E X E R C I C E S C H A P I T R E 6 GEOMETRIE VECTORIELLE

Notations de géométrie vectorielle : Vect(u

!) désigne la droite vectorielle "engendrée" par u

!, i.e. Vect(u

!) = { v!∈ E2 ou E3, v

! = λ .u

!}

Vect(u!

, v!

) désigne le plan vectoriel "engendré" par la famille (u!

, v!

), i.e. Vect(u

!,v!

) = {w!∈ E3, w

! = λ.u!

+ µ. v!

}

Exercice 1.(perpendiculaire commune) Dans un espace affine réel de dim.3,on considère deux droites affines D1 et D2 définies par les points A1 et A2 et les vecteurs directeurs unitaires u!1 et u!2 non colinéaires. Montrer qu'il existe une droite affine D rencontrant D1 et D2 orthogonalement (en H1 et H2 respectivement):D est appelée la perpendiculaire commune à D1 et D2.

(on montrera que , nécessairement A H1 1

!

= λ. u!1 et 1 A H2 2

!

= µ. u!2 et on déterminera un système en λ et µ en écrivant que D = (H1H2 ) est perpendiculaire à D1 et D2.; en fait, on obtient le système en écrivant :

H H1 2

!

. u!1 = 0 , H H1 2

!

. u2

! =0 et en utilisant H H1 2

!

= H A1 1

!

+ A A1 2

!

+ A H2 2

!

)

Montrer que : H1 est défini par : A H1 1

!

=. A A u u u u

u u

u1 2 1 1 2 2

1 22 1

1

!!"

! •

! •

.[ ( ). ]

( ).

! ! ! !

! !!

Exercice 2. (base orthonormale) Soit ( i

!

, j!

, k!

)une base orthonormale de sens direct de E3. Déterminer une base orthonormale ( u! , v! , w! ) t.q. u! ∈ Vect( i! + j! + k

!

) et v! ∈ Vect( i! , j! ). (On déterminera, dans l’ordre, u! , v! puis w! . Pour w! ,utiliser un produit vectoriel )

Si n! = i! + j! + k!

, on peut choisir u! = !

!n

n

puis v! = a. i! +b. j! : on détermine a et b avec : !v = 1 et u! . v! = 0 ...puis w! = u! ∧ v!

Exercice 3.(double produit vectoriel) Soit a!

,b!

, c!

trois vecteurs d'un espace vectoriel orienté de dimension 3. Montrer que : a

!∧(b!∧ c!

) + c!∧( a!∧b!

) + b!∧(c!∧ a!

) = o!

Exercice 5.(déterminant , double produit vectoriel) Dans l'espace vectoriel euclidien orienté de dim.3 E3,on considère une b.o.n.d. B de E3 et trois vecteurs u! , v! , w! . Calculer P1 = Dét B( v! + w! ,w! + u! , u! + v! ) et P2 = Dét B( v! ∧ w! , w! ∧ u! , u! ∧ v! ) en fonction de Dét( u! , v! , w! ) Pour P1 , utiliser la linéarité par rapport à chaque composante. Pour P2 , utiliser la formule du double produit vectoriel : P2 = ( v! ∧ w! )•[( w! ∧ u! )∧( u! ∧ v! )] = ... dans le crochet , on calcule un double produit vectoriel.

Exercice 6.(équation a! ∧ x! = b! appelée parfois division vectorielle) Soit a! et b

!

deux vecteurs non nuls d'un e.v. euclidien E orienté de dim.3. On considère l'équation a! ∧ x! = b! (1) 1°) Montrer que , si (1) admet au moins une solution , alors a! • b

!

= 0. 2°) On suppose désormais a! • b

!

= 0.

a) Montrer que : dét( a! , b!

, a! ∧ b!

)= 2

ba

!!! .En déduire que dét( a! , b

!

, a! ∧ b!

) > 0.

( a! , b!

, a! ∧ b!

) est donc une base de E

b) Résoudre a! ∧ x! = b!

en décomposant x! dans la base ( a! , b!

, a! ∧ b!

)

Indication : 2°) b) x! = α. a! + β. b!

+ γ.( a! ∧ b!

), remplacer x! dans l'équation…remarquer que

( a! , b!

, a! ∧ b!

) est une base et utiliser l'unicité de la décomposition d'un vecteur dans cette base.

Exercice 7. Soient a! , b

!

, c! , d! quatre vecteurs d'un e.v. euclidien orienté E3 Montrer, en utilisant un déterminant, que : ( a! ∧ b

!

)•( c! ∧ d! ) = c! •[ d! ∧ ( a! ∧ b!

)] et en déduire que :

( a! ∧ b!

)•( c! ∧ d! ) = dbcb

daca!!!!

!!!!

••

••

GEOMETRIE AFFINE : DROITES ET PLANS

Exercice 8. 1°) P : x+y–2z+3 = 0 ; A(1,2,1) ; B(2,1,α) 2°) P : x–y+z–3 = 0 ; A(1,0,0) Déterminer α pour que la droite (AB) soit Equations de la droite D orthogonale à P passant par A? parallèle à P. D ∩ P ? 3°) P : x+y−z+2= 0 ; P' : x−2y+z−3 = 0 4°) P : x+y–z+2 = 0 ; A(1,0,0) ; D : x–y+z+3 = 0 D = P ∩ P' x–z = 0. Déterminer le plan Π orthogonal à P Déterminer le plan orthogonal à P contenant A et contenant D parallèle à D. (pour le 3°, on pourra utiliser le fait que (x+y−z+2)+α.( x−2y+z−3) = 0 est l'équation d'un plan contenant D ou bien déterminer deux vecteurs directeurs de Π . 5°) P : x–y+z+1 = 0 ; P' : x+y–z–1 = 0 D = P ∩ P' ; Q : x+y+z = 0. Equation du plan contenant D et orthogonal à Q. (utiliser le même procédé qu'au 3°)) 6°) P : x+y+z = 0 ; D : x = 1 + 2.α y = 2 + α z = 1 – 2.α Equations paramétriques de la droite Δ menée par le point A(1,1,1) parallèle au plan P et rencontrant D.Coordonnées du point d'intersection?

