CLASA A IX-A FRMULTIMEA NUMERELOR REALE1) Teorema fundamental a algebrei C R Q Z N 2) Partea ntreaga numrului x este cel mai mare numr ntreg mai mic dect x.x x x < ] [ 13) Parteazecimal aunui numr estediferenadintrenumrul respectivi parteasa ntreag.) 1 , 0 [ } { ], [ } { x x x xExemple: a) [3,76]=3 {3,76}=3,76-[3,76]=3,76-3=0,76b) [10]=10;{10}=10-[10]=0;c) [-3,16]=-4, {3,16}=-3,16-[3,16]=3,16-(-4)=-3,16+4=0,84De observat c partea fracionar a numrului este pozitiv4) Sume remarcabile 2) 1 (. . . 2 1+ + + + n nn S6) 1 2 )( 1 (. . . 2 12 2 2+ + + + + n n nn S23 3 32) 1 (. . . 2 11]1

+ + + + n nn S5) Modulul : '< 0 ,0 ,x xx xx. Pentru inecuaii cu modul, se utilizeaz definiiile:; c a c c a ; c a sau c a c a 6) Medii Aritmetic na a aMna+ + +. . .2 1; (Caz particular 2 b aMa+) Geometric nn ga a a M . . .2 1; (Caz particular ab Mg) Armonic nha a anM1. . .1 12 1+ + +; Inegalitatea mediilorh g aM M M .7) Formule de calcul prescurtat ( )2 2 22 b ab a b a + + + ; ( )2 2 22 b ab a b a + ;( ) ( ) b a b a b a + 2 2; ( )3 2 2 3 33 3 b ab b a a b a + + + + ;( )3 2 2 3 33 3 b ab b a a b a + ( ) ( )2 2 3 3b ab a b a b a + + + ;( ) ( )2 2 3 3b ab a b a b a + + ;( ) bc ac ab c b a c b a 2 2 22 2 2 2+ + + + + + + ;8) Puteri a a a an . . . (de n ori); 10 a ;nnaa1;n mnma a ;y x y xa a a+ ;y x y xa a a : ;( )y xyxa a ;( )x x xb a b a ;( )x x xb a b a : : 1.Mulimi si elementede logic matematica) Mulimea numerelor realeIn acest paragraph vom prezenta principalele mulimi de numere pe care le-ai studiat n anii precedeni, indicnd proprietile algebrice, de ordine i coresponden cu punctele unei drepte.Prima mulime de numere cunoscute este mulimea numerelor naturale, notatN={0, 1, 2, 3, ,n,}, iar mulimea numerelor naturale fr zero. N*= {1, 2, 3,,n, }S-a precizat, c nu se poate efectua scderea ntre dou numere naturaleobinndu-se de fiecare dat un numr natural. Exemplu 10-15=-5 care nu este numr natural.Atunci apare necesitatea extinderii acestei mulimi denumere. Apare mulimea numerelor ntergi, notat Z= {-n, ,-3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, ,n, }, observndu-se cNZ.In aceast mulime nu se poate efectua mprirea de fiecare dat ca s oninem un numr ntreg. Exempu 7:2=3,5R.Atunci vomfi condui la ideea extinderii mulimii numerelor ntregi, obinndmulimea numerelor raionale, notat Q=;' 0 , , / n n mnmnumite i fracii cu observaia c NZQ, Q conine numerele zecimale finite, periodice simple i periodice compuse.Dar mai apar i altenumerencalculareadiagonalei unui ptrat delatur1, unde diagonala este , 2 . Calculnd pe, 23,5, s-a observat c se obin numere zecimale cu un numr infinit de zecimale care nu se repet periodic . Toate aceste numere reunite dau mulimea numerelor reale , notat cu R. Deci: Numrul real este o fracie zecimal, finit sau infinit.Mulimea numerelor reale mpreun cu operaia de adunare sau nmulire formeaz o structur algebric. Ne referim la perechea (R, +) Proprietile adunrii pe R.A1. Adunarea este asociativ : (a+b)+c=a+(b+c); a, b, c R.A2. Adunarea este comutativ : a+b=b+c; a, b, c R.A3. Numrul 0 est element neutru pentru adunare: a+0=0+a=a. A4. Numrul(-a) este simetricul lui a (opusul ) fa de adunare : a+(-a)=(-a)+a=0Ca exerciiu scriei proprietile nmulirii pe R. Propietatea careleagceledouoperaii ntre ele se numete : distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea a (b+c)=ab+ ab ()a, b, c R. (revedei scoaterea factorului comun)Referitor la relaia de ordine : Oricare ar fi dou numere reale ntre ele exist