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Exercícios de provas oficiais
1. Na figura ao lado, está representada uma circunferência
de centro no ponto O e raio 1.
Sabe-se que:
o diâmetros [AC] e [BD] são perpendiculares
o ponto P pertence ao arco AB
[PQ] é um diâmetro da circunferência
o ponto R pertence a [OD] e é tal que [QR] é paralelo
a [AC]
Seja a amplitude, em radianos, do ângulo AOP
0,2
.
Qual das seguintes expressões dá a área do triângulo [PQR], representado a sombreado, em
função de ?
(A) cos 2
4
(B)
sin 2
4
(C)
cos 2
2
(D)
sin 2
2
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016
2. Na figura ao lado, estão representados o círculo
trigonométrico e um trapézio retângulo [OPQR].
Sabe-se que:
o ponto P tem coordenadas 0,1
o ponto R pertence ao quarto quadrante e à
circunferência
Seja , a amplitude de uma ângulo orientado cujo
lado origem é o semieixo Ox e cujo lado
extremidade é a semirreta OR
Qual das expressões seguintes dá a área do trapézio
[OPQR], em função de ?
(A) cos
sin cos2
(B)
cossin cos
2
(C) sin cos
cos2
(D)
sin coscos
2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2016
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3. Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por
uma mola.
A figura abaixo esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos O e A são pontos fixos. O
ponto P representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta OA
Admita que não existe qualquer resistência ao movimento.
Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por:
1
1 sin2 6
d t t
A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi
iniciada a contagem do tempo 0,t .
No instante em que se iniciou a contagem do tempo, o ponto P coincidia com o ponto A.
Durante os primeiros três segundos do movimento, o ponto P passou pelo ponto A mais do
que uma vez.
Determine, sem recorrer à calculadora, os instantes, diferentes do inicial, em que tal
aconteceu.
Apresente os valores exatos das soluções, em segundos.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2015
4. Na figura, está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
o ponto A pertencente ao primeiro quadrante e à
circunferência
o ponto B pertence ao eixo Ox
o ponto C tem coordenadas 1,0
o ponto D pertence à semirreta OA
os segmentos de reta [AB] e [DC] são paralelos ao
eixo Oy
Seja a amplitude do ângulo COD 0,2
.
Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero [ABCD], representado a sombreado,
em função de .
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(A) sin 2tan
2 2
(B)
sin 2tan
2 4
(C) sin 2
tan4
(D)
sin 2tan
2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2015
5. Na figura, estão representadas, num referencial o.n. xOy, a circunferência de centro O e a
reta r
Sabe-se que:
os pontos A e B pertencem à circunferência
o ponto B tem coordenadas 0,1
a reta r é tangente à circunferência no ponto B
o ponto C é o ponto de interseção da reta r com a semirreta OA
é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com 0,2
Qual das expressões seguintes representa, em função de , a área da região a sombreado?
(A) sin
2
(B)
tan
2
(C)
tan
2
(D)
2
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2014
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6. Na figura ao lado, estão representados uma circunferência de
centro O e raio 2 e pontos P, Q, R e S. Sabe-se que:
os pontos P, Q, R e S pertencem à circunferência
[PR] é um diâmetro da circunferência
PQ PS
é a amplitude, em radianos, do ângulo QPR
0,2
A é a área do quadrilátero [PQRS], em função de
Para um certo número real , com 0,2
, tem-se que tan 2 2 .
Determine o valor exato de A , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a
calculadora.
Comece por mostrar que 16sin cosA
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014
7. Na figura, está representada,
num referencial o.n. xOy,
uma circunferência de
centro O e raio 1.
Sabe-se que:
os pontos A e B
pertencem à
circunferência
o ponto A tem
coordenadas 1,0
os pontos B e C têm a mesma abcissa
o ponto C tem ordenada zero
o ponto D tem coordenadas 3,0
é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB com ,2
Qual das expressões seguintes representa, em função de , a área do triângulo [BCD]?
(A) 1
3 sin cos2
(B) 1
3 sin cos2
(C) 1
3 cos sin2
(D) 1
3 cos sin2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2014
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8. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente
ao intervalo 3
,2
?
(A) sin cosx x (B) cos
tan
x
x (C) tan sinx x (D) sin tanx x
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 11-03-2014
9. Considere, em , a equação trigonométrica sin 0,3x .
Quantas soluções tem esta equação no intervalo 20 ,20 ?
(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 11-03-2014
10. Na figura ao lado, estão representados:
o retângulo [ABCD], em que 1CD e 2BC
o ponto O, ponto médio do segmento [AD]
uma semicircunferência de centro no ponto O e raio 1
Considere que um ponto P se desloca ao longo do
segmento de reta [AB], nunca coincidindo com A, mas
podendo coincidir com B.
Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto de interseção
da reta PO com a semicircunferência.
