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UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA Faculdade de Economia
Análise de Dados e Probabilidade
1º Semestre 2006/2007
EXERCÍCIOS DE EXAMES ANTERIORES
1. A Associação do Sector de Vestuário do país “Roupalândia” pretende estudar como
se distribuem as suas 200 associadas relativamente à produção semanal de peças de
vestuário.
Considerando X como a variável que designa o número de peças produzidas
semanalmente, observe a seguinte tabela de frequências:
Xj
(Produção de peças semanal) nj
0-50 20 50-100 a
100-200 65 200-350 30 350-500 b
200
5
1
=∑=
jj
n
a) Sabendo que a média quadrática de X é igual a 207.327, obtenha os valores de a e
b. Qual a interpretação do valor a?
b) Qual o volume de produção de vestuário semanal mais frequente?
c) A Associação pretende premiar as empresas com maiores níveis de produção
semanal. As associadas defendem que se devem premiar os 50% das empresas com
maior volume de produção, enquanto que o Presidente defende que só os 25% mais
elevados devem ser contemplados. Para as duas posições, a partir de que volume de
produção estariam as empresas contempladas? Justifique.
d) Considerando que o momento de ordem 3 em relação à média é igual a 1764438
conclua sobre o sinal da assimetria da distribuição. Sabendo que a variância da
distribuição é igual a 14718 confirme o resultado calculando o coeficiente de Fisher.
e) Analise o grau de concentração na repartição dos níveis de produção semanal
pelas empresas.
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2. Considere o seguinte polígono integral, referente à distribuição de 100 empresas segundo as horas gastas em formação do seu pessoal, por ano (variável X)
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 1 3 4 7 9Xi
Fi*
a) Apresente a tabela de frequências.
b) Calcule a média, mediana e moda (pela Fórmula de King) da variável “horas de
formação por ano”
c) Interprete um dos valores das frequências absolutas (à sua escolha) e a mediana
d) Se se considerar que as empresas com horas de formação por ano
compreendidas no intervalo sX ± (sendo s o desvio padrão) são empresas com
níveis de formação aceitáveis, quantas das 100 empresas mereceriam tal
classificação?
e) Comente:
“Se uma variável tem média zero, então tem valores positivos e valores negativos
com iguais frequências relativas”.
3.
Seja Xi o salário numa empresa de informática
Xi ni 0-100 25
100-200 50 200-300 90 300-400 100 400-600 35
a) Construa a tabela de frequências.
b) Calcule a média, mediana, moda (pela fórmula de King) e o intervalo inter-
quartis.
3
c) Calcule a variância.
d) Usando a informação obtida anteriormente sobre a mediana e os quartis da
distribuição, que conclusão pode retirar sobre a assimetria da distribuição?
4. Foram inquiridos 300 trabalhadores sobre as suas horas semanais de trabalho. Os resultados foram os seguintes:
Xj (horas) Xj’ (horas) nj fj Si Fi
*
a - 20 15 4 i 4 0.0133 20 – 35 27.5 f 0.05 19 p 35 – 40 e 101 0.3367 120 q 40 – b 45 g j n 0.8
50 – 60 55 50 l o r c - d 65 h m 300 1
∑=
6
1jjn =300 ∑
=
6
1jjf =1
a) Descubra a informação em falta (valores correspondentes às letras a,b,c,..,r).
b) Represente graficamente a distribuição, através do histograma e do polígono de
frequências.
c) Calcule as medidas de localização ( para a moda, utilize a Fórmula de King). O que
pode concluir sobre a assimetria?
d) Utilizando o Grau de Assimetria de Pearson, verifique se a sua conclusão anterior
se mantém.
5. Numa dada empresa, a média aritmética, a mediana e a moda dos salários pagos
são, respectivamente, 600 , 620 e 630 Euros mensais.
Visando a actualização salarial para o próximo ano a administração da empresa
apresenta aos trabalhadores as duas seguintes alternativas:
(i) - aumento de 18 Euros por mês a todos os trabalhadores;
(ii) - aumento de 3% no salário mensal de todos os trabalhadores.
a) Os trabalhadores decidem proceder a uma votação para escolha da alternativa que
mais lhes convém. Se o objectivo dos trabalhadores for maximizar o aumento do seu
salário mensal, qual será a alternativa vencedora? Justifique a sua resposta.
b) Como classificaria a distribuição dos salários relativamente à simetria?
c) Se uma política de actualização salarial do tipo da adoptada em a) viesse a
verificar-se em anos sucessivos como evoluiria o índice de Gini de concentração
4
dos salários? Aumentaria, diminuiria ou ficaria inalterado? Justifique a sua
resposta.
