Electrostatique  PACES  

Enoncé  :  

Soit   un   ensemble   de   3   charges   électriques   ponctuelles   -­‐2q,   +q,   +q   disposées   aux  sommets  A,  B  et  C  d’un  triangle  équilatéral  de  coté  a,  dans  l’air.  

1. Calculer  le  potentiel  V  et  déterminer  le  champ   E  créés  par  cette  distribution  de  

charges   au   centre   de   gravité   G   du   triangle   (q>0).   On   appellera   j   le   vecteur  

unitaire  dirigé  de  G  vers  A  d’origine  G  et   i   le  vecteur  unitaire   tel  que   (G,   )  

forme  une  base  orthonormée.  

Potentiel  :   A  :  0     B  :  1π ε

2q3a2

     C  :  −1π ε

2q3a2

 

D  :  1π ε

q3a

        E  :  −1π ε

q3a

 

Champ  :   A  :  0     B  :  

14π ε

9q2

a2i    

C  :   −14π ε

9qa2j  

D  :  

14π ε

9qa2j                    

E  :  

14π ε

9qa2i  

 

2. A  quelle  force   F est  soumise  une  charge  Q=-­‐3q  placée  en  G  ?  

A  :  0     B  :  

14π ε

9q2

a2i   C  :  

−274π ε

q2

a2j  

D  :  

274π ε

qa2j     E  :  

−94π ε

Qq2

a2j  

 

3. Quelle   est   l’énergie   électrostatique   de   la   charge   Q   placée   en   G   dans   le   champ  électrique  résultant  des  3  autres  charges  ?    

A  :  0     B  :  94π ε

Qqa     C  :   9

4π εq2

a  

D  :  94π ε

Qqa2     E  :  − 9

4π εq2

a  

 

 

 

    Electrostatique  PACES  

Réponses  :  

 

           

Figure  1.  

 

1. Calcul  du  potentiel  V  

Le  potentiel  est  une  grandeur  scalaire,  il  suffit  donc  pour  obtenir  le  potentiel  en  G,  noté  V(G),   créé   par   les   charges   situées   en  A,   B   et   C   de   sommer   chacune   des   contributions,  soit  :    

V(G)=V(A)+V(B)+V(C)  

Avec  :   V(G)  le  potentiel  en  G  créé  par  les  charges  situées  en  A,  B  et  C  

V(A),  V(B)  et  V(C)  les  potentiels  créés  par  les  charges  A,  B  et  C  au  point  G  

 

Remarque  :   Le   centre   de   gravité   G   du   triangle   ABC   est   le   point   d’intersection   des   trois  médianes.  Dans  un  triangle,  une  médiane  est  une  droite  passant  par  un  sommet  et  par  le  milieu  du  côté  opposé.    

 

 

    Electrostatique  PACES  

Rappel  de  cours      Le   potentiel   créé   par   une   charge   ponctuelle   q,   placé   dans   le   vide,   en   un   point   M   de  l’espace  situé  à  la  distance  r  de  la  charge  q  est  donné  par  :  

V(M)= 14πε0

qr  

ε0 est  la  permittivité  électrique  du  vide    

Calcul  du  potentiel  V(A)    

Le  potentiel  V(A)  est  le  potentiel  créé  par  la  charge  située  en  A  (-­‐2q)  au  point  G,  donc  :    

V(A)=  14πε

−2qAG

 

Avec  :    AG  qui  est  la  distance  entre  le  point  A  et  le  point  G  

  ε permittivité  électrique  de  l’air  

 

Remarque  :   le  triangle  ABC  étant  un  triangle  équilatéral   les  distances  AG,  BG,  et  CG  sont  égales.    

On  pose  alors  :  AG=BG=CG=r,  d’ou  :  V(A)=  14πε

−2qr  

 

Calcul  des  potentiels  V(B)  et  V(C)    

Par  analogie  avec  ce  qui  a  été  dit  précédemment,  on  a  :  

V(B)=  14πε

qr  

V(C)=  14πε

qr  

 

On  a  alors  :  V(G)=V(A)+V(B)+V(C)  

V(G)=  14πε

−2qr+14πε

qr+14πε

qr  

V(G)=  14πε

1r-2q+q+q( )  

 

 

    Electrostatique  PACES  

 ⇒V(G)=0    

 Le  potentiel  est  nul  au  centre  de  gravité  du  triangle  ABC    

 

Réponse  :  A  

 

