Examen matemáticas - 1º Bachillerato - 16/03/2012
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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]
Examen de Matemáticas 1º Bachillerato -‐ 16/03/2012
Abrigamos una multitud de prejuicios si no nos decidimos a dudar, alguna vez, de todas las cosas en que encontremos la menor sospecha de incertidumbre. René Descartes. Filósofo y científico francés.
1. Representa gráficamente la función: (3 puntos)
𝑦 =𝑥!
2 − 𝑥
Estudiando: dominio, asíntotas, puntos de corte con los ejes, monotonía, extremos relativos, curvatura.
Primero estudiamos los puntos de corte con los ejes:
• Corte con el eje OX: 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥! = 0 ⟶ 0, 0 • Corte con el eje OY: 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 0 ⟶ 0, 0
El único punto de corte con los ejes será el origen de coordenadas.
Calculamos las asíntotas. Calculamos las asíntotas verticales igualando a cero el denominador de la función: 2 − 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 2
Por lo tanto existe asíntota vertical en 𝑥 = 2. Calculamos entonces la tendencia de la función cuando se acerca a dicha asíntota:
lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑥!
2 − 𝑥=
40!
= +∞ lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑥!
2 − 𝑥=
40!
= −∞
Calculamos si existe asíntota horizontal u oblicua. Para ello comprobamos la tendencia de la función en 𝑥 → ±∞:
lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑥!
2 − 𝑥=∞∞ ⟶ lim
!→!!
𝑥!𝑥!
2𝑥! −
𝑥𝑥!
= ∞
lim!→!
𝑓 𝑥 = lim!→!
𝑥!
2 − 𝑥=∞∞ ⟶ lim
!→!!
𝑥!𝑥!
2𝑥! −
𝑥𝑥!
= −∞
Por lo tanto concluimos que no existe asíntota horizontal, pero dado que la diferencia entre el grado del numerador y del denominador es uno, tendrá asíntota oblicua 𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛:
𝑚 = lim!→!
𝑓 𝑥𝑥
= lim!→!
𝑥!
2𝑥 − 𝑥!=∞∞ ⟶ 𝑚 = lim
!→!
𝑥!𝑥!
2𝑥𝑥! −
𝑥!𝑥!
=1−1
= −1
𝑛 = lim!→!
𝑓 𝑥 −𝑚𝑥 = lim!→!
𝑥!
2 − 𝑥+ 𝑥 = lim
!→!
𝑥! + 𝑥 2 − 𝑥2 − 𝑥
= lim!→!
𝑥! + 2𝑥 − 𝑥!
2 − 𝑥= lim
!→!
2𝑥2 − 𝑥
=∞∞
𝑛 = lim!→!
2𝑥𝑥
2𝑥−
𝑥𝑥= 2−1 = −2 Por lo tanto, la asíntota oblicua será: 𝑦 𝑥 = −𝑥 − 2.
Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]
Vamos a estudiar la monotonía de la función, para ello calculamos su derivada:
𝑓! 𝑥 =2𝑥 · 2 − 𝑥 − 𝑥! · −1
2 − 𝑥 ! =4𝑥 − 2𝑥! + 𝑥!
2 − 𝑥 ! =4𝑥 − 𝑥!
2 − 𝑥 !
Para identificar los extremos relativos (puntos donde la función ni crece ni decrece y, por lo tanto, su pendiente es cero) igualamos a cero la función derivada:
𝑓! 𝑥 = 0 ⟹ 4𝑥 − 𝑥!
2 − 𝑥 ! = 0 ⟹ 4𝑥 − 𝑥! = 0 ⟶ 𝑥 = 0
𝑥 = 4
En 𝑥 = 0 𝑦 4 (también en 𝑥 = 2, dado que en dicho punto existe una discontinuidad) la función puede cambiar su comportamiento:
INTERVALOS −∞, 0 0, 2 2, 4 4,∞
SIGNO 𝑓! 𝑥 − + + −
COMPORTAMIENTO 𝑓 𝑥 DECRECIENTE CRECIENTE CRECIENTE DECRECIENTE
Para comprobar si cada extremo relativo corresponde a un máximo o un mínimo calculamos la derivada segunda de la función:
𝑓!! 𝑥 =4 − 2𝑥 · 2 − 𝑥 ! − 4𝑥 − 𝑥! · 2 · 2 − 𝑥 −1
2 − 𝑥 ! =4 − 2𝑥 · 2 − 𝑥 + 4𝑥 − 𝑥! · 2
2 − 𝑥 !
𝑓!