6. No sector agro-alimentar, realizou-se um inquérito a 200 trabalhadores
relativamente aos seus salários mensais.
Salários (euros) Trabalhadores
0-500 70 500-1000 58
1000-1750 40 1750-2500 20 2500-4000 12
a) Comente, quantificando, a seguinte afirmação: “No sector agro-alimentar detecta-se
uma distribuição igualitária dos salários pelos trabalhadores”.
b) Calcule o desvio absoluto médio.
c) “No sector agro-alimentar 25% dos trabalhadores recebem um salário superior a
1350 euros.” Concorda com a afirmação? Justifique, quantificando.
7. No mês de Janeiro, um inquérito relativo aos salários (em euros) no sector da
metalomecânica deu a conhecer a seguinte informação:
800X = 780Mediana = 750Mod = 2 1500s =
desvio absoluto médio (d) = 32 0.6G = Sabendo que no mês de Fevereiro cada trabalhador vai beneficiar de um aumento
salarial de 2%:
a) Indique, demonstrando, qual o novo desvio absoluto médio no sector.
b) Qual a nova variância? Justifique.
c) O que acontece à dispersão no mês de Fevereiro? Justifique.
d) Qual a nova moda e mediana?
e) O que pode concluir em relação à concentração? Aumenta, diminui ou mantém-se?
Justifique.
5
8. Considere o seguinte quadro:
Índice de preços base 1996
Índice de preços base 1999
Despesa a preços correntes
1997 0.63 500 1998 0.75 662 1999 0.88 1 759 2000 1.24 1324 2001 1.46 1457 2002 1.52 1572
a) Calcule um índice de despesa a preços constantes de 2000, com base em 2002.
b) Que tipo de índice é mais utilizado para cálculo de índices de preços, o de
Laspeyres ou o de Paasche? Explique porquê.
9. Uma fábrica de conservas compra 3 produtos (atum, sardinha e caviar):
ANO 0 ANO 1
P Q P Q
Atum 5 10 6 10
Sardinha 6 12 8 8
Caviar x 20 Y 12
a) Descubra os valores em falta na tabela, sabendo que o índice de Paasche de
quantidades para o ano 1 com base em 0 é de 0,67 e que o índice de despesa
para o ano 1 com base em 0 é de 0,97.
b) Calcule o índice de Laspeyres de preços e o índice Paasche de preços. Que
relação se verifica neste caso entre os índices de Laspeyres e Paasche de
preços? Justifique a existência dessa relação neste caso.
c) Suponha que o economista da empresa decide utilizar um índice de preços que
consiste na média geométrica dos índices de Laspeyres de preços e de Paasche
de preços. Verifique se o índice assim construído respeita a circularidade.
10.
6
A evolução dos preços de cada um dos três bens (A, B, C) é traduzida através dos
índices do quadro abaixo, onde se indicam também as respectivas despesas em 1994
e 1995
Índice de preços
(todos com a mesma base) Despesa
1993 1994 1995 1994 1995 A 240 300 360 500 590 B 210 250 275 200 230 C 320 400 420 300 370
a) Calcule um índice do tipo Laspeyres, de 1995 com base em 1994, que sintetize a
evolução global dos preços dos três bens.
b) Admitindo que o índice atrás é um índice de preços no consumidor e tendo o salário
nominal de um trabalhador aumentado de 220.000$00 para 244.200$00 , no
mesmo período, qual foi a evolução real no seu poder de compra? Quantifique.
c) Comente a afirmação: O índice de quantidades de Laspeyres requer informação
completa de preços e quantidades, para os períodos em estudo.
11.
Considere a seguinte informação:
Índice de Preços das Vendas Anos Valor das Vendas
(preços constantes de 95) Base 1993=1 Base 1998=1
1995 1180 1.2
1996 1750 1.35
1997 1800 1.4
1998 1950 1.55 1
1999 1990 1.18
2000 2100 1.25
2001 2150 1.37
a) Obtenha um índice de preços das vendas com base em 1995.
b) Qual o valor das vendas a preços correntes para o conjunto dos anos analisados?
7
12.
A evolução dos preços de três produtos A, B e C para os anos 2002 e 2003 é
apresentada na tabela seguinte:
Índices de preços
(calculados na mesma base)
Produtos 2002 2003
A 1.6 2.0 B 1.2 1.5 C 2.0 3.0
Sendo as despesas nesses produtos nos anos 2002 e 2003: A B C
2002 1300 1000 1200 2003 1500 1200 1300
a) Calcule um índice do tipo Paasche, de 2003 com base em 2002, que sintetize a
evolução global dos preços dos três produtos.
b) Sabendo que os índices simples de quantidades para os produtos A e B, para 2003
com base em 2002, foram 0.75 e 0.80, respectivamente. Determine o índice simples
de quantidades do produto C, para 2003 com base em 2002.
