Exercicios Resolvidos de CIV 107
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Exerccios do item 1.5: 1) Calcule a fora de trao nas duas barras da estrutura abaixo.
0111 87,36)75,0(tanarc4
3tan ===
0222 13,53)333,1(tanarc3
4tan ===
0)13,53(cosF)87,36(cosF:0F o2o
1x =+=
212
121 F75,0F8,0
F6,0F06,0F8,0F ===+
0000.12)13,53(senF)87,36(senF:0F o2o
1y =++=
000.128,0F6,0F 21 =+
Colocando-se a fora F1 na expresso acima, tem-se:
N600.925,1
000.12F000.128,0F6,0F75,0 222 ===+
N200.7F9600x75,0F 11 ==
2) Calcule a fora de trao nos dois cabos da figura.
-
000.6FF0F000.5000.1F:0F 2121y =+=+=
N8,730.3F06,2xF8,1x000.57,0x000.1:0M 221 ==+=
N2,269.2F08,0x000.59,1x000.16,2xF:0M 112 ===
Exerccios do item 1.6: 1) Calcule as reaes nos apoios da viga abaixo.
0H:0F Ax ==
000.14VV0V000.14V:0F BABAy =+=+=
N000.8V05,3xV0,2x000.14:0M BBA ===
N000.6V05,1x000.145,3xV:0M AAB ===
2) Calcule as reaes no apoio da viga em balano (ou viga cantilever).
0H:0F bx ==
000.1V0000.1V:0F bby ===
m.N000.3M0M0,3x000.1:0M bbO ===
-
Exerccios do item 1.9: 1) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo.
Dado: s = 77 kN/m3
A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo
transversal:
2mm000.3300x62x100x6A =+=
Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A ==
m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===
0H0F Ax ==
L.qVV0F BAy =+=
Ento: N20790,9x231VV BA ==+
-
02
L.L.qL.V0M AB ==
2
LqV
2
LqV BA ==
N5,10392
0,9x231VV BA ===
2) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo.
Dado: s = 77 kN/m3
0H0F Bx ==
N20790,9x231L.qV0F By ====
m.N5,93552
qLM0M
2
L.L.q0M
2
BBo ===+=
Observao muito importante: A substituio de uma carga distribuda pela fora
resultante somente pode usada para calcularem-se as reaes de apoio. No deve ser
usada para mais nada.
-
Exerccios do item 2.1: 1) Calcule a tenso normal nos dois cabos da figura.
Dados: 1 = 2 = 25,4 mm
rea dos cabos 1 e 2:
2212
21 mm7,506AA)7,12(AA ====
Tenso normal nos cabos 1 e 2:
22
1
11 mm/N48,4
)mm(7,506
)N(2,269.2
A
F ===
22
2
22 mm/N36,7
)mm(7,506
)N(8,730.3
A
F ===
2) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo.
Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20,0 mm
-
21o
2o
1x FF0)45cos(F)45(cosF:0F ==+=
0000.5)45(senF)45(senF:0F o2o
1y =+= N1,3536FF000.5707,0F2 211 ===
Clculo da tenso normal nas barras 1 e 2:
22
1
11 mm/N8,28
)25,6(
1,3536
A
F =
==
22
2
22 mm/N3,11
)10(
1,3536
A
F =
==
3) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo. As duas barras tm seo
transversal circular. Dados: Barra tracionada = 15 mm ; Barra comprimida = 20 mm
866,0FF0)30cos(FF:0F 21o
21x ==+=
N000.50F0000.52)30(senF:0F 2o
2y ==+= N300.43F866,0.)000.50(F 11 ==
Tenso normal nas barras 1 e 2:
22
1
11 mm/N0,245
)5,7(
300.43
A
F =
==
22
2
22 mm/N2,159
)10(
000.50
A
F =
==
-
4) Uma barra, de seo transversal retangular, tem altura varivel (como indicado) e
largura b constante igual a 12 mm. Calcule a tenso normal no ponto de aplicao da
fora F e no engaste. Dado: F = 8.000 N
2mm/N44,4415x12
000.8
A
F ===
2Engaste mm/N67,2625x12
000.8
A
F ===
5) Uma barra prismtica est pendurada por uma de suas extremidades. Construa os
diagramas de fora normal e de tenso normal.
Dados: : peso especfico; A: rea da seo transversal
Fazendo-se um corte imaginrio distncia x os esforos que eram internos passam a
ser externos. A parte recortada tambm tem que estar em equilbrio, pois qualquer
parte (ou ponto) de uma estrutura em equilbrio tambm est em equilbrio. N(x):
representa a ao da parte de cima sobre a parte de baixo.
-
xA)x(N0xA)x(N:0Fy ===
xA
Ax
A
)x(N ===
Exerccios do item 2.2: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular ( = 25
mm) e de comprimento L = 800 mm fica solicitada por uma fora axial de trao F =
30.000 N. Calcule a tenso normal e a deformao linear especfica sabendo que o
alongamento da barra de 2,0 mm.
22
mm/N1,61)5,12(
000.30
A
F =
==
310x5,2)mm(800
)mm(0,2
L
L ===
2) Um elstico tem comprimento no esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformao
linear especfica do elstico quando for esticado ao redor de um poste com dimetro
externo igual a 16 cm.
P: Permetro externo do poste: cm27,508.2R2P ===
68,030
3027,50
L
LL
L
L
i
if
i
====
-
Exerccios do item 2.3: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular (d = 20
mm) fica solicitada por uma fora axial de trao F = 6.000 N. Experimentalmente,
determinou-se a deformao linear especfica longitudinal ooo
L /3= . Calcule a
tenso normal, a variao do comprimento e do dimetro da barra. Dado: = 0,25.
22x
mm/N1,19)10(
000.6
A
F =
==
003,01000
3/3 oo
oxL ====
mm5,4L1500.10x0,3LLL
Lx
3xxx
x
xx ===
=
yyyy
yy LLL
L=
=
ddL yy ==
43xy
x
y 10x5,710x0,3x25,0 ===
=
mm015,020x10x5,7d 4 ==
2) Calcule o volume final da barra do problema anterior.
Vi : volume inicial da barra; Vf: volume final da barra
32iii mm9,238.471500.1x)10(LAV ===
32
fff mm9,943.471)5,41500(x4
)015,020(LAV =+==
3if mm7059,238.4719,943.471VVV ===
-
Exerccio do item 2.4: A figura abaixo mostra um diagrama Fora-Alongamento de um
ensaio de trao simples. A barra tem seo transversal circular (d = 30 mm) e
comprimento inicial (referncia) igual a 800 mm. Calcule:
a) a tenso (ou limite) de proporcionalidade (P);
b) a tenso (ou limite) de escoamento (Y);
c) a tenso ltima (U);
4
30.