una din relaiile mai mare = egal. Sau mai mic sau egal , mai mare sau egal.Axa real : O dreapt pe care s-a fixat originea.O un sens i o unitate de msur se numete axntremunimereapunctelor depeaxi mulimeanumerelor realeexistocoresponden biunivoc. Oricrui numr real i corespunde un punct pe ax i reciproc. S-au mai introdus dou simboluri respectiv + i -, care reprezint un numr foarte mare pozitiv iar - reprezint un numr foarte mare n valoare absolut dar cu semnul minus.Propoziie, predicat, cuantificatori, operaii logice elementere.Numim alfabet , o mulime de semne iar enunul este orice succesiune de semne dintr-un alfabet.Exemple:1) 1+9=10; 2) 38; 3)25 5 4210 + ; 4) x+13; 5) x2+y2=z2,x,y,z, ZSe numete propoziieun enun care ntr-un context dat este fie adevrat fie fals. Notm propoziiile cu litere mici : p, q, r, sau cu litere mici indexate: p1, p2, p3, .Valoarea de adevr a unei propoziiieste proprietatea acestuia de a fi adevrat sau fals.Se noteaz:V(p)='fals este p dacadevdev este p dac, 0, 1 Senumetepredicatunenun careconineunasaumai mai multevariabile, crora atribuindu-le valori obinem propoziii adevrate sau false.Exemplex+13; xR; p(x):x+13p(x,y): x se divide cu yCuantificatorul existenial ( x)p(x) (citim existax pentru care are loc p(x). Ex: p(x) x+5=16 x=11 RCuantificatorul universal ( x )p(x) (citim oricare ar fi xare loc p(x).Ex: p(x) x2+1>0,xROperaii logice elementare1. Negaia Negaia unei propoziii p este propoziia nonp pcare este adevrat cnd p este fals i este fals cnd p este adevratValoarea de adevr.pp1 00 12. Conjuncia propoziiilor Conjuncia propoziiilor p, q este propoziia pq (citim p i q) care este adevrat dac i numai dac pi q sunt adevrate i fals n celelalte cazuri.3.Disjuncia propoziiilor Disjuncia propoziiilorp i q este propoziia pq (citim p sau q) care este adevrat dac i numai daccel puin una este adevrat i fals ncaz contrar.4. Implicaia propoziiilor Implicaia propoziiilorp, q n aceast ordineeste propoziia pq (p implic q sau dac p atunci q) care este fals dac i numai dac p este adevrat i q fals.5.Echivalena propoziiilor. Echivalena propoziiilor p, qeste propoziianotat pq(p echivalent cu q sau p dac i numai dac q).Exerciii:1. Artai c dac nN, atunci6) 2 )( 1 ( + + n n neste natural.2. S se arate c dac a este numar par, atunci + +24 8 123 2a a a3. Calculai [ ] [ ] y x+ i [ ] y x + i comparai aceste numere n cazurile 1) x=6, y=11; 2) x=-10,y=-36;3) x=3.3 , y=2.64. Calculai{ } { } y x +i{ } y x +i comparai aceste numere n cazurile1) x=4,6, y=9,5; 2) x=2,4,y=3,3;5. S se arate c numrul3nu este raional6. Seconsiderpredicatelep1(x)x+1>0, xRip2(x):x-20 , xR. Ssedetermine valorile lui x pentru care 1) p1(x) este adevrat , 2) p2(x) este adevrat 3) p1(x) p2(x) este adevrat4) p1(x) p2(x) este adevrat.SIRURIDef. 1: Se numete ir de numere reale o succesiune de numere reale, realizat dup o anumit regul.Notaie: (an): a1, a2, a3, . . . , an, . . . termenii irului; - 1,2,3 . . . rang; - (an) termen generalModuri de definire a irurilora) Descriptiv prin enumerarea termenilor irului.Ex: (an): 2, 4, 8, 16, 32, . . . b) Cu ajutorul termenului general Ex : (an): an=5n+2, *N n c) Prin intermediul unei relaii de recuren Ex: (an): 1 ,221; 21 1

,_

+ +naa a ann nDef. 2: (an) se numete ir m rginit *. . 0 N n M a i a Mn > . (dac nu, irul este nemrginit)Def. 3 Dac ( )* 1 11 1, 1 1 , N naaaasau a a a annnnn n n n

,_

> < + ++ + atunci irul este monoton (strict) cresc tor .Dac( )* 1 11 1, 1 1 , N naaaasau a a a annnnn n n n

