(1777). Onlancedesaiguillesdelongueursurunparquetdontleslamessontparall`eles, toutesidentiquesetdelargeurd>. Leslancerssontindependantsetseectuenttousdanslesmemesconditions. Onparam`etrelapositionduneaiguilleparrapportauxlamesdeparquetparlabscissedesonmilieu, X, et sa direction, donnee par langle , quelle fait par rapport `a une droiteorthogonale`aladirectiondeslames.1. Traduirelefaitquuneaiguillecoupeunerainureduparquet`alaidedesva-riablesXet.2. Proposerunmod`elepourlaloide(X, ).Calculerlaprobabilitepourquuneaiguillecoupeunerainureduparquet.3. OneectuenlancersetonnoteNnlenombredaiguillescoupantunerainureduparquet.Quevaut limnNnn?4. Onsupposeque2= d.Trouvernpourquelaprecisionsur1/soitde102avecuneprobabilitedaumoins95%.5. On eectue355lancers avec 2 = d,et onobtient 113intersections. On a ainsiuneapproximationde1/`a3.107.Ceresultatest-ilencontradictionavecleresultat de la question precedente ? Que devient la precision de lapproximationavecunlancerdeplus ?ExerciceIII.16.Votreamichoisitdeuxnombrespositifssansvousfairepartdelamani`eredontilleschoisit. Apr`esavoirlanceunepi`eceequilibree, il vousdonnelepluspetitsilaobtenufaceetleplusgrandsinon. Vousdevezpariersil vousadonnelepluspetitoule plus grand. Votreobjectif est de maximiservotre probabilite de gagnervotrepari.1. Vous lancez une pi`ece equilibree ou non. Si vous obtenez face, vous pariez quilvousadonnelepluspetit,sinonvouspariezquilvousadonneleplusgrand.Quelleestlaprobabilitedegagnervotrepari ?2. Vous simulezunevariablealeatoire positivecontinueZayant pour supportR+(i.e. P(Z O) >0pour tout ouvert Ononvidede R+). Si lenombredonneparvotreamiestpluspetitqueZ,alorsvouspariezquilvousadonnelepluspetit, sinonvouspariezquilvousadonneleplusgrand.Quelleestlaprobabilitedegagnervotrepari ?3. On suppose que les deux nombres de votre ami, ont ete obtenus par simulationsuivantuneloi(continuededensitestrictementpositivesur]0, [)donneeet30III.3 Modelisationconnuedevous.Determinervotrestrategieoptimale(i.e. laloi deZquelonne suppose plus continue). Quelle est alors la probabilite de gagner votre pari ?ExerciceIII.17.Ondesire determinerladistribution des vitessesdes moleculesdun gazmonoato-miqueparfait`alequilibre(loideMaxwell(1859)).1. Soit(X, Y, Z), unvecteuraleatoirecontinu`avaleursdans R3dontlaloi estinvarianteparrotationautourdelorigineetdontlescomposantesX, Y, Zsont independantes. Caracteriser3lesloismarginalesdeX, YetZdans lecaso` ulesdensitesdesloismarginalessontdesfonctionsdeclasseC1.2. On represente la vitesse dune molecule dun gaz monoatomique parfait `a lequi-libredansunrep`ereorthonormalparunvecteuraleatoireV= (V1, V2, V3).Lechoixdurep`ereetantarbitraire,ilestnatureldesupposerquelaloideV estinvarianteparrotation.IlestdeplusnatureldesupposerquelescoordonneesdeV sontindependantes. Si onsupposedeplusquelaloi deV poss`edeunedensitederivable, onendeduit quelevecteur V verieles proprietes delaquestion1. Determinerladensitedeprobabilitedelavitessedunemolecule,sachantquelenergiecinetiquemoyennedunatomedugazdemassemest32kTo` u kest la constante de Boltzmann et Tla temperature du gaz. (Pour desmolecules `a plusieurs atomes, lenergie cinetique moyenne tient compte deetscomplexescommelarotation, lesoscillations... Laloi deMaxwell nestplusverieedanscescas.)3. Montrer que si Xet Y sont deuxvariables aleatoires independantes de loirespective(, a)et(, b),alorslaloideX +Y estuneloigammadontonpreciseralesparam`etres.4. Calculer la loi de V21 . En deduire la loi de [V [2et la loi de [V [ =_V21+V22+V23diteloideMaxwell.3Enfait, onpeut, enutilisant les fonctions caracteristiques, caracteriser toutes les lois desvecteursaleatoiresquisontinvariantesparrotationautourdelorigineetdontlescoordoneessont independantes, voir lexercice IV.5. Hormis la variable nulle, on ne trouve pas dautres loisquecellesobtenuessousleshypoth`esesdecetexercice.31IVFonctionscaracteristiquesIV.1CalculsdeloiExerciceIV.1.Proprietesdesloisgamma.1. SoitX1, X2deuxvariablesaleatoiresindependantesetdeloi gammadepa-ram`etresrespectifs(, 1)et(, 2).(Leparam`etreestidentique.)MontrerquelaloideX1 +X2estuneloigammadeparam`etre(, 1 +2).2. Soit(Xn, n N)unesuitedevariablesaleatoires independantesdeloi ex-ponentielle de param`etre >0. Donner la loi de la moyenne empiriqueXn=1n

ni=1Xi.ExerciceIV.2.Soit Y unevariablealeatoiredeloi exponentielledeparam`etre>0et unevariablealeatoireindependantedeY ettellequeP( = 1) = P( = 1) = 1/2.1. CalculerladensiteetlafonctioncaracteristiquedeZ=Y . Laloi deZestappeleeloiexponentiellesymetrique.2. EndeduirelafonctioncaracteristiquedelaloideCauchy.ExerciceIV.3.Soit N une variable aleatoire de carre integrable et `a valeurs dans N. Soit(Xk, k N) unesuitedevariables aleatoires reelles, dememeloi, decarrein-tegrable, independantesetindependantesdeN. OnposeS0=0, etpourn 1,Sn=

nk=1Xk.1. CalculerE[SN]etVar(SN).IVFonctionscaracteristiques2. Calculer la fonction caracteristique de SNet retrouver les resultats precedents.ExerciceIV.4.SoitXunevariablealeatoirereelledontlafonctioncaracteristiqueestX(u).1. MontrerqueXestsymetrique(i.e.Xet Xontmemeloi)sietseulementsiX(u) Rpourtoutu R.2. Montrerque [X(u)[2estlafonctioncaracteristiquedunevariablealeatoirereelle.Onpourra ecrire [X(u)[2commeleproduitdedeuxfonctions.3. Que peut-on dire `a propos des fonctions caracteristiques des variables aleatoiresreellesdontlaloi estsymetriqueparrapport`aa ,=0(i.e. Xet2a Xontmemeloi) ?ExerciceIV.5.SoitX= (X1, . . . , Xd)unvecteuraleatoire`avaleursdansRd.OnsupposequelaloideXestinvarianteparrotationetquelesvariablesaleatoiresX1, . . . , Xdsontindependantes.LebutdecetexerciceestdedeterminerlaloideX.OnnoteX1lafonctioncaracteristiquedeX1.1. Onposeg(x) = X1(x)pourx 0.Verierquegestreelleetsolutionde:d

k=1g(vk) = g_d

k=1vk_, pourtoutv1, . . . , vd [0, [. (IV.1)2. EndeduirequeX1(u1)= e2u21/2,pour 0.MontrerquesoitX= 0p.s.soitX1, . . . , Xdsontdememeloigaussiennecentree.IV.2ModelisationExerciceIV.6.Laloi de defaut de forme est utiliseepour lamatrisestatistiquedes procedes(MSP). Cette loi est decrite dans les normes AFNOR(E60-181) et CNOMO(E4132120N)etsert`aquantierlesdefautsgeometriquesdetypeplaneite,pa-rallelisme,circularite.Ilsagitdelaloide [X Y [o` uXetY sontdeuxvariablesaleatoiresindependantessuivantrespectivementlesloisgaussiennes ^(x, 2x)et^(y, 2y).34IV.2 Modelisation1. CalculerlaloideX Y .2. EndeduirelaloideZ= [X Y [.3. CalculerE[Z]etVar(Z).35VTheor`emeslimitesV.1QuelquesconvergencesExerciceV.1.Soit (Xn, n N) une suite de variables aleatoires de loi exponentielle de param`etren.Etudierlaconvergenceenloidanslestroiscassuivants:1. limnn= ]0, [,2. limnn= +,3. limnn= 0.ExerciceV.2.Soit (Un, n 1) une suite de variables aleatoires independantes de loi uniforme surlintervalle[0, ],o` u > 0.Onposepourn 1,Mn= max1inUi.1. Montrerque(Mn, n 1)convergep.s.etdeterminersalimite.Onpourra cal-culerP([Mn [ > )pour > 0.2.Etudierlaconvergenceenloidelasuite(n( Mn), n 1).ExerciceV.3.Soit(Xn, n 1)unesuitedevariablesaleatoiresindependantesdeloideCauchyde param`etre a > 0. On noteSn=

nk=1Xk.Etudier lesconvergences en loietenprobabilitedessuitessuivantes.1._Snn, n 1_.VTheor`emeslimites2._Snn2, n 1_.3._Snn, n 1_.Onpourradeterminerlaloi deS2n2nSnn,etendeduirequelasuite_S2n2nSnn, n 1_neconvergepasenprobabilitevers0.Onmontreraalors que lon ne peut avoir la convergence en probabilite de la suite_Snn, n 1_.ExerciceV.4.SoitXNunevariablealeatoiredeloi hypergeometriquedeparam`etre(N, m, n).OnrappellequeXNrepresentelenombredeboulesblanchesobtenueslorsduntiragesansremisedenbouleshorsduneurnecontenantmboulesblanchesetN mboulesnoires.1. VerierqueP(XN= k) =CkmCnkNmCnN=CknCmkNnCmNpourn N +m k metn k 0.2. On suppose que le nombre de boules blanches, m, est xe, n et Ntendent vers+aveclimN+n/N= p [0, 1](pestlaproportionlimitedunombredeboulesobtenueslorsdutirage). Montrerquelasuite(XN, N N)convergeenloiverslaloibinomialedeparam`etre(m, p).3. On suppose que letirageestde taillen estxe, m et Ntendent vers + aveclimN+m/N= [0, 1] (estlaproportionlimitedunombredeboulesblanchesdanslurne).Montrerquelasuite(XN, N N)convergeenloiverslaloibinomialedeparam`etre(n, ).ExerciceV.5.Majorationdutheor`emedesgrandesdeviations.Soit(Xn, n 1)unesuitedevariablesaleatoiresindependantesetdememeloi queX. OnsupposequeXest unevariable aleatoire borneenonconstantede moyenne =E[X]. Le but de cet exercice est de trouver une majorationexponentielledelevenementrare_ Xn )_avec > 0,o` uXn=1nn

