EXERCíCIOS 8.3Encontrando as Enésimas Somas Parciais

Nos exercícios 1-6, encontre uma fórmuia para a enésima somaparciai de cada série e use-a para encontrar a soma da série se eiaconvergir.

1. 2+~+~+l+...+--L+...3 9 27 3"-1

9 9 9 92 -+-+-+...+-+...

. 100 1002 1003 100"

3, 1 - 1 + .1 - .1 + ... + (-1 )"-1 ~ + ...2 4 8 2"-1

4. 1 - 2 + 4 - 8 + ... + (- 1r 12,,-1 + ...

5. ~+~+~+...+ 1 +...2 . 3 3' 4 4, 5 (n + 1)(n + 2)

6. ~+~+~+...+ 5 +...1 . 2 2 . 3 3' 4 n(n + 1)

Séries com Termos Geométricos

Nos exercícios 7-12, escreva os primeiros termos de cada sériepara mostrar como a série começa. Então, calcuie sua soma.

'" (-1)" '" 77. I~O4" 8. 1~14"

9. i (1- + ~ ),,=0 2" 3"

11. i (~+ (-i)" ),,~o 2 5"

10. i (1- - 1),,=0 2" 3"

12. i (2"+1 ),,=0 5"

SériesTelescópicasUse frações parciais para encontrar a soma de cada série nos exer-cícios 13-16.

'" 4

13. 1~1(41I - 3)(4n + 1)

'" 401I

15. I~I (2n - 1)2(2n+ 1)2

'" 614. ~I (2/1- 1)(2/1+ 1)

'" 211 + 116. I~I 1I2(/I + 1)2

Encontre a soma das séries nos exercícios 17 e 18.'"

( 1 1 )17. I~I V;; - yÇ+J

'"

(1 1 )18. I~ in(/I + 2) -in(11 + 1)

Convergência ou DivergênciaQuais séries nos exercícios 19-32 convergem e quais divergem?Justifique suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.

19.,,~l ~)"'"

21. 2: (-1),,+11-,,=1 2"

'"23. 2: e-2"

,,~o

'" 125. 2: /I' Ixl> 1

,,~ox

27. i (1 - 1)"

,,=1 n

'"

(lI

)29. I~I In 1Í + 1

'" lI!

31. 2: 1.000",,=0

'"20. 2: (V2)"

,,=0

'"

22. 2: cos /I'Tr,,=0 5"

'" I24. 2: In li,,=1

26. i 2" - 1,,=0 3"

28. t (*)" -

,,-o

30. f e"",,=0 'Tr'le

32. i /I",,~I lI!

SériesGeométricasEm cada uma das séries geométricas nos exercícios 33-36, escrevaseusprimeiros termos para encontrar a e r e calcule a soma das sé-ries. A seguir, expresse a desigualdade Ir I< 1 em termos de x eencontreos valores de x para os quais a desigualdade é válida e asérieconverge.

33. ~(-I)"x" 34. i (-I)"xZ",,=0 ,,~o

'" 3 (~ )" 36 '" (-1)" ( 1 )"

35. ~o 2 . 1~0 2 3 + sen x

Nos exercícios 37-40, encontre os valores de x para os quais asériegeométricadadaconverge.Encontretambéma somadas sé-ries (comouma função de x) para esses valores de x.

'"

37. l: 2"x",,=0'"

(I)

"39. l: -- (x - 3)",,=0 2

'"

38. l: (-I)"x-z",,=0'"

40. l: (ln x)",,=0

DizimasPeriódicasExpressecada um dos números nos exercícios 41-46 como a razãode doisinteiros.

41. 0,23= 0,2323 23. . .

42. 0,234= 0,234234234 . . .

43. 0,7= 0,7777. . .

44. 1,414= 1,414414414. . .

45. 1,24123= 1,24123123123. . .

46. 3,142857= 3,142857142857. . .

Teoria e Exemplos47. DistânciadeumabolopulandoUmabolaé largadade uma al-

tura de 4 m. Cada vez que ela atinge o solo depois de ter caídode uma altura de 11metros, é rebatida a uma altura de 0,7511m.Calcule a distância vertical total que a bola percorre para cimae para baixo.

48. Tempototalpulando Calcule o número total de segundos que abola do Exercício 47 fica pulando. (Dica: A fórmula s = 4,9tZdát = Ys/4,9.)