Seja x a amplitude, em radianos, do ângulo DOQ 0,4
x
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
10.1. Mostre que a área do polígono [BCDQP], representado a sombreado, é dada, em função de
x, por tan sin
22 2
x x
10.2. Para uma certa posição do ponto P, tem-se 3 3
cos2 5
x
Determine, para essa posição do ponto P, a área do polígono [BCDQP]
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 11-03-2014
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11. Na figura, estão representados a circunferência de centro no ponto C e de raio 1, a semirreta
CB , a reta AD e o triângulo [ACE].
Sabe-se que:
os pontos A e B pertencem à circunferência
os pontos D e E pertencem à semirreta CB
a reta AD é perpendicular à semirreta CB
o ponto A desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse
movimento de modo que 6DE
x é a amplitude, em radianos, do ângulo ACB
0,2
x
Mostre que a área do triângulo [ACE] é dada, em função de x, por 1
3sin sin 24
f x x x
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2013
12. Na figura, estão representados, num referencial o.n.
xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.
Sabe-se que:
a reta r é definida por 3x
o ponto A pertence à reta r e tem ordenada positiva
o ponto B é simétrico do ponto A em relação ao
eixo Ox
é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo
lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado
extremidade é a semirreta OA
;2
a função P, de domínio ;2
, é definida por
6
6tancos
P x xx
Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de , por P .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2013
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13. Na figura ao lado, está representado, num referencial
o.n. xOy, o círculo trigonométrico.
Os pontos A, B, C e D são os pontos de interseção da
circunferência com os eixos do referencial.
Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco
BC, nunca coincidindo com B nem com C.
Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto do arco
AB que tem ordenada igual à ordenada do ponto P e
seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à
abcissa do ponto Q.
Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo
Ox e por lado extremidade a semirreta ,2
O P
Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
13.1. Mostre que a área do trapézio [OPQR] é dada por 3
sin cos2
13.2. Para uma certa posição do ponto P, a reta OP interseta a reta de equação 1x num ponto
de ordenada 7
24 .
Determine, para essa posição do ponto P, a área do trapézio [OPQR]
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-03-2013
14. Considere o intervalo 5 4
,6 3
Qual das equações seguintes não tem solução neste intervalo?
(A) cos 0,5x (B) sin 0,5x (C) cos 0,9x (D) sin 0,9x
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-03-2013
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15. Na figura, está representado o quadrado [ABCD].
Sabe-se que:
4AB
AB AH BE BF CF
CG DG DH
x é amplitude, em radianos, do ângulo EAB
0,4
x
Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por 16 1 tana x x .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012
16. Na figura, está representado um trapézio retângulo [ABCD].
Sabe-se que:
1BC
1CD
é a amplitude, em radianos, do ângulo
ADC
,2
Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que o perímetro do trapézio
[ABCD] é dado, em função de , por 1 cos
3sin
P
.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2012
17. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:
o segmento de reta [AC] tem comprimento
4;
o ponto B é o ponto médio de [AC];
o segmento de reta [BD] é perpendicular a
[AC];
o arco de circunferência CD tem centro
em B.
Admita que o ponto P se desloca ao longo do arco CD, nunca coincidindo com C nem com
D, e que o ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [AB] de tal forma que [PQ] é
sempre perpendicular a [BC].
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Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo CBP e seja A x
a área do triângulo [APQ].
Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que 2sin sin 2A x x x ,
0,2
x
.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 24-05-2012
18. Seja um número real. Sabe-se que é uma solução da equação 1
sin3
x .
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação 1
sin3
x ?
(A) (B) (C) 2
(D)
2
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 09-02-2012
19. Considere o triângulo [ABC] representado
na figura ao lado.
Sabe-se que:
2AB
30ºACB
Seja BAC
Qual das expressões seguintes representa BC , em função de α?
(A) 4sin (B) 6sin (C) 4cos (D) 6cos
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 09-02-2012
20. Na figura ao lado, está representado,
num referencial o.n. xOy, o círculo
trigonométrico.
Sabe-se que:
o ponto A tem coordenadas 1,0
o ponto B tem coordenadas 3,0
Considere que um ponto P se move
sobre a circunferência.
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Para cada posição do ponto P, seja d PB e seja 0,2 a amplitude, em radianos, do
ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a
semirreta O P
.
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
20.1. Mostre que 2 10 6cosd
Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto P em função de α e utilize a fórmula da distância entre
dois pontos.
20.2. Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que 2 10 6cosd
20.2.1. Determine os valores de 0,2 para os quais 2 7d
20.2.2. Para um certo valor de α pertencente ao intervalo 0, , tem-se tan 35
Determine d, para esse valor de α.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 09-02-2012
21. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo
[OAB].
Sabe-se que:
O é a origem do referencial
a circunferência tem centro no ponto O e raio 1
A é o ponto de coordenadas 1,0
B pertence à circunferência e tem ordenada
negativa
O ângulo AOB tem amplitude igual a 2
3
radianos
Qual é a área do triângulo [OAB]?