i=1Xi.Cette majoration est un exemple particulier des resultats de la theorie des grandesdeviations1.1Lestheor`emesdesgrandesdeviationsetudientlesequivalentslogarithmiquesdesprobabilitesdev`enementsrares. Lexempletypiquedev`enementconsidereest{ Xn E[X1]>}, dont38V.1 QuelquesconvergencesOnnotelatransformeedeLaplacedeXdeniepar () =E[eX] pour R.1. MontrerqueestdeclasseC.Calculersesderivees.2. Montrerque()2 .Endeduirequelafonction = log()estconvexe.Verierque(0) = 0.Onconsid`erelatransformeedeLegendrede,I,deniepourx Rpar:I(x) = supRx () .3. MontrerqueIestconvexe,positiveetnulleen.4. MontrerqueP( Xn +) e(+)+n(/n)pour 0.Endeduireque:P( Xn +) enI(+)= eninfI(x);x+.5. Montrerque:P( Xn ) 2 eninfI(x);[x[. (V.1)6. Calculerexplicitementlamajorationexponentiellequand Xsuit laloide Ber-noullideparam`etrep ]0, 1[.Lamajorationexponentielle(V.1)estenfaitvraiepourdesvariablesaleatoiresnonbornees. Latheoriedes grandes deviations permetegalement dobtenir unequivalentlogarithmiquedeP( Xn ).ExerciceV.6.Oneectuenseriesde400tiragesdepileoufaceavecunepi`eceequilibree. OnobservelesfrequencesempiriquesdepileF1, . . . , Fndanscesseries.1. Quelleest(approximativement)laloideprobabilitedunombreNdecesfre-quences(Fi, 1 i n)qui neverientpaslacondition0.45 0etfestuneapplicationcontinueborneedeRdansR.40V.3 ModelisationExerciceV.9.Soit(Xn, n 1)unesuitedevariablesaleatoiresindependantesdeloidePoissondeparam`etre1.OnnoteSn=

nk=1Xk.1. MontrerqueSn nnLoin^(0, 1).2. Determiner la loi de Sn, puis montrer que limnen(1+n+ n22!+ + nnn! ) =12.V.3ModelisationExerciceV.10.LeparadoxedeSaint-Petersbourgestdabordunprobl`emeimagineparNicolasBernoulli, qui obtint unesolutionpartielle donneepar Daniel Bernoulli (1738)dans les Commentaires de lAcademiedes sciencesde Saint-Petersbourg (do` usonnom). Aujourdhui encore, ce probl`eme attire lattention de certaines personnes enmathematiqueseten economie2.Un casino propose le jeu suivant qui consiste `a lancer plusieurs fois de suite unepi`eceequilibreejusqu`aobtenirpile. Lejoueurgagne2keurossi lepremierpilealieuauk-i`emejet.Laquestionestdesavoirqueldoitetreleprix` apayerpourparticiper`acejeu.SoitXnlegainrealiselors dun-i`emejeuetSn= X1 + +Xnlegainobtenulorsdenjeuxsuccessifs.1. Peut-onappliquerlaloi fortedesgrandsnombrespourdonnerunprixequi-table ?Lesfonctionsdutilitequiquantientlaversionaurisquepermettentdeproposerdes prix pour ce jeu. La suite de lexerciceest consacre `a letude de la convergencedelasuite(Sn, n 1)convenablementrenormalisee3.2. OnposeSn=

nk=1Xnk,o` upourk 1, . . . , n:Xnk= Xk1Xknlog2n,o` ulog2xestlelogarithmeenbase2dex > 0:2log2x= x.Apr`esavoirveriequepourtout > 0:2Voirparexemplelarticlesuivantetlesreferencescitees: G. SzekelyandD. Richards, TheSt.Petersburgparadoxandthecrashofhigh-techstocksin2000, Amer. Statist. 58,225231(2004).3Feller, An introductiontoprobability theoryand its applications, Vol. 1. Third ed. (1968). Wiley&Sons.41VTheor`emeslimitesP_Snnlog2n 1> _ P_Sn E[Sn]nlog2n> /2_+P_E[Sn]nlog2n 1> /2_, (V.2)montrerquelasuite_Snnlog2n, n 1_convergeenprobabilitevers1.3. CalculerP(Sn ,= Sn),etendeduiresalimitequandntendverslinni.4. Endeduirequelasuite_Snnlog2n, n 1_convergeenprobabilitevers1.ExerciceV.11.Precisiondessondages.1.`Aquelleprecisionpeutpretendreunsondagesurdeuxcandidatseectuesurunechantillonde1000personnes ?Est-cequeceresultatdependdelatailledelapopulation ?2. EnFloride,pourlelectionpresidentielle americaineen2000,oncompte6mil-lionsdevotants. Sachantquil yaeuenviron4000voixdecart, quel estlenombredepersonnesquilauraitfalluinterrogerdansunsondagepoursavoiravec95%dechancequiallaitetrelevainqueur ?ExerciceV.12.RepartitiondesbombessurLondreslorsdelaSecondeGuerreMondiale4.1. Soit(Ym, m N)unesuitedevariablesaleatoires deloi binomialedepara-m`etres(m, pm). Onsupposequemtendverslinni etquelimmmpm= ]0, [. Montrer quelasuite(Ym, m N) convergeenloi vers laloi dePoissondeparam`etre.Cetteapproximationestutilequandmestgrandcarlecalcul numeriquedescoecientsbin omiauxCmkestpeuecace.2. Les donnees suivantes representent le nombre de bombes qui sont tombees danslesuddeLondres pendantlaSecondeGuerreMondiale5.LesuddeLondresaetediviseenN= 576domainesdetaille0.25km2chacun.OnarecensedanslatableV.1lenombreNkdedomainesquiont etetouchesexactementkfois.4Feller, W. AnIntroductiontoProbabilityTheoryandApplications, Wiley, 3rdedition, vol. 1,pp.160-1615ClarkeR. D., Anapplicationof thePoissondistribution, J. of Instituteof Actuaries (1946),72,p.481.42V.3 Modelisationk 0 1 2 3 4 5+Nk229 211 93 35 7 1.Tab. V.1. NombreNkdedomainesdusuddeLondresqui ontetetouchesparexactement kbombes.Faireunmod`elesimplequirepresente cetteexperience.Lenombre totaldim-pactsdanslesuddeLondres estT=

k1kNk= 537.Calculerlesprobabili-tes theoriques pour quun domaine contienne exactement kimpacts. CompareraveclesfrequencesempiriquesNk/Nci-dessus.ExerciceV.13.Lobjectif de cet exerciceest de demontrer le theor`eme suivant d u `a Borel(1909):Toutnombrereel choisi auhasardetuniformementdans[0, 1] estpresques ure-mentabsolumentnormal.Soitx [0, 1],etconsideronsson ecritureenbaseb 2:x =

n=1xnbn ,avecxn 0, . . . , b 1.Cetteecritureestunique,saufpourlesfractionsration-nelles delaformex=a/bnet a 1, . . . , bn 1. Eneet, danscecas, deuxrepresentationssontpossibles: lunetellequexk=0pourk n + 1etlautretellequexk= b 1pourk n + 1.Onditquexestsimplementnormalenbasebsietseulementsipourtouti 0, . . . , b 1, limn1n Card 1 k n; xk= iexisteetvaut1/b.Celarevient`adirequelesfrequencesdapparitiondeidansledeveloppementdexenbasebsontuniformes.Onditquexestnormalenbasebsietseulementsiilestsimplementnormalenbase brpour toutr N.Remarquons quun nombre estnormal enbase b si etseulement si pour tout r N, la frequence dapparition dune sequence donnee delongueurr, dansledeveloppementde xestuniforme (etvautdonc 1/br)i.e.pourtouti 0, . . . , b 1r:limn1n Card 0 k n; (xrk+1, . . . , xr(k+1)) = i =1br.Le nombre de Champernowne6dont la partie decimale est la suite consecutive desentiers(0.12345678910111213...)estnormalenbase10.Lesfractionsrationnellesnesontpasnormales,quellequesoitleurrepresentation.6ChampernowneD. G., Theconstructionof decimals normal inthescale of ten, J. LondonMAth.Soc.(1933), 8pp.254-26043VTheor`emeslimitesOnditquexestabsolumentnormal si etseulementsi il estnormal entoutebaseb 2.SoitXunevariablealeatoiredeloiuniformesur[0, 1].1. Quelleestlaloide(X1, . . . , Xn),desnpremierschiresdudeveloppementdeXenbaseb ?2. Calculer laloi deXn. Montrer quelesvariables aleatoires (Xn, n 1) sontindependantesetdememeloi.3. En utilisant la loi forte des grands nombres, montrer que Xest p.s. simplementnormalenbaseb.4. Montrer que Xest p.s. normal en base b, puis quil est p.s. absolument normal.Bienquepresquetouslesreelssoientabsolumentnormaux,ilesttr`esdiciledemontrerquunreel donneestabsolumentnormal. Onnesaittoujourspassi desnombres telsque,e,2oulog(2)sont absolumentnormaux, nimemenormauxenbase10(cf.PourlaScience,janvier1999).ExerciceV.14.Theor`eme de Weierstrass(1885): Toute fonction continue sur un intervalle fermeborneestlimiteuniformedunesuitedepolynomes.Cet exercice sinspire de la demonstration de Bernstein du theor`eme de Weiers-trass. Soit (Xn, n 1)unesuitedevariablesaleatoires independantesdeloi deBernoullideparam`etrex [0, 1].Pourn 1,onconsid`erelamoyenneempiriqueXn=1n

nk=1Xk.Soith:[0, 1] Runefonctioncontinue.Soit>0. Onposen= Xn x> .1. MontrerqueP(n) 2E[( Xn x)2]. Majorer P(n)independammentdex [0, 1].2. Determiner limnsupx[0,1]h(x) E[h( Xn)],en ecrivant:h(x) h( Xn)=h(x) h( Xn)1n +h(x) h( Xn)1cn.3. Quelleestlaloiden Xn ?4. Endeduireque:limnsupx[0,1]h(x) n

