Exemplo Turbinas de Avião - IME-USPgiapaula/slides_exemplo_turbina.pdf · 7 Diagnóstico Modelo...
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Exemplo Turbinas de Avião
Gilberto A. Paula
Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil
2o Semestre 2015
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 1 / 29
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Turbinas de Avião
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 2 / 29
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Turbinas de Avião
Turbinas de Avião
Descrição dos Dados
Como ilustração, vamos considerar os dados descritos em Lawless(1982, p. 201) em que cinco tipos de turbina de avião são comparadossegundo o tempo (em milhões de ciclos) até a perda da velocidade.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 3 / 29
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Turbinas de Avião
Turbinas de Avião
Distribuição do Tempo até a Perda da Velocidade
Tipo de TurbinaTipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo V3,03 3,19 3,46 5,88 6,435,53 4,26 5,22 6,74 9,975,60 4,47 5,69 6,90 10,399,30 4,53 6,54 6,98 13,559,92 4,67 9,16 7,21 14,45
12,51 4,69 9,40 8,14 14,7212,95 5,78 10,19 8,59 16,8115,21 6,79 10,71 9,80 18,3916,04 9,37 12,58 12,28 20,8416,84 12,75 13,41 25,46 21,51
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 4 / 29
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Análise de Dados Preliminar
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 5 / 29
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Análise de Dados Preliminar
Densidade do Tempo
Tempo
De
nsid
ad
e
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.0
20
.04
0.0
60
.08
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 6 / 29
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Análise de Dados Preliminar
Boxplots do Tempo segundo o Tipo de Turbina
Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo V
51
01
52
02
5
Tem
po
de
Du
raçã
o
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Análise de Dados Preliminar
Comparação dos Tipos de Turbina
Medidas Resumo para o Tempo
Estatística Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo VMédia 10,69 6,05 8,64 9,80 14,71D.Padrão 4,82 2,91 3,29 5,81 4,86C. Variação 45,09% 48,10% 38,08% 59,29% 33,04%
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 8 / 29
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Ajuste Modelo Gama
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 9 / 29
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Ajuste Modelo Gama
Modelo Gama
Descrição
Seja yij o tempo até a perda da velocidade da j-ésima turbina do
i-ésimo tipo. Vamos supor inicialmente que yijiid∼ G(µ, φ), ou seja,
vamos ignorar o efeito tipo de turbina. Obtemos as seguintesestimativas:
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Ajuste Modelo Gama
Modelo Gama
Descrição
Seja yij o tempo até a perda da velocidade da j-ésima turbina do
i-ésimo tipo. Vamos supor inicialmente que yijiid∼ G(µ, φ), ou seja,
vamos ignorar o efeito tipo de turbina. Obtemos as seguintesestimativas:
µ̂ = 9, 98(0, 73) e φ̂ = 4, 01(0, 77).
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 10 / 29
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Ajuste Modelo Gama
Modelo Gama
Descrição
Seja yij o tempo até a perda da velocidade da j-ésima turbina do
i-ésimo tipo. Vamos supor inicialmente que yijiid∼ G(µ, φ), ou seja,
vamos ignorar o efeito tipo de turbina. Obtemos as seguintesestimativas:
µ̂ = 9, 98(0, 73) e φ̂ = 4, 01(0, 77).
Portanto, confirma-se pela estimativa de φ um certa assimetria àdireita na distribuição empírica do tempo de duração até a perda davelocidade.
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Ajuste Modelo Gama
Modelo Gama
Descrição
Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:
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Ajuste Modelo Gama
Modelo Gama
Descrição
Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:
yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),
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Ajuste Modelo Gama
Modelo Gama
Descrição
Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:
yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),
µi = α+ βi ,
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 11 / 29
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Ajuste Modelo Gama
Modelo Gama
Descrição
Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:
yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),
µi = α+ βi ,
em que β1 = 0.
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Ajuste Modelo Gama
Modelo Gama
Descrição
Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:
yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),
µi = α+ βi ,
em que β1 = 0. Isto é, temos um modelo casela de referência em queβ2, β3, β4 e β5 são incrementos nas médias dos tipos II, III, IV e V emrelação à média do tipo I.