(A) 3
4 (B)
1
2 (C)
1
4 (D) 3
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2011
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22. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy,
parte do gráfico da função f, de domínio , definida
por 4cos 2f x x .
Sabe-se que:
os vértices A e D do trapézio [ABC] pertencem ao
eixo Ox
o vértice B do trapézio [ABCD] pertence ao eixo
Oy
o vértice D do trapézio [ABCD] tem abcissa 6
os pontos A e C pertencem ao gráfico de f;
a reta CD é paralela ao eixo Oy
Determine, recorrendo a métodos exclusivamente
analíticos, o valor exato da área do trapézio [ABCD].
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011
23. Na figura abaixo, está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1.
Sabe-se que:
o ponto A pertence à circunferência
os pontos O, A e B são colineares
o ponto A está entre o ponto O e o ponto B
o ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB , nunca coincidindo com o ponto A
d é a distância do ponto A ao ponto P
para cada posição do ponto P, o ponto Q é um ponto da circunferência tal que a reta PQ
é tangente à circunferência
x é a amplitude, em radianos, do ângulo OPQ 0,2
x
Seja f a função, de domínio 0,2
, definida por 1 sin
sin
xf x
x
.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
Mostre, sem recorrer à calculadora, que d f x .
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 26-05-2011
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24. Determine o valor de 1
3tan
sabendo que 0,2
e que 3 4
cos2 5
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 24-05-2011
25. Considere, em , a equação trigonométrica cos 0,9x
Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?
(A) ,2 2
(B) 0, (C) 3
,4 4
(D) ,4 4
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 27-01-2011
26. Na figura ao lado, está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
a reta r é tangente à circunferência no ponto 1,0A
a reta s passa na origem do referencial e interseta a reta r
no ponto P, cuja ordenada é 2
o ponto Q, situado no terceiro quadrante, pertence à reta
s
Seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado,
assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo
positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OQ.
Qual é o valor de , arredondado às centésimas?
(A) 4,23 (B) 4,25 (C) 4,27 (D) 4,29
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 27-01-2011
27. Sejam , e três número reais.
Sabe-se que:
0,4
2
2
Qual das expressões seguintes é equivalente a sin sin sin ?
(A) 2sin cos (B) 2sin cos
(C) cos (D) cos
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 27-01-2011
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28. Na figura ao lado, está representada, em
referencial o.n. xOy, a circunferência de centro em
O e raio 5.
Os pontos A e B são os pontos de interseção da
circunferência com os semieixos positivos Ox e
Oy, respetivamente.
Considere que um ponto P se desloca ao longo do
arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem
com o ponto B.
Para cas posição do ponto P, sabe-se que:
o ponto Q é o ponto do eixo Ox tal que PO PQ
a reta r é a mediatriz do segmento [OQ]
o ponto R é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox
α é a amplitude, em radianos, do ângulo AOP 0,2
Seja f a função, de domínio 0,2
, definida por 25sin cosf x x x
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
28.1. Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por f
28.2. Determine o valor de α, pertencente ao intervalo 0,2
, para o qual se tem
225cosf
28.3. Seja um número real, pertencente ao intervalo 0,2
, tal que 5f
Determine o valor de 2
sin cos
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 27-01-2011
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29. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
As figuras representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.
Sabe-se que:
o ponto O é o centro da esfera;
a esfera tem 6 metros de diâmetro;
a amplitude , em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB
correspondente.
A altura AC , em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de , por
h, de domínio 0, .
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
29.1. Mostre que 3 3cosh , para qualquer 0, .
29.2. Resolva a condição 3, 0,h .
Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
30. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy,
uma circunferência e o triângulo [OAB].
Sabe-se que:
a circunferência tem diâmetro [OA]
o ponto A tem coordenadas 2,0
o vértice O do triângulo [OAB] coincide com a origem
do referencial
o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência
superior
Para cada posição do ponto B, seja a amplitude do ângulo AOB, com 0,2
.
Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que o perímetro do triângulo [OAB]
é dado, em função de , por
2 1 cos sinh
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
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31. Na figura, está representado um triângulo retângulo
[ABC], cujos catetos, [AB] e [BC], medem 5 unidades.
Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [BC],
nunca coincidindo com B nem com C.
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em
radianos, do ângulo BAP 0, .4
x
Seja f a função que, a cada valor de x, faz corresponder o
perímetro do triângulo [APC].
Mostre, usando exclusivamente métodos analíticos, que 5
5tan 50 5cos
f x xx
.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-05-2010
32. Na figura ao lado, está representada um triângulo retângulo [ABC]
cujos lados medem 3, 4 e 5.
Considere que um ponto D se desloca ao longo do cateto [AB],
nunca coincidindo com o ponto A.
Para cada posição do ponto D, seja x o comprimento do segmento
de reta [AD].
Qual das expressões seguintes dá o perímetro do triângulo [ACD],
em função de x?