,_

< > + ++ +atunci irul este monoton (strict) descresc tor .PROGRESII ARITMETICEDef.: (an) = progresie aritmetic 1 ,1 + +n r a an n. r este raia progresiei aritmetice.Teorema 1: Sirul (an) este progresie aritmeric2 ,21 1 + +na aan nn.Teorema 2: Formula termenului generalr n a an) 1 (1 + a1= primul termen; n = numrul de termeni ai irului; r = raia progresiei;Teorema 3:Sumaprimilor ntermeni ai unei progresii aritmetice( )21n a aSnn+a1= primul termen; an = ultimul termen al irului;n = numrul de termeni ai irului; Exerciii: Se d progresia aritmetic (an)n1. Determinai n fiecare din cazuri , elementele cerute:1) a1=3; r=2. Calculai a15 i S152) a1=-2; a25=22. Calculai r i S153) Dac a1+a2=42 ia10+a3=21 Calculai a1 i rSoluia pentru Ex.1) a15=a1+(15-1)*r=31S15=( )...215 * 31 3+PROGRESII GEOMETRICEDef.: (bn) = progresie geometric2 , . .1* n q b b i a R qn n; q este raia progresiei geometrice.Teorema 1: Sirul (bn) este progresie geometric. 2 ,1 12 + n b b bn n nTeorema 2: Formula termenului general 11 nnq b b .Teorema 3:Sumaprimilor ntermeni ai unei progresii aritmetice' 1 ,111 ,11q dacaqqbq daca b nSnnExemple: Se d progresia geometric(bn)n1 cu raia qDeterminai n fiecare din cazuri, elementele cerute 1) q=4, n=8, b8=49152. Calculai b1 i S82)411 b, q=4 Calculai b103)283021

,_

b, q=-21, Calculai b14)79 131, 3 b b Calcula q>0.Test de evaluare:1. S se determine numerele reale n progresie geometric a, b, c dac suma lor este 26, iar numerele a+1, b+6, c+3 sunt n progresie aritmetic.2. S se gseasc suma primilor douzeci de termeni ai unei progresii aritmetice dac 2015 12 9 6 + + + a a a a3. S se gseasc primul termen a1 i raia r a unei progresii aritmetice dac : 4 7 8 4 6 22 7 a a a i a a a + 4. S se rezolve ecuaia 5+13+21+...+x=5885. Dac(bn)n1 este o progresie geometric cu24 802 4 1 5 b b i b b Calculai b1 i q.FUNCTII1) Pt. a defini o funcie este nevoie de 'legecodomeniudomeniu: . . . ) ( , : x f B A fx=abscisa;y= f(x) = ordonata;Ex: 3 ) ( , : x x f R R f;3 4 ) ( , ] 2 , 0 [ : + x x f R f;2) Intersecia cu axele a)( ) ) 0 , ( . . . 0 ) ( 0 x A x x f y ox ;b) ) , 0 ( . . . ) ( 0 y B x f y x oy ;3) Intersecia graficelor : f(x)=g(x)4) Compunerea funciilorB A f : i C B g : este funcia :( ) ) ( ) )( ( ) ( , : x g f x g f x h C A h 5) Funcii pare sau impare; inversa unei funciiFUNCTIA DE GRADUL I1) Def : 0 , ) ( , : + a b ax x f R R fEx: 1 2 ) ( , : + x x f R R f2) Intersecia cu axele a),_