Exercice 9. 1°) Equation du plan contenant le point A(1,1,1) et de vecteur normal !n (3,–1,2) 2°) Soit D : 2x – y + z = 0 3x + 2y + 2z = 0 Equation du plan P orthogonal à D contenant A(2,–1,1)

Exercice 10. Soit D : x = y et D' : x = z + 1 z = 1 y = 2.z + 3. Déterminer les équations des deux plans P et P' tels que : D ⊂ P , D' ⊂ P' et P parallèle à P'.

Exercice 11 Déterminer un système d'équations cartésiennes de la droite (Δ) passant par A(1,1,2) et rencontrant les deux droites D : z = 0 et D' : y = 0 2.x + 3.y − 1 = 0 x − 2.z + 3 = 0. Indication : définir Δ comme intersection de deux plans. GEOMETRIE AFFINE EUCLIDIENNE : DISTANCES

Exercice 12. 1°) P : x + y + z –1 = 0 ; P' : 2x – y + 2z + 1 = 0 ; D = P ∩P' Calculer la distance du point O à D 2°) D : x = 1 + α A(2,1,2) y = 1 – 2.α z = 1 + α Calculer la distance de A à D 3°) Soit D : y − 1 = 0. et D' : x = 2.λ 2.x − z − 7 = 0 y = 1 − λ z = 2 + 2.λ a) Déterminer g(λ),distance du point M(λ) de D' à la droite D. b) Déterminer min[g(λ)] et en déduire des équations de la perpendiculaire commune à D et D'

Exercice 13. Soit (P1 ) d'équation: 4.x + 4.y −7.z −1 = 0 et (P2) d'équation : 8.x −4.y + z −7 = 0 Déterminer les équations des plans bissecteurs des plans (P1) et (P2) Indication: Les plans bissecteurs des plans (P1)et (P2) sont constitués des points équidistants de (P1) et (P2)

Exercice 14. Soit D d'équations :

2

1 .x −2

1 = y = z −1 et (D') d'équations : 2 − x = 2

1 y −1 = 2

1 .z

Donner une équation cartésienne du plan (P) parallèle à (D) et (D') et équidistant de (D) et de (D')

GEOMETRIE AFFINE EUCLIDIENNE: PERPENDICULAIRE COMMUNE

Exercice 16. Déterminer un système d'équations de la perpendiculaire commune aux deux droites :

(D) d'équations !"#

=$+$

=+$+

0362

013

zyx

zyx et (D') passant par A'(2,−1,1) et dirigée par u

!'(1,2,−3)

Exercice 17. Dans un repère orthonormé de sens direct,on considère les plans suivants : P1 : x − y − a = 0 P2 : y + 3z + 1 = 0 P3 : x + 2y + z −2b = 0 P4 : 3x + 3y + 2z − 7 = 0 puis les deux droites : D = P1 ∩ P2 et D' = P3 ∩ P4. 1°) Déterminer une relation entre a et b pour que D ∩ D' ≠ ∅ et donner une équation du plan les contenant (utiliser P 6.9) 2°) La condition du 1°) étant réalisée,montrer que, lorsque a varie, la perpendiculaire commune de D et D' reste dans un plan fixe. GEOMETRIE AFFINE : SPHERES

Exercice 18. Soit OABC une pyramide trirectangle définie par les coordonnées respectives (0,0,0),(2a,0,0), (0,2b,0) et (0,0,2c) de ses sommets dans un repère orthonormé. On suppose abc ≠ 0. 1°) Déterminer le centre Ω et le rayon R de la sphère contenant les quatre sommets ( on pourra utiliser les plans médiateurs de certains segments ) 2°) Déterminer les coordonnées de K, projeté orthogonal de Ω sur le plan (ABC)

Exercice 19. Former un système d'équations cartésiennes de l'ensemble des points M de E3 tels que le symétrique de M par rapport au plan (P) d'équation : x + y −2.z + 1 = 0 définisse, avec les points A(1,2,−1) et B(−1,2,3) un triangle équilatéral et déterminer la nature de cet ensemble. GEOMETRIE AFFINE : EXERCICE DE SYNTHESE

Exercice 20. Dans un repère orthonormé (O,i,j,k) on considère les points variables : M(2a.cos(θ),0,–a) et N(0,2a.sin(θ),a) où a est fixé. 1°) Déterminer lieu de M ,N et du milieu I de [MN] lorsque θ varie. Former l'équation de la sphère de diamètre [MN] et montrer qu'elle passe par deux points fixes A et B de l'axe Oz lorsque θ varie. 2°) Soit P le barycentre de (M,1) et (N,µ) et H la projection de P sur Oz. Déterminer les coordonnées de P et de H. Pour quelle valeur de µ a-t'on (HP) ⊥ (MN)? 3°) Former l'équation du plan contenant O et perpendiculaire à MN. Trouver les coordonnées de la projection orthogonale K du point O sur MN.