(A) 24 25x x (B) 25 25x x
(C) 24 6 25x x x (D) 25 6 25x x x
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-05-2010
33. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica E, de equação
22 2 2 4x y z
Para um certo valor de α pertencente ao intervalo 0,2
, o ponto P, de coordenadas
tan , sin , 2 cos , pertence à superfície esférica E.
Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto P. matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-05-2010
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34. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço
grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox.
Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 27-01-2010
35. Considere a equação trigonométrica sin 0,1x
Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?
(A) ,2 2
(B) 0, (C) 0,6
(D) ,6 2
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 27-01-2010
36. Na figura ao lado, está representado o quadrado [ABCD]
de lado 2
Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado
[CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o
ponto D.
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em
radianos, do ângulo BAP ,4 2
x
Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à
calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos.
36.1. Mostre que a área da região sombreada é dada por 2
4tan x
.
36.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 12 2 3
3
.
36.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 15
cos2 17
x
Determine, para esse valor de x, a área da região sombreada.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 27-01-2010
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37. Na figura, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio
igual a 1.
Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.
Qual das expressões seguintes representa, em função de x, a área da parte sombreada?
(A) sin 2x (B) sin 22
x (C) 2sin 2x (D)
sin 2
4
x
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
38. Na figura ao lado estão representados:
uma circunferência de centro O e raio 1;
dois pontos, A e B, sobre a circunferência, tais
que [AB] é um diâmetro;
uma semirreta OA ;
um segmento de reta [PQ]
Considere que:
o ponto P, partindo de A, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa,
no sentido indicado pelas setas da figura.
o ponto Q se desloca sobre a semirreta OA , acompanhando o movimento do ponto P,
de tal forma que se tem sempre 3PQ .
Para cada posição do ponto P, seja x a
amplitude, em radianos, do ângulo
orientado que tem por lado origem a
semirreta OA e por lado extremidade a
semirreta OP (ver figura ao lado).
Seja d a função que, a cada valor de x
pertence a 0,2 , associa a distância,
d x , do ponto Q ao ponto O.
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Defina analiticamente a função d no intervalo 0,2
(isto é, determine uma expressão que
dê o valor de d x , para cada x pertencente a este intervalo).
Sugestão: trace a altura do triângulo [OPQ] relativa ao vértice P, designe por R o ponto de interseção
desta altura com a semirreta OA , e tenha em conta que OQ OR RQ .
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 27-05-2009
39. Na figura abaixo, está representado, em referencial
o.n. xOy, o círculo trigonométrico.
Os pontos P e Q pertencem à circunferência, sendo
a reta PQ paralela ao eixo Ox. O ponto R pertence
ao eixo Ox. O ângulo ROP tem 53º de amplitude.
Qual é o perímetro do triângulo [OPQ] (valor
aproximado às décimas)?
(A) 3,2 (B) 3,4 (C) 3,6 (D) 3,8
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 07-05-2009
40. A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10h e 45 minutos.
Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos
tinha rodado 3 radianos.
Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?
(A) 11h e 15 min (B) 11h e 45 min (C) 12h e 15 min (D) 13h e 45 min
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 07-05-2009
41. Considere a equação trigonométrica cos 0,3x
Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles?
(A) 0,2
(B) 0, (C) 3
,2 2
(D) 3
,22
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 29-01-2009
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42. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:
o círculo trigonométrico
o raio [OB] deste círculo
o arco de circunferência AB, de centro no ponto C
Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro
quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a reta
BC é perpendicular a este eixo. Seja a amplitude do
ângulo AOB.
Qual é a abcissa do ponto A?
(A) 1 sin (B) 1 cos
(C) cos sin (D) 1 cos sin
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 29-01-2009
43. Relativamente à figura junto, sabe-se que:
o triângulo [ABD] é retângulo
o ponto C pertence ao cateto [BD]
x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD
2AB e 1BC
43.1. Mostre que a área do triângulo [ACD] é dada por 2tan 1x .
43.2. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é
igual a 1.
43.3. Sabendo que 5
sin2 13
e que 0,
2
, determine o valor de 2tan 1
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 29-01-2009
44. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco de
circunferência AB, de centro na origem do referencial e raio igual
a 1.
A reta r tem equação 1y .
O ponto C pertence ao arco AB
Seja α a amplitude do ângulo AOC.
Qual das expressões seguintes dá a distância d do ponto C à reta r?
(A) 1 sin (B) 1 sin
(C) 1 cos (D) 1 cos
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-05-2008
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45. Seja 0,2
x
. Qual das expressões seguintes designa um número positivo?
(A) cos x (B) sin x
(C) 3
cos2
x
(D)
3sin
2x
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-05-2008
46. Na figura está representado o círculo
trigonométrico.
Tal como a figura sugere, O é a origem do
referencial, Q pertence à circunferência, P é o ponto
de coordenadas 1,0 e R é o ponto de coordenadas
1,0 .
A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é 5
7
.
Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área
do triângulo [OQR]?