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Resultados Modelo Ajustado
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 12 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Estimativas
Descrição
Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 10,69 1,54 6,93β2 -4,64 1,77 -2,62β3 -2,06 1,98 -1,04β4 -0,89 2,09 -0,43β5 4,01 2,62 1,53φ 5,80 1,13 5,13
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 13 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Estimativas
Descrição
Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 10,69 1,54 6,93β2 -4,64 1,77 -2,62β3 -2,06 1,98 -1,04β4 -0,89 2,09 -0,43β5 4,01 2,62 1,53φ 5,80 1,13 5,13
Desvio
O desvio do modelo é dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 80 × 8, 86 = 51, 39(45 g.l .).
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 13 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Estimativas
Descrição
Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 10,69 1,54 6,93β2 -4,64 1,77 -2,62β3 -2,06 1,98 -1,04β4 -0,89 2,09 -0,43β5 4,01 2,62 1,53φ 5,80 1,13 5,13
Desvio
O desvio do modelo é dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 80 × 8, 86 = 51, 39(45 g.l .). Valor-P dadopor P=0,24 (não rejeitamos o modelo).
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Resultados Modelo Ajustado
Resultados Preliminares
Interpretações
Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 14 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Resultados Preliminares
Interpretações
Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.O tipo II é aquele que apresenta o menor tempo médio, enquanto queo tipo V parece ter o maior tempo médio.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 14 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Resultados Preliminares
Interpretações
Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.O tipo II é aquele que apresenta o menor tempo médio, enquanto queo tipo V parece ter o maior tempo médio.
Teste F
Vamos verificar através de um teste F, se é possível agrupar os tipos I,III e IV.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 14 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Resultados Preliminares
Interpretações
Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.O tipo II é aquele que apresenta o menor tempo médio, enquanto queo tipo V parece ter o maior tempo médio.
Teste F
Vamos verificar através de um teste F, se é possível agrupar os tipos I,III e IV. Ou seja, vamos testar as hipóteses H : β3 = β4 = 0 contra A :pelo menos um parâmetro diferente de zero.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 14 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Descrição Teste F
Detalhes
A estatística F fica dada por
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Descrição Teste F
Detalhes
A estatística F fica dada por
F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q
D(y; µ̂)/(n − p),
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Descrição Teste F
Detalhes
A estatística F fica dada por
F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q
D(y; µ̂)/(n − p),
em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Descrição Teste F
Detalhes
A estatística F fica dada por
F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q
D(y; µ̂)/(n − p),
em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A. Sob a hipótese H e para φgrande F ∼ Fq,(n−p).
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Resultados Modelo Ajustado
Descrição Teste F
Detalhes
A estatística F fica dada por
F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q
D(y; µ̂)/(n − p),
em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A. Sob a hipótese H e para φgrande F ∼ Fq,(n−p). No exemplo temos que n=50, p=5 e q=2.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 15 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Aplicação Teste F
DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Aplicação Teste F
DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:
F =(9, 09 − 8, 86)/2
8, 86/45= 0, 58.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Aplicação Teste F
DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:
F =(9, 09 − 8, 86)/2
8, 86/45= 0, 58.
O valor-P neste caso fica dado por P=0,56.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Aplicação Teste F
DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:
F =(9, 09 − 8, 86)/2
8, 86/45= 0, 58.
O valor-P neste caso fica dado por P=0,56. Portanto, não rejeitamos ahipótese H e podemos agrupar os tipos de turbina I, III e IV.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29
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Resultados Modelo Ajustado
Aplicação Teste F
DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:
F =(9, 09 − 8, 86)/2
8, 86/45= 0, 58.