13. Para acorrer às dificuldades económicas dos trabalhadores do sector Metalomecânico
do distrito de Setúbal, o Governo pediu um inquérito ao Ministério do Trabalho acerca
dos vencimentos auferidos. Uma primeira informação foi que os salários líquidos
mensais seguiam uma lei normal com 50=µ e 2252 =σ (em certas unidades
monetárias).
O Governo decidiu atribuir um subsídio unitário de 5 u.m. a todos os trabalhadores que
auferem menos de 35 u.m. mas também lança uma taxa de 2 u.m. sobre cada um dos
8
8% mais bem pagos do sector; qual o encargo líquido esperado se o plano envolver
5000 trabalhadores?
14. Três máquinas M1, M2, M3, funcionam independentemente produzindo certo tipo
de componente electrónico. A máquina M3 garante, só por si, metade da produção.
Cada uma delas produz componentes defeituosas nas seguintes proporções:
M1: 8% M2: 8% M3: 2%
Calcule a proporção de componentes defeituosas produzidas pelas 3 máquinas em conjunto. 15. Seja a experiência aleatória assim definida: “lança-se um dado equilibrado até que
surjam duas saídas pares consecutivas, seguidas de duas saídas ímpares
consecutivas”.
a) Qual o número mínimo de lances que deve ser feito?
b) Qual o cardinal dos espaço dos acontecimentos?
c) Escreva os acontecimentos que necessitam de 4, 5 ou 6 lances para se
realizarem.
16.
Seja a função de probabilidade de X:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
2,41
1,21
0,41
)(
x
x
x
xf
Seja a variável aleatória Y=X+3
a) Calcule )(XEX =µ e )(2 XVX =σ ;
b) Desenhe a função de densidade da variável aleatória Y;
c) Diga, recorrendo apenas às propriedades de )X(E qual o valor de
)(YEY =µ ; justifique.
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17. Considere agora a variável aleatória Z que designa o número de certas
ocorrências verificadas em 5 minutos. Sabendo que segue uma distribuição de
Poisson, e que 6)Z(E 2 = :
Qual a probabilidade de se verificarem 8 ocorrências num período de 10 minutos?
UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA Faculdade de Economia
Análise de Dados e Probabilidade
1º Semestre 2006/2007
EXERCÍCIOS DE EXAMES ANTERIORES RESOLVIDOS
1. a)
Xj nj Xj´ fj fj/hj F*j 0-50 20 25 0.1 0.002 0.1
50-100 a = 60 75 0.3 0.006 0.4 100-200 65 150 0.325 0.00325 0.725 200-350 30 275 0.15 0.001 0.875 350-500 b = 25 425 0.125 0.00083 1
5
1200j
jn
=
=∑ 1
Sabendo que a média quadrática de X é igual a 207.327 e que 5
1
200jj
n=
=∑ :
2 2 2 2 225 .20 75 . 150 .65 275 .30 425 .207.327
20020 65 30 200
a b
a b
⎧ + + + +⎪ =⎨⎪ + + + + =⎩
3743750 5625. 180625.207.327200
85
a b
a b
⎧ + +=⎪
⎨⎪ = −⎩
8596900 4221875 175000b= +⎧⎨−⎩
2560
ba=⎧
⎨ =⎩
60 empresas da Associação do Sector de Vestuário produzem entre 50 a 100 peças de vestuário semanalmente. b) Determinar a moda: Classe modal: ] ]50 100−
Mod k = 50 + 50 * 0.00325
0.00325 0.002+= 80.95 (volume de produção de vestuário semanal
mais frequente)
c) Pretende-se obter a mediana e o 3º quartil: i) Mediana : Classe ] ]100 200−
0.725 0.4 0.5 0.4 130,77200 100 100
MedMed
− −= ⇔ =
− −
50% das empresas têm um volume de produção semanal superior a 130.77 peças de vestuário. ii) Terceiro quartil: classe ] ]200 350− 0.875 0.725 0.75 0.725 225
350 200 200Fu
Fu− −
= ⇔ =− −
Acima de um volume produção igual a 225 peças de vestuário semanais contemplam-se os 25% das empresas com maiores volumes de produção. d)
33/ 2 3/ 2
2
17644381 0.998 > 0 ( ) (14718)
mgm
= = = Assimétrica Positiva
e)
nj fj pj tj qj pj-qj
0-50 20 0.1 0.1 500 0.01 0.09 50-100 60 0.3 0.4 4500 0.15 0.25
100-200 65 0.325 0.725 9750 0.44 0.29 200-350 30 0.15 0.875 8250 0.68 0.19 350-500 25 0.125 1 10625 1.00 -
200 1 33625
Gini =
4
14
1
( )0.814 0.388
2.1
i ii
ii
p q
p
=
=
−= =
∑
∑
O grau de concentração não é muito elevado.