k=0_nk_h(k/n)xk(1 x)nk= 0.5. Soitf: R+Rcontinuebornee.Montrer,ensinspirant desquestionsprece-dentes,quepourtoutx R+:44V.3 Modelisationlimnf(x)

k=0enx(nx)kk!f(k/n)= 0.Si lonsuppose funiformement continue, laconvergence ci-dessus est-elleuni-formeenx?(Prendreparexemplef(x) = cos(x)pourxn= n.)ExerciceV.15.Contaminationaumercure.1. Soit(Xn, n 1)unesuitedevariablesaleatoiresindependantesdememeloi.On suppose quil existe deux reels > 0, > 0 tels quau voisinagede linni :P(X1> x) x.Montrerquelasuite(Zn, n 1)deniepar:Zn= n1 max(X1, . . . , Xn)converge en loi vers la loi de Frechet. On rappelle que la fonction de repartitiondelaloideFrechetdeparam`etre(, ) ]0, [2esty exp(y)1y>0.2. Lemercure,metallourd,estpresentdanspeudaliments.Onletrouveessen-tiellementdanslesproduitsdelamer. LOrganisationMondialedelaSantexe ladosejournali`ere admissibleenmercure `a0.71gparjouretparkilodepoids corporel. Des etudes statistiques7donnent la forme de la queue de distri-butionempiriquedelacontaminationglobaleannuelleengrammedemercurepourunindividude70kg:P(X> x) =xpourxassezgrand,avec = 3.54 109et = 2.58.Seriez-vous etonne(e)quaumoinsunepersonnesoitexposee`acerisquesani-taire en France ? Dans le 15`eme arrondissement de Paris 8? Dans une promotiondecentetudiants ?`Apartirdequellevaleurdenpouvez-vousarmer, avecseulement5%dechancesdevoustromper: Parmicesnpersonnes,aumoinsuneaunniveaudemercuretrop eleve?7Evaluationdesrisquesdexposition`auncontaminantalimentaire:quelquesoutilsstatistiques,P.Bertail,Laboratoiredestatistique,CREST,ao ut2002,disponible`aladresse:www.crest.fr/doctravail/document/2002-41.pdf8Populationdu15`emearrondissementdeParis,Recensement1999:225 362personnes.45VIVecteursGaussiensVI.1ExemplesExerciceVI.1.SoitX= (X1, X2, X3, X4)unvecteurgaussiencentredematricedecovariance:=____2 1 0 11 1 0 10 0 1 01 1 0 2____1. Quepeut-ondiredeX3etde(X1, X2, X4) ?2. Donnerlaloimarginalede(X1, X2)etcalculerE[X1[X2].3. Memequestionpour(X2, X4).4. EndeduiredeuxvariablesindependantesdeX2, fonctionsrespectivementdeX1, X2etdeX2, X4.5. Verier que X1X2 et X4X2 sont independants et ecrire Xcomme la sommedequatrevecteursgaussiensindependants.ExerciceVI.2.SoitXetZdeuxvariablesaleatoiresreellesindependantes,Xetantdeloi gaus-sienne centree reduite ^(0, 1) et Zde loi denie par P(Z= 1) = P(Z= 1) = 1/2.OnposeY= ZX.1. DeterminerlaloideY .2. CalculerCov(X, Y ).3. Levecteur (X, Y ) est-il gaussien ?Les variables Xet Y sont-elles indepen-dantes ?VI VecteursGaussiensExerciceVI.3.SoitXetY deuxvariablesaleatoiresreellesgaussiennesindependantes.1. Donnerune conditionnecessaireetsusante pourque X +YetX Ysoientindependantes.2. On suppose de plus que Xet Ysont des gaussiennes centrees reduites. CalculerlafonctioncaracteristiquedeZ1= X2/2puiscelledeZ2= (X2Y2)/2.3. Montrer queZ2peutsecrirecommeleproduitdedeuxvariables aleatoiresnormalesindependantes.VI.2ProprietesetapplicationsExerciceVI.4.Soit X1, . . . , Xndes variables aleatoiresreelles independantes de meme loi, despe-rancem,devariance2nie.OnposeXn=1nn

i=1Xi, 2n=1nn

i=1(Xi m)2etVn=1n 1n

i=1(Xi X)2.Onsupposeque,pourtouti,laloideXiestlaloigaussienne ^(m, 2).1. QuelleestlaloideXn ?2. Quelleestlaloiden2n/2?3. MontrerqueXnetVnsontindependantes.4. Montrerque(n 1)Vn/2suitlaloi2(n 1).ExerciceVI.5.Soit X1, . . . , Xndes variables aleatoires reelles independantes de meme loi, decarreintegrable, desperancemet devariance2. OnsupposequelamoyenneempiriqueXn=1nn

i=1Xiet lavarianceempirique Vn=1n 1n

i=1(XiXn)2sontdes variables aleatoires independantes. Le but de cet exercice est de demontrer quelaloideXiestalorslaloigaussienne ^(m, 2).OnnotelafonctioncaracteristiquedeXi.Onsupposem = 0.1. CalculerE[(n 1)Vn]enfonctionde2.Montrerquepourtoutreelt:E[(n 1)Vn eitn Xn] = (n 1)(t)n2.48VI.2 Proprietesetapplications2. EndeveloppantVndanslegaliteprecedente,verierque:E[(n 1)Vn eitnXn] = (n 1)(t)(t)n1+ (n 1)(t)2(t)n2.3. Endeduireque, sur unvoisinage ouvert de 0, est solutionde lequationdierentielle:_____2= 2,(0) = 1, (0) = 0.4. EndeduirequelaloidesvariablesXiestlaloigaussienne ^(0, 2).5. Quepeutondiresilonnesupposeplusm = 0 ?ExerciceVI.6.Soit (Xn, n 1), une suite de variables aleatoiresindependantes, de loi gaussienne^(, ),avec> 0.Lobjectifdecetexerciceestdepresenterunemethodepourestimer, etde donner un (bon)intervalle de conance pourcetteestimation.Onnote:Xn=1nn

k=1Xket Vn=1n 1n

k=1(Xk Xn)2.1. Donner laloi deXn, sonesperanceet savariance. Determiner lalimite de( Xn, n 1).2. Donner laloi de Vn, sonesperance et savariance. Determiner lalimite de(Vn, n 2).3. Donnerlaloiducouple( Xn, Vn).Determinerlalimitede(( Xn, Vn), n 2).4. Onconsid`erelaclassedesvariablesaleatoiresTndelaforme:Tn= Xn + (1 )Vn, R.Calculerleuresperance,leurvariance,etmontrerlaconvergencepresques urede(Tn, n 2).5.Etudierlaconvergenceenloide(n( Xn ), n 1).6.Etudierlaconvergenceenloide(n(Vn ), n 2).7.Etudierlaconvergenceenloide(n( Xn , Vn ), n 2).8.Etudierlaconvergenceenloide(n(Tn ), n 2).9. Onpose=_2 + 2(1 )22. Construire, `apartirdeTn, etn, unin-tervallede conancede deniveau asymptotique95%.Autrement dittrouverunintervallealeatoireIn,fonctiondeTn,etn,quicontientleparam`etre,avecuneprobabiliteasymptotiquede95%.49VI VecteursGaussiens10. Commeestinconnuonlestimeparn=_2Tn+ 2(1 )2(Tn)2etonleremplacedanslexpressiondeIn. Montrerquelintervalleobtenuest encoreunintervalledeconancededeniveauasymptotiquede95%.Donneruntelintervallepourlarealisation = 0.5,n = 100, xn= 4.18etvn= 3.84.11. Verierquil existeununiquereel [0, 1], fonctionde, qui minimiselalongueur de lintervalle de conance, In. On consid`ere maintenant les variablesaleatoires n=2Vn1 + 2Vn. Montrerquelasuite(n, n 2)convergepresques urementvers.12.Etudier laconvergenceenloi delasuite(n(Tnn ), n 2). Endeduireunintervalledeconancededeniveauasymptotiquede95%.Donneruntelintervallepourlesvaleursnumeriques presentees`alaquestion10.50VIISimulationExerciceVII.1.Lebutdecet exerciceest depresenter lamethodedurejet pour lasimulationdunevariablealeatoirededensitehdonnee.SoitXunevariablealeatoire`avaleursdans RdetsoitA Rdunensemblemesurable tel que P(XA) >0. Soit (Xn, nN) des variables aleatoiresindependantesdememeloi queX. OnposeT =infn N; Xn A, aveclaconventioninf = +,etY= XTsiT< +etY= 0siT= +.1. MontrerquelesvariablesaleatoiresY etTsontindependantes.2. MontrerquelaloideTestlaloigeometriquedeparam`etreP(X A).3. Montrerquelaloide YestlaloiconditionnelledeXsachant X A:pourtoutborelienB Rd, P(Y B) = P(X B[X A).Soithladensitedunevariablealeatoire`avaleursdans R. Onsupposequilexisteunedensitegetuneconstantec>0telles quec h g(etquelonsaitsimulerdesvariablesaleatoiresindependantesdedensiteg).Soit(Zn, n N)unesuitedevariablesaleatoiresindependantesdememeloidedensiteg. Soit(Un, n N)unesuitedevariablesaleatoires deloi uniformesur[0, 1],independantesetindependantesde(Zn, n N).OnposeT= infn N; Un c h(Zn)/g(Zn)etA= (z, u); g(z)> 0etu c h(z)/g(z).4. CalculerP((Z1, U1) A).5. Montrer que la variable aleatoire ZT (que lonpeut donc simuler) apourdensiteh.ExerciceVII.2.Soit(Un, n N)unesuitedevariablesaleatoiresindependantesdeloi uniformesur[0, 1].Soit > 0.VII Simulation1. DonnerlaloideXk= log(Uk)/.2. Donnerlaloide

nk=1Xk.3. CalculerlaloideNdeniparN= inf_n N;

n+1k=1 Uk< e_.4. EndeduireunemethodepoursimulerdesvariablesaleatoiresdePoisson.52VIIIEstimateursExerciceVIII.1.SoitX1, . . . , Xnnvariablesaleatoiresindependantesdememeloi etdecarrein-tegrable. Trouver lestimateur de lamoyenne, =E[X1], qui soit de varianceminimaledanslaclassedesestimateurslineaires,n=

