PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

EXAMEN. MAT 117

Problema Nº1. Calcule donde f : es una función dos veces

derivable tal que f ´´ es continua en , f ´(e) = 1 = f(e) y f ´(1) = f(1).

1 2

0´́ ( ) ,x xe f e dx∫ →

Problema Nº2. Calcule el área de la región interior al círculo ρ = 12

a y exterior

a la lemniscata 2ρ = a2 sen(2θ ), (a > 0).

Problema Nº3. Sea R = {(x, y) 2∈ / y 43x≤ , y 225 x≤ − , y ≥ 0}. Exprese las

integrales que permiten calcular el

(3.1) volumen del sólido que se genera al rotar la región R en torno del eje x,

(3.2) volumen del sólido que se genera al rotar la región R en torno de la recta

x = 5,

(3.3) perímetro de la región R,

(3.4) área lateral del sólido que se genera al rotar la región R en torno del eje de

las abscisas (eje x).

Problema Nº4. Determine si las series siguientes convergen o divergen.

(4.1) 1

( 1) .2nn

n n∞

=

+∑ (4.2) n e∑ 2 1/

1.n

n

∞−

=

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Tiempo : 100 minutos Fecha : 30 de Junio del 2005 Puntaje : 15 puntos cada problema Coordinadora : Gladys Figueroa R.

Justifique sus afirmaciones