2. a) A partir do gráfico apresentado no exame, podíamos chegar à seguinte tabela de frequências:
Xj Xj’ nj fj Si Fi
* aj 0 – 1 0.5 5 0.05 5 0.05 0.05 1 – 3 2 20 0.2 25 0.25 0.1 3 – 4 3.5 20 0.2 45 0.45 0.2 4 – 7 5.5 45 0.45 90 0.9 0.15 7 - 9 8 10 0.1 100 1 0.05
∑=
=5
1100
jjn ∑
=
=5
11
jjf
b) Média
4.48*1.0...2*2.05.0*05.0*5
1
' =+++== ∑=j
jj XfX
Mediana: classe mediana 4 – 7 (porque a classe anterior ainda não acumulou 50% das observações) Por interpolação linear:
3333.44
)4()(47
)4()7(=⇔
−−
=−− Med
MedFMedFFF
Moda: classe modal 3 – 4 (porque é a classe que tem maior densidade de frequência aj) Pela Fórmula de King:
Mod= 6.3)1.015.0
15.0(*13 =+
+
c) Vamos interpretar a frequência absoluta correspondente à 4ª classe: 45 das 100 empresas gastam entre 4 e 7 horas em formação do seu pessoal Interpretação da mediana: 50% das empresas gastam em formação do seu pessoal até 4 horas e 20 minutos
d) Para podermos responder a esta pergunta temos, primeiro que tudo, calcular o desvio-padrão. Comecemos pela variância:
915.3* 25
1
'2 2
=−= ∑=
XXfsj
jj
9786.12 == ss
Assim, o que queremos saber é quantas empresas estão no intervalo [4.4-1.9786; 4.4+1.9786], ou seja, no intervalo [2.4214; 6.3786]. Para sabermos isto, temos de calcular as frequências relativas acumuladas destes dois valores, usando interpolação linear. Para o limite inferior do intervalo:
19614.0)4214.2(14214.2
)1()4214.2(13
)1()3(=⇔
−−
=−− FFFFF
Para o limite superior do intervalo:
80679.0)3786.6(43786.6
)4()3786.6(47
)4()7(=⇔
−−
=−− FFFFF
A quantidade de empresas com um nível de formação aceitável é: 0.80679 – 0.19614 = 0.61065 = 61 empresas e) A afirmação é falsa. Para que a média seja 0, a variável tem de assumir valores positivos e negativos mas estes não precisam de ter iguais frequências relativas. Exemplo: Se uma variável assumir os valores 10, 5, 5, -9, -8, -3, a sua média é igual a 0 e, no entanto, as frequências relativas de cada um dos valores assumidos não são iguais porque o valor 5 tem duas ocorrências. 3.