nk=1akXk,etsansbiais.ExerciceVIII.2.On consid`ere le mod`ele dechantillonnage X1, . . . , Xnde taille n associe `a la familledeloisexponentielles T= c(), > 0.Onveutestimer.1.`Apartirdelamethodedesmoments,construireunestimateurconvergentnde.2. Verierquilsagitdelestimateurdumaximumdevraisemblance.3. Determinerlaloide

ni=1Xi.CalculerE[n].Lestimateurest-ilsansbiais ?4. Determinerunestimateurnsansbiaisetunestimateurnqui minimiselerisquequadratiqueparmilesestimateurs(c)n=c

ni=1Xi, o` u c > 0.5. Calculerlescore,linformationdeFisheretlaborneFDCR.6. LesestimateursetudiesfontintervenirlastatistiqueSn=n

i=1Xi.Est-elleex-haustiveettotale ?7. Resume:quellesproprietesna-t-ilparmilessuivantes ?a) Sansbiais.b) Optimal.VIII Estimateursc) Ecace.d) Preferable`an.e) Inadmissible.f) Regulier.g) Asymptotiquementnormal.ExerciceVIII.3.On consid`ere le mod`ele dechantillonnage X1, . . . , Xn de taille n associe `a la familledeloisdePoisson T= T(), > 0.Oncherche`aestimerP(Xi= 0).1. Montrer que le mod`ele est exponentiel. Determiner la statistique canonique Sn.Est-elleexhaustiveettotale ?Donnersaloi.2. CalculerP(Xi= 0)etmontrerque1X1=0enestunestimateursansbiais.3. Montrerquelaloi conditionnelledeX1sachantSnestuneloi binomialedeparam`etres_Sn,1n_.4. Endeduire que Sn=_1 1n_SnestlestimateuroptimaldeP(Xi= 0).Est-ilconvergent ?5. CalculerlescoreetlinformationdeFisher.6. EndeduirelaborneFDCRpourlestimationdeP(Xi=0).Est-elleatteinteparS ?ExerciceVIII.4.On observe la realisation dunechantillon X1, . . . , Xnde taille nde loi beta(1, 1/)dedensitef(x, ) =1(1 x)111]0,1[(x), R+ .1. Donnerunestatistiqueexhaustive.Est-elletotale ?2. DeterminerlestimateurdumaximumdevraisemblanceTnde.3. Montrerque log(1 Xi) suit une loiexponentielledont onprecisera lepara-m`etre.4. Calculer le biais et le risque quadratique de Tn. Cet estimateur est-il convergent,optimal,ecace ?5.Etudierlalimiteenloide n(Tn )quandn .54VIII EstimateursExerciceVIII.5.Soient Zet Y deuxvariables independantes suivant des lois exponentielles deparam`etresrespectifs>0et>0. Ondisposedunechantillondevariablesaleatoiresindependantes(Z1, Y1), . . . , (Zn, Yn)dememeloique(Z, Y ).1. Calculerlaloiden

i=1Zi.2. Sagit-il dunmod`eleexponentiel ?Sioui,peut-onexhiberunestatistiqueex-haustive ?3. Calculerlestimateurdumaximumdevraisemblance(n, n)de(, ).4. Montrerquilestasymptotiquementnormaletdeterminersamatricedecova-rianceasymptotique.Onsupposedorenavant quelonobserveseulement Xi=min(Zi, Yi) pour i 1, . . . , n.5. CalculerlafonctionderepartitiondelavariableXi.6.Ecrire le mod`ele statistique correspondant. Le mod`ele est-il identiable ? Quellefonctionde(, )estidentiable ?7. Quels sont lesestimateursdu maximum devraisemblance de = + fondessurlesobservationsa) deX1, . . . , Xn,b) de(Z1, Y1), . . . , (Zn, Yn) ?Est-ilnaturelquecesestimateurssoientdierents ?8. Comparerlesproprietesasymptotiquesdecesestimateurs.ExerciceVIII.6.UnemachineproduitNmicro-chipsparjour,Nconnu.Chacundentreeuxaundefautaveclamemeprobabiliteinconnue.Oncherche`aestimerlaprobabilitedavoiraupluskdefautssurunjour.`Acepropos, ontestetouslesmicro-chipspendantuneperiodedenjoursetonretientchaquejourlenombrededefauts.1. Choisirunmod`ele.Est-ceunmod`eleexponentiel ?2. DeterminerunestatistiqueSexhaustiveettotale.Calculersaloi.3. Construire unestimateursans biaisqui nefaitintervenir quelesdonneesdupremierjour.55VIII Estimateurs4. Endeduireunestimateuroptimal S. Quest-cequonobservequandonfaitvarierk ?ExerciceVIII.7.Soit X une variable aleatoire`a valeurs dansNdenie comme linstant de premiersucc`esdansunschemadeBernoullideparam`etreq ]0, 1[.1. Verier que la loi de Xest une loi geometrique dont on precisera le param`etre.2. Verier quil sagit dun mod`ele exponentiel. Donner une statistique exhaustive.3. DeterminerI(q),linformationdeFishersurqdun echantillondetaille1.SoitX1, . . . , Xnun echantillonindependantdetaillendememeloiqueX.4. Determiner qn,lestimateurdumaximumdevraisemblancedeq.5. Montrer que lestimateur du maximum de vraisemblance est asymptotiquementnormal.6. Donnerunintervalledeconancepourqdeniveau1 .Unesocietede transportencommun parbus veut estimerlenombre de passagersne validant pas leur titre de transport sur une ligne de bus determinee. Elle disposepour cela, pour un jour de semaine moyen, du nombre n0de tickets compostes surlaligneetdesresultatsdelenquetesuivante: `achacundesarretsdebusdelaligne, descontr oleurscomptentlenombredepassagerssortantdesbusetayantvalideleurticketjusqu`alasortiedupremierfraudeur.Celui-cietantinclusonalesdonnees(simuleees)suivantes:44 09 11 59 81 44 19 89 10 2407 21 90 38 01 15 22 29 19 3726 219 02 57 11 34 69 12 21 2834 05 07 15 06 129 14 18 02 1567. Estimerlaprobabilitedefraude.Donnerunintervalledeconancedeniveau95%.Estimerlenombredefraudeur nfsin0= 20 000.ExerciceVIII.8.Letotal desventesmensuellesdunproduitdansunmagasini 1, . . . , npeutetremodeliseparunevariablealeatoiredeloi normale ^_mi, 2_. Onsupposeles constantes mi>0et >0connus. Unecampagnepublicitaireest meneeandepermettrelaugmentationdesventes. OnnoteXilaventemensuelledumagasini apr`eslacampagnepublicitaire. OnsupposequelesvariablesXisontindependantes.56VIII Estimateurs1. Onsupposequelaugmentationdesventessetraduitpar uneaugmentationdechacunedes moyennes midunequantite . Determiner lestimateur dumaximumdevraisemblancede.Donnersaloietsesproprietes.2. On suppose que laugmentation des ventes se traduit par une multiplication dechacune des moyennes mipar une quantite . On consid`ere lestimateurde :n=1nn

i=1Ximi.Donnersaloietsesproprietes`ahorizonni.3. Determinerlestimateurdumaximum devraisemblancede.Donnersaloietsesproprietes`ahorizonni.4. ApplicationnumeriqueauxdonneessimuleesdutableauVIII.1, avecn=15et= 12:mi 1023 98110341007 98810211005 995xi 11091075112911231092108711291122mi 102010131030104610031039 968xi 1105112411031072106510691098Tab. VIII.1. Eet(simule)dunecampagnepublicitaireExerciceVIII.9.LahauteurmaximaleHdelacrueannuelleduneuveestobserveecarunecruesuperieure `a 6 m`etres seraitcatastrophique. On a modelise Hcomme une variabledeRayleigh,i.e.HaunedensitedonneeparfH(x) = 1R+(x)xa exp_x22a_,o` ua > 0estun param`etreinconnu. Durant une periode de8ans, ona observe leshauteursdecruesuivantesenm`etres:2.5 1.8 2.9 0.9 2.1 1.7 2.2 2.81. Donnerlestimateurdumaximumdevraisemblance, an,dea.2. Quellesproprietes anposs`ede-t-ilparmilessuivantes ?a) Sansbiais.57VIII Estimateursb) Optimal.c) Ecace.d) Asymptotiquementnormal.3. Unecompagniedassurance estimequune catastrophenarrive quauplus unefoistouslesmilleans.Cecipeut-il etrejustieparlesobservations ?ExerciceVIII.10.Soient X1, . . . , Xn une suite de variables aleatoires independantes et identiquementdistribueesdeloideBernoullip [0, 1].Onpose pn=1n

ni=1Xi.1. MontrerlinegaliteVarp( pn) 14n.2. Uninstitut de sondage souhaite estimer avec une precisionde 3 points (`adroiteet`a gauche)laprobabilite quun individu votepourlemaire actuelauxprochaineselections.Combiendepersonnesest-ilnecessairedesonder ?3. Surunechantillonrepresentatifde1000personnes,onrapportelesavisfavo-rables pour un homme politique. En novembre, il y avait 38% davis favorables,en decembre 36%. Un editorialistedans son journal prend tr`es au serieux cettechute de 2 points dun futur candidat `a la presidentielle ! Conrmer ou inrmerlapositiondujournaliste.ExerciceVIII.11.Dans lindustrie agroalimentaire, on sinteresse `a la detection de la contamination1du lait parun micro-organisme: les spores declostridia.Cettebacterie,naturelle-mentpresente danslesorganismeshumains etanimaux,peutcauserdesmaladieschezlesindividusfragiles,quipeuventmemeetremortelles. Lelaitnegurepasparmi lespremiersaliments`arisquemaisil esttr`esimportantdecontr oleruneeventuellecontamination.Deuxprobl`emesimportantsseposent:Onnedisposepasdelobservationdunombredemicro-organismespresentsmaisseulementdelindicationpresence-absence.Sans connaissanceaprioride lordrede grandeurdutauxde contamination,lestimationdutauxrisquedenedonneraucunresultatexploitable.1Lamethodepresentee, MPN(mostprobablenumber), estunemethodelargementutiliseepourdetecterdescontaminationsdanslagroalimentaire,maisegalementenenvironement(ri-vi`ere,...).58VIII EstimateursLexperiencemeneeconsiste`aobserverlapresence-absencedecessporesdansuntubede1ml delait, lebutetant aunal destimer ladensiteenspores: (nombredesporesparunitedevolume).SoitZklavariablealeatoiredesignantlenombre(nonobserve)desporespre-sentsdansletubeketXk=1Zk=0lavariablealeatoirevalant1sil nyapasdesporedansletubeket0sinon.OnsupposequeZksuituneloidePoissondeparam`etre.OneectueuneanalysesurntubesindependantsetY =