+ 0 , 0 0 ) (abAabx b ax x f y ox;b) ) , 0 ( ) ( 0 b B b x f y x oy ;3) Graficul funciei de gradul I Este o dreapt. Se construiete astfel: se afl intersecia cu axele, se reprezint n sistem ortogonal de axe xOy cele dou puncte A i B, apoi se unesc aceste puncte obinndu-se o dreapt ce reprezint graficul funciei.Ex . S se reprezinte grafic funcia : f;( ) 6 2 x x f . Vom gsi punctele unde Gf intersecteaz axele de coordonate.-Int. cu ( ) 0 , 33 0 6 20: Ax xyx x' Int. cu ( ) 6 , 06 6 0 20: ' Byxy y4) Monotonia funciei de gradul I Dac a>0 atunci f(x)= cresctoare Dac a x f x( ) 0 : 6 x f x( ) ( ) 0 : , 6 < x f xExemplificm aplicaii la rezolvarea unor inecuaii de forma0 ++d cxb ax;cd cxb ax++S se rezolve inecuaia0610 5 +29, 229, , 229,, 29 2210 1 23 1xxxxxxxS se rezolve: a) '+< + +6123312 32x x xxxx b) ' > 0 1 20 1 30 3 2xxxc)( )' - ecuaia are 2 rdcini reale diferite; Dac abx x202 1 - ecuaia are 2 rcini reale egale; Dac0 < - ecuaia nu are rdcini reale.3) Intersecia cu axele, vrf, grafic, monotonie Graficul este o parabol cu vrful n jos dac a>0 i cu vrful n sus dac a deci graficul intersecteaz axa OXn 2 puncte distincte.b) Dacabx x202 1 deci graficulintersecteazaxa OXntr-unsingurpunct care va fi vrful parabolei.c) Dac0 < graficul nu intersecteaz axa OX.) , 0 ( ) ( 0 c A c x f y x oy 4) Relaiile lui Viete); )( ( ; ; 02 122 12 12x x x x a c bx axacx x Pabx x SP Sx x + +' + + 6) Semnul funciei de gradul II se studiaz astfel: se scrie ecuaia ataat ; 02 + + c bx ax Dac abx x x2; 02 , 1 2 1 t > , deci avem tabelul:x x1x2 +f(x)semnul lui a 0 semn contrar lui a0semnul lui a Dac abx x202 1 , deci avem tabelul:x ab2 +f(x)semnul lui a0 semnul lui a Dac0 < nu avem rdcini reale, deci tabelul devine:x +f(x) semnul lui a S se determine funcia( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 , 1 02 + + f i f f dac c bx ax x fCondiiile date conduc la sistemul de ecuaii: ( )( )( )( ) ( ) ( ) 12321 ;23;211 1 12 2 21 0 01 12 21 0222+ ' + + + + + + ' x xx f c b ac b ac b ac b afff Forma canonic a funciei de gradul al doilea:( )a abx a x f4 22

,_

+ Exemplu:a) S se scrie funcia de gradul doisub forma canonic i s se deduc valoarea extrem a funciei n cazurile:( ) ( ) ( ) 3 2 4 ) ; 2 ) ; 3 )2 2 2+ + + + x x x f c x x x f b x x x f aRezolvare:b) 4721472114 22 2 2+

,_

+ +

,_

+

,_

+ x xa abx a f27 8 1 4 112 cac b baDaca a=1>0, f are un minim Vmin

,_

a ab4,2

Xmin=-212 ab; Ymin=-47min474 fa;La fel pentru a) i c).S se traseze graficul urmtoarelor funcii: ( ) 8 2 ) 12+ x x x f ; ( ) ; 4 4 ) 22 + x x x f ( ) ; 3 2 ) 32 + x x x f( ) 3 2 ) 42+ x x x fAplicaii: Rezolvare de inecuaii:a)0 9 4 ) ; 0 9 ) ; 0 6 3 ) ; 02 2 2 2 + + < < + x x d x c x x b x xRezolvm b); 0 6 32< +x xatam ecuaia; 0 6 32 +x xo rezovm ( ) 2 ; 0 0 6 32 1 + x x x x( ) 0 , 2 : x Sx --2 0 +( ) x x x f 6 32+ -0 - 0 +Rezolvarea sistemelor simetrice de forma ' +P y xS y xAtunci ecuaia n sum i produs este02 + P SZ ZExemple:( )( )'' + +' + + + +10781 3 655 5 281 3 655 5 2PSS PS Py x xyy x xy atunci 5 2 0 10 72 12 + Z i Z Z Zcare dau tocmai soluia sistemului (2, 5) i (5, 2)Rezolvarea sistemelor formate dintr-o ecuaie de gradul I i o ecuaie de gradul 2 sau intersecia dintre o dreapt i o parabol , de forma ' + + +n m c b ay c bx axy n mx, , , ,2Exemplu:0 4 4 1 5 35 312 22 + + + '+ + x x x x xx x yx y 3 22 1 2 1 y y x xS se rezolve sistemele: 1) ' + 1 20 12x x yx y2) '+ + 30 22x x yx y3) ( )' + + +2 229y x xyxy y xTest de evaluare:1. S se determine funcia( ) c bx ax x f f + + 2, :dac punctele A(4,0), B(2,0), C(5,12) aparin graficului funciei.2. S se determine parametrul m nct ntre rdcinile x1 i x2 ale ecuaiei0 32 + m x xs existe relaia32221 + x x3. S se rezolve inecuaia: 151,32532< + x x4. S se determine semnul expresiei : ( )1422+xxx E5. Rezolvai sistemul simetric: ( ) ( ) 2 , 6 ; 6 , 2 : .82 1 1310Ry xxyyx' + +6. Reprezentai grafic funcia:( ) + + : 5 42f x x x fGEOMETRIE VECTORIALADefini ie :Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direcie,acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dac au aceeai direcie, acelai modul i sensuri contrare:BA AB Defini ie :Doi vectori se numesc coliniari daccel pu in unul este nul sau dac amndoi sunt nenuli i au aceeai direc ie. n caz contrar se numesc necoliniari.Teorem: Fieb i adoi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , exist , ) (unice R astfel nctb a v + 2 2) ( ) (A B A By y x x AB + -modulul vectorului ABle coordonate y y x x ABA B A B ) , (vectorului ABMijlocul segmentului AB:x2,2B AMB AMy yyx x ++Centrul de greutate al triunghiului ABC:x3,3C B AGC B AGy y yyx x x + ++ +Adunarea vectorilor se poate face dupregula paralelogramului sau triunghiuluiTeorem:Vectorii u i v sunt coliniariR a.i. v = u .Punctele A, B, C sunt coliniare R a.i. AB = ACABCD R a.i. AB = ACProdusul scalar a doi vectori .) , cos( v u v u v u j y i x u1 1+ , j y i x v2 2+ 2 1 2 1y y x x v u + ,2121y x u + Daca0 , v u ,atunci 0 v u v uElemente de geometrie itrigonometrieFormule trigonometrice.Propriet i. sin R x x x + , 1 cos2 2 -1R x x , 1 sin -1R x x , 1 cos