(A) 0,39 (B) 0,42 (C) 0,46 (D) 0,49
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-04-2008
47. Na figura está representado um triângulo [ABC] com dois ângulos de amplitude α e um
ângulo de amplitude β.
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?
(A) cos sin 2 (B) cos cos 2
(C) cos sin 2 (D) cos cos 2
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 24-01-2008
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48. Seja um valor pertencente ao intervalo ,2
.
Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?
(A) cos sin (B) sin cos
(C) sin tan (D) sin tan
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 24-01-2008
49. Considere a equação 1 3tan 2 4x .
Qual dos seguintes valores é solução desta equação?
(A) 8
(B)
3
8
(C)
5
8
(D)
7
8
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 24-01-2008
50. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy,
uma reta AB e uma circunferência com centro na origem
e raio igual a 5.
Os pontos A e B pertencem à circunferência.
O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.
Admita que o ponto B se desloca ao longo da
circunferência, no primeiro quadrante.
Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do
ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo
Ox e cujo lado extremidade é a semirreta O B
Seja d o comprimento do segmento [AB]
50.1. Mostre que 2 50 50cosd .
50.2. Para uma certa posição do ponto B, tem-se tan 24
Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o
valor de d.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 24-01-2008
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51. Na figura seguinte está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja seção é um
círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio
r.
A seção da artéria principal tem área A e a ramificação tem área a.
Seja 0,2
a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua
ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros).
Sabe-se que cosa A
Admitindo que o modelo descrito se adequa com exatidão à situação real, determine no
caso em que os raios referidos verificam a relação 4 2 R r .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
52. Indique as soluções da equação 5 2cos 6x que pertencem ao intervalo 0,2
(A) 3
e
4
3
(B)
3
e
5
3
(C) 6
e
7
6
(D)
6
e
11
6
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 10-05-2007
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53.
53.1. Na figura junta estão representados, em referencial o.n. xOy:
o circulo trigonométrico
a reta r, de equação 1x
o ângulo, de amplitude α, que tem por lado origem o
semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta
O A
o ponto B, interseção do prolongamento da semirreta
O A
com a reta r.
Como a figura sugere, a ordenada de B é 8
Sem recorrer à calculadora, determine o valor de
5sin 2cos 32
53.2. Considere agora um ponto P, do primeiro quadrante (eixos
não incluídos), pertencente à circunferência de centro na
origem e raio 1.
Sejam ,r s as coordenadas do ponto P.
Seja t a reta tangente à circunferência no ponto P.
Seja Q o ponto de interseção da reta t com o eixo Ox.
Prove que a abcissa do ponto Q é 1
r.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 10-05-2007
54. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco
AB, que está contido na circunferência de equação 2 2 1x y .
O ponto C pertence ao eixo Ox e o segmento de reta [AC] é
perpendicular a este eixo.
é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB.
Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada,
em função de ?
(A) sin cos (B) sin 1 cos
(C) 1 sin cos (D) 1 sin cos
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
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55. Como sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol.
Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da
órbita da Terra mais próximo do Sol.
Na figura está assinalado um ângulo de amplitude x radianos 0,2x .
Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado
extremidade passa na Terra.
A distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada, em
função de x, por 149,6 1 0,0167cosd x .
Sabe-se que x verifica a relação 2
0,0167sint
x xT
, em que:
t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao
instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo x;
T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,24 dias).
Mostre, para x , se tem 2
Tt .
Interprete este resultado no contexto da situação descrita.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
56. Na figura está representada uma esfera suspensa de um fio com 1 metro de comprimento,
fixo no ponto O.
O centro da esfera oscila entre os pontos A e B, que são simétricos relativamente à reta
vertical r. A reta r passa pelo centro O e é perpendicular à reta OS.
No instante inicial, o centro da esfera coincide com o ponto A.
Admita que, t segundos após esse instante inicial, o centro da esfera está num ponto P tal que
a amplitude, em radianos, do ângulo SOP é dada (aproximadamente) por
cos 9,8 2 6
t t
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Nas duas alíneas seguintes, não utilize a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos
numéricos.
56.1. Determine a distância do centro da esfera à reta OS, no instante inicial.
56.2. Determine o instante em que o centro da esfera passa pela primeira vez na reta r.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006
57. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR].
O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.
O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [OPR] é sempre
isósceles.
Sendo α a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes dá a área
do triângulo [OPR], em função de α?
(A) sin .cos (B) 2.sin .cos
(C) 1 sin .cos
2
(D)
1 cos .sin
2
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 19-05-2006
58. Da amplitude α de um certo ângulo orientado sabe-se que cos 0 e tan 0 .
Qual das expressões seguintes dá o valor de sin ?
(A) 21 cos (B) 21 cos
(C) 21 cos (D) 21 cos
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 19-05-2006
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59. Sabe-se que é uma solução da equação 1
sin5
x
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação 1
cos5
x ?