a) Xi Xi
’ ni fi Ni Fi ai = fi / hi 0-100 50 25 0.0833 25 0.0833 0.00083
100-200 150 50 0.1667 75 0.25 0.0017 200-300 250 90 0.3 165 0.55 0.003 300-400 350 100 0.3333 265 0.8833 0.00333 400-600 500 35 0.1167 300 1 0.00058
Σni = 300 Σfi = 1
b)
Média: 1667.279*
1
´'
==∑=
−
N
xnX
m
iii
Mediana: classe mediana: 200 - 300 Por interpolação linear:
3333.28320025.05.0
10025.055.0
200)200()(
200300)200()300(
=⇔−−
=−
⇔−−
=−− med
medmedFmedFFF
Moda: classe modal: 300 – 400 Fórmula de King:
2011.316)003.000058.0
00058.0(*100300 =⇔+
+= ModMod
Fl: classe de Fl: 100 – 200 Como F(200) = 0.25 ⇔ Fl = 200 Fu: classe de Fu: 300 – 400
Por interpolação linear:
006.360300
55.075.0100
55.08833.0300
)300()(300400
)300()400(=⇔
−−
=−
⇔−−
=−−
uuu
u FFF
FFFFF
Intervalo inter-quartis dF = Fu – Fl = 360.006 – 200 = 160.006
c) 2869.14774* 222'
1
2 =⇔−=−
=∑ xi
m
iiX xxf σσ
d) Como os quartis não estão à mesma distância da mediana, esta distribuição é assimétrica. Como o primeiro quartil está mais longe da mediana do que o terceiro quartil, a distribuição será assimétrica negativa ou enviesada à direita 4. Foram inquiridos 300 trabalhadores sobre as suas horas semanais de trabalho. Os resultados foram os seguintes:
Xj (horas) Xj
’ (horas) nj fj Si Fi* aj
a - 20 15 4 i 4 0.0133 0.00133 20 – 35 27.5 f 0.05 19 p 0.00333 35 – 40 e 101 0.3367 120 q 0.06734 40 – b 45 g j n 0.8 0.04
50 – 60 55 50 l o r 0.01667 c - d 65 h m 300 1 0.00333
∑=
6
1jjn =300 ∑
=
6
1jjf =1
a) 1022015 =⇔
+= aa
502
4045 =⇔+
= bb
60=c
702
6065 =⇔+
= dd
5.372
4035=⇔
+= ee
9667.01667.08.0
0333.030010
1667.030050
290103001050120101154300
240120120120300*4.0
4.04.08.04.03367.00633.0
0633.005.00133.0
0133.0300
415419
=+=
==
==
=−==−−−−−=
=+====−=
=+==+=
==
=−=
r
m
l
ohngjqp
i
f
b) Representação gráfica da distribuição
c) Medidas de localização • Média
x = 5333,43300
10*65....15*5,274*15=
+++
• Moda Classe modal: classe com maior densidade de frequência (aj): 35 – 40 Pela fórmula de King:
6157.3900333.004.0
04.0*535 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++=Mod
• Mediana Classe mediana: aquela que inclui 50% das observações: 40 – 50 Por interpolação linear:
5.4240
)40()(4050
)40()50(=⇔
−−
=−− med
medFmedFFF
Mod<Med< x : a distribuição é enviesada à esquerda ou assimétrica positiva. d) Grau de Assimetria de Pearson
4551.06081.8
6157.395333.43=
−=
−=
sModxg
s2 = 0989.74300
)5333.4365(*10....)5333.435.27(*15)5333.4315(*4 222
=−++−+−
s = 6081.80989.74 = A medida de assimetria confirma que a distribuição é assimétrica positiva. 5. a) Os trabalhadores que auferem um salário mensal superior a 600 Euros preferem a
alternativa ii), enquanto que os que auferem um salário mensal inferior a 600 Euros preferem a alternativa i). Como a mediana da distribuição é 620 Euros a alternativa vencedora é a ii), uma vez que mais de 50% dos trabalhadores tem um salário mensal superior a 600 Euros.
b) A distribuição é assimétrica negativa ou enviesada à direita. c) O índice de Gini não se alteraria. Ora vejamos, o índice de Gini é definido como
( ),1
1
1
1
∑
∑−
=
−
=
−= m
ii
m
iii
p
qpG
em que m designa o número de classes e pi e qi são definidos como
. e , '
1
1
1jjjm
jj
i
jj
i
i
jji nxt
t
tqfp ===
∑
∑∑
=
=
=
Note-se que fj, nj, x’j são, respectivamente, a frequência relativa simples, a frequência absoluta simples e o ponto médio da classe j.
De uma forma mais geral considere-se uma variável y definida como y=ax. O
índice de Gini mantém-se inalterado, uma vez que o pi e qi da variável y são iguais aos da variável x. Ou seja,
• O pi não se altera, pois é definido como a frequência relativa acumulada e o número de ocorrências em cada classe não se altera.
• O qi também não se vai alterar, dado que
. e
1
'
1
'
1
'
1
'
1
1'' xim
jjj
i
jjj
m
jjj
i
jjj
m
j
yj
i
j
yj
yijjjj
yj q
nax
nax
nax
nax
t
tqnaxnyt ======
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
No caso em questão, se for a alternativa ii) a adoptada a=1.03 e o índice de Gini mantém-se inalterado. 6. a) Para quantificar a afirmação é necessário calcular o índice de Gini.