O valor-P neste caso fica dado por P=0,56. Portanto, não rejeitamos ahipótese H e podemos agrupar os tipos de turbina I, III e IV. Vamosentão considerar apenas três grupos.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 16 / 29
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Modelo Final
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 17 / 29
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Modelo Final
Modelo Final Gama
Descrição
Vamos então considerar o seguinte modelo gama:
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Modelo Final
Modelo Final Gama
Descrição
Vamos então considerar o seguinte modelo gama:
yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29
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Modelo Final
Modelo Final Gama
Descrição
Vamos então considerar o seguinte modelo gama:
yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),
µ1 = µ3 = µ4 = α,
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29
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Modelo Final
Modelo Final Gama
Descrição
Vamos então considerar o seguinte modelo gama:
yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),
µ1 = µ3 = µ4 = α,
µ2 = α+ β2,
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29
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Modelo Final
Modelo Final Gama
Descrição
Vamos então considerar o seguinte modelo gama:
yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),
µ1 = µ3 = µ4 = α,
µ2 = α+ β2,
µ5 = α+ β5.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 18 / 29
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Modelo Final
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 19 / 29
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Modelo Final
Resultados Modelo Final Gama
Estimativas
Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 9,71 0,81 12,01β2 -3,66 1,19 -3,08β5 5,00 2,27 2,20φ 5,66 1,10 5,14
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 20 / 29
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Modelo Final
Resultados Modelo Final Gama
Estimativas
Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 9,71 0,81 12,01β2 -3,66 1,19 -3,08β5 5,00 2,27 2,20φ 5,66 1,10 5,14
Desvio
O desvio do modelo final fica dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 66 × 9, 09 = 51, 45 (47g.l .).
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 20 / 29
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Modelo Final
Resultados Modelo Final Gama
Estimativas
Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 9,71 0,81 12,01β2 -3,66 1,19 -3,08β5 5,00 2,27 2,20φ 5,66 1,10 5,14
Desvio
O desvio do modelo final fica dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 66 × 9, 09 = 51, 45 (47g.l .). Valor-P dadopor P=0,30 (não rejeitamos o modelo).
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 20 / 29
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Diagnóstico Modelo Final
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 21 / 29
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Diagnóstico Modelo Final
Distância de Cook
0 10 20 30 40 50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Índice
Dis
tânc
ia d
e C
ook
47
49
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 22 / 29
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Diagnóstico Modelo Final
Resíduos Modelo Final
−2 −1 0 1 2
−3−2
−10
12
Percentil da N(0,1)
Com
pone
nte
do D
esvi
o
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 23 / 29
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Diagnóstico Modelo Final
Variações nas Estimativas
Observações Influentes
Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 24 / 29
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Diagnóstico Modelo Final
Variações nas Estimativas
Observações Influentes
Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente. Abaixo são apresentadas as variações nasestimativas eliminando-se esses pontos.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 24 / 29
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Diagnóstico Modelo Final
Variações nas Estimativas
Observações Influentes
Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente. Abaixo são apresentadas as variações nasestimativas eliminando-se esses pontos.
Estimativa Sem 47 Sem 49α̂ 0% -5%β̂2 -22% 14%β̂5 0% 10%φ̂ 8% 16%
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 24 / 29
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Diagnóstico Modelo Final
Resíduos Modelo Normal
−2 −1 0 1 2
−20
24
Percentil da N(0,1)
Res
íduo
Stu
dent
izad
o
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 25 / 29
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Conclusões
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 26 / 29
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Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 27 / 29
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Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 27 / 29
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Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente. Asuposição de distribuição gama para o tempo de duração parecebastante razoável e as observações detectadas como pontospossivelmente influentes não mudam as conclusões quando sãoeliminadas do estudo.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 27 / 29
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Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente. Asuposição de distribuição gama para o tempo de duração parecebastante razoável e as observações detectadas como pontospossivelmente influentes não mudam as conclusões quando sãoeliminadas do estudo. A suposição de modelo normal homocedásticonão é razoável.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 27 / 29
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Referências
Sumário
1 Turbinas de Avião
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Gama
4 Resultados Modelo Ajustado
5 Modelo Final
6 Modelo Final
7 Diagnóstico Modelo Final
8 Conclusões
9 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 28 / 29
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Referências
Referências
Referência
Lawless, J. F. (1982). Statistical Models and Methods for LifetimeData. John Wiley, New York.
G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 29 / 29