nk=1Xkdonnelenombredetubessteriles(negatifs).1. DonnerlesloisdeXketY .Onnotera = P(Xk= 1).2. Donner lestimateurdu maximum de vraisemblance de . En deduire lestima-teurdumaximumdevraisemblancede.3. Donnerlesintervallesdeconancedeet.4. Donnerlesresultatsnumeriquesdesdeuxquestionsprecedenteslorsquonob-serve6tubessterilessur10autotal. Pourlesintervallesdeconance, onseplaceraauniveau = 5%.5. Indiquerquelssontlesprobl`emeslorsqueladensiteesttr`esfaibleoutr`esforte.Desdensitesextremesinduisantdesprobl`emesdestimation, onvautiliserleprincipedeladilution:Si oncraintdenobserverquedestubespositifs, onajoutedesexperiencessurdestubes dilues.Dansuntubedilue dfois,ladensite ensporesest egale`a/d,etlenombre desporessuituneloidePoissondeparam`etre/d.Si oncraint de nobserver que des tubes negatifs,oneectuelanalysesur deplus grands volumes.Dansunvolume dfoisplus grand,lenombre desporessuituneloidePoissondeparam`etred.Pour utiliser cette methode on doit avoir une idee a priori de lordre de grandeurdeladensite.Considerons Nechantillons contenant chacun ni tubes avec un taux de dilutionegal `adi(aveci 1, ..., N). OnnoteYilenombredetubesnegatifsdui-`emeechantillon.6. DonnerlaloideYi.7. Donnerlequationqui determinelestimateurdumaximumdevraisemblancede.8. Quevautlavarianceasymptotiquedecetestimateur ?9. On etudielecasparticulierdunpetitnombre dedilutions.Donnerleresultatformel lorsque N=2, d1=1, d2=12. Donner les resultats numeriques,59VIII Estimateursestimationetintervalledeconancede ,si onobserve y1= 3ety2= 6(pourn1= n2= 10).60IXTestsExerciceIX.1.SoitX1, . . . , Xnunn-echantillondeloiexponentielledeparam`etre1/ > 0.1. ConstruireletestdeniveauH0= = 0contreH1= > 0.2. ConstruireletestdeniveauH0= = 0contreH1= ,= 0.ExerciceIX.2.Desplaignants1ontpoursuivienjusticeleMinist`ereisraeliendelaSantesuite`aunecampagnedevaccinationmeneesurdesenfantsetayantentranedesdom-magesfonctionnelsirreversiblespourcertainsdentreeux. Cevaccinetaitconnupour entranercetypededommages endetr`esrarescirconstances. Desetudesanterieuresmeneesdans dautrespays ontmontre quecerisque etaitdun cassur310000vaccinations.Lesplaignantsavaient eteinformesdecerisqueetlavaientaccepte.Les doses de vaccinayant provoque les dommages objet de la plainte pro-venaientdunlotayantservi `avacciner ungroupede300533enfants. Danscegroupe,quatrecasdedommagesont etedetectes.1. Onmodeliselevenement levaccinprovoquedesdommagesfonctionnelsirre-versibles sur lenfant ipar une variable aleatoire de Bernoulli, Xi, de param`etrep.Calculerlavaleurp0correspondantauxresultatsdes etudesanterieures.2. Justier quon peut modeliser la loi du nombre Nde cas de dommages par uneloi dePoissondeparam`etre. Calculerlavaleur0attenduesi levaccinestconformeaux etudesanterieures.3. Lhypoth`eseH0= p=p0correspondaurisquequelesplaignantsavaientaccepte, lhypoth`esealternativeetantH1= p>p0. Construireuntestde1cf.MurrayAitkin,EvidenceandthePosteriorBayesFactor, 17Math.Scientist15(1992)IXTestsniveau`apartirdelavariableN. Accepte-tonH0auseuil de5%?Donnerlap-valeurdecetest.ExerciceIX.3.Uneagencedevoyagesouhaitecibler saclient`ele. Ellesait queles coordonneesdulieudeviedunclient(X, Y )rapporteesaulieudenaissance(0, 0)sontuneinformationsignicativepourconnatrelego utdececlient.Elledistingue:Lapopulation1(Hypoth`eseH0)dontlaloiderepartitionapourdensite:p1(x, y) =142ex2+y22dxdy.Lapopulation2(Hypoth`eseH1)dontlaloiderepartitionapourdensite:p2(x, y) =1161[2;2](x)1[2;2](y)dxdy.Lagencesouhaitetesterlhypoth`esequunnouveauclientvivanten(x, y)appar-tient`alapopulation1plut otqu`alapopulation2.1. Proposer untest de niveauinferieur `a=5%et de puissance maximale,construit`apartirdurapportdevraisemblance.2. Donnerune statistique de testet caracterisergraphiquement laregioncritiquedansR2.ExerciceIX.4.Onconsid`ere un echantillongaussien(X1, Y1), . . . , (Xn, Yn)de variablesaleatoiresindependantesdeloi ^__12_,_2100 22__,o` u1et2sontinconnus.1. DecrireletestdeWaldpourtestersi 1= 2etdonner une regioncritique deniveauasymptotique5%.2. On suppose 1= 2. Donner une region critique de niveau exact 5%, construite`alaidedelamemestatistiquedetestquecelleutiliseedanslaquestionpre-cedente.Fairelapplicationnumerique pourn = 15.ExerciceIX.5.Soit(Xn, n 1), unesuitedevariablesaleatoiresindependantes, deloi normale^(, ), avec>0. Lobjectif decet exerciceestdepresenterdeuxtests pour62IXTestsdeterminersipourunevaleurdeterminee0>0,ona=0(hypoth`eseH0)ou > 0(hypoth`eseH1).OnnoteXn=1nn

k=1Xket Vn=1n 1n

k=1(Xk Xn)2=1n 1n

k=1X2k nn 1X2n.1. Determinern, lestimateurdumaximumdevraisemblancede.Montrerdi-rectement quil est convergent, asymptotiquement normal et donner sa varianceasymptotique.Est-ilasymptotiquementecace ?2. Construireuntestasymptotiqueconvergent`alaidedelestimateurdumaxi-mum devraisemblance.On consid`ere la classe des estimateurs Tnde la forme : Tn= Xn+(1)Vn, R.3. Montrer quelasuite destimateurs (Tn, n 2) est convergente, sans biais.DonnerlavariancedeTn.4.Etudier la convergence en loi de (Zn, n 1), avec Zn=n( Xn, n1n

k=1X2k 2).5.Etudierlaconvergenceenloide(n(Tn ), n 2).Endeduirequelasuitedestimateurs(Tn, n 2)estasymptotiquementnormale.Calculerlavarianceasymptotique.6. Onconsid`erepourn 2,lastatistiquedetestn=n(Tn 0)_20 + 2(1 )220.Construireuntest asymptotiqueconvergent `apartir decette statistiquedetest.Ondonnelesvaleursnumeriquessuivantes: 0=3.8, =0.5, n=100, xn= 4.18etvn= 3.84.Calculerla p-valeurdu test.Quelleest votre decision ?7. On consid`ere maintenant la valeur qui minimise 20+2(1)220. Comparerles variances asymptotique de Tnetn. Reprendre la question precedente avec=et comparer les resultats `aceuxdej`aobtenus aveclestimateur dumaximumdevraisemblance.ExerciceIX.6.Linformationdansunedirectiondelespaceprisepar unradar desurveillanceaeriennesepresentesous laformedunn-echantillonX=(X1, . . . , Xn) deva-riablesaleatoiresindependantes dememeloigaussiennede moyenne , param`etre63IXTestsinconnu, etde variance2connu. On notera f(x, ), x Rnladensite du vecteuraleatoire.En labsence de tout Objet Volant (Hypoth`ese H0), = 0 R+, sinon (Hypo-th`eseH1), = 1,avec1> 0.1. MontrercommentlelemmedeNeyman-Pearsonpermetlaconstructionduntest de lhypoth`ese = 0 contre lhypoth`ese = 1 de niveau et de puissancemaximale.2. Quelle est la plus petite valeur de n permettant de construire un test de niveau, [0; 1] etderreurdedeuxi`emeesp`eceinferieureouegale`a, [0; 1],avec < ?3. Supposons maintenantquenpresencedobjetvolantlinformationfournieparleradarestunn-echantillonX=(X1, . . . , Xn)devariablesaleatoires inde-pendatesdememeloigaussiennedemoyenne ,= 0, Retdevariance2.Peut-onconstruireuntestdelhypoth`ese= 0contrelhypoth`ese ,= 0deniveaudonneuniformementpluspuissant ?4. On se propose de trouver un test de niveau uniformement plus puissant sansbiais parmi les tests purspour tester lhypoth`ese =0contrelhypoth`ese ,= 0.a) Soit1 ,= 0, 1 R.Prouverlexistencededeuxconstantescetcdenis-santunensemble:A= x Rn/f(x, 1) cf(x, 0) +cf(x, 0),avecP0(X A) = et_.f(x,) [0dx = 0. Cet ensemble depend-il de 1 ?b) Montrerqueletestpurdeniveaudontlaregioncritiqueest Aestuni-formementpluspuissantdanslaclassedestestspurssansbiais.ExerciceIX.7.Unemachineoutil fabriquedesailettesdereacteuraveclescaracteristiquessui-vantes : lalongueur duneailette suit uneloi ^(L0, 0) avecL0=785 mmet0= 2 mm.Unetropgrandedispersiondanslescaracteristiquesdelamachinepeutavoirdeuxconsequences:Lapremi`ereestdeproduiredesailettestroplongues, qui alorsnesontpasmontables.Lasecondeestdeproduiredesailettestropcourtes,cequinuitauxperfor-mancesdureacteur.64IXTestsOnadoncparticuli`erement etudielamachineandematriseraumieuxlepara-m`etre0, quipeutetreconsiderecommeconnuetinvariable. Parcontre, lalon-gueurmoyenneatendance`avarierauldelaproduction.Ondesireverierqueles caracteristiques de la machine nont pas trop derive, `a savoir queL [L0L]avecL=1.5 mm. Onproc`ede`alanalysede200ailettes, cequi conduit`aunemoyenneempirique1200200