Calcul  du  champ  électrostatique   E  

Le   champ   électrostatique   est   une   grandeur   vectorielle,   il   est   donc   nécessaire   pour  obtenir  le  champ  en  G,  noté  

E  (G),  créé  par  les  charges  situées  en  A,  B  et  C  de  faire  une  

sommation  vectorielle  au  point  G  de    chacune  des  3  contributions,  soit  :    

E  (G)=  

E  (A)+  

E  (B)+  

E  (C)  

Avec  :   E  (G)  le  champ  électrostatique  en  G  créé  par  les  charges  situées  en  A,  B  et  C  

  E   (A),  

E   (B)  et  

E   (C)  les  champs  respectivement  créés  par  les  charges  A,  B  et  C  au  

point  G  

 

Rappel  de  cours      Le   champ  électrostatique   créé  par  une   charge  ponctuelle   q,   placé  dans   le   vide,   en  un  point  M  de  l’espace  situé  à  la  distance  r  de  la  charge  q  est  donné  par  :  

E (M)=

 

14πε0

qr2u  

  u est   un   vecteur   unitaire   généralement   choisi   dirigé   de   q   vers  M   (point   ou   l’on   veut  déterminer  le  champ).  Il  sert  à  indiquer  la  direction  du  champ  électrostatique

 ε0 est  la  permittivité  électrique  du  vide    

Calcul  du  champ   E  (A)  

Le  champ   E  (A)  est  le  champ  créé  par  la  charge  située  en  A  (-­‐2q)  au  point  G,  donc  :    

E  (A)=  

14πε

−2qr2uA  

Avec  :     uA   le  vecteur  unitaire  dirigé  de  A  vers  G.  La  charge  en  A  étant  négative  (-­‐2q)  le  

champ  créé  par  A  en  G  est  dirigé  de  G  vers  A.  Le  vecteur   E  (A)  est  donc  «  négatif  »  compte  

tenue  l’orientation  de     uA  (cf.  Figure  2).    

  ε permittivité  électrique  de  l’air  

 

 

    Electrostatique  PACES  

Calcul  des  champs   E (B)  et  

E (C)  

Par  analogie  avec  ce  qui  a  été  dit  précédemment,  on  a  :  

Pour   E (B)  :          

E (B)=  

14πε

qr2uB  

 

Avec  :   uB   le   vecteur   unitaire   dirigé   de  B   vers  G.   La   charge   en  B   étant   positive   (+q)   le  

champ  créé  par  B  en  G  est  dirigé  de  B  vers  G.  Le  vecteur   E  (B)  est  donc  «  positif  »  compte  

tenue  l’orientation  de     uB  (cf.  Figure  2).    

 

Pour   E (C)  :          

E (C)=  

14πε

qr2uC  

Avec  :   uC   le   vecteur   unitaire   dirigé   de   C   vers  G.   La   charge   en  C   étant   positive   (+q)   le  

champ  créé  par  C  en  G  est  dirigé  de  C  vers  G.  Le  vecteur   E (C)  est  donc  «  positif  »  compte  

tenue  l’orientation  de     uC  (cf.  Figure  2).    

 

 

Figure  2.  

 

    Electrostatique  PACES  

 

On  a  alors  :   E (G)=  

E  (A)+  

E  (B)+  

E  (C)  

Donc  :   E (G)=  

14πε

−2qr2uA +

14πε

qr2uB +

14πε

qr2uC  

E (G)=  

14πε

qr2

−2 uA +uB +uC( )  

Le  champ  électrostatique   E (G)  dépend  du  choix  des  vecteurs  unitaires  

uA ,   uB  et  

uC ,  par  conséquent   pour   faciliter   l’expression   du   champ  

E (G)   on   l’exprimera   dans   la   base  

cartésienne  orthonormée  (G,   i ,j )  (cf.  Figure  3).  

Pour  cela  il  suffit  de  projeter  les  vecteurs  unitaires   uA ,   uB  et  

uC  dans  (G,   i ,j ).  

