Exercice 1 (formule de Leibniz) Exercice 6sebastien.pellerin.free.fr/fichiers/GMP1/TD2.pdf ·...
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I.U.T. de Cachan - G.M.P. 1re annee - 2004-2005 Feuille d’exercices n o 2
Exercice 1 (formule de Leibniz)
On suppose que deux fonctionsf etg admettent une deriveene ena.Montrer que le produitf g admet aussi une deriveene ena et que l’on a
( f g)(n)(a) =n
∑k=0
(nk
)f (k)(a)g(n−k)(a).
Exercice 2
On posef (x) =x2
1+x2 .
(a) Etudier f sur son domaine de definitionD f .
(b) Montrer quef est bijective sur[0,+∞[ puis determiner son application reciproque.
Exercice 3
On posef (x) = x−2√
x+1.
(a) Etudier f sur son domaine de definitionD f .
(b) Montrer quef est bijective sur[0,1] puis determiner son application reciproque.
Exercice 4
Simplifier les expressions suivantes en indiquant pour quelles valeurs dex elles ont unsens :
cos(
Arcsinx)
, cos(
Arctanx)
, sin(
Arccosx)
,
sin(
Arctanx)
, tan(
Arcsinx)
, tan(
Arccosx)
,
sin(2Arcsinx
), cos
(2Arccosx
), sin2(1
2Arccosx
)et cos2
(12
Arccosx).
Exercice 5
Ecrire les expressions suivantes sous la forme d’un seul cosinus :
cos2x+sin2x ,√
3cos3x+sin3x et 3cosx−4sinx.
Exercice 6
Soit θ ∈]− π
2 , π2
[et t = tanθ
2.Montrer que
tanθ =2t
1− t2 , sinθ =2t
1+ t2 et cosθ =1− t2
1+ t2 .
Exercice 7
On posef (x) = Arcsin(
2x√
1−x2)
.
(a) Calculer f (cost) ou t ∈ [0,π].
(b) En deduire une expression plus simple def (x).
(c) Tracer le graphe def .
Exercice 8
On posef (x) = Arccos( 2x
1+x2
).
(a) Calculer f (tant) ou t ∈]− π
2 , π2
[.
(b) En deduire une expression plus simple def (x).
(c) Tracer le graphe def .
Exercice 9
Calculer les derivees des fonctions suivantes :
f1(x) = Arcsin(2x
√1−x2
), f2(x) = Arccos
(1x
),
f3(x) = Arccos( 2x
1+x2
), f4(x) = sin
(Arctanx
)et f5(x) = Arctan
( x+a1−ax
)ou a∈ R.
Exercice 10
Etudier les fonctions definies ci-dessous :
f1(x) = Arccos(√
1+cosx2
), f2(x) = Arcsin
( x√1+x2
),
f3(x) = Arctan(√
1−sinx1+sinx
), f4(x) = Arctan
(√x2 +1−1x
)et f5(x) = 2Arctan
(√1+x2−x
)+Arctanx.
Exercice 11
Simplifier les expressions suivantes en indiquant pour quelles valeurs dex elles ont unsens :
ch(
Argshx)
, ch(
Argthx)
, sh(
Argchx)
, sh(
Argthx)
, th(
Argshx)
th(
Argchx)
, ln(1+ thx
1− thx
), ch(lnx) et sh
(12
ln(x2 +1)).
Exercice 12
Montrer les relations suivantes en precisant pour quelles valeurs dex elles sontverifiees :
Arctan(shx) = Arcsin(thx) , 2Argshx = Argsh(2x
√x2 +1
),
Argchx = Argsh(√
x2−1)
et Argth( 2x
1+x2
)= 2Argthx.
Exercice 13
Calculer les derivees des fonctions definies ci-dessous
f1(x) = sh(2x+1) , f2(x) = Arccos(thx)−Arctan(ex) ,
f3(x) = Argsh(tanx) , f4(x) = Argch(2x2−1) ,
f5(x) = Arctan(
thx2
)et f6(x) = Argth
(x2−1x2 +1
).
Exercice 14
Etudier les fonctions definies ci-dessous
f1(x) = ln(
chx)
, f2(x) = Argth(x−1
x+1
),
f3(x) = Argsh(√
chx−12
), f4(x) = Argch
(√1+chx
2
)et f5(x) = Argth
(√chx−1chx+1
).
Exercice 15
On posef (x) =
cos
(√−x
)si x < 0
1 six = 0
ch(√
x)
si x > 0
(a) Montrer quef est derivable surR et calculer sa derivee.
(b) Montrer que, pour toutx∈ R, on a : 4x f ′′(x)+2 f ′(x)− f (x) = 0.