Exemples d’applications de la 2ème loi de newton

I. Etude Théorique de la chute verticale avec frottement

1. Introduction.Déterminer, en utilisant la 2ème loi de Newton et les outils mathématiques adaptés, les caractéristiques du mouvement d’une bille chutant verticalement avec frottement dans du glycérol.

2.Cadre de l’étude.Référentiel d’étude: le référentiel terrestre considéré comme galiléenSystème: la bille de masse m. On considère que la bille est « ponctuelle » et qu’elle se confond avec son centre d’inertie G.Bilan des forces appliquées à la bille au cours de sa chute:– Le poids de la bille,– La poussée d’Archimède exercée par le glycérol,– La force de frottement également par le glycérol.

3. La poussée d’Archimède.Tout corps plongé dans un fluide (gaz ou liquide) est soumis à la poussée d’Archimède dont les caractéristiques sont les suivantes :Point d’application: le centre d’inertie G du corps si celui-ci est totalement immergé.Direction: la verticale.Sens: de bas en haut.Intensité: L’intensité de la poussée d’Archimède est égale « au poids du volume de fluide déplacé par le corps immergé ».Si Vol est le volume du corps immergé et ρ0 la masse volumique du fluide, on a alors :

FA = ρ0 Vol g où g est l’accélération de la pesanteur

AF

G●

AF

Exemple : Un corps de volume Vol = 100 cm3 plongé dans de l’eau (ρ0 = 1,0 10-3 kg.cm-3) est soumis à une poussée d’Archimède d’intensité : FA = 1,0 10-3 x 100 x 9,8 = 0,98 N

4. La force de frottement. La force de frottement fluide

exercée sur un solide en mouvement de translation à les caractéristiques générales suivantes :

Direction: celle du mouvement.Sens: opposé au sens du mouvementLa force de frottement est donc à tous instants colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse du mobile.

frottementF

G●

frottementF

Sens du mouvement

Intensité: L’intensité de la force de frottement est d’autant plus importance que la norme de la vitesse du mobile est grande ( Ffrottement est une fonction croissante de v).il est généralement impossible de donner une expression analytique (mathématique) de la fonction Ffrottement (v).Dans la pratique on cherche à modéliser cette fonction de façon à tenir compte au mieux de la réalité du phénomène de frottement.On utilise très généralement des modèles du type :

Ffrottement = k

k et γ étant deux paramètres réels dont on « ajuste » les valeurs pour obtenir les résultats les plus proches de la réalité.

v

5. Retour sur l’étude du mouvement de la bille : application de la 2ème loi de Newton.

Sens du mouvement

P

AF

frottementF

●O

z

On choisie comme repère d’espace le repère (O,Oz), où O est le point d’où est lâché la bille sans vitesse initiale et Oz un axe vertical dirigé vers le bas.On choisie comme origine des dates l’instant où la bille est lâchée en O.

La 2ème loi de Newton appliquée à la bille en mouvement de chute verticale s’écrit :

m Ga

= P

+ AF

+ frottementF

on notera Ga

= a

m a

= P

+ AF

+ frottementF

6. Equation différentielle du mouvement de la bille. On projette l’expression vectorielle de la 2ème loi de Newton suivant l’axe Oz ; on obtient :

m az = Pz + FAz + Ffrottement z

Les trois forces sont colinéaires à l’axe Oz et, en fonction de leur sens, on obtient :

Pz = P = mg FAz = - FA = - ρ0 Vol g

où ρ0 est la masse volumique du glycérol et Vol le volume de la billeFfrottement z = - Ffrottement

m az = Pz + FAz + Ffrottement z

az = dt

dvz Par définition:

m dt

dvz = mg - ρ0 Vol g - Ffrottement

dt

dvz = (1 - m

Vol0 ) g - m

F frottement

On pose: A = (1 - m

Vol0 ) g

dt

dvz = A - m

Ffrottement

Par ailleurs Ffrottement est fonction de la norme v de la vitesse de la bille ; on peut écrire :Ffrottement = Ffrottement (v).

La bille se déplaçant verticalement vers le bas, son vecteur vitesse est vertical et orienté vers le bas.

z

O ●

● v

vz =v Ffrottement = Ffrottement (v) = Ffrottement (vz)

dt

dvz = A - m

vF zfrottement )(

Cette expression relie une fonction de vz avec la dérivée de vz , c’est une équation différentielle ; c’est l’équation différentielle d’évolution temporelle de la vitesse au cours du mouvement, ou encore l’équation différentielle du mouvement. Pour résoudre mathématiquement cette équation différentielle, il faut donner une expression analytique à la fonction Ffrottement (vz) ; il faut donc modéliser la force de frottement.