(A) (B) 2
(C) (D)
2
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 19-05-2006
60. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico.
Considere que um ponto P parte de 1,0A e se desloca
sobre a circunferência, dando uma volta completa, em
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Para cada posição do ponto P, seja x, em radianos, do ângulo
orientado cujo lado origem é a semirreta OA e cujo lado
extremidade é a semirreta OP 0,2 .x
Seja g a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área da região sombreada (região
limitada pelos segmentos de reta OP , PA e AO ).
Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função g?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2005
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61. Na figura está representada uma circunferência com
efeito com centro no ponto O e raio 3.
Os diâmetros EF e GH são perpendiculares.
Considere que o ponto B se desloca sobre o arco FG.
Os pontos A, C e D acompanham o movimento do
ponto B, de tal forma que:
as cordas AB e CD permanecem paralelas a
EF
AD e BC são sempre diâmetros da
circunferência
Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimentos, de tal forma que são sempre os
pontos de interseção de GH com AB e CD , respetivamente.
Para cada posição do ponto B, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo FOB 0, .2
x
Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por
18 sin .cosA x x x x
Sugestão: use a decomposição sugerida na figura.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
62. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica.
Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função?
(A) 9
(B)
2
9
(C)
2
3
(D)
4
3
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2004
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63. A figura representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de
combustível.
Admita que a função V, de domínio 0,2 , definida por
80 sinf x x x ,
dá o volume, em metros cúbicos, de combustível existente no depósito, em função da
amplitude x, em radianos, do arco ABC (que, como se sabe, é igual à amplitude do ângulo ao
centro correspondente, assinalado na figura acima).
63.1. Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos?
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas
decimais.
63.2. Determine, em metros cúbicos, o volume do combustível existente no
depósito, no momento em que a sua altura é 1
4 da altura máxima.
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve,
no mínimo, três casas decimais.
63.3. Admita agora que o depósito está vazio e que,
num certo instante, se começa a introduzir
combustível a uma taxa constante, até ficar cheio,
o que acontece ao fim de cinco horas.
Seja h t a altura do combustível no depósito, t
horas após o instante em que começa a ser
introduzido.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?
Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, indique as razões que o levam a
rejeitar os restantes gráficos (indique três razões, uma por cada gráfico rejeitado).
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(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004
64. Na figura está representado um trapézio retângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades
de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.
Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB].
Para cada posição do ponto P, seja x amplitude, em radianos, do ângulo PDA.
Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas
figuras com a mesma área.
Qual das equações seguintes traduz este problema?
(A) 230 sin
1002
x (B)
230 tan100
2
x
(C) 30 10sin
1504
x (D)
30 10tan150
4
x
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
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65. Considere a função f, de domínio 3
,2 2
, definida por
sinf x x x
Determine, sem recorrer à calculadora, os valores de x, pertencentes ao intervalo 3
, ,2 2
tais que cos .f x x x
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
66. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um
arco de circunferência AB, de centro na origem do
referencial.
O ponto Q move-se ao longo desse arco.
Os pontos P e R, situados sobre os eixos Ox e Oy,
respetivamente, acompanham o movimento do ponto Q,
de tal forma que o segmento de reta [PQ] é sempre
paralelo ao eixo Oy e o segmento de reta [QR] é sempre
paralelo ao eixo Ox.
Para cada posição do ponto Q, seja x a amplitude do
ângulo AOQ e seja h x a área da região sombreada.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
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67. Considere a expressão 2sinf x a b x .
Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b, obtemos uma função de domínio
.
67.1. Nesta alínea, considere 2a e 5b .
Sabe-se que 1
tan2
. Sem recorrer à calculadora, calcule f .
67.2. Para um certo valor de a e um certo valor de b, a função
f tem o seu gráfico parcialmente representado na figura
junta. Conforme essa figura sugere, tem.se:
o contradomínio de f é 3,1 ;
0 e são maximizantes;
2
e
2
são minimizantes.
Determine a e b.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
68. Na figura está representado a sombreado
um polígono [ABEG].
Tem-se que:
[ABFG] é um quadrado de lado 2;
FD é um arco de circunferência de
centro em B; o ponto E move-se ao
longo desse arco; e consequência, o
ponto C desloca-se sobre o segmento
[BD], de tal forma que se tem sempre
EC BD ;
x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE 0, .2
x
68.1. Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por
2 1 sin cosA x x x .
Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG].
68.2. Determine 0A e 2
A
.
Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003
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69. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r.
Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura.
Inicialmente, o ponto P encontra-se à distância de 2 unidade da reta r.
Seja d a distância de P a r, após uma rotação de amplitude .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo ?
(A) 1 cosd x (B) 2 sind x
(C) 1 cosd x (D) 2 sind x
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2002
70. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o
círculo trigonométrico e um triângulo [OAB].
Os pontos A e B pertencem à circunferência.
O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox.
O ponto C é o ponto de interseção da circunferência com
o semieixo positivo Ox.
