Exercícios Resolvidos: Área abaixo da curva
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7/23/2019 Exercícios Resolvidos: Área abaixo da curva
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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Área Abaixo de Curvas
Contato: [email protected]
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/10/2017
O que preciso saber?
Dada uma função ƒ ( ) definida num intervalo [a, b] como na figura a seguir:
y
xa b
A
então a área A limitada pela curva e o eixo dentro do intervalo [a, b] é:
A =
b
ƒ ( ) d (Integração em x)
OBS.: Analogamente se tivermos uma função ƒ ( y ) podemos determinar a árealimitada pela curva e o eixo y com a integral
A =
b
ƒ ( y ) dy (Integração em y)
Exemplo 1: Calcule a área entre as curvas y = 2 e y = 4 .
Solução:
Não é exatamente necessário fazer um gráfico das duas funções, mas tal prática
ajuda muito neste tipo de problema. Abaixo temos o gráfico das duas funções quese interceptam nos pontos (0, 0) e (4, 16).
1
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(0, 0)
(4, 16)
Usando a integração em X:
Primeiro determinamos a área A1 limitada pela curva y = 4 e o eixo no inter-valo [0,4].
A1 =
40
4 d
(0, 0)
(4, 16)
Já a área A2 limitada pela curva y = 2 e o eixo será:
A2 =
40
2 d
(0, 0)
(4, 16)
2
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Assim, a área entre as curvas (A) será a primeira integral menos a segunda(A1 − A2).
A = A1 − A2
A =
40
4 d − 40
2 d
A = 2 24
0
− 3
3
4
0
=32
3 (unidade de área).
(0, 0)
(4, 16)
Usando a integração em Y:
A integração em y é feita em relação ao eixo y . Para aplica-la antes temos dedeterminar as funções inversas das curvas.
y = 2 ⇒ = y
y = 4 ⇒ = y
4
Na verdade, y = 2 implicaria em = ± y , mas como as interseções entre ascurvas ocorrem apenas no primeiro quadrante usamos o resultado positivo.
Assim, a área limitada pela curva =
y (em vermelho abaixo) e o eixo y é oresultado da integral A1
(0, 0)
(4, 16)
3
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A1 =
160
y dy
Já a área limitada pela curva = y
4(em amarelo a seguir) e representada pela
integral A2.
(0, 0)
(4, 16)
A2 =
160
y
4dy
Assim, a área entre as curvas será o resultado da primeira integral menos asegunda (A1 − A2).
(0, 0)
(4, 16)
A = A1 − A2
A = 16
0 y dy
− 16
0
y
4
dy
A =2
y 3
3
16
0
−1
8 y 2
16
0
=32
3
OBS.: Note que neste segundo caso (integração em y ) usamos limites de inte-gração diferentes do primeiro caso (integração em x ). Na integração em x usou-se
4
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a abscisa dos pontos de interseção, enquanto na integração em y usa-se as orde-nadas.
Exemplo 2: Calcule a área limitadas pelas curvas y = 3
e y =6
− 3.
Solução:
O gráfico das funções é o seguinte:
21
3
y = 3
em vermelho e y = (6 / ) − 3 em preto
Usando a integração em X:
Note que a região entre as curvas ora é limitada superiormente por y = 3
ora
por y = 6
− 3.
Para resolver este problema dividimos a área que desejamos calcular em duas(A1 e A2), calculamos cada uma individualmente e depois fazemos a soma dosresultados.
A1 A2
21
3
Note que a área A1 é limitada apenas por y = 3
, então terá a medida da áreaigual a:
5
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A1 = 1
0
3
d
= 2
Já a área A2 é limitada apenas pela curva y =6
− 3, então terá área igual a:
A2 =
21
6
− 3
d
= 6 · n|2| − 3
Finalmente fazendo A = A1 + A2 chegamos ao resultado final A = 6 · n|2| − 1 ua .
Usando a integração em Y:
Primeiro encontramos as funções inversas das curvas dadas.
y = 3
⇒ = y 2
9
y =6
− 3⇒ =
6
y + 3
Agora determinamos a área limitada pela curva =6
y + 3e pelo eixo y .
1
3
2
Chamaremos esse resultado de A1.
6
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A1 =
30
6
y + 3
dy
Em seguida determinamos a área limitada pela curva = y 2
9e o eixo y .
1
3
2
Chamaremos esse resultado de A2.
