EXEMPLE METHODE DE COURBON EXEMPE METHODE DE … · Méthode de Courbon : Efforts tranchant et...
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FLEXION TRANSVERSALE DES PONTS A POUTRES
EXEMPLE METHODE DE COURBONEXEMPE METHODE DE GUYON – MASSONNET
Enoncé
Page 2 EXEMPLE
Vue en plan
15m 15m15m
3,5m
3,5m
Coupe transversale
3,5m 3,5m
10,5m chargeable
Poutres
2
3
1
3 2 1
Y
X
Caractéristiques géométriques
b 5,25 m
L 45 m
n 3 poutres
a 3,5 m
λ 15 m
Caractéristiques mécaniques
Ip 1,774 m4
Ie 0,844 m4
Kp 0,0368 m4
Ke 0,0359 m4
ν 0,15
Coordonnées poutres
y1 3,5 m
y2 0 m
y3 -3,5 m
Enoncé
Cas 1 : 1 voie chargée
p 8,5kN/m2
3,5m
3 2 1
Voie chargée
3,5m
Cas 2 : 2 voies chargées
3,5m
3 2 1
Voie chargée
3,5m
Cas 3 : 3 voies chargées
3,5m
2 1
Voie chargée
3,5m
3
Page 3 EXEMPLE
Enoncé
3 36 6 6 6
4,5 4,5 4,51,5 1,5
Xres
Ton
File1 File2 File3 File4File5
Cas 4: Convoi
e (m)
File 1 -2
File 2 0
File 3 0,5
File 4 2,5
File 5 3
File 6 5
File6
Page 4 EXEMPLE
Méthode de Courbon : Moments longitudinaux dans les poutres
Page 5 EXEMPLE
Méthode de Courbon : Moments longitudinaux dans les poutres
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Coefficient d'excentrement
D1
D2
Page 6 EXEMPLE
Méthode de Courbon : Moments longitudinaux dans les poutres
Page 7 EXEMPLE
Méthode de Courbon : Moments longitudinaux dans les poutres
Page 8 EXEMPLE
Méthode de Courbon : Efforts tranchant et moments dans les entretoises
Page 9 EXEMPLE
Nous allons calculer la ligne d'influence de l'effort tranchant dans la section X-X au droit de la poutre centrale et dans la section Y-Y au milieu des poutres 2 et 3,
pour une charge P concentrée d'excentricité e par rapport à x = 0
R1 = P/3*(1+3e/(2y))
R2 = P/3
R3 = P/3*(1-3e/(2y))
p= 1 kN
y= 3.5 m
R1
P
e
R2R3
X-XY-Y
i
iy
e
n
in.
1
.21.61
2 −
−++=
Si e<x on fait l'équilibre dans la partie droite de la section transversale :
Section X-X V(e;0) = - (R2+R1) M(e;0) = R1*y
-P/3*(2+3e/(2y)) P/3*(1+3e/(2y))*y
Section Y-Y V(e;y/2) = - (R2+R1) M(e;y) = R1*(y+y/2)+R2*(y/2)
-P/3*(2+3e/(2y)) P/3*(1+3e/(2y))*(3y/2)+P/3*y/2
Si e>x On fait l'équilibre dans la partie gauche de la section transversale :
Section X-X V(e;0) = R3 M(e;0) = R3*y
P/3*(1-3e/(2y)) P/3*(1-3e/(2y))*y
Section Y-Y V(e;y/2) = R3 M(e;b/2) = R3*y/2
P/3*(1-3e/(2y)) P/3*(1-3e/(2y))*y/2
Méthode de Courbon : Efforts tranchant et moments dans les entretoises
Page 10 EXEMPLE
e/y -1.5 -1 -0.75 -0.571428571 -0.5 -0.25 0 0 0.14285714 0.25 0.5 0.714285714
e -5.25 -3.5 -2.625 -2 -1.75 -0.875 0 0 0.5 0.875 1.75 2.5
V(e;0) = 0.0833 -0.1667 -0.2917 -0.3810 -0.4167 -0.5417 -0.6667 0.3333 0.2619 0.2083 0.0833 -0.0238
M(e;0) = -1.4583 -0.5833 -0.1458 0.1667 0.2917 0.7292 1.1667 1.1667 0.9167 0.7292 0.2917 -0.0833
0.75 0.857142857 1 1.42857143 1.5
2.625 3 3.5 5 5.25
-0.0417 -0.0952 -0.1667 -0.3810 -0.4167
-0.1458 -0.3333 -0.5833 -1.3333 -1.4583
e/y -1.5 -1 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.5
