Exercices de Probabilités II

7/28/2019 Exercices de Probabilits II

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Exercice 1

Supposons quune maison dedition publie deux revuesM1 etM2. Leur service dabonnements sait quedans une region specifiee 60% des menages recoivent la revue M1, 45% recoivent la revue M2, et que30% des menages sont abonnes a la fois a M1 etM2.

1) Calculer la probabilite quun menage recoive au moins lune des revues.

2) Calculer la probabilite quun menage ne recoive aucune des deux revues.

3) Calculer la probabilite conditionnelle quun menage recoive la revue M2 sachant quil recoit la revueM1.

Solution :

NotonsA1 (resp. A2) levenement recevoir la revueM1 (resp. M2).

1)P(A1 A2) =P(A1) + P(A2) P(A1 A2) = 0.6 + 0.45 0.3 = 0.75.

2)P(A1 A2) =P(A1 A2) = 1 P(A1 A2) = 1 0.75 = 0.25.

3)P(A2|A1) =P(A2 A1)/P(A1) = 0.3/0.6 = 0.5.

Exercice 2

Soit (,A) un espace mesurable et soient A, B deux evenements independant dans A (cest-a-direP(A B) =P(A)P(B)). Montrer que :

1)A et B sont independants.

2)A et B sont independants.

Solution :

1) Vu que B est lunion disjointe de B Aet B A on a :

P(B) =P(B A) + P(B A)

et par consequent,P(B A) =P(B) P(A)P(B) =P(B)P(A).

2) On a P(A B) =P(A B) = 1 P(A B). Vu queP(A B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) nousobtenons,

P(A B) = 1 P(A) P(B) + P(A)P(B) =P(A) P(B)P(A) =P(A)P(B).

Exercice 3

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Un ouvrier surveille 3 machines qui fonctionnent independamment. La probabilite que pendant uneheure determinee la ieme machine necessite son intervention (evenementAi) est notee pi. Determiner lesprobabilites des evenements suivants :

1) Louvrier nest pas intervenu.

2) Louvrier est intervenu une fois au moins.

3) Louvrier est intervenu sur une seule machine.

Solution :

1) Il faut calculerP(A1A2A3). Les evenementsA1, A2, A3 etant independants leurs complementairesegalement et il sensuit que P(A1 A2 A3) =P(A1)P(A2)P(A3) = (1 p1)(1 p2)(1 p3).

2) Cest la probabilite de levenement complementaire de celui de la question 1. Pas suite sa probabiliteest 1

(1

p1

)(1

p2

)(1

p3

).

3) Levenement louvrier est intervenu sur une seule machine est la reunion disjointe des evenementslouvrier est intervenu sur la ieme machine mais pas sur les deux autres pour i = 1, 2, 3. Cet evenementsecrit donc comme (A1 A2 A3) (A2 A1 A3) (A3 A2 A1) (ou lunion est disjointe). Parconsequent, sa probabilite vaut p1(1 p2)(1 p3) +p2(1 p1)(1 p3) +p3(1 p2)(1 p1).

Exercice 4

On considere N+ 1 urnes U0,...,UN. Dans chaque urneUn il y a N boules toutes identiques exceptepar leur couleur : nsont noires et N n sont blanches. On choisit une urne au hasard (on suppose les

urnes equiprobables) et on tire une boule (on suppose que toutes les boules se trouvant dans une urnesont tirees avec la meme probabilite).

1) Quelle est la probabilite que la boule tiree soit une boule noire ?

Supposons maintenant que lon ait tire une boule noire.

2) Quelle est la probabilite quelle ait ete tiree de lurne Un ?

3) Repondre aux memes questions en supposant maintenant que lon choisit lurne Unavec une probabilite

n > 0, ouN

i=0 i = 1.

Solution :

NotonsAn levenement lurne n a ete choisie et B levenement une boule noire a ete tiree.

1) On a B =

Nn=0

(An B) ou lunion est disjointe.

Par suite, P(B) =N

n=0

P(An B) =N

n=0

P(B|An)P(An) =N

n=0

n

N

1

N+ 1 = 1/2.

2)P(An|B) =P(An B)/P(B) =P(B|An)P(An)/P(B) = 2n

N(N+ 1)

.

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3) On obtient P(B) =N

n=0

nnN

etP(An|B) =P(B|An)P(An)/P(B) = nnNj=0

jj

.