A2 =
30
y 2
9dy
Agora deve ser possível perceber que a área entre as curvas (A) é a primeira integral
menos a segunda.
21
3
A =
30
6
y + 3−
y 2
9
dy = 6 · n| y + 3|
3
0
− y 3
27
3
0
= 6 · n|2| − 1
Exemplo 3: Ache á área limitada pelas curvas y = − , y = 2− e o eixo .
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Solução:
O gráfico das curvas é colocado a seguir.
2
-2 (2, 0)
Integrando em X:
Primeiro encontramos a integral que nos fornecerá a área limitada pela curva y =
2− e o eixo
2
-2
2
-2 (2, 0)
A1 =
2−2
2− d
e em seguida a integral que nos dará a área limitada por y = − e o eixo .
2
-2
2
-2 (2, 0)
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A2 =
0−2
− d
Assim, a área entre as duas curvas será a primeira integral menos a segunda(A1 − A2).
2
-2
2
-2 (2,0)
A = A1 − A2
A =
2−2
2− d −
0−2
− d
A =
2−2
( 2− )d +
0−2
d
A =
16
3 − 2
A =10
3
Ou seja,10
3
Curvas que Interceptam o Eixo de Integração
Nos problemas anteriores determinamos apenas a área de curvas que não inter-ceptavam o eixo no qual realizamos a integração. Agora estudaremos dois casosem que isso ocorre.
Exemplo 4: Refaça o exercício 3 usando a integração em y .
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Solução:
Vamos observar novamente a área (em azul) que desejamos calcular.
2
-2
2
-2 (2,0)
Neste caso queremos realizar a integração ao longo do eixo y o problema é queambas as curvas interceptam o eixo y .
Assim, antes de realizar a integração, você deve deslocar as funções. Nestecaso, duas unidades para direita.
Deslocando as funções em duas unidades para a direita y = − se torna y =
−( − 2) ou y = 2 − . E a curva y = 2− se torna y =
2− ( − 2) ou y =
4− .
Os gráficos das funções deslocadas é mostrado a seguir.
(4, 0)
(0, 2)
Note que as curvas ainda têm as mesmas formas. Na verdade, apenas as “pux-amos" para direita.
Agora vamos determinar as inversas das curvas dadas.
y = 2 − ⇒ = 2 − y
y = 4− ⇒ = 4 − y 2
A integral que fornece a área da curva limitada por = 4 − y 2 será:
10
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(4, 0)
(0, 2)
A1 =
20
4− y 2
dy
Já a integral que nos fornece a área limitada pela curva = 2 − y e o eixo y será.
(4, 0)
(0, 2)
A2 =
20
(2− y )dy
A área entre as curva será então a primeira menos a segunda integral (A1 −A2).
(4, 0)
(0, 2)
A = A1 − A2
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A =
20
4− y 2
dy −
20
(2− y )dy
A =
20
2 + y − y 2
dy
A =
2 y
y 2
2−
y 3
3
2
0
A =10
3
Exemplo 5: Encontre a área entre a curva y = 3
− 2 e o eixo no intervalo [1,
4].
Solução:
Fazendo o gráfico da função obtemos o seguinte.
4
1
3
Novamente temos um pequeno problema aqui, pois nos foi solicitado a inte-gração ao longo do eixo , contudo a curva acaba interceptando esse eixo. Ao
contrário do problema anterior não podemos simplesmente deslocar a função paracima.
Neste caso podemos fazer o seguinte: dividimos a área em questão em duasáreas. Uma acima do eixo e outra abaixo.
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4
1
3
A2
A1
E calculamos cada uma separadamente.
31
(3 − 2)d =
3 2
2−
3
3
3
1
=20
6
43
(3 − 2)d =
3 2
2−
3
3
4
3
= −11
6
Note que essa última integral resultou num valor negativo o que não faz sentido já que nenhuma área pode ser negativa. Neste caso, o que deve nos interessa então
é o módulo do resultado.
Finalmente somamos ambos os resultados.
20
6+11
6=31
6
Se não fizéssemos o gráfico, poderíamos ficar tentados a achar a área solicitadaapenas resolvendo a integral
4
1
(3 −
2)d
O problema é que vimos que uma parte dessa integral fica negativa e ao invésde ser somada a parte positiva ela seria subtraída o que nos daria um resultadocompletamente errado.
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