i=1Li= 788.3 mm.1. Verierquelemod`eleestexponentiel.ConstruireunestimateurdeL.2. Onsouhaitetesterlhypoth`eseH0=L [L0 L, L0 + L]contreH1=L/ [L0 L, L0+ L]. Construireuntestbilateral UPPSauseuil pourtesterH0contreH1.3. Fairelapplicationnumerique pour = 5%.Conclusion ?4. Calculer un intervalle de conance centre `a 95% surL et le comparer `aL0+L.ExerciceIX.8.Dansloutillagedevotreusinevousutilisezunegrandequantitedepi`ecesduncertainmod`ele. Dans lesconditions usuellesdemploi, vousavezobservequeladureedeviedecespi`ecesestunevariablealeatoirenormaledontlesperancema-thematiqueest0= 120heures,etlecart-typeest = 19, 4heures.Lerepresentant dunfournisseur vousproposeunnouveaumod`ele,enpromet-tantungaindeperformanceenmoyennede5%, pourunedispersionidentique.Vousdecidezdetesterlenouveaumod`elesurun echantillonden = 64unites.Onnote(Xi, i 1, . . . , 64)ladureedeviedespi`ecestestees.1. Quelleloiproposezvouspourlesvariablesaleatoires(Xi, i 1, . . . , 64) ?2. Soitladureedeviemoyennedespi`ecesproduitesparlenouveaumod`ele.Donnerunestimateursansbiaisde.Identierlaloidecetestimateur.3. Vousnevoulezpas changerdemod`elesilenouveaunestpasplus performantquelancien.Plusprecisement,vousvoulezquelaprobabilitedadopter`atortle nouveau mod`ele ne depasse pas le seuil de 0.05. Quelle est alors la procedurededecisionconstruite`apartirdelestimateurde?4.Evaluezlerisquequecetteprocedurevousfasserejeterlenouveaumod`elesilannonce du representant est exacte.Les 64 pi`eces testees ont eu une duree deviemoyenne egale`a123.5heures.Queconcluez-vous ?Le representant conteste cetteprocedure, pretextant quil vaut mieux partir delhypoth`ese H0, selonlaquellele gain de performance moyen est reellement de 5%.65IXTestsIl souhaitequelaprobabilitederejeter`atortlenouveaumod`elenedepassepasleseuilde0.05.5. Quelle est alors la procedure de decision ? Quel est le risque de lacheteur ? Quelestleresultatdecetteprocedureauvudesobservationsfaites.Commentez.6. Quelle procedure peut-on proposer pour egaliserles risques de lacheteur et duvendeur ?Quelestalorscerisque ?ExerciceIX.9.Suite de lexerciceIX.8.Un representant dune autre societese presente etdeclareavoir unproduitmoinscheretequivalent `acelui desquestionsprecedentes(demoyenne =1.050et de variance ). Lacheteur le teste sur unechantillondempi`eces. Leresultatobtenuestunemoyennede124.8. Onveuttestersi lesdeuxmod`elessontdeperformancesequivalentes. Onnotep(x, y; , )ladensitedumod`ele.7. Expliciterlestimateurdumaximumdevraisemblancesachantque=.Expliciter et lesestimateursdevraisemblancedanslecasgeneral.8. Expliciterlaformedelaregioncritique. Quepeut-ondiredesperformancesrelativesdesdeuxtypesdepi`ecessim = 64 ?ExerciceIX.10.Onsouhaiteverierlaqualitedugenerateurdenombresaleatoiresdunecalcula-tricescientique. Pour cela,on proc`ede`a 250tiragesdans lensemble 0, . . . , 9etonobtientlesresultatssuivants:x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9N(x)28322326233118191931`A laide du test du 2, verier si le generateur produit des entiers independantsetuniformementrepartissur 1, . . . , 9.ExerciceIX.11.Test degalitedeslois marginales (Test deMcNemar). Onconsid`eredeuxjugesqui evaluentlesmemesev`enements, repondantchaquefoisparlarmative(+)ounegative().Onnotep(i)+laprobabilitequelejuge ireponde parlarmative66IXTestsetp(i)laprobabilitequilrepondeparlanegative. Ondesiresavoirsilesloisdesreponsesdesdeuxjugessontlesmemes(hypoth`eseH0)ounon(hypoth`eseH1).1. VerierquesousH0laloiducoupledereponsenedependquededeuxpara-m`etres,i.e.quilexisteettelsquep(2)+p(2)p(1)+ p(1) 1 1 1 12. Calculerlestimateurdumaximumdevraisemblancede(, ).3. Ondesirerealiseruntestsurunechantillondetaillen.Donnerlastatistiquedetestndu2etverierquen=(N+N+)2N+ +N+,o` uN+estlenombredefoiso` ulejuge1arepondu+etlejuge2arepondu, et N+est le nombre de fois o` u le juge 1 a repondu et le juge 2 a repondu+.Donnerlaregioncritique`a5%.4. Pour n = 200,onobserveN+= 15etN+= 5,calculerlapvaleurdutest.ExerciceIX.12.Lexamende320famillesayantcinqenfantsdonnepourresultatletableauIX.1.Nombresdegarconsetdelles(5,0)(4,1)(3,2)(2,3)(1,4)(0,5)TotalNombredefamilles 18 52 110 88 35 17 320Tab. IX.1. Observationde320famillesOnveutsavoirsi ceresultatestcompatibleaveclhypoth`esequelanaissancedungar conetlanaissancedunellesontdesevenementsequiprobables. Soitrlaprobabilitedavoirungar con.1. Calculerlaproportion de gar cons.Appliquez le testdu 2de niveau = 0.01,basesurcetteproportion, pourdeterminersi r=1/2. Donnerlap-valeurdecetest.2. Donner un intervalle de conance pour r de niveau asymptotique . Remarquerqueletestdu2est equivalent`alintervalledeconance.67IXTests3. Appliquezletestdu2deniveau= 0.01, directement`apartirdesdonneesdu tableau IX.1. Donner approximativement la p-valeur de ce test. Conclusion?4. Appliquer le test du 2pour verier si les donnees du tableau IX.1 suivent uneloibinomialedeparam`etre5etr,avecrinconnu. Donnerapproximativementlap-valeurdecetest.Conclusion?ExerciceIX.13.En 1986, `a Boston, le docteur Spock, militant contre la guerre du Vietnam, fut jugepourincitationpublique `aladesertion. Le juge chargede laaire etaitsoup connedenepasetreequitabledanslaselectiondesjures2. Eneet, il yavait15%defemmesparmi les700juresquil avaitnommesdanssesproc`esprecedents, alorsquilyavait29%defemmes eligiblessurlensembledelaville.1. Testersi lejuge estimpartialdans laselectiondes jures. Quelleestlap-valeurdecetest ?2. Queconcluresi etantplusjeune,lejugenapasnomme700,mais40jures ?ExerciceIX.14.On se propose de comparer les reactions produites par deux vaccins B.C.G. designespar A et B3. Un groupe de 348 enfants a ete divise par tirage au sort en deux seriesqui ontetevaccinees, lunepar A, lautrepar B. Lareactionaeteensuitelueparunepersonneignorantlevaccinutilise. Lesresultatsgurentdansletableausuivant:VaccinReactionleg`ereReactionmoyenne UlcerationAbc`esTotalA 12 156 8 1 177B 29 135 6 1 171Total 41 291 14 2 3481. Ence qui concerne les reactions, peut-ondire que les vaccins Aet Bsontidentiques ?Onutiliserauntestdu2ensupposantdansunpremiertempsqueletirageausortest equitable.2. Quesepasse-t-ilsionnesupposeplusqueletirageausortest equitable ?2T.HWonnacott&R.JWonnacot,Statistique, Economica,19913D. Schwartzet P. Lazar,Elements destatistique medicaleet biologique, Flammarion, Paris(1964).68IXTestsExerciceIX.15.Ondesireetudierlapredominancevisuelledeloeil etlhabilitedelamain. Unexperimentateuretablit latabledecontingenceIX.15.`Alaideduntestdu2diresil existeunerelationentrelapredominancevisuelleetlhabilitedesmains(avecunseuilde0.25) ?Mobilitemanuelle\VueGaucheDeuxyeuxDroitTotalGauche 9 15 7 31Deuxmains 8 7 4 19Droite 15 26 9 50Total 32 48 20 100Tab. IX.2. Resultatsdutestmains-yeuxExerciceIX.16.Pourdeterminersi lesmerlesviventencommunauteouensolitaire, onproc`ede`alexperiencesuivante4:ondisposeunletdanslazonedhabitatdesmerles,etonvientreleverlenombredecapturespendant89jours.Onobtientlesresultatssuivants:Nombredecaptures 0 1 23456Nombredejours 5622910101. On suppose quune loi de Poisson est representative de lexperience. Construireunestimateurduparam`etredecetteloi.2. Verier `alaideduntest du2ladequationdumod`eleauxdonnees. Fairelapplicationnumerique auniveau = 5%.3. ReprendrelexerciceengroupantlescategoriesNombredecaptures=2,3,4,5et6enNombredecaptures 2.ExerciceIX.17.LetableauIX.3donne5, suruneperiodedevingtans(1875-1894), lenombrede4RevueduCEMAGREF(ClermondFerrand)juin19965A. Gulberg, Lesfonctionsdefrequencediscontinuesetlesseriesstatistiques, AnnalesdelI.H.P.,3,pp.229-278,1933.69IXTestsdec`esparanetparregimentdanslacavalerieprussiennecausesparuncoupdesabot decheval. Ondisposede280observations. Appliquer letest du2pourveriersilesdonnees suivent uneloidePoisson(dontonestimeraleparam`etre).Nombrededec`esparanetparregiment 0 1 2 3 4Nombredobservations 1449132112Tab. IX.3. Decesparanetparregiment.ExerciceIX.18.Les des deWeldon. Weldonaeectuen=26306lancersdedouzedes`asixfaces6.OnnoteXilenombre defacesindiquantcinqousixlorsdui-i`emelancer.Lesfrequencesempiriquesobserveessontnotees:fj=Njn,o` uNjestlenombre defoiso` ulonaobservejfacesindiquant cinqousix,surlesdouzelancersNj=n