4
DR.A
222 === = 2mm86,706
a) MPa15,14mm/N15,1486,706
000.10P
2P ===
b) MPa98,16mm/N98,1686,706
000.12Y
2Y ===
c) MPa29,28mm/N29,2886,706
000.20U
2U ===
Exerccios do item 2.5: 1) Calcule o mdulo de Young () da barra do problema
anterior.
= .
310x75,3mm800
mm3
L
L ===
3
2
10x75,3
mm/N15,14=
= 2mm/N3,773.3=
MPa3,773.3:Ou = GPa77,3=
-
2) Uma circunferncia de raio R = 300 mm desenhada em uma placa. Calcule ao
aplicar-se a tenso normal x = 81,0 MPa os valores dos dimetros ab e cd. Dados da
placa: = 120 GPa; = 0,36
Lei de Hooke: = xx =
9
6x
x10x120
10x81=
= 4x 10x75,6
=
mm405,0600x10x75,6LL
L 4x
x
xx ==
=
mm405,600405,0600LFab =+=
Coeficiente de Poisson ():
x
y
= xy = =410x75,6x36,0 = 410x43,2
mm1458,0600x10x43,2LL
L 4y
y
yy ==
=
mm8542,5991458,0600LFcd ==
3) Um bloco de massa m = 1.500 kg sustentado por dois cabos de seo transversal
circular. Sendo dados d1 = 8,0 mm; d2 = 12,0 mm; 1 = 70 GPa e 2 = 120 GPa, calcule: a) o valor do ngulo sabendo 1 = 2 ; b) valor da tenso normal nas duas barras;
c) a deformao linear especfica das duas barras.
-
=== senP
F0PsenF0F 22y
=== cossenP
F0cosFF0F 121x
a) 2
2
1
121 A
F
A
F ==
36
1
16
cos
)6(sen
P
)4(sen
cosP
22=
=
o61,6336
16cosarc =
=
b) 2
o
o
1
11
)4(
)61,63(sen
)61,63(cosP
A
F
== = 2mm/N2,145496,0
16
81,91500 =
=
=
==36
8958,0
81,91500
)6(
)61,63(sen
P
A
F2
o
2
22
2mm/N2,145
c) Lei de Hooke: =
3123
2
1111 10x074,2)mm/N(10x70
)mm/N(2,145 ===
3223
2
2222 10x21,1)mm/N(10x120
)mm/N(2,145 ===
-
Exerccios do item 3.1: 1) Uma barra prismtica de ao, com seo transversal circular,
tem 6,0 metros de comprimento e est solicitada por uma fora axial de trao F = 104
N. Sabendo-se que o alongamento da barra de 2,5 mm e que = 205 GPa, calcule:
a) o dimetro da barra;
b) a tenso normal.
a) mm1,6RR10x205
6000x105,2
AE
LFL
23
4
=
==
Ento: d = 12,2 mm
b) 22
4
mm/N5,85)1,6(
10
A
F =
==
2) Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura abaixo.
Dados: 1 = 2 = 25,4 mm; L1 = L2 = 3,5 m; 1 = 2 = 70 GPa
mm22,07,50610x70
3500x2,2269L
AE
LFL
3111
111 =
==
mm37,07,50610x70
3500x8,3730L
AE
LFL
3122
222 =
==
3) Calcule o alongamento das duas barras da trelia abaixo.
-
Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20 mm; L1 = 1,0 m; L2 = 2,0 m; 1 = 205 GPa; 2 = 120 GPa
mm14,07,12210x205
1000x1,3536L
AE
LFL
3111
111 =
==
mm19,02,31410x120
2000x1,3536L
AE
LFL
3122
222 =
==
Exerccios do item 3.2: 1) Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da
fora de 200 kN. Dados: A = 800 mm2; = 70 GPa
mm18,2280010x70
1800x000.250
80010x70
3600x000.80
80010x70
5400x000.200
AE
LFH
333
n
1i ii
ii =
+
== =
2) Duas barras de seo transversal circular so soldadas como mostra a figura. Sendo
dados: 1= 14 mm; 2 = 8 mm; 1= 2 = 70 GPa, calcule:
a) a tenso normal nas duas barras;
b) o alongamento da barra.
-
a) 221 mm9,153)7(A ==
222 mm3,50)4(A ==
21 mm/N98,519,153
8000 ==
22 mm/N64,593,50
3000 ==
b) mm91,19,15310x70
2000x000.5
9,15310x70
2000x000.3
3,5010x70
500x000.3L
333=
+
+
=
3) Calcule a tenso normal mxima e o alongamento da barra prismtica abaixo. Dados:
A = 7,1 x 10 4 m2; = 120 GPa; = 44.300 N/m3
A tenso normal mxima ocorre no apoio:
2664mx
m/N10x22,010x63,55x300.4410x1,7
000.4L
A
F +=+=+=
MPa85,5m/N10x85,5 26mx ==
Clculo do alongamento:
-
E2
L
AE
LFL
2+=
O alongamento mximo ocorre na extremidade livre:
m10x61,410x41,110x120x2
544300
10x1,710x120
0,3x000.4L 64
9
2
49mx
+=+
=
mm146,0m10x46,1L 4mx ==
Exerccios do item 3.3: 1) Calcule a tenso normal nas trs barras da trelia abaixo e o
deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P.
Dados: P = 15.000 N; 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 2 x 10 4 m2
Diagrama de corpo livre:
055cosF55cosF0F o1o
1x =+=
0PF55senF.20F 2o
1y =+=
De onde: 1,64 F1 + F2 = P (1)
Temos uma equao e duas incgnitas, o problema uma vez hiperesttico. A outra
equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.
-
11o
2211
11o
22
22 LF35cosLFAE
LF35cos
AE
LF==
Clculo do comprimento da barra 1: L1 cos35o = L2
m44,2L35cos
0,2L 1o1 ==
Da equao de compatibilidade:
121o
2 F49,1F44,2F35cos0,2xF == (2)
Colocando-se a equao (2) na equao (1), tem-se:
1,64 F1 + 1,49 F1 = P
N4792F000.15F13,3 11 ==
F2 = 7.140 N
Clculo da tenso normal nas barras 1 e 2::
MPa96,2310x2
4792
A
F14
1
11 ===
MPa70,3510x2
7140
A
F24
2
22 ===
Clculo do deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P:
mm35,0V10x2x10x205
000.2x7140
AE
LFLV
4922
222 ====
-
Exerccio 2): A barra rgida (indeformvel) AB, de peso desprezvel, rotulada em A,
suspensa por dois cabos e suporta uma fora P = 58.000 N. Calcule a tenso normal
nos cabos 1 e 2 e a reao vertical no apoio A.