Seja a amplitude do ângulo COA. 0,2
.
Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de ?
(A) sin .cos (B) tan .cos
2
(C) tan .sin (D) tan .sin
2
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2002
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71. Na figura está representado um quadrado [ABCD], de lado
1.
O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F desloca-
se sobre o lado [AD], de tal forma que se tem sempre
AE AF .
Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo
BEC ,4 2
x
.
Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos,
que o perímetro do quadrado [CEAF] é dado, em função de x, por 2 2
2tan sin
f xx x
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2002
72. Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy:
uma circunferência de raio 1, centrada no ponto
0,1,1 e contida no plano yOz;
o ponto 0,2,1A ;
o ponto B, pertencente ao semieixo positivo Ox.
Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca
sobre essa circunferência, dando uma volta completa, no
sentido indicado na figura.
Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do arco AP 0,2 e
seja d a distância de P ao ponto B.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função d?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2001
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73. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:
um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1;
uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto
1,0 ;
um ponto A pertencente a esta semirreta;
um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo
positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OA .
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada,
em função de ?
(A) tan
4 2
(B)
2
4 tan
(C) tan
2
(D)
2
tan
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2001
74. Na figura está representado o gráfico da função f, de domínio 0,2 , definida por
2cosf x x x .
A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de f.
Mostre, sem recorrer à calculadora, que a ordenada do ponto A é 6 3
6
e que a do ponto
B é 5 6 3
6
.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2001
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75. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular
regular.
Sabe-se que:
a base da pirâmide tem centro F e lado 2;
G é o ponto médio da aresta [BC];
x designa a amplitude do ângulo FGE.
Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de
x, por
4cos 4
cos
xA x
x
0,
2x
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2001
76. Considere a função f, definida em , definida por 2 cosf x x x .
76.1. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a função f tem, pelo menos um zero, no
intervalo 0, .
76.2. Seja 'f a função derivada de f. Mostre que ' 0, f x x , e justifique que o zero de
f, cuja existência é garantida pelo enunciado da alínea anterior, é o único zero desta função.
76.3. Na figura abaixo estão representadas:
parte do gráfico da função f;
parte de uma reta r, cuja inclinação é de 45º, que contém o ponto 3,0A e que
interseta o gráfico da função f no ponto B.
Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo [AOB], onde O designa a
origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: sempre que, nos valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma
casa decimal.
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2000
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77. Um satélite S tem uma órbita elíptica em
torno da Terra, tal como se representa na
figura.
Tenha em atenção que os elementos nela
desenhados não estão na mesma escala.
Na elipse estão assinalados dois pontos:
- o apogeu, que é o ponto da órbita mais
afastado do centro da Terra;
- o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra.
O ângulo x, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem
passa no perigeu, o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude estão
compreendida entre 0 e 360 graus.
A distância d, em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por 7820
1 0,07cosd
x
.
Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km.
Num certo instante, o satélite está na posição indicada na
figura.
A distância do satélite ao centro da Terra é, então, de 8200
km.
Determine o valor de x, em graus, arredondado às
unidades.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2000
78. No ano civil de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr-do-sol, no dia
de ordem n do ano, foi dado em horas, aproximadamente, por
81
12,2 2,64sin183
nf n
1,2,3,...,366fn
(o argumento da função seno está expresso em radianos).
Por exemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre
o nascer e o pôr-do-sol foi de 34 10,3f horas.
No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o sol nasceu às seis e meia da manhã. Em
que instante ocorreu o pôr-do-sol? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos
arredondados às unidades).
Notas:
Recorde que, no ano 2000, o mês de fevereiro teve 29 dias;
Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três
casas decimais.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2000
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79.
79.1. Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA BC .
Seja a amplitude do ângulo ABC.
Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por
2
sin2
BC 0,
79.2. Considere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio 1.
Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que a área do polígono é dada por
2sin
2n
nA
n
matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2000
80. Indique qual das expressões seguintes define uma função injetiva, de domínio .
(A) cos x (B) 2x x (C) 1x (D)
3x
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1999
81. Na figura está representado um
triângulo [ABC].
Tem-se que:
x designa a amplitude do ângulo
BAC;
a amplitude do ângulo BCA é igual
ao dobro da amplitude do ângulo
BAC;
a altura BD é igual a 10.
Seja 275 25tan
tan
xg x
x
81.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por g x , para qualquer 0,4
x
.
81.2. Considere o triângulo [ABC] quando 4
x
.
Classifique-o quanto aos ângulos e quanto aos lados e prove que a sua área ainda é dada
por g x .
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1999
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82. Na figura
o triângulo [ABC] é isósceles AB BC ;
[DEFG] é um retângulo: 2DG e 1DE ;
x designa a amplitude do ângulo BAC.
82.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada, em
função de x, por
1
2 tantan
f x xx
0,2
x
Nota: pode ser-lhe útil reparar que ˆˆBEF BAC .