Exercice 5

1) SoitPune mesure de probabilite definie sur un espace mesurable (,A) et soit {Ai}i=1,2,... une suite

croissante devenement de A. Montrer que limn+

P(An) =P

i=1

Ai

.

2) Formuler un enonce dual pour les suites devenements aleatoires decroissantes.

Solution :

1) On definit pour tout n 1, Bn = An An1 ou on pose A0 = . Nous obtenons ainsi une suitedevenements de A deux a deux disjoints. En effet, si n < m, Bn Bm =An An1 Am Am1 =An Am1 An An = .

De plus on voit facilement quen

i=1

Bi = An et donc

i=1

Bi =

i=1

Ai; par consequent

P

i=1

Ai

=P

i=1

Bi

= lim

n+

ni=1

P(Bi) = limn+

P(

ni=1

Bi) = limn+

P(An).

2) Si la suite {Ai}i=1,2,... est decroissante alors limn+

P(An) = P i=1

Ai

. Pour le montrer il suffit

dappliquer le resultat de 1) a la suite croissante {Ai}i=1,2,....

Exercice 6

On dit que la variable aleatoire T suit une loi geometrique de parametre p[0, 1] si P(T =n) =pqn1,n 1, ouq= 1 p. Montrer queTna pas de memoire cest-a-dire

P(Tn0+ n|T > n0) =P(Tn)

Solution :

Pour n 1 calculons P(Tn). On a P(Tn) =k=0

P(T =n + k) =

k=0

pqn+k1 =pqn1

1 q =qn1.

Par consequent, P(T > n0) =P(Tn0) P(T =n0) =qn01 pqn01 =qn0 .

Nous pouvons a present calculer P(Tn0+ n|T > n0).Si n = 0 on a evidemmentP(Tn0+ n|T > n0) = 1 = P(T0).

Si n 1, P(Tn0+ n|T > n0) = P(Tn0+ n)

P(T > n0)

= qn0+n1

q

n0=qn1 =P(Tn).

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Exercice 7

Une variable aleatoire X suit une loi de Poisson de parametre >0 si les valeurs de cette variable sontles entiers positifs et si

P(X=r) =er

r!

1) Verifier que la somme denvariables de Poisson independantes de parametres1,...,nest une variablede Poisson de parametre 1+ ... + n.

On fait lhypothese que le nombreNdenfants dune famille prise au hasard dans un pays determine estune variable de Poisson de parametre . De plus la loi du nombre de garcons parmi n enfants est uneloi binomiale de parametres n et 1/2.

2) Quelle est la loi de la variable aleatoire Y egale au nombre de garcons dans une famille prise auhasard ? (cest-a-dire calculer la probabilite de levenement {Y =r} pour tout entier positifr)

3) Quelle est la probabilite que N=n si on sait que Y =k 0 ?

Solution :

1) Commencons par montrer la propriete pour n = 2. Si X1, X2 sont deux variables aleatoires indepen-dantes suivant une loi de Poisson de parametres 1 et 2 respectivement, alors pour tout entier r 0,

P(X1+X2= r) =

rk=0

P(X1= k, X2= rk) =r

k=0

P(X1= k)P(X2= rk) =r

k=0

e1k1k!

e2rk2

(r k)!.

Sachant queCrk = r!

(r k)!k!nous obtenons :

P(X1+ X2= r) = e

(1+2)

r!

rk=0

Crkk1rk2 =e(1+2) (1+ 2)

r

r! .

Pour montrer la proprietes dans le cas general on procede par recurrence sur n. Pourn = 2 la propriete adeja ete demontree. Soitn 2 et supposons la propriete vraie pour toutk n. SoitZ= X1+...+Xn+1,par hypothese de recurrence la variable X1+ ... + Xn suit une loi de Poisson de parametre 1+ ... + net vu que les variables X1+ ... + Xn etXn+1 sont independantes il sensuit, toujours par hypothese derecurrence, que Z suit une loi de Poisson de parametre 1+ ... + n+1.

2) Levenement{Y =r} est egal a lunion disjointe des evenements {N =n} {Y =r} pour n variantder jusqua linfini. Par consequent,

P(Y =r) =

n=r P(N=n, Y =r).

Cette egalite peut encore secrire comme :

P(Y =r) =

n=r

P(Y =r|N =n)P(N=n).