Xj X’j nj fj pj tj=nj*X´j qj pj-qj
0-500 250 70 0.35 0.35 17500 0.0886 0.2614
500-1000 750 58 0.29 0.64 43500 0.3089 0.3311
1000-1750 1375 40 0.2 0.84 55000 0.5873 0.2527
1750-2500 2125 20 0.1 0.94 42500 0.8025 0.1375
2500-4000 3250 12 0.06 1 39000 1 -
200 1 197500 0.9827
1
11
1
( )0.9827 0.3548
2.77
m
j jj
m
jj
p qG
p
−
=−
=
−= = =∑
∑
O valor obtido para o índice de Gini revela que apesar da concentração não ser muito
elevada, não existe no sector agro-alimentar uma distribuição igualitária dos salários
pelos trabalhadores, dado que para que tal acontecesse o valor do índice de Gini teria
que ser 0.
b) 1
' 987.5N
j jj
X X f=
= =∑
1
'250 987.5 70 ... 3250 987.5 12
654200
N
j jj
X X nd
N=
−− + + −
= = =∑
c)
A afirmação só será verdadeira se o terceiro quartil for igual a 1350 (caso
contrário essa percentagem é sempre ou inferior ou superior a 25%). Pretende-se,
então, calcular o terceiro quartil.
Para verificar se no sector agro-alimentar 25% dos trabalhadores recebem um salário
superior a 1350 euros é necessário calcular o valor do terceiro quartil. Olhando para a
classe das frequências relativas acumuladas podemos verificar que o terceiro quartil
pertence à classe 1000-1750. Usando a interpolação linear:
(1750) (1000) 0.75 (1000)
1750 1000 10000.84 0.64 0.75 0.64
750 10001412
F F FFu
FuFu
− −=
− −− −
=−
A afirmação é falsa dado que 25% dos trabalhadores recebem um salário superior a
1412 euros. Isto é, 1412 euros é o salário acima do qual existem 25% dos
trabalhadores, e não o salário 1350 euros.
7. a) Designando por A a situação inicial e por B a nova situação:
1 1 1 1
1.02 1.02 1.021.02 1.02
N N N NB B A A A A A A
j j j jj j j j A
B
X X X X X X X Xd d
N N N N= = = =
− − − −= = = = =∑ ∑ ∑ ∑
b)
2( ) 1500As = sA=38.7298 1.02B As s= =39.5044 Então, a nova variância: 2 2( ) (39.5044) 1560.6Bs = = Ou:
2 2 2 2 2
( ) (1.02 ) (1.02) ( ) (1.02) 1500 1560.6B A As s s= = = × = c)
1.021.02
B A AA
B A A
S S SCD CDX X X
= = = =
Como o coeficiente de dispersão não se altera, a dispersão mantém-se. d) Nova Moda =1.02*750=765
Nova Mediana=1.02*780=795.6
e) A concentração mantém-se uma vez que o índice de Gini não se altera. O índice de Gini é definido como:
1
11
1
( )m
i ii
m
ii
p qG
p
−
=−
=
−=∑
∑
• O pi não se altera porque diz respeito às frequências relativas acumuladas dos
trabalhadores e o número de ocorrências em cada classe não se altera;
• O qi diz respeito às frequências relativas acumuladas dos salários e também não
se vai alterar, dado que:
(representando por B a nova situação e por A a situação inicial)
´ ´1.02B B Aj j j j jt x n x n= =
´ ´
1 1 1
´ ´
1 1 1
1.02 1.02
1.02 1.02
i i iBj j j j j
j j jB Ai im m m
Bj j j j j
j j j
t x n x nq q
t x n x n
= = =
= = =
= = = =∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
8.
Anos IPt/96 IPt/99 Despesa
a preços correntes
IPt/99 IPt/00 Despesa a preços
constantes de 2000
Índice de despesa
base 2002
1997 0,63 500 0,7159 0,5773 866,1008 0,6754 1998 0,75 662 0,8523 0,6873 963,1893 0,7511 1999 0,88 1 759 1 0,8065 941,103 0,7338 2000 1,24 1324 1,24 1 1324 1,0324 2001 1,46 1457 1,46 1,1774 1237,4724 0,9649 2002 1,52 1572 1,52 1,2258 1282,4278 1
a) Os passos para resolver este exercício são:
1. Calcular o índice de preços com base em 1999 ou 1996, fazendo conciliação de índices (na tabela só está apresentado o índice com base em 1999);
Para obter o índice de preços com base em 1999, só se tem de calcular os dois primeiros valores, para 1997 e 1998, uma vez que todos os outros já estavam na tabela do enunciado. No caso do ano de 1997,
7159,088,075,0*
96/99
96/9799/9799/9696/9799/97 ===⇔= P
PPPPP
II
IIII
A ideia é a mesma para o ano de 1998. 2. Passar a base do índice de preços de 1999 (ou 1996) para 2000, usando as
propriedades da circularidade e reversibilidade no tempo;
5773,024,1
8523,0*99/00
99/9700/9700/9999/9700/97 ===⇔= P
PPPPP
II
IIII
Os cálculos são similares para os restantes anos. 3. Deflacionar a despesa a preços correntes pelo índice de preços com base
2000;
Para o ano de 1997,
despesa a preços constantes de 2000= 1008,8665773,0500
2000==
eçosbaseíndicedepresçoscorrentdespesapre
Os restantes anos estão apresentados na tabela. 4. Calcular um índice simples da despesa obtida no ponto anterior, com base em
2002.