82.2. Mostre que
2 2
cos 2'
sin .cos
xf x
x x ( 'f designa a derivada de f).
82.3. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ABC] é minha.
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1998
83. A figura abaixo representa um canteiro de forma circular
com 5 m de raio.
O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à
plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a
sombreado na figura.
Os vértices A, B, C e D do retângulo pertencem à
circunferência que limita o canteiro.
Na figura estão também assinalados:
dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF], que
contém os pontos médios dos lados do retângulo;
o centro O da circunferência;
o ângulo BOF, de amplitude x 0,2
x
.
Mostre que a área (em m2) da zona relvada é dada, em função de x, por
25 50sin 2g x x
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1998
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84. Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da
outra, estão a igual distância de uma fonte de
abastecimento de água, localizada em F.
Pretende-se construir uma canalização ligando a
fonte às duas povoações, como se indica na figura
abaixo. A canalização é formada por três canos:
um que vai da fonte F até um ponto P e dois que
partem de P, um para A e outro para B. O ponto P
está a igual distância de A e de B.
Tem ainda que:
o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F;
x é uma amplitude de ângulo PAM 0,4
x
.
84.1. Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é
dado por
8 4sin
4cos
xg x
x
(Sugestão: comece por mostrar que 4
cosPA
x e que 4 tanFP x )
84.2. Calcule 0g e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e
consequente comprimento.
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1998
85. Na figura ao lado pode observar-se parte da
representação gráfica da função f definida por
cos .ln 1f x x
Os pontos P, Q, R e S são pontos de interseção
do gráfico da função f com o eixo das abcissas.
A abcissa do ponto P é
(A) 1
2 (B) 1 (C)
3
2 (D) 2
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1997
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86. Uma roda gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 12, com
um lugar cada uma (ver figura abaixo). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda
gigante e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar.
Depois de toda a gente estar sentada nas respetivas cadeiras, a roda gigante começa a girar.
Um dos rapazes, O Manuel, ficou sentado na cadeira número 1. No instante em que a roda
gigante começa a girar, a cadeira está na posição indicada na figura.
Admita que a distância, em metro, da cadeira 1 ao solo, t segundos a roda gigante ter
começado a girar, é dada por
7 5sin30
td t
86.1. Determine a distância a que a cadeira número 1 se encontra do solo no instante em que a
roda gigante começa a girar.
86.2. Resolva a equação 9,5d t para 0,75t .
Indique, justificando, quanto tempo demora o Manuel a encontrar-se pela primeira vez a
uma distância de 9,5 metros do solo, depois da roda gigante ter começado a girar.
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1997
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87. Indique qual das seguintes figuras pode ser parte da representação gráfica da função definida
por 1
sins x
x .
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1997
88. Dos quatro ângulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Identifique-o.
(A)
(B)
(C)
(D)
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Bom trabalho!!
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Principais soluções
1. (D)
2. (D)
3. 2
3seg , 2seg ,
8
3seg
4. (B)
5. (B)
6. 32 2
9
7. (C)
8. (C)
9. (B)
10. 10.1.
10.2. 77
40
11. 12. 13. 13.1.
13.2. 252
625
14. (D)
15. 16. 17. 18. 19. (B)
20. (A)
21. (A)
22. 7
12
23. 24. 24.1.
24.2.
24.2.1. 5
;3 3
24.2.2. 11d
25. 9
4
26. (C)
27. (B)
28. (D)
29. 29.1.
29.2. 2
30. 31. 32.
32.1.
32.2. 4
32.3. 7
5
33. (D)
34. 3 5
3, ,2 2
35. (B)
36. (D)
37. (A)
38. 2cos 9 sind x x x
39. 39.1.
39.2. 3
x
39.3. 44
15
40. (A)
41. (C)
42. (B)
43. (C)
44. 44.1.
44.2. 4
x
44.3. 19
5
45. (B)
46. (A)
47. (B)
48. (D)
49. (D)
50. (C)
51. 3
52. 52.1.
52.2. 60d
53. (B)
54. (D)
55. 56.
56.1. 3
2
56.2. 0,5t
57. (A)
58. (B)
59. (B)
60. (A)
61. 62. (D)
63. 63.1. 503 m3
63.2. 98 m3
63.3. Gráfico B
64. (B)
65. 4
x
e 5
4x
66. (B)
67.
67.1. 1f
67.2. 1a e 4b
68. 68.1.
68.2. 0 4A e 42
A
69. (A)
70. (A)
71. 72. (B)
73. (A)
74. 75. 76. 76.1. 76.2. 76.3. 77. 229º
78. 84 12,336f
Pôr-do-sol: 18h e 50 m
79. 79.1. 79.2. 80. (D)
81. 81.1. 81.2. Triângulo retângulo e
82. 82.1. 82.2.
82.3. 4
83. 84. 84.1.
84.2. 0 12g
85. (C)
86.
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86.1. 0 7d
86.2. 5t
87. (A)
88. (C)