Dados: L1 = L2; 1 = 70 GPa; 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 5 x 10 4 m2
0PFFV0F 21Ay =++= (1)
0d4xFd3xPd2xF0M 21A =+=
De onde: Px3Fx4Fx2 21 =+ (2)
Temos duas equaes independentes da esttica e trs incgnitas. O Problema uma
vez hiperesttico e a outra equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.
2121 LL2
d4
L
d2
L=
=
-
92
91
22
22
11
11
10x205
F
10x70
F2
AE
LF
AE
LF2 ==
De onde: F2 = 5,86 F1 (3)
Colocando-se a equao (3) na equao (2), tem-se:
Px3F86,5x4Fx2 11 =+
25,44 F1 = 3 x 58.000 F1 = 6.839,6 N
F2 = 40.080,1 N
Clculo da tenso normal nos cabos:
MPa68,1310x5
6,6839
A
F14
1
11 ===
MPa16,8010x5
6,080.40
A
F24
2
22 ===
Clculo da reao vertical no apoio A (equao (1):
N3,080.11000.581,080.406,839.6PFFV 21A =+=+=
Exerccio 3): A barra prismtica abaixo est presa em dois apoios indeformveis e
solicitada por uma fora axial F. Determine as reaes nos apoios A e B.
0HFH0F BAx =+= (1)
-
O problema uma vez hiperesttico. Vamos retirar um dos apoios e determinar o
deslocamento que o apoio retirado est impedindo.
Colocando-se o apoio retirado, tem-se:
Compatibilidade dos deslocamentos:
L
a.FH
EA
L.H
EA
a.FLL B
B21 ===
L
b.FH)aL(
L
F
L
a.F
L
LF
L
a.FFHHFH AABA =====
Exerccio 4): A barra prismtica abaixo est carregada axialmente por duas foras F1 e
F2. Calcule:
a) as reaes nos apoios indeformveis A e B;
b) a tenso normal no meio da barra.
Dados: F1 = 2.000 N; F2 = 3.500; Aseo transversal = 200 mm2
Superposio dos efeitos:
-
N6,384.16,2
8,1x000.2
L
b.FH 11A === N4,6156,2
8,0x000.2
L
a.FH 11B ===
N7,8076,2
6,0x500.3
L
b.FH 22A === N3,692.26,2
0,2x500.3
L
a.FH 22B ===
N9,5767,8076,384.1HHH 2A1AA ==+=
N9,076.23,692.24,615HHH 2B1BB =+=+=
Clculo da tenso normal no meio da barra:
F = fora normal axial no meio da barra
F = H + F1 = 576,9 + 2.000 = 1.423,1 N
Ou: F = HB + F2 = 2.076,9 + 3.500 = 1.423,1 N
Ento: MPa1,7:oumm/N1,7200
1,423.1
A
F 2 ====
Exerccio 5): A barra prismtica est na posio indicada quando a fora F = 0. Calcule
as reaes nos apoios rgidos A e B quando for aplicada a fora F = 18.000 N.
Dados: = 1,5 GPa; = 5 x 10 3 m2
-
OBS.: Se a barra no encostar no apoio B as reaes so dadas por:
H = 18.000 N e HB = 0.0
Vamos retirar o apoio B:
mm8,410x5x10x5,1
000.2x000.18
EA
000.2xFL
391===
Colocando-se o apoio B, a reao HB dever diminuir (encurtar) a barra de L1 2 mm.
N5,562.6H0,28,410x5x10x5,1
200.3xHB39
B ==
N5,437.115,562.6000.18HFHH ABA ===+
-
Exerccios Captulo Trs, item 3.4: 1) A barra prismtica abaixo est livre de tenso
quando a temperatura igual a 20C. Sabendo que os engastes so indeformveis
calcule a tenso normal na barra quando a temperatura subir para 50C.
Dados: = 205 GPa; = 11,7 x 10 6 /oC
Retirando-se o apoio B, tem-se:
Compatibilidade dos deslocamentos
TF LL =
TLEA
FL =
TE =
30x10x7,11x10x205 69 = 26 m/N10x95,71=
Ou: compresso = 71,95 MPa
-
2) A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a temperatura igual a 25 C.
Sabendo que os engastes A e B so indeformveis calcule a tenso normal na barra
quando a temperatura descer para 60C.
Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6 /oC; L = 4,0 m
Compatibilidade dos deslocamentos
TF LL =
TLEA
FL =
TE =
85x10x6,21x10x70 69 = 26 m/N10x52,128=
-
Ou: trao = 128,52 MPa
3) Resolva o problema anterior considerando que temperatura t = 60 C o apoio B
se desloca de 3 mm e o apoio A continua indeformvel.
Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6 /oC; L = 4,0 m
T3
F L10x3L =+
TL10x3EA
FL 3 =+
TL10x3E
L 3 =+
85x4x10x6,2110x310x70
4x 639
=+
-
339
10x310x344,710x70
4x =
26 m/N10x02,76=
Ou: trao = 76,02 MPa
4) A estrutura abaixo perfeitamente ajustada aos engastes rgidos A e B quando a
temperatura igual a 18 C. Calcule a tenso normal nas barras 1 e 2 quando a
temperatura subir para 100 C.
Dados: 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 12 x 10 6 /oC; 1 = 600 mm2 ;
2 = 300 mm2
TLTLL 2211T +=
82x400x10x1282x500x10x12L 66T += = 0,8856 mm
-
22
2
11
1F AE
FL
AE
FLL +=
300x10x205
400xF
600x10x205
500xFL
33F+= = 1,0569 x 10 5 . F
LF = LT
ento: 1,0569 x 10 5 . F = 0,8856
F = 83.791,4 N
Clculo da tenso normal:
2
11 mm/N7,139600
4,791.83
A
F ===
Ou: 1 = 139,7 MPa
2
22 mm/N3,279300
4,791.83
A
F ===
Ou: 2 = 279,3 MPa
5) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura
igual a 25 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule a tenso normal na
barra quando a temperatura for igual a:
a) 10 C;
b) 70 C;
c) 105 C;
Dados: = 70 GPa; que = 20 x 10 6 /oC
-
a) = 0,0
b) mm5,2mm25,245x500.2x10x20L 6T ==
2compresso33F
mm/N4210x70
500.2x5,1
A10x70
500.2xFL =
==
6) As barras esto na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura igual a
5 C. Determine a distncia d que o ponto a se desloca quando a temperatura subir
para 40 C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatao trmica
insignificante. Dados: 1 = 23 x 10 6 /oC; 2 = 12 x 10 6 /oC
-
mm93,045x900x10x23TLLT 6111 ===
mm49,045x900x10x12TLLT 6222 ===
-
290
x
30
49,093,0
290
x
30
LTLT 21 =
=
mm25,4290.30
44,0x
30
44,0
290
x ===
mm74,425,449,0d =+=
7) Um tubo de alumnio mede 35 m temperatura de 22 C. Um tubo de ao, mesma
temperatura, 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos tero o
mesmo comprimento.