Para o ano de 1997,
6754,04278,1282
1008,86602/97 ==despesaI
b) O tipo de índice mais usado é o de Laspeyres pois, uma vez que pondera a evolução dos preços pelas quantidades do período base, informação essa que está disponível mais depressa do que a informação sobre as quantidades do período para o qual estamos a calcular o índice, como é o caso do índice de Paasche. 9.
a) Sabendo que o índice de Paasche de quantidades entre o ano 1 e o ano 0 é de
0,67, podemos efectuar o seguinte cálculo:
yy
pqpqpqpqpqpq
pqpqP CCSSAA
CCSSAA
Q
×+×+××+×+×
=++
++==
∑∑= 20812610
1288610
101010
111111
10
110|167,0
Daqui, conclui-se, resolvendo em ordem a y, que
9,13≈y Utilizando agora a informação de que o índice da despesa é de 0,97, pode calcular-se x de forma análoga, sabendo y.
20126105129,1388106
000000
111111
00
110|197,0 ×+×+×
×+×+×=
++
++==
∑∑= xqpqpqp
qpqpqpqpqpV CCSSAA
CCSSAA
Daqui conclui-se que
9,8≈x
b) Pode calcular-se o índice de Laspeyres de preços da forma habitual,
209,8126105209,13128106
000000
010101
00
010|1 ×+×+×
×+×+×=
++
++==
∑∑
qpqpqpqpqpqp
qpqp
L CCSSAA
CCSSAA
P
Alternativamente, podemos aplicar a propriedade da reversão de factores:
VPL QP
0|10|10|1 =⋅ A conclusão é a mesma pelas duas vias:
447,10|1 ≈L P Para calcular o índice de Paasche de preços, basta fazer:
42,1101010
111111
10
110|1 ≈
++
++==
∑∑
qpqpqpqpqpqp
qpqp
P CCSSAA
CCSSAA
P
Neste caso, 42,1447,1 0|10|1 =>= PL PP , relação que se justifica pela existência de substituibilidade entre os vários tipos de pescado, pois, neste caso, os preços e quantidades encontram-se negativamente correlacionados.
c) O que se refere no enunciado é a fórmula de Fisher.
Teríamos, então, como índice de preços, ( )PLF Pt
Pt
Pt 0|0|
2/1
0| =
Se se verificar a propriedade da circularidade, terá que acontecer que
FFF Pt
Pt
Ptt 0|0'|'| =
onde t’ é um momento arbitrário entre 0 e t. Desenvolvendo, vem
Fqpqp
qpqp
qpqp
qpqp
qpqp
qpqp
PLPLFF
Pt
t
ttt
t
ttt
tt
tt
tt
ttPt
Pt
Ptt
Ptt
Pt
Ptt
0|
000
0
'0
''
00
0'
'''
'0'|0'|'|'|0'|'|
=⋅≠
≠⋅⋅⋅=⋅=
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
Ou seja, o índice construído como sendo a média geométrica dos índices de Laspeyres e de Paasche não respeita a propriedade da circularidade.
10.
a) Para calcularmos o índice de Laspeyres pedido no enunciado, precisamos de calcular os ponderadores da despesa e os índices de preço para 1994, com base em 1995, para cada produto. Como os índices de preços apresentados têm todos a mesma base, basta dividir o valor do índice no ano de 1995 pelo do ano de 1994 para cada produto para obter o índice de preços para 1994, com base em 1995. Quanto à fórmula dos ponderadores, esta é:
aldespesatotdespesa
w ii =
Despesa wi iI 94/95
A 500 0,5 1,2 B 200 0,2 1,1
C 300 0,3 1,05 ∑= 1000
135.105.1*3.01.1*2.02.1*5.0* 94/9594/95 =++== P
iP IwL
b) Entre 1994 e 1995, o salário nominal de um determinado trabalhador aumentou 11% (244200/220000) e o índice de preços no consumidor aumentou 13,5%. Assim, é possível ver que o seu poder de compra diminuiu neste período. Quantificando: 1,135/1,11=1.02, ou seja diminuiu 2%. c) A afirmação é falsa, uma vez que é possível calcular o índice de quantidades de Laspeyres sem sabermos os valores dos preços no período para o qual estamos a calcular o índice.