Projection  de   uA  dans  (G,  

i ,j )  

Le  vecteur  unitaire   uA  a  une  seule  composante  sur  

j ,  tel  que  :  

uA = −j  

Projection  de   uB  dans  (G,  

i ,j )  

La  projection  du  vecteur  unitaire   uB  sur  (

i ,j )  

s’écrit  : uB = −uB cos α 2( ) i + uB sin α 2( ) j  

avec   uB  qui  est   la  norme  du  vecteur  unitaire   uB ,  et  comme  

uB  est  un  vecteur  unitaire  alors  sa  norme  est  égale  à  1,  donc  :  

uB = − cos α 2( ) i + sin α 2( ) j  

Projection  de   uC  dans  (G,  

i ,j )  

La  projection  du  vecteur  unitaire   uC  sur  (

i ,j )  s’écrit  :  

uC = uC cos α 2( ) i + uC sin α 2( ) j  avec   uC  qui  est   la  norme  du  vecteur  unitaire  

uC ,  et  comme   uC  est  un  vecteur  unitaire  

alors  sa  norme  est  égale  à  1,  donc  :   uC = cos α 2( ) i + sin α 2( ) j  

 

Le  champ  électrique   E  (G)  s’écrit  alors  dans  la  base  (G,  

i ,j )  :  

E  (G)=  

14πε

qr22j − cos α 2( )i + sin α 2( ) j + cos α 2( )i + sin α 2( ) j( )  

E  (G)=  

14πε

qr22j + 2sin α 2( ) j( )  

 

 

    Electrostatique  PACES  

 

Le  triangle  ABC  étant  équilatéral,   l’angle  α  est  égal  à  60°  ou  π/3  rad,  donc  α/2=30°  ou    

π/6  rad,  d’ou   sin α 2( ) = 12.  

on  a  alors  :   E  (G)=  

34πε

qr2j  

 

Figure  3.  

Enfin  pour  déterminer  l’expression  du  champ  en  fonction  des  données  du  problème  on  exprime  r  en  fonction  de  a  (cf.  Figure  3).  

On  a  :   cos α 2( ) = a2r,  d’ou  :   r = a

2cos α 2( )  

on  a  :   cos α 2( ) = cos π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

32,  donc  : r = a

3  

On  obtient  donc  :   E  (G)=  

94πε

qa2j  

 

 

 

 

    Electrostatique  PACES  

 

⇒ E (G)=  

94πε

qa2j  

 

 Le   champ   résultant  

E G( )   est   dirigé   suivant  

j ,   sa   norme   est  :  

E G( ) =

94πε

qa2  

   

Réponse  :  D  

 

Remarque  :  Grace  aux  des  symétries  du  problème  nous  aurions  immédiatement  puis  en  déduire  que  le  champ  électrostatique  résultant  au  point  G,  

E G( ) ,  avait  une  seule  et  unique  composante  

sur  l’axe    des   j .  Les  composantes  des  champ  élémentaires  s’annulant  2  à  2  suivant  l’axe  des  

i  

   

2. Force  subit  par  la  charge  Q=-­‐3q  placée  en  G  

 

Rappel  de  cours      Une   charge   ponctuelle   q   placée   dans   un   champ   électrostatique  

E   subit   une   force  

électrostatique  de  la  forme  :   F=qE    

 

Au  point  G  le  champ  est  électrostatique  est  :  

E G( ) = 9

4π εqa2j  

La   charge   Q,   placée   en   G,   est   donc   soumise   à   une   force   électrostatique   du   type  :  

F=Q

E G( )  

d’ou  :  

F=Q 9

4π eqa2j  

on  a  Q=-­‐3q,  donc  :  

F= −274π ε

q2

a2j  

 

⇒  

F= −274π ε

q2

a2j  

   

 La   force  électrostatique  que  subit   la  charge  Q=-­‐3q  placé  en  G  est  dirigée  

suivant  la  direction  -­‐ j ,  sa  norme  est  :  

F =

274π ε

q2

a2  

   

Réponse  :  C  

 

    Electrostatique  PACES  

3. Energie  potentielle  électrostatique  de  la  charge  Q  placée  en  G  

 

Rappel  de  cours      Une   charge   ponctuelle   q   placée   dans   un   champ   de   potentiel,   acquière   une   énergie  potentielle  électrostatique,  ou  plus  simplement  énergie  électrostatique,  Ep,  de  la  forme  :  Ep=qV    L’énergie  est  une  grandeur  scalaire.    

Au  point  G,  le  potentiel  électrostatique  est  V(G)=0.  L’énergie  électrostatique  acquise  par  la  charge  Q  étant  de  la  forme  :  Ep=Q  V(G),  on  a  :  Ep=0.  

 

 ⇒  Ep=0    

 L’énergie   électrostatique   acquise   par   la   charge   Q   placée   en   G   est   donc  nulle.  

 

Réponse  :  A