Dados: Alumnio = 21,6 x 10 6 /oC; S = 11,7 x 10 6 /oC
SAL LT005.35LT000.35 +=+
TL005.35TL000.35 SSALAL +=+
Tx005.35x10x7,11005.35T000.35x10x6,21000.35 66 +=+
T410,0005.35T756,0000.35 +=+
000.35005.35T410,0T756,0 =
C45,14T5T346,0 o==
C45,36T45,1422T o=+=
Observao: temperatura t = 36,45C tm-se os seguintes comprimentos:
mm92,010.3545,14x000.35x10x6,21000.35L 6AL =+=
mm92,010.3545,14x005.35x10x7,11005.35L 6S =+=
-
Exerccios do Captulo Quatro: Exerccio: 1) Calcule a tenso de cisalhamento mdia
que ocorre na cola.
MPa5,2m/N10x5,210,0x04,0x2
000.20
A
F 26mm ====
Ou:
MPa5,2mm/N5,2100x40x2
000.20
A
F 2mm ====
2) Um bloco est solicitado por uma fora F = 112 kN. Calcule:
a) A tenso cisalhante mdia;
b) O deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior no se desloca.
Dados: = 87,5 GPa; = 0,25
a) ==50x160
000.112
A
Fm
2m mm/N14=
-
b)
== 8080
tg
Lei de Hooke no cisalhamento: = G
GPa35G)25,01(2
5,87
)1(2
EG =
+=
+=
.rad10x4)mm/N(10x35
)mm/N(14
G4
23
2===
mm032,010x4x80 4 ==
3) Calcule a tenso de cisalhamento mdia no pino e a tenso normal de trao mdia
no cabo da estrutura abaixo.
-
2md2md mm/N7,7110x14,3
500.22
A
F===
2md2md mm/N5,2927x14,3
000.45
A
F===
4) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo. Dados: F =
35.000 N; d = 19,05 mm
Neste caso n = 4 e nA = 1 (corte simples)
2md2md
mm/N7,30)525,9(x14,3x1x4
000.35
A
F===
5) Calcule o dimetro dos parafusos da ligao abaixo.
Dados: F = 200.000 N; 2__
mm/N95=
Para este problema: n = 8 e nA = 1 (corte simples)
-
mm15,9R)R(x14,3x1x8
000.20095
A
F2md
===
Portanto: d = 18,3 mm
6) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo e a tenso normal
nas chapas. Dado: d = 12 mm
1 opo: F = 15.000 N; n = 6; An = 1
2md2md
mm/N1,22)6(x14,3x1x6
000.15
A
F===
2mm/N50100x3
000.15
A
F ===
2 opo: F = 30.000 N; n = 6; An = 2
2md2md
mm/N1,22)6(x14,3x2x6
000.30
A
F ===
2mm/N50100x6
000.30
A
F ===
-
7) Um suporte para televiso sustentado por um pino de 8 mm de dimetro. Calcule a
tenso de cisalhamento mdia no pino sabendo que a massa da televiso igual a 25
kg.
Observao: a fora cisalhante no pino provocada pelo binrio exigido para o equilbrio
de momentos fletores.
050xF800xP0M A ==
N924.3F50xF800x81,9x25 ==
Clculo da tenso cisalhante mdia no pino:
2m2m mm/N1,784x14,3
924.3
A
F===
-
Exerccios do Captulo 5: 1) Para o eixo abaixo calcule:
a) a tenso de cisalhamento mxima;
b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A;
c) o deslocamento horizontal do ponto c.
Dados: =T 4.600 N.mm; G = 60 GPa.
a) J
r.T=
( ) ( ) 4444i4e mm2,270.8J121832DD32J ===
MPa01,5:oumm/N01,52,270.8
9x600.4mx
2mx ===
b) .rad10x42,72,270.8x10x60
800x600.4
GJ
TL 33
===
c)
mm067,010x42,7x9x99
tg 3 ====
-
2) Um eixo de seo transversal circular fica solicitado pelos momentos de toro
indicados na figura abaixo. Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro relativo da
seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A. Dado: G = 25 GPa.
J
r.T= onde: 444 mm3,592.613J5032
D32
J ===
MPa67,1:oumm/N67,13,592.613
25x000.41mx
2mx ===
GJ
TL=
.rad10x194,33,592.613x10x25
000.2x000.63
3,592.613x10x25
500.3x000.22 333B
==
Resposta: .rad10x194,3 3B= (no sentido de 63.000 N.mm)
3) A tenso de cisalhamento mxima que solicita o eixo abaixo igual a 32,5 MPa.
Sabendo que o eixo tem seo transversal circular ( = 12 mm) e L = 500 mm calcule o
valor da fora F. Para este valor de F calcule o giro relativo da seo transversal onde
est aplicado o binrio em relao ao engaste rgido. Dado: G = 42 GPa.
-
F12T =
44 mm75,2035J1232
J ==
N9,918F75,2035
6F125,32
J
r.Tmx =
===
Clculo do ngulo de toro: 75,2035x10x42
5009,91812
GJ
TL3
==
.rad064,0= (ou: 3,7)
4) Determine as reaes nos engastes indeformveis. O eixo prismtico e tem seo
transversal circular.
TTT0M BA =+=
O Problema uma vez hiperesttico. Precisamos de mais uma equao que vir da
compatibilidade dos deslocamentos. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo B:
-
JG
a.T
GJ
TLB ==
Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo :|B
JG
L.TB|B =
Compatibilidade dos deslocamentos:
JG
L.TBB
|B = JG
a.T=
L
a.TTB =
Da equao de equilbrio:
===L
a.TTTTT BA T L
L
L
a.T
L
b.TT)aL(
L
TT AA ==
-
Exerccio do item 5.5: Calcule a tenso de cisalhamento mdia da barra com seo
vazada de parede fina com espessura t constante.
tA2
Tmd =
Onde: A a rea limitada pela linha do esqueleto
2mdmd mm/N21,103x204.2x2
000.135 ==
-
Exerccios do item 6.4: 1) Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nos pontos
KeJ,I .