sin(x+2kx sin ) ,Z k R x ,cos(x+2k k R x x , , cos )

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbsin2x=2sinxcosx,cos2x=cos x x2 2sin sin x x cos )2( cos x x sin )2( tgx= 0 cos ,cossin xxx ctgx= 0 sin ,sincos xxxtg(x+ktgx ) ctg(x+kctgx ) tg ctgx x )2(ctg tgx x )2( sina+sinb=2sin2cos2b a b a + cosa+cosb=2cos2cos2b a b a + sina-sinb=2sin2cos2b a b a + cosa-cosb= -2sin2sin2b a b a + Valori principale ale func iilor trigonometrice x 0643223 2sinx 02122231 0 -1 0cosx 1232221 0 -1 0 1tgx 03313- 0 - 0ctgx -31330 - 0 -Semnele func iilor trig. sin:+,+,-,-tg.,ctg.:+,-+,-cos:+,-,-,+sin(-x)= -sinx (impar )cos(-x)=cosx(par ) tg(-x)= -tgxctg(-x)= -ctgxSemnele funciilor trigonometrice n cadraneFuncia / CadranulI II III IVsin + + - -cos + - - +cossin tg+ - + -sincos ctg+ - + -Reducerea la primul cadranDac,_

+

,_

,_

23, , ,2 2, 0 x x atunci x ,_

2 ,232 xavem:x t x t + x t 2cos t - cos x - cos x cos xsin t sin x - sin x - sin xExemple: 1) 7sin7sin76sin768 sin762sin

,_

,_

+ 2) 11cos11cos111210 cos11122cos

,_

+

,_

+ 3) 13sin2611cos26112 cos2641cos2641100 cos262641cos

,_

,_

+ Teorema sinusurilor:CcBbAasin sin sin =2R,unde R este raza cercului circumscris triunghiului.Teorema cosinusului:a A bc c b cos 22 2 2 + Aria unui triunghi:A2h b A2) , sin( AC AB AC ABA ) )( )( ( c p b p a p p ,p=2c b a + +A22 1 c cc dreptunghiA432ll echilatera Raza cercului circumscris unui triunghi:R=Sabc4,unde S este aria triunghiuluiRaza cercului nscris ntr-un triunghi:R=pS,unde S este aria triunghiului iar p=2c b a + + Teste recapitulativeTestul 1a) Se d progresia aritmetic ( )1 n na de raie r, n care cunoatem3 , 31 r aCalculai 10 10 5; S i a a.b) Se d progresia geometric( )1 n nl de raie q, n care cunoatem 411 l , q=4. Calculai 10 10S i l.c) S se determine parametrul real m nct ntre rdcinile ecuaiei0 32 + m x xs existe relaia:272221 x xd) S se verifice identitatea: ( )tgb tgab ab a +1cos coscose) Se d triunghiul ABC n care AC=5, AB=3, 60 A mS se determine BC, ariaABC , raza cercului nscris i raza cercului circumscris triunghiului ABCTestul 2a) S se demonstreze c ntr-un triunghi dreptunghic ABC ,_

2Aavem egalitile: 1) ; sin sin 2 cos cos C B a C c B b + 2); 1 sin cos2 2 2 2+ + C C tg C C tg3)C C B B cos sin cos sin + +b) S se demonstreze identitatea:( ) ( ) x x x x4 4 6 6cos sin 3 1 cos sin 2 + + + ,c) S se rezove sistemul de inecuaii: ( )( ) ( )' + +