49. Somandoáreas A figura a seguir mostra os primeiros cincoquadrados de uma seqüência. O quadrado externo tem área de4 mZ.Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se ospontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule a somadas áreas de todos os quadrados.

8.3 SériesInfinitas 31

50. Somandoáreas A figura a seguir mostra as primeiras três filei-ras e parte da quarta de uma seqüência de fileirasde semicírcu-los. Há na enésima fileira 2" semicírculos, cada um com raio1/2". Encontre a soma das áreas de todos os semicírculos.

"' 1/2

51. Curvado floco de neve de Helge von Koch Comece com um triân-

gulo eqüilátero cujos lados tenham comprimento I, chamando-o de Curva 1. Divida cada lado em três partes iguais e na terçaparte do meio de cada lado construa um triângulo eqüiláteroapontando para fora. Então, apague o interior das antigasterças partes do meio. Chame a curva expandida de Curva 2.Agora coloque triângulos eqüiláteros, novamente apontandopara fora, em cada terça parte do meio dos lados da Curva 2.Apague o interior das antigas terças partes do meio para obtera Curva 3. Repita o processo, como mostrado, para definir umaseqüência infinita de curvas planas. A curva-limite da seqüên-cia é a curva do floco de neve de Koch.

D ~vCurva)Curva 2

~~~3

Curva 3 Curva 4

Aqui temos como mostrar que a curva do floco de neve é umacurva de comprimento infinito circundando uma região de áreafinita.

(a) Encontre o comprimento L" da enésima curva C" e mostreque lim"~,,, LII= 00.

(b) Encontre a área A" da região circundada por C" e calculelim"~,,, An.

52. Escrevendo para aprender A figura a seguir fornece uma provainformal de que l::~ I (I/ nZ) é menor do que 2. Explique oque está acontecendo. (Fonte: "Convergence with pictures",

de P.l. Rippon, American Matllematica/ Montll/y, v. 93, n. 6,

1986, p. 476-478.)

32 Capítulo8: SériesInfinitas

53. ReindexaçãoA série do Exercício 5 também pode ser es-crita como

'" I

'~J (I! + 1)(/1 + 2)e

'" 1

L (I! + 3)(/1 + 4) .,,=-J

Escreva-a como uma soma começando com

(a) /I = -2

(b) /I = O

(c) /I = 5.

54. Escrevendopora aprender Componha uma série infinita de ter-mos diferentes de zero cuja soma seja

(a) I

(b) - 3

(c) O.

Você é capaz de fazer uma série infinita de termos diferen-tes de zero que converge para qualquer número que quiser?Explique.

55. Série geométrica Encontre o valor de b para o qual

I + eh + e2h + e-~I,+ . - - = 9.

56. Série geométrica modificada Para quais valores de r a sérieinfinita

] + 21' + 1'2 + 2r' + 1'4+ 21'5 + 1'6+ . . .

converge? Encontre a soma da série quando ela converge.

57. Errousandoumasomaparcial Mostrequeo erro (L - s,,)obtidosubstituindo-se uma série geométrica convergente por uma dassuas somas parciais s" é ar"/(I - r).

58. Produtotermoa termo Encontre séries geométricas A = 2:a"eB = 2: b" que ilustrem que 2:a"bopode convergir sem que sejaigual a AB.

59. Quocientetermo a termo Mostre com um exemplo que 2: (a,,1b,,) pode convergir para alguma coisa diferente de AI B mesmoque A = 2: a", B = 2: b" * Oe nenhum b" seja igual a zero.

60. Quocientetermo a termo Mostre com um exemplo que 2: (a,,1b,,) pode divergir mesmo que 2: a" e 2: b" convirjam e nenhumb" seja igual a zero.

61. Reciprocastermo a termo Se 2: a" converge e a" > O para todoI!, pode-se dizer algo sobre 2: (I Ia,,)? Justifique sua resposta.

62. Adicionandoou retirandotermos O que acontece se você adicio-nar um número finito de termos a uma série divergente ou retirar

um número finito de termos de uma série divergente? Justifi-que sua resposta.

63. Somandosériesconvergentese divergentesSe 2: a" converge e2: b" diverge, pode-se dizer algo sobre a soma termo a termo2: (a" + b,,)? Justifique sua resposta.

J

I32 ]

&:.1

]

22

42-

1 12 4