Or P(Y =r|N =n) est la probabilite davoir r garcons dans une famille de n enfants et lenonce nous

dit que cette probabilite vaut Cnr1

2n. Dun autre cote, P(N=n) =e

n

n!. Donc,

P(Y =r) =

n=r

Cnr1

2ne

n

n! =e

1

r!

n=r

n

2n(n r)!=e

1

r!(/2)r

n=0

(/2)n

n! .

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La derniere somme etant egale ae/2 nous obtenons pour finir :

P(Y =r) =e/2(/2)r

r! .

La variable aleatoire Y suit donc une loi de Poisson de parametre/2.

3) Evidemment cette probabilite est nulle si n < k. Si n k,

P(N=n|Y =k) =P(Y =k|N=n)P(N =n)

P(Y =k) =

Cnk2n

en

n!e/2k!

1

(/2)k =e/2

(/2)nk

(n k)!=P(Y =n k).

Exercice 8

On appelle Xt la variable aleatoire egale a la duree de vie a linstant t dun atome radioactif en vie acet instant. Cest-a-dire si latome se desintegre a un instant > t la variable Xt est egale a t. Onadmet que latome radioactif ne vieillit pas, cest-a-dire que quels que soient t et t les variables Xt etXt ont meme loi de probabilite et donc leurs fonctions de repartition Ft etFt sont egales. On supposeen outre que ces fonctions de repartitions sont continues.

1) Soitt et x deux reels positifs. Exprimer en utilisant la fonction de repartition F0deX0 la probabilitequun atome en vie a linstant 0 soit encore en vie a linstantt et desintegre a linstant t + x.

En deduire la valeur de la probabilite conditionnelle P(x|t) que latome soit desintegre a linstant t + xsachant quil est en vie a linstant t.

2) Montrer que P(x|t) est par definition Ft(x) et deduire de ce resultat une equation que doit verifier lafonctionF0.

En etudiant lequation verifiee par G = 1 F0 determinerG ainsi que la fonction F0.

Solution :

1) Notons A levenement latome est en vie a linstant t et B levenement latome est desintegre alinstantt+x. La probabilite quun atome en vie a linstant 0 soit encore en vie a linstantt et desintegrea linstant t + x est P(A B) =P(t < X0 t + x) =F0(t + x) F0(t).

La probabilite conditionnelle P(x|t) que latome soit desintegre a linstant t+ x sachant quil est en

vie a linstant t est donc P(B|A) = P(A B)/P(A) = P(t < X0 t + x)

P(t < X0) =

F0(t + x) F0(t)

1 F0(t) (car

P(t < X0) = 1 P(X0 t) = 1 F0(t)). Nous supposons evidemment que P(t < X0)> 0 pour tout tpositif.

2)P(x|t) est la probabilite conditionnelle que latome soit desintegre a linstantt + xsachant quil est envie a linstantt, on peut donc lexprimer egalement a laide de la variable XtcommeP(Xt x) =Ft(x).Comme par hypothese latome radioactif ne vieillit pas, ceci entrane que Ft(x) =F0(x) et donc

F0(x) =F0(t + x) F0(t)

1 F0(t) .

En posantG = 1 F0 dans lequation precedente et en simplifiant nous obtenons :

G(t + x) =G(t)G(x).

Il sagit a present de determiner la fonction continue G verifiant lequation precedente pour tout t, xpositifs. Remarquons que bien que toute fonction identiquement nulle sur R

+soit une solution de cette

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equation elle ne peut etre retenue, car dans ce cas F0 serait egale a 1 pour tout x 0 et par suite il yaurait une discontinuite de F0 en 0. En effet, il est evident que F0(x) = 0 pour tout x 0, on aap =G(p) =G

p

qq

=G

p

q

q, donc G

p

q

=a

p

q . Par continuite on en deduit que pour tout x reel

positif, G(x) =ax. Pour finir F0(x) = 1 ax pour toutx 0 avec 0< a 0 pour tout n 1. Le score de Jean au bout de n match estSn =

nk=1 Xk.

Etant donne que (Xn)n1 est une suite de v.a i.i.d integrables, on peut appliquer la loi

forte des grands nombres et en deduire que

Sn

n converge presque surement vers 3p 2. Par consequent,Sn converge presque surement vers +; ce qui secrit aussi comme P( t.q limn Sn() = +) = 1.

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