Esforos internos na seo transversal que contm os trs pontos:
M = 15.000 N.m e V = 5.000 N
443
Z m10x8,112
30,0x08,0I ==
Clculo da tenso normal (): ZI
y.M=
MPa5,12m/N10x5,1210x8,1
)15,0(x000.15 26I4I
===
010x8,1
)0(x000.15J4J
==
MPa5,12m/N10x5,1210x8,1
)15,0(x000.15 26K4K
===
-
Clculo da tenso cisalhante (): ZI.b
Q.V=
010x8,1x08,0
0x000.54I
==
MPa3125,0m/N10x125,310x8,1x08,0
075,0x15,0x08,0x000.5 254J
===
010x8,1x08,0
0x000.54K
==
Exerccio 2) Uma viga em balano tem largura b constante em todo o comprimento igual
a 10 cm e altura varivel, como mostra a figura abaixo. Calcule mxcmxtmx e,
no meio da viga e no engaste. Dado; P = 30.000 N
-
No meio da viga tem-se:
M = 30.000 (N) x 2,5 (m) = 75.000 N.m
V = 30.000 N
453
Z m10x8125,212
15,0x10,0I ==
MPa200m/N10x20010x8125,2
)075,0(x000.75 265tmx
===
MPa200m/N10x20010x8125,2
)075,0(x000.75 265cmx
===
MPa3m/N10x310x8125,2x10,0
)0375,0x075,0x10,0(x000.30 265mx
===
No engaste da viga tem-se:
M = 30.000 (N) x 5,0 (m) = 150.000 N.m
V = 30.000 N
443
Z m10x3021,112
25,0x10,0I ==
MPa144m/N10x14410x3021,1
)125,0(x000.150 264tmx
===
MPa144m/N10x14410x3021,1
)125,0(x000.150 264cmx
==
=
MPa8,1m/N10x8,110x3021,1x10,0
)0625,0x125,0x10,0(x000.30 264mx
===
Exerccio 3: Para a viga abaixo calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e
a maior tenso cisalhante.
-
N000.27VV0F BAY =+=
09,3xV7,2x000.152,1x000.120M BA =+=
N9,076.14VB =
02,1x000.157,2x000.129,3xV0M AB ==
N1,923.12VA =
443
Z m10x998,612
36,0x18,0I ==
MPa34,4m/N10x34,410x998,6
18,0x3,892.16 264tmx
===
MPa34,4m/N10x34,410x998,6
)18,0(x3,892.16 264cmx
===
MPa326,0m/N2,854.32510x998,6x18,0
09,0x18,0x18,0x9,076.14 24mx
===
Exerccio 4: A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria
vertical. Calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso
cisalhante.
-
N500.12VV0F BAY =+=
09x000.20,6xV0,4x500.40,2x000.60M BA =++=
N000.8VB =
00,3x000.20,2x500.40,4x000.6Vx60M AB =+=
N500.4VA = Clculo do momento de inrcia IZ:
4433
Z m10x25,212
30,0x10,0
12
h.bI ===
Clculo das tenses normais extremas:
264
ZTmx m/N10x0,6
10x25,2
15,0x000.9
I
y.M ===
= 6,0 MPa
264
ZCmx m/N10x0,6
10x25,2
)15,0(x000.9
I
y.M ===
= 6,0 MPa
Clculo de mx: ZIb
Q.V=
254mx
m/N10x0,31025,2x10,0
)075,0x15,0x10,0(x000.6==
-
Exerccios do item 6.7: 1) Sendo = constante, determine:
a) a equao da tangente linha elstica;
b) a equao da linha elstica;
c) a deflexo do ponto A;
d) a deflexo do ponto d.
Colocando-se o sistema de referncia no ponto A:
)x(M )x(vIE || =
)Lx0(x.P )x(M =
x.P )x(vIE || +=
12
| C2
xP )x(vIE +=
Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =
2
PLC0C
2
LP )L(vIE
2
11
2| ==+=
a) 2
PL
2
xP )x(vIE
22| =
Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):
223
C2
xPL
6
xP )x(vIE +=
-
Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =
3
PL
2
PL
6
PLC0C
2
LPL
6
LP)L(vIE
333
22
23
=+==+=
b) 3
PL
2
xPL
6
xP )x(vIE
323
+=
c) 3
PL
2
0PL
6
0P )0(vIE
323
+=
IE3
PL v)0(v
3
A ==
d) ( )
3
PL
2
)2L(PL
6
2LP )2L(vIE
323
+=
3333
PL48
)16121(
3
PL
4
PL
48
PL)2/L(EIv
+=+=
EI48
PL5v)2/L(v
3
d ==
2) Sendo = constante, determine:
a) a equao da tangente linha elstica;
b) a equao da linha elstica;
c) a deflexo do ponto A;
d) a deflexo do ponto d.
)Lx0(2
qx )x(M
2
=
2
qx )x(vIE
2|| +=
-
13
| C6
qx )x(vIE +=
Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =
6
qLC0C
6
Lq )L(vIE
3
11
3| ==+=
a) 6
qL
6
xq )x(vIE
33| =
Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):
234
C6
xqL
24
xq )x(vIE +=
Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =
8
qL
6
qL
24
qLC0C
6
LqL
24
Lq)L(vIE
444
22
34
=+==+=
b) 8
qL
6
xqL
24
xq )x(vIE
434
+=
c) 8
qL
6
0qL
24
0q )0(vIE
434
+=
IE8
qL v)0(v
4
A ==
d) 8
qL
6
)3/L(qL
24
)3/L(q )3/L(vIE
434
+=
4444
qL1944
)2431081(
8
qL
18
qL
1944
qL)3/L(EIv
+=+=
EI243
qL17
EI1944
qL136v)3/L(v
44
d ===
3) Sendo = constante, determine:
a) a equao da tangente linha elstica;
b) a equao da linha elstica;
c) a deflexo mxima;
d) a rotao nos apoios.
-
)Lx0(2
qxx
2
qL
2
qxx V)x(M
22
A ==
2
qxx
2
qL )x(vIE
2|| +=
13
2| C6
qxx
4
qL )x(vIE ++=
214
3 CxC24
qxx
12
qL )x(vIE +++=
Condies de contorno (ou condies de extremidades):
0)0(v = e 0)L(v =
0C0C0C24
0q0
12
qL )0(vIE 221
43 ==+++=
0LC24
qLL
12
qL )L(vIE 1
43 =++=
24
qLC
24
qL
12
qL LC
3
1
44
1 ==
a) 24
qL
6
qxx
4
qL )x(vIE
332| ++=
b) x24
qL
24
qxx
12
qL )x(vIE
343 ++=
c) A deflexo mxima ocorre no meio da viga:
)2/L(24
qL
24
)2/L(q)2/L(
12
qL )2/L(vIE
343 ++=
4444
qL384
)814(
48
qL
384
qL
96
qL )2/L(vIE
++=++=
-
IE384
qL5 )2/L(vv
4
mx ==
Observao: Para vigas bi-apoiadas a deflexo mxima ocorre onde
0)x(v| =
024
qL
6
qxx
4
qL )x(vIE
332| =++=
De onde:
0LxL6x4024
Lx
4
L
6
x 3233
23
=+=+
A equao do terceiro grau acima fornece trs razes reais que so:
X1 = 1,366L
X2 = 0,5L
X3 = 0,366L
d) Rotao nos apoios: )x()x(v|
IE24
qL)0(v
24
qL
6
0q0
4
qL )0(vIE
3
A|
332| =++=
IE24
qL)L(v
24
qL
6
qLL
4
qL )L(vIE
3
B|
332| =++=
-
4) Determine a deflexo no meio da viga. IE = constante.