i=11Xi=j.LesobservationssontdonneesdanslestableauxIX.4etIX.5.N0= 185 N1= 1149N2= 3265N3= 5475N4= 6114N5= 5194N6= 3067N7= 1331N8= 403 N9= 105 N10= 14 N11= 4N12= 0Tab. IX.4. Observationsf0= 0.007033f1= 0.043678f2= 0.124116f3= 0.208127f4= 0.232418f5= 0.197445f6= 0.116589f7= 0.050597f8= 0.015320f9= 0.003991f10= 0.000532f11= 0.000152f12= 0.000000Tab. IX.5.Frequencesempiriquesobservees6W. Feller, An introductiontoprobabilitytheoryand itsapplications, volume 1, third ed., p. 148.70IXTestsSilesdessontnonbiaises, laprobabilitedobserverlesfacescinqousixdansunlancerdedesestde1/3. Lesvariablesaleatoires(Xi, 1 i n)suiventdonclaloi binomialedeparam`etres12et1/3. LesfrequencestheoriquessontdonneesdansletableauIX.6.f0= 0.007707 f1= 0.046244 f2= 0.127171 f3= 0.211952f4= 0.238446 f5= 0.190757 f6= 0.111275 f7= 0.047689f8= 0.014903 f9= 0.003312f10= 0.000497f11= 0.000045f12= 0.000002Tab. IX.6.Frequencestheoriques1. Donnerlastatistiquedutestdu2etlap-valeur.Endeduirequelonrejettelhypoth`esedesdesnonbiaises.2. Rejette-t-onegalementlhypoth`eseselonlaquellelesvariablessontdistribueessuivantuneloibinomialedememeparam`etre(12, r),retantinconnu?71XIntervallesetregionsdeconanceExerciceX.1.Soit X1, . . . , Xnun echantillon de taille n de variables aleatoiresindependantes deloi uniformesur[0, ] o` uestunparam`etrestrictementpositif. Soit0>0. OnveuttesterH0: 0contreH1: > 0auseuil.1. Trouver une zone de rejet Wassociee`a une constante zveriant 0 < z 0.2. Calculerlapuissancedutest().3. Onprend0=12.Calculerzenfonctiondenpourqueletestsoitdeniveau5%.4. Avec0=12et=5%, calculer npourquelapuissancedutestsoitdaumoins98%en =34.Quevautlapuissancedutesten =34sin = 2 ?5. OnexamineH0: = 0contreH1: > 0.Queproposez-vous ?6. Soit>0donne.Calculerkn 1telqueP(< kn max1inXi)soitegale`a1 .Endeduireunintervalledeconancepourauniveau1 .7. Montrerquelasuite(n( max1inXi), n N)convergeenloiversune loiexponentielle. En deduire un intervalle de conance pour de niveau asympto-tique 1. Le comparer avec lintervalle de conance de la question precedente.ExerciceX.2.SoitXunev.a.dedensite:f(x) =12 e[x[, x R,o` uestunparam`etrereelinconnu.1. CalculerE[X]etVar(X).EndeduireunestimateurTnde.2. Construire un intervalle de conance de niveau asymptotique 95% pour danslecaso` un = 200.XIntervallesetregionsdeconance74XIControles`ami-coursXI.11999-2000:Lecollectionneur(I)ExerciceXI.1.Soit (Tn, n n0) une suite de variables aleatoires de loi geometrique de param`etrepn=navecn0>>0. Montrerquelasuite_Tnn, n n0_convergeenloi etdeterminersalimite.ExerciceXI.2.Determinantdunematrice`acoecientsgaussiens.1. Soit V et Wdeuxvariables aleatoires reelles ouvectorielles continuesinde-pendantes.Montrerquesiestunefonctionbornee,alorsE[(V, W) [ W] =h(W),o` ulafonctionhestdenieparh(w) = E[(V, w)].2. Soit (X1, X2, X3, X4) des variables aleatoiresindependantes de loi ^(0, 1).Onconsid`erelamatricealeatoireA=_X1X2X3X4_etonnoteY =det A. CalculerE_eiuY[X1, X2,puisendeduirelafonctioncaracteristiquedeY .ExerciceXI.3.Votrepetit fr`erecollectionnelesimages desjoueursdelacoupedumondequelontrouvedanslestablettesdechocolat. Onsupposequil existenimagesdif-ferentes et quelles sont equitablement reparties, `araisonde une par tablette.OnnoteXi 1, , nlenumerodelimagecontenuedanslai-`emetablette.OnnoteNklenombredetablettesacheteespourobtenirkimagesdierentes:Nk= inf j 1; Card Xi, i j = k. Enn, Tk= NkNk1, avec la conventionXI Controles`ami-coursT1= 1, represente le nombre de tablettes achetees pour obtenir une nouvelle imagealorsquelonenposs`ededej`ak 1.1. Quelleloiproposez-vouspourlasuitedevariablesaleatoires(Xi, i N) ?2. SoitTunevariablealeatoiregeometriquedeparam`etrep ]0, 1[.MontrerqueE[T] = p1etVar(T) = (1 p)p2.3. Calculer P(T2= l). En deduire que T2 suit une loi geometrique dont on preciseraleparam`etre.4. MontrerqueP(T2= l2, T3= l3)=

j1, j2, j3distinctsP(X1= j1, , Xl2= j1, Xl2+1= j2, , Xl2+l3 j1, j2, Xl2+l3+1= j3).5. EndeduirequeT3suituneloigeometriquedontonpreciseraleparam`etre.6. VerierqueT2etT3sontindependants.7. DecrireTkcommepremierinstantdesucc`esetendeduiresaloi. Onadmetdorenavant quelesvariablesaleatoiresT1, T2, , Tnsontindependantes.8. CalculerE[Nn] etverierqueE[Nn]=n[log(n) +O(1)] o` uO(1)designeunefonctiong(n)tellequesupn1[g(n)[ M< .9. CalculerVar(Nn)etendonnerun equivalentquandn .10. Verier que 1x2>2 x22pour tout x R et > 0. Majorer P_NnE[Nn] 1> _.11. Montrerquelasuite_Nnnlog n, n N_convergeenprobabilitevers1.XI.22000-2001:Lecollectionneur(II)ExerciceXI.4.Soit X1, X2des variables aleatoiresindependantes de loi de Poisson de param`etresrespectifs1> 0et2> 0.1. CalculerlaloideX1 +X2.2. CalculerlaloideX1sachantX1 +X2.Reconnatrecetteloi.3. CalculerE[X1[X1 +X2].76XI.2 2000-2001:Lecollectionneur(II)ExerciceXI.5.Soit X1, . . . , Xn une suite de variables aleatoires independantes de loi exponentielledeparam`etre>0. LavariablealeatoireXirepresenteletempsdepannedelamachinei. Onsupposequunefoisenpannelesmachinesnesontpasreparees.On note X(1) X(n)le reordonnement croissant de X1, . . . , Xn, appele aussistatistiquedordre. Ainsi X(i)representeletemps delai-`emepannequandonconsid`erelensembledesnmachines.OnposeY1= X(1)=min1inXi,letempsdelapremi`erepanne,Y2=X(2) X(1)letempsentrelapremi`ereetladeuxi`emepanne,etplusgeneralementpourk 2, . . . , n,Yk= X(k) X(k1).Lebutdeceprobl`emeestdansunpremiertempsdetudierlecomportementdelinstanto` uladerni`eremachinetombeenpanne,X(n)=

ni=1Yi,quandn .Dans un deuxi`eme temps nous etudierons la loi du vecteur (Y1, . . . , Yn). Enn nousdonneronsuneapplicationdecesdeuxresultatsdansunetroisi`emepartie.IComportementasymptotiquedeX(n)=

ni=1 Yi.1. CalculerlafonctionderepartitiondeX(n)= max1inXi.2. Montrer que la suite (X(n)1log n, n N) converge en loi vers une variablealeatoireZdontondetermineralafonctionderepartition.3. Pour=1, endeduireladensitefdelaloi deZ.Determiner,`alapremi`eredecimalepr`es,aetbtelsque_af(z)dz= 2, 5%et_+bf(z)dz= 2, 5%.IILoiduvecteur(Y1, . . . , Yn).1. Soiti ,= j.CalculerP(Xi= Xj).2. EndeduirequeP(i ,=j; Xi=Xj)=0. Remarquerquepresques urementlereordonnementcroissantestunique,cest-` a-direX(1)< 0dy1dy2.EndeduireuneexpressiondeE[g1(Y1)]puislaloideY1.77XI Controles`ami-cours4. Deduirelaloi deY2etverierqueY1etY2sontindependants.Donnerlaloiduvecteur(Y1, Y2).5. Endecomposantsuivantles ev`enements X(1) 0) converge en loi vers une variable aleatoire U. Determineretreconnatrelaloilimite.3. CalculerlaloideUt= Rt +St.XI.42002-2003:LastatistiquedeMannetWhitneyExerciceXI.8.Lobjectif est detudier le comportement asymptotiquedunesuitedevariablesaleatoiresappeleesstatistiquesdeMannetWhitney.ICalculspreliminairesSoitX,Y deuxvariablesaleatoiresreellesindependantes dedensiterespectivefetg.OnintroduitlesfonctionsderepartitionsF(x) = P(X x) =_xf(u) du et G(y) = P(Y y) =_yg(u) du.Onsupposequep = P(Y X) ]0, 1[.1. Quelleestlaloide1Y X ?DonnerVar(1Y X)enfonctiondep.81XI Controles`ami-cours2. Determinerpcommeune integraleenfonctiondeGetf(ouenfonctiondeFetg).Verierque,siXetY ontmemeloi(i.e.f= g),alorsp = 1/2.3. On pose S= E_1Y X[XetT= E_1Y X[Y. DeterminerSet T. DonnerE[S]etE[T].4. On pose = Var(S) et = Var(T).Calculer (respectivement ) en fonctiondep, Getf(respectivementp, Fetg).5. Montrerque,siXetY ontmemeloi,alors = .Donneralorsleurvaleur.6. CalculerCov(S, 1Y X)etCov(T, 1Y X).Onadmetquep ]0, 1[ impliqueque(, ) ,= (0, 0).IIEtudedelaprojectiondeHajekdelastatistiquedeMannetWithneySoit(Xi, i 1)et(Yj, j 1)deuxsuitesindependantes devariablesaleatoiresindependantes.OnsupposedeplusqueXiamemeloiqueXpourtouti 1,etYjamemeloiqueY pourtoutj 1.LastatistiquedeMannetWhitney(1947)estlavariabledeniepourm 1,n 1,parUm,n=m