11. a)
Indice base 98
Indice base 95
95 0.774 1 96 0.87 1.124 97 0.903 1.167 98 1 1.292 99 1.18 1.525 00 1.25 1.615 01 1.37 1.77
Aplicando a propriedade da circularidade é possível completar a série para o índice com base em 98, para em seguida se proceder a uma mudança de base para o ano 95.
95/98 95/93 93/9898/93
96 /98 96 /93 93/9898/93
99 /98
1 1.21.2 0.7741.55
1 1.351.35 0.871.55
1.18
I I II
I I II
I
= × = × = =
= × = × = =
=
b) Considerando que Vendas p correntes = Vendas p constantes 95 * I base 95, então:
Vendas p correntes
95 1180 96 1967 97 2100.6 98 2519.4 99 3034.75 00 3391.5 01 3805.5
12. a) O índice de preços do tipo Paasche pode ser escrito do seguinte modo:
∑α=
02/03i
P02/03
I1
1P onde,
Ponderador αA= (1500/4000) = 0.375
Ponderador αB= (1200/4000) = 0.3
Ponderador αC= (1300/4000) = 0.325
Aplicando a propriedade da circularidade e a propriedade de reversão quanto ao
tempo é possível calcular os índices de preços simples de cada produto, em 2003 com
base em 2002:
25.16.10.2
I1IIII A
b/02
Ab/03
A02/b
Ab/03
A02/03 ==×=×=
25.12.15.1
I1IIII B
b/02
Bb/03
B02/b
Bb/03
B02/03 ==×=×=
322.1
5.11325.0
25.113.0
25.11375.0
1PP02/03 =
×+×+×=
b)
143.1)120010001300()130012001500(
QPQP
V0202
030302/03 =
++++
==∑∑ logo,
Q02/03
P02/0302/03 LPV ×= ⇔ Q
02/03L322.1143.1 ×= ⇔ 865.0LQ02/03 =
Como o índice de quantidades do tipo Laspeyres pode ser escrito:
∑ω= 02/03iQ
02/03 IL onde,
Ponderador ωA= (1300/3500) = 0.37
Ponderador ωB= (1000/3500) = 0.29
Ponderador ωC= (1200/3500) = 0.34
75.0IQA02/03 = e 80.0IQB
02/03 =
QC02/03I34.080.029.075.037.0865.0 ×+×+×= ⇔ 046.1IQC
02/03 =
5.10.20.3
I1IIII C
b/02
Cb/03
C02/b
Cb/03
C02/03 ==×=×=
13.
1587,0)1´(15
5035)35X(P =−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=≤ ΦΦ
Encargo líquido: .m.u5,31678005,39672*08,0*50005*1587,0*5000 =−=−
14. Teorema da Probabilidade Total Máq. P(•) P(D/ •) P(•∩D)
M1 α 0,08 0,08 α M2 0,5- α 0,08 0,04-0,08 α M3 0,5 0,02 0,01 P(D)=0,05 15. a) O número mínimo de lances é 4. b) { }...,n...,,6,5,4S = O cardinal é, pois, infinito numerável. c) 4 lances: PPII 5 lances: IPPII; PPPII 6 lances: IIPPII; PPPPII; PIPPII; IPPPII
16. a)
[ ] 5.0141.2
21.1
41.01)x(f.x)X(E)X(E)X(Var
141.2
21.1
41.0)x(f.x)X(E
22222
0ii
2i
22
2
0iii
=−++=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=
=++==
∑
∑
=
=
b)
Y 3 4 5 X 0 1 2
f(x) 1/4 1/2 1/4
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
5y41
4y21
3y41
)y(f
c)
( ) ( 3) ( ) 3 1 3 4E Y E X E X= + = + = + =
17.
[ ]
0298.0!84.)8()8(
)4(".min10"
)2(,)(232
066)()()(:6)(
.)()(,
?)("min5"
84
22222
====
=∩=
=∩−=⇒−=∨=⇔
⇔=−+⇔−=⇔−==
==
=∩=
−efWP
PWutosemsverificadasocorrênciadeNúmeroW
PZqueseconcluirpodeformaDestapositivovalor
ZEZEZVZEComo
ZVZEPoissondeãodistribuiçaSendo
PZutosemsverificadasocorrênciadeNúmeroZ
λ
λλλλλλλλ
λ
λ