Trecho 1: )2/Lx0(x2
P)x(M =
x2
P)x(vIE || =
12| Cx
4
P )x(vIE +=
Para x = L/2: v|(L/2) = 0
16
PLC0C)2/L(
4
P )2/L(vIE
2
112| ==+=
2
23 Cx
16
PLx
12
P )x(vIE ++=
Para x = 0: v(0) = 0
0C0C016
PL0
12
P )0(vIE 22
23 ==++=
Clculo da deflexo no meio do vo:
3332
3 PL96
)31(
32
PL
96
PL)2/L(
16
PL)2/L(
12
P )2/L(vIE
+=+=+=
IE48
PLv)2/L(v
3
mx ==
5) Sabendo que a deflexo mxima da viga abaixo igual a 0,6 cm calcule o valor do
mdulo de elasticidade da viga abaixo. IE = constante.
-
IE48
PLv
3
mx =
443
z m10x375,312
30,015,0I ==
4
3
10x375,3E48
)4,6(26000006,0
=
29 m/N10x12,70E = ou: GPa12,70E =
6) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo. IE = constante.
Dados: = 120 GPa; q = 80.000 N/m
4333
m10x083,2I12
)5,0(20,0
12
hbI ===
EI
qL00652,0 v)L52,0(v
4
mx ==
m10x3,110x083,2x10x120
)5(x000.80x00652,0v 3
39
4
mx
==
-
Exerccios do item 7.1: 1) Para a estrutura abaixo calcule as tenses normais extremas
e a posio da linha neutra.
Dado: F = 100.000 N
Reduzindo a fora F ao centride tem-se:
MZ = 100.000 (N) x 100 (mm) = 1,0 x 107 N.mm
z
z
I
yM
A
F
+=
-
12
400x200
y10x0,1
400x200
100.000
3
7 =
y10x375,91,25 3 =
Clculo das tenses normais extremas:
23Tmx mm/N625,0)200(10x375,91,25 ==
23Cmx mm/N125,3)200(10x375,91,25 ==
Equao da linha neutra: = 0
y10x375,91,25 0 3 =
mm133,3310x375,9
1,25 y
3=
=
Exerccio 2) Calcule a tenso normal nos pontos f e g e a posio da linha neutra no
engaste. Calcule tambm a tenso de cisalhamento mxima.
Seo transversal do engaste:
-
Mz = 3000 x 3,7 5.000 x 2,5 = 23.600 N.m
z
z
I
yM
A
F
+=
12
5,0x25,0
y236005,0x0,25
150.000
3
=
y10x06,910x1,2 66 = Clculo das tenses normais:
MPa06,1)25,0(10x06,910x1,2 66f == MPa46,3)25,0(10x06,910x1,2 66g ==
Equao da linha neutra: = 0
y10x06,910x1,2 0 66 =
m13,010x06,9
10x1,2 y
6
6
=
=
Clculo de mx:
ZIb
QV
=
23mx
m/N000.9610x604,2x25,0
0,125x0,25x0,25x8.000 ==
-
Exerccios do item 8.4: 1) Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados: BC =
120 GPa; LBC = 4,0 m.
Clculo da carga crtica do pilar BC: ( )2fl
min2
CRL
IEP
=
43
min mm500.11212
30x50I ==
mm40004000x0,1LKLfl ===
( )N5,327.8
4000
112500x10x120P
2
32
CR ==
A fora de compresso que atua no pilar BC maior do que a carga crtica ( CRP ) do
pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC.
-
2) Resolva o problema anterior considerando-se que o pilar BC est engastado no ponto
C.
Clculo da carga crtica do pilar BC: ( )2fl
min2
CRL
IEP
=
mm28004000x7,0LKLfl ===
( )N9,994.16
2800
112500x10x120P
2
32
CR ==
CRBC PF < , neste caso no vai ocorrer flambagem do pilar.
3) Calcule o valor crtico da fora P. As duas barras tm seo transversal circular com
dimetro = 15mm e mdulo de elasticidade = 205 GPa.
-
o60)5,0(cosarc69,0
345,0cos ===
P155,160sen
PF0senFP0F
o22Y===+=
==+= cosFF0cosFF0F 2121X
P5775,060cos)P155,1(F o1 ==
Clculo da carga crtica da barra 2: ( )2fl
min2
CRL
IEP
=
4944
min m10x485,264
)015,0(
64
DI ===
m69,069,0x0,1LKLfl ===
( )N560.10
69,0
10x485,2x10x205P
2
992
CR ==
Para que ocorra flambagem da barra 2: F2 = Pcr, ento:
N9,142.9P560.10P155,1 ==
-
Exerccio do item 9.2: Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nas direes =
60 e = 150.
MPa3225x15
000.12
A
Fxx =
==
Para = 60 tem-se as tenses:
MPa2460sen.32sen. 022x ===
MPa86,1360cos.60sen)32(cos.sen. oox ===
Para = 150 tem-se as tenses:
MPa8150sen.32sen. 022x ===
MPa86,13150cos.150sen)32(cos.sen. oox ===
Exerccio do item 9.3: Duas peas de madeira so coladas como mostra a figura abaixo.
A cola no pode ser tracionada e a tenso admissvel ao cisalhamento igual a 4,0
MPa. Investigue se a solicitao na cola admissvel.
-
++= sencos2cossen xy2
y2
x
( ) ( )+= 22xyxy cossencossen Neste problema: x = 2,0 MPa ; y = 5,0 MPa ; xy = 0,0
Para = 45 tem-se as tenses:
MPa5,1045cos0,545sen0,2 o2o2 =+=
( ) MPa5,3045cos45sen0,20,5 oo =+=
Concluso: A solicitao na cola admissvel.
Exerccio do item 9.5: 1) Um elemento estrutural fica solicitado pelas tenses indicadas
na figura abaixo. Calcule:
a) as tenses e as direes principais (mostre os resultados em um elemento orientado);
b) as tenses que atuam nos planos que formam ngulos de 100;
c) a maior tenso de cisalhamento do plano xOy e a direo 3.
a) 2xy
2yxyx
21 22
+
+=
( )22
21 252
8535
2
8535 +
+=
ento: MPa36,951 = e MPa64,242 =
01x1
xy1 5,223536,95
25tg =
=
=
-
022x
xy2 5,6764,2435
25tg =
=
=
b) Para 010= , tem-se as tenses:
000202 10sen10cos)25(210cos8510sen35 ++= MPa94,74=
( ) )10cos10sen(2510cos10sen3585 020200 = MPa04,32=
c) mx= 2xy2
yx
2+
mx= 22
)25(2
8535 +
= 35,36 MPa
( )
033
yx
xymx3
51,22)4144,0(tanarc
5,0)8535(
2536,35
5,0
tg
==
=
+
=
2) Para um ponto da barra abaixo calcule:
a) as tenses principais e as direes principais (mostre os resultados em um
elemento orientado):
b) mx do plano xoy e a direo 3 .