i=1n

j=11YjXi.On pose Um,n= Um,nE[Um,n] =m

i=1n

j=1_1YjXi p_. La projectionde Hajek(1968)deUm,nestdenieparHm,n=m

i=1E[Um,n[Xi] +n

j=1E[Um,n[Yj].OnposeSi= G(Xi)etTj= 1 F(Yj).1. VerierqueHm,n= n

mi=1(Sip) +m

nj=1(Tj p).2. CalculerVar(Hm,n)enfonctiondeet.3. Determinerlalimiteenloidessuites_Vm=1mm

i=1(Sip), m 1_et__Wn=1nn

j=1(Tj p), n 1__.82XI.4 2002-2003:LastatistiquedeMannetWhitneyIlestfaciledeverier,`apartirdelademonstrationdutheor`emecentrallimiteleresultat suivant sur la convergence uniforme locale des fonctions caracteristiques.Soit(Zk, k 1)unesuitedevariablesaleatoiresindependantes,dememeloietdecarreintegrable,tellesqueE[Zk] = 0etVar(Zk) = 2. Alorsona1kPki=1Zi(u) = e2u2/2+Rk(u),etpourtoutK 0, limksup[u[K[Rk(u)[ = 0.4.EcrireHm,n/_Var(Hm,n)commeunecombinaisonlineairedeVmetWn. Enutilisant la propriete ci-dessus, montrer que, quand min(m, n) tend vers linni,lasuite_Hm,n/_Var(Hm,n), m 1, n 1_convergeenloi verslaloi gaus-siennecentreereduite ^(0, 1).5. Onadmetlaformulesuivante(voirlapartieIVpourunedemonstration):Var(Um,n) = mn2 +m2n +mn(p p2 ). (XI.1)Determiner la limite en loi de la suite_Hm,n/_Var(Um,n), m 1, n 1_quandmin(m, n)tendverslinni.IIIConvergencedelastatistiquedeMannetWhitney(Facultatif )1. Montrer que Cov(Hm,n, Um,n) = mn2Cov(S, 1Y X)+nm2Cov(T, 1Y X).2. EndeduireVar(Hm,n Um,n).3. Calculerlalimitede Var(Hm,nUm,n)/ Var(Um,n)quand min(m, n)tend verslinni.4. En deduire que la suite_Hm,nUm,n_Var(Um,n), m 1, n 1_converge en probabilitevers0quandmin(m, n)tendverslinni.5. Montrerquelasuite_Um,n mnp_Var(Um,n), m 1, n 1_convergeenloiquandmin(m, n)tendverslinni.Determinerlaloilimite.83XI Controles`ami-coursIVCalculdelavariancedelastatistiquedeMannetWhitney(Facultatif )SoitXetYdesvariablesaleatoiresdememeloiqueXetY .OnsupposedeplusquelesvariablesaleatoiresX, X, Y etYsontindependantes.1. On consid`ere la partition de = (i, i, j, j) (N)4; i m, i m, j n, j nenquatresous-ensembles:1= (i, i, j, j) 2= (i, i, j, j) ; i ,= i3= (i, i, j, j) ; j ,= j4= (i, i, j, j) ; i ,= i, j ,= j.Calculerlecardinaldesquatresous-ensembles.2. VerierqueCov(1Y X, 1YX) = etCov(1Y X, 1Y X) = .3. CalculerlavariancedeUm,netverierainsilaformule(XI.1).4. DonnerVar(Um,n)dans lecaso` ulesvariablesaleatoires(Xi, i 1)et(Yj, j 1)onttoutesmemeloi.XI.52003-2004:LeprocessusdeGaltonWatsonExerciceXI.9.En1873, Galtonpublieunprobl`emeconcernantlecalcul delaprobabilitedex-tinctiondesnomsdefamilles.Nobtenantpasdereponsesatisfaisante,ilcontacteWatsonqui fournit une reponse partielle. Ce nest qu`apartir de 1930 que ceprobl`emeattire`anouveaulattentionetobtientalorsunereponsedetaillee1.Lebutduprobl`emequisuitest,`apartirdunmod`eleelementairedevolutiondepopulation, appelemod`eledeGalton-Watson, dedeterminercetteprobabilitedextinction.On consid`ere un individu masculin `a linstant 0, et on note Zn le nombre de des-cendants masculin de cet individu `a la n-i`eme generation(Z0= 1 par convention).Onsupposequelesnombresdegar consdechaqueindividusontindependantsetdememeloiquune variablealeatoire,,`avaleursenti`eres.Plus precisement,soit1VoirlarticledeD.Kendall.Branchingprocessessince1873,J.LondonMath.Soc.(1966), 41pp.385-406.84XI.5 2003-2004:LeprocessusdeGaltonWatson(i,n, i 1, n 0)unesuitedoublementindiceedevariablesaleatoiresindepen-dantesdememeloique.Lenombredindividusdelan + 1-i`emegenerationestlasommedesgar consdesindividusdelan-i`emegeneration:pourn 0,Zn+1=Zn

i=1i,n,aveclaconventionqueZn+1= 0siZn= 0.Onnote= P(ilexisten 0telqueZn= 0)la probabilite dextinction de la population. Pour k N, on note pk= P(= k), etlonsupposeque p0> 0 (sinonpresques urementlapopulationneseteintpas).ICalculdelaprobabilitedextinction1. Montrerqueestlalimitecroissantedelasuite(P(Zn= 0), n 0).Onsupposequeestintegrable,etonposem = E[].2. CalculerE[Zn+1[Zn].EndeduirequeE[Zn] = mn.3. Montrer que si m < 1, alors = 1, i.e. la population seteint presque s urement.Onnotelafonctiongeneratricede, et nlafonctiongeneratricedeZn(et0(z) = zpourz [0, 1]).4. CalculerE[zZn+1[Zn]pour z [1, 1].Endeduire que n+1= n ,puis quen+1= n.5. MontrerqueP(Zn+1=0)=(P(Zn=0)). Endeduirequeestsolutiondelequation(x) = x. (XI.2)6. Calculer(1).Verierquesi m 1,alorseststrictementconvexe sur[0, 1].Tracerlegraphez (z)pourz [0, 1].7. Endeduirequesim = 1,alors= 1.Onsupposedorenavantquem > 1.8. Montrerque(XI.2)poss`edeuneuniquesolutionx0 ]0, 1[.9. MontrerqueP(Zn= 0) x0pourtoutn 0.Endeduireque = x0.85XI Controles`ami-coursIIComportementasymptotiquesurunexempleLesdonneesconcernantlesU.S.A.en1920pourlapopulationmasculine(cflareference (1)en bas de page84)sont tellesque lonpeut modeliserla loi de souslaformep0= , etpourk 1, pk= (1 )(1 )k1, (XI.3)avec0 < < < 1.Onsupposedorenavant quelaloide estdonneepar(XI.3).1. Calculerm = E[], verierque m > 1etcalculer,lunique solutionde (XI.2)dans]0, 1[,o` uestlafonctiongeneratricede.Applicationnumerique(cflanote(1)enbasdepage84): = 0.4813et= 0.5586.2. Verierque(z) 1(z) = mz 1z .Endeduiren(z),o` u1= etpourn 2,n= n1.3. CalculerlafonctioncaracteristiquedeXY ,o` uXetY sontindependants,Xest une variable aleatoire de Bernoulli de param`etre p [0, 1], et Yune variablealeatoireexponentielledeparam`etre > 0.4. Montrer que lasuite (mnZn, n 1), o` uZnest une variable aleatoire defonctiongeneratricen,convergeenloi versunevariablealeatoireZdontonreconnatralaloi.XI.62004-2005:Theor`emedeCochran ;LoideBose-EinsteinExerciceXI.10.Le but de cet exercice est la demonstration du theor`eme de Cochran. Soit n 2, etX1, . . . , Xndes variables aleatoires independantes de meme loi gaussienne ^(0, 1).Soit e = e1, . . . , en la base canonique de Rnet X=

ni=1Xiei le vecteur aleatoiredeRn.1. Soit f = f1, . . . , fnunebaseorthonormeede Rnet Y =(Y1, . . . , Yn) lescoordonnees deXdanslabasef. Montrerqueles variablesY1, . . . , Ynsontindependantesdeloi ^(0, 1).(OnrappellequilexisteunematriceUdetaillenntellequesi x=(x1, . . . , xn)sontlescoordonneesdunvecteurdanslabasee, alorsses coordonneesdans labasefsont donnees par y= Ux. DeplusonaUtU= UUt= In,o` uInestlamatriceidentite.)2. Soit E1, . . . , Epune famille de p 2 sous-espaces vectoriels de Rnorthogonauxdeux`adeuxtels queE1 Ep=Rn(i.e. si f(i)= f(i)1, . . . , f(i)ni , o` uni=dim(Ei), estunebaseorthonormeedeEi, alorsf= 1ipf(i)estunebaseorthonormeede Rn). OnnoteXEilaprojectionorthogonaledeXsur86XI.6 2004-2005:Theor`emedeCochran ;LoideBose-EinsteinEi. Montrer que les variables XE1, . . . , XEpsont independantes et que la loi de|XEi|2estuneloidu2dontondetermineraleparam`etre.3. On note la droite vectorielle engendree par le vecteur unitaire f1=n1/2

ni=1eiet Hle sous-espace vectoriel orthogonal (en particulier H=Rn). Calculer Xet |XH|2= |X X|2. Retrouverainsi quelamoyenneempiriqueXn=1n

ni=1Xiest independantedeTn=

ni=1XiXn2, etdonnerlaloideTn.ExerciceXI.11.Lenergieduneparticuleest quantiee, cest-` a-direqueles valeurs possibles delenergieformentunensemblediscret.Mais,pourunniveaudenergiedonne,uneparticule peut-etre dans dierents sous-etats, que lon peut decrire `a laide du mo-mentcinetique(nombrequantiquesecondaire), dumomentmagnetique(nombrequantiquemagnetique)etdelarotationpropredes electronsdelatome(spin).Ilexistedeuxtypesdeparticules:Les fermions (electron, proton, neutron, etc.) ont unspindemi-ent