e -5.25 -3.5 -3.5 -2.625 -1.75 -0.875 0 0.875 1.75 2.625 3.5 5.25
V(e;y/2) = 0.0833 -0.1667 0.8333 0.7083 0.5833 0.4583 0.3333 0.2083 0.0833 -0.0417 -0.1667 -0.4167
M(e;y/2) = -1.6042 -0.2917 1.4583 1.2396 1.0208 0.8021 0.5833 0.3646 0.1458 -0.0729 -0.2917 -0.7292
Méthode de Courbon : Efforts tranchant et moments dans les entretoises
-0.8000
-0.6000
-0.4000
-0.2000
0.0000
0.2000
0.4000
-6 -4 -2 0 2 4 6
V(e;0) =
V(e;0) =
-0.6000
-0.4000
-0.2000
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
-6 -4 -2 0 2 4 6
V(e;y/2) =
V(e;y/2) =
-2.0000
-1.5000
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
1.5000
-6 -4 -2 0 2 4 6
M(e;0) =
M(e;0) =
-2.0000
-1.5000
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
1.5000
2.0000
-6 -4 -2 0 2 4 6
M(e;y/2) =
M(e;y/2) =
Page 11 EXEMPLE
Méthode de Courbon : Efforts tranchant et moments dans les entretoises
EXEMPLEPage 12
Méthode de Guyon-Massonnet : Calcul des coefficients
Page 13 EXEMPLE
ρP = 0,5069 E
ρE = 0,0563 E
γP = 0,0046 E
γE = 0,0010 E
θ = 0,2021
α = 0,0166
q =b
L
rP
rE
4
a =gP +gE
2 rPrE
Méthode de Guyon-Massonnet : Coefficient K et µ
On détermine tout d’abord les coefficients K, K(α)=K0+(K1-K0) α0,5
Page 14 EXEMPLE
Position de la chargeAbscisse de la poutre
θ =0,2 et α =0 -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0 0,9884 0,9948 1,0009 1,0057 1,0078 1,0057 1,0009 0,9948 0,9884
b/4 0,2421 0,4337 0,6251 0,816 1,0057 1,1929 1,3767 1,5584 1,7394
b/2 -0,5008 -0,1257 0,2496 0,6251 1,0009 1,3767 1,7514 2,1212 2,4961
3b/4 -1,2418 -0,6839 -0,1257 0,4336 0,9948 1,5583 2,1242 2,6912 3,2581
b -1,9823 -1,2418 -0,5008 0,2421 0,9884 1,7394 2,4961 3,2581 4,0236
θ =0,2 et α =1 -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0 0,9912 0,996 1,0006 1,0044 1,0061 1,004 1,0006 0,996 0,9912
b/4 0,9468 0,961 0,9755 0,9902 1,0044 1,0167 1,0257 1,0328 1,0392
b/2 0,9058 0,9281 0,9513 0,9755 1,0006 1,0257 1,0496 1,0708 1,0906
3b/4 0,8674 0,8972 0,9281 0,961 0,996 1,0328 1,0708 1,1086 1,1449
b 0,8305 0,8674 0,9058 0,9468 0,9912 1,0392 1,0906 1,1449 1,2009
θ =0,2 et α =0,017 -5,25 -3,9375 -2,625 -1,3125 0 1,3125 2,625 3,9375 5,25
0 0,9888 0,9950 1,0009 1,0055 1,0076 1,0055 1,0009 0,9950 0,9888
1,3125 0,3340 0,5025 0,6708 0,8387 1,0055 1,1699 1,3309 1,4899 1,6481
2,625 -0,3174 0,0117 0,3411 0,6708 1,0009 1,3309 1,6599 1,9842 2,3128
3,9375 -0,9668 -0,4777 0,0117 0,5024 0,9950 1,4898 1,9869 2,4849 2,9826
5,25 -1,6156 -0,9668 -0,3174 0,3340 0,9888 1,6481 2,3128 2,9826 3,6556
Méthode de Guyon-Massonnet : Coefficient K et µ
Puis les coefficients
Page 15 EXEMPLE
m1q
a = m1q
a=0 + a.(m1q
a=1 -m1q
a=0 )
Méthode de Guyon-Massonnet : Coefficient K et µ
Page 16 EXEMPLE
Méthode de Guyon-Massonnet : Cas de charge 1, 2, 3
Page 17 EXEMPLE
Méthode de Guyon-Massonnet : Cas de charge 4
Page 18 EXEMPLE
Conclusion
Bonne corrélation entre les deux méthodes