-
22 mm68,126)35,6(A ==
22x
mm/N71)mm(68,126
)N(000.9
A
F ===
a)
( )2xy2
yxyx
21 22
+
+=
( )22
21 02
071
2
071 +
+= 5,355,35 =
De onde: MPa711 = e 02 =
Clculo das direes principais:
0
0
7171
0tan
x1
xy1 =
=
= (indeterminado)
Neste caso, a frmula acima no pode ser usada. Nos planos principais a tenso
cisalhante nula. Ento, x e y so tenses principais:
o11x 90;MPa71 ===
o22y 0;0 ===
-
b)
( )2xy2
yx
minmx 2
+
=
( ) +
= 22
minmx 02
071 MPa5,35eMPa5,35 minmx ==
( ) 15,0)071(05,35
5,0tan
yx
xymx3 =
+=
+
=
o3 45)1(tanarc ==
Observao: Em uma barra tracionada (ou comprimida) a tenso cisalhante mxima
atua nos planos que formam 45 com o eixo x e seu valor a metade da tenso normal
mxima: 2x
mx= . No entanto, dependendo da resistncia do material mx pode
romper uma barra.
3) Um eixo macio est solicitado por um torque = 73.630 N.mm. Para um ponto
localizado na superfcie do eixo calcule usando o crculo de Mohr:
a) as tenses principais e as direes principais (mostre os resultados em um
elemento orientado):
-
b) mx do plano xoy e a direo 3.
O momento de toro (ou torque) produz um estado de cisalhamento puro.
J
r.T= (Expresso vlida para seo transversal circular)
444
mm3,592.61332
)50(
32
DJ ===
2xyxy mm/N33,61359225x73630 ==
Crculo de Mohr:
-
Elemento orientado da letra a:
b) mx = 3,0 MPa 3 = 90
-
Exerccios do item 9.8: 1)Uma circunferncia de raio r = 600 mm desenhada em
uma placa quadrada de lado L = 1400 mm. Determine os comprimentos dos dimetros
ab e cd depois de aplicadas as tenses indicadas.
Dados: x = 150 MPa; y = 80 MPa ; = 70 GPa ; = 0,3
[ ])(E
1zyxx +=
[ ] 3669x
10x486,2)010x80(3,010x15010x70
1 =+=
xxx LLL
L ==
mm98,2120010x486,21200L 3xab ===
mm98,1202L98,21200L1200L abFababF =+=+=
[ ])(E
1zxyy +=
[ ] 3669y
10x786,1)010x150(3,010x8010x70
1 =+=
yyy LLL
L ==
-
mm14,2120010x786,11200L 3ycd ===
mm86,1197L14,21200L1200L cdFcdcdF ==+=
2) Em uma chapa de liga de titnio desenhou-se uma linha inclinada. Calcule o valor em
graus do ngulo depois de aplicadas as tenses indicadas.
Dados: x = 90 MPa; y = 70 MPa titnio = 120 GPa ; titnio = 0,36
o55,27)5217,0(tanarcmm230
mm120tg ===
[ ])(E
1zyxx +=
[ ] 4669x
10x06,9)010x70(36,010x9010x120
1 =+=
xxx LLL
L ==
mm2208,023010x60,9230L 4xx ===
mm2208,230L2208,0230L230L FxxFx =+=+=
[ ])(E
1zxyy +=
[ ] 4669y
10x53,8)010x90(36,010x7010x120
1 =+=
yyy LLL
L ==
mm102,012010x53,8120L 4yy ===
mm898,119L102,0120L120L FyyFy ==+=
-
oFFF 51,27)5208,0(tanarcmm2208,230
mm898,119tg ===
3) Uma barra est solicitada pela tenso normal x. Para este caso demonstre que:
++
=21
E)( zyxx
Lei de Hooke Generalizada:
[ ])(E
1zyxx +=
[ ])(E
1zxyy +=
[ ])(E
1yxzz +=
Para uma barra solicitada pela tenso normal x tem-se:
[ ]E
)00(E
1 xxx
=+=
[ ]E
)0(0E
1 xxy
=+=
[ ]E
)0(0E
1 xxz
=+=
Somando as deformaes x , y e z tem-se:
EEExxx
zyx
=++
)1(E
xzyx
=++
++=
21
E)( zyxx
4) Em muitas situaes de carregamento a tenso normal em uma direo igual a
zero, como na chapa da figura abaixo onde z = 0 (estado plano de tenso). Para este
caso demonstre que:
-
+
=1
)( yxz
Para uma chapa solicitada por x e y tem-se:
[ ] )(E
1)0(
E
1yxyxx =+=
[ ] )(E
1)0(
E
1xyxyy =+=
[ ]E
)()(0
E
1 yxyxz
+=+=
Somando as expresses de x e y , tem-se:
)(E
1yxyx =+ + )(E
1xy
yxyx (E
1 =+ + )xy
)1()1(E)( yxyx +=+
)()1(E)( yxyx +=+
De onde: +
=+1
E)( yxyx
Colocando-se a expresso acima na expresso de z, tem-se:
E1
)(
EE
)( yxyxz
+=
+=
+
=1
)( yxz
-
Exerccios sobre critrio de resistncia de von Mises (item 10.4)
2Y
2yz
2xz
2xyzyzxyx
2z
2y
2x )(3
-
2) Sabendo que MPa240Y = calcule o valor do momento de toro que inicia o
escoamento do eixo abaixo.
J
rT = T10x2595,3
32
)25(
5,12xT 44yx
=
=
2Y
2xy )(3
-
As trs tenses principais so:
T10x2595,3 41= 02 = T10x2595,3
43
=
Colocando as tenses principais extremas no critrio de Tresca:
T10x2595,3 4 240)T10x5259,3( 4 =
De onde: = 368.155 N.mm
Comparao entre os critrios de von Mises e de Tresca:
1547,1155.368
109.425
Tresca
Misesvon ==
Portanto, o valor do momento de toro que inicia o escoamento do eixo segundo o critrio de
von Mises 15,47% maior que o valor fornecido pelo critrio de Tresca. Esta a diferena
mxima entre os dois critrios e ocorre na toro pura.
3) Sabendo que MPa400Y = calcule o valor da fora P inicia o escoamento da viga abaixo.
A
F
I
yM
Z
+=
P100,5xP2M ==
30,0x2,0
P15
12
3,0x2,0
yP103
=
-
P250y.P22,222.22 =
Tenso normal no ponto b:
P250P33,333.3P250)15,0.(P22,222.22b ==
P33,3583b =
Para que inicie o escoamento (critrio de von Mises):
2622Y
2x )10x400()P33,3583( ==
Ou: N9,627.111P10x400P33,3583 6 ==
Observao: Se tirar a fora axial (N = 0):
N000.120P10x400P33,3333 6 ==
4) Usando o critrio de von Mises investigue se o elemento abaixo est em segurana.
Dado: MPa320Y =
-
2Y
2yz
2xz
2xyzyzxyx
2z
2y
2x )(3
-
0349.19200 x2x =
De onde: MPa3,71eMPa3,271 xx ==
6) Usando o critrio de von Mises calcule o valor da tenso cisalhante XY que inicia o
escoamento do elemento abaixo.
Dado: MPa150Y =
2Y
2yz
2xz
2xyzyzxyx
2z
2y
2x )(3
-
2Y
2yz
2xz
2xyzyzxyx
2z
2y
2x )(3
-
9) Usando o critrio de von Mises investigue se o elemento abaixo est em segurana
quando solicitado pela tenso indicada.
Dado: MPa320Y =
2Y
2yz
2xz
2xyzyzxyx
2z
2y
2x )(3
-
Exerccios do Anexo apostila:
1) Determine as coordenadas do centride de uma rea retangular.
h.b
dzdy.y
A
dA.yy
h0
b0A
_ == [ ] b.2
h.
h.b
1z.
2
y
h.b
1 2b0
h
0
2
=
=
de onde: 2
hy_
=
h.b
dz.zdy
A
dA.zz
h0
b0A
_ == [ ]2
bh
h.b
1
2
z.y
h.b
1 2b
0
2h0 =
=
de onde: 2
bz_
=
O Sistema de referncia pode ter origem em qualquer ponto do plano da rea.
Para o sistema de referncia acima:
mmxxz_
=
-
= 0y_
0A
dA.yy A_
==
0dA.y:entoA A =
0dA.yQ AZ ==
O eixo z passa pelo centride da rea A, portanto, o momento esttico de uma rea
finita em relao a qualquer eixo que passa pelo centride nulo.
2) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do
centride.
60
60
160
200
2160200
6060AZ z2
ydz.dy.ydA.yQ
===
[ ] [ ] [ ] 120000.40600.252
1)60(60)200()160(
2
1Q 22Z ==
3
Z mm000.864Q = Outra forma de calcular-se o momento esttico:
AyQA
Qy
A
dA.yy
_
ZZ
_A
_
===
3Z mm000.86412040)180(Q ==
Outra forma de calcular-se o momento esttico: atravs da rea abaixo
-
3_
Z mm000.86436012020AyQ === 3) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do
centride.
3_
Z mm000.400.2120200100AyQ === Demonstrao do teorema dos eixos paralelos
2
|ZZa.AII +=
2|YY
b.AII +=
-
= A2|
|ZdA)y(I
[ ] ++=+= A 2|2|A 2|Z dAaay2)y(dA)ay(I
++= A A A2|2|
Z dAadAya2dA)y(I
O momento esttico de uma rea em relao a um eixo que passa pelo seu centride
nulo, ento: =A| 0dAy
2
|ZZa.AII +=
4) Para a rea abaixo, determine:
a) o momento de inrcia IZ
b) o momento de inrcia IY
a) ==2b
2b
2h
2h
2
A
2Z dzdyydAyI
=
2h
2h
3
Z 3
yI
2b
2bz
=2
b
2
b
8
h
8
h
3
1 33
12
hbIb
8
h
8
h
3
1I
3
Z
33
Z =
+=
-
b) ==2b
2b
22h
2hA
2Y dzzdydAzI
= 2h
2hYyI
2b
2b
3
3
z
12
bh 3=
5) Determine o momento de inrcia de uma rea circular vazada em relao ao eixo Z.
= A2
Z dAyI
drrddA =
== senryr
ysen
= drrd)rsen(I2
Z
= er
ir
2
023 dsendrr
( )
=2
0
er
ir
4
Z cossen2
1
4
rI
( )( )[ ])0cos0sen0(2cos2sen2
2
1
4
rrI
4i
4e
Z
=
-
( ) ( )4
rrI2
2
1
4
rrI
4i
4e
Z
4i
4e
Z
=
=
Ou colocando em funo dos dimetros externo e interno:
=4
i4
eZ 2
D
2
D
4I
=
16
D
16
D
4
4i
4e
[ ]4i4eZ DD64I =
Particularizando para seo cheia (Di = 0): 64
DI
4e
Z
=
Observaes: 1 ) Existem infinitos eixos de simetria que passam pelo centride de uma
rea circular. Portanto, todos os momentos de inrcia em relao aos eixos que passam
pelo centride so iguais.
2 ) No confundir momento de inrcia ( I ) com momento de inrcia toro (J)
I usado na flexo
J usado na toro
-
64
DII
4
YZ
== (para seo circular cheia)
222 yzr +=
+=+== A A A2222
A2 dAydAzdA)yz(dArJ
ZY IIJ += 32D
64
D
64
D 444 =
+
=
6) Calcule o momento de inrcia de uma rea em forma de T em relao ao eixo horizontal (Z) do centride.
Clculo das coordenadas do centride:
0z_
=
-
21
_
22
_
11A_
AA
yAyA
A
ydAy
++
== 10,0x80,020,0x50,0
55,0x10,0x80,025,0x50,0x20,0
++=
m383,018,0
069,0y_
==
Se o sistema de referncia auxiliar for colocado na face superior, tem-se:
=_y m217,0
18,0
039,0
10,0x80,020,0x50,0
35,0x50,0x20,005,0x10,0x80,0 ==++
Transladando-se o sistema de referncia para o centride da figura, tem-se:
Clculo de IZ usando-se o teorema dos eixos paralelos:
2|ZZa.AII +=
23
23
Z )133,0(x5,0x2,012
5,0x2,0)167,0(x1,0x8,0
12
1,0x8,0I +++=
-
43
Z m10x15,6I=
7) Para a rea do exerccio anterior calcule o momento de inrcia em relao ao eixo y
( YI ).
43
33
Y m10x6,412
20,0x50,0
12
80,0x10,0I =+=
8) Para a rea abaixo calcule os momentos de inrcia em relao aos eixos Z e Y.
41033
Z mm10x97,112
400x300
12
800x500I ==
4933
Y mm10x43,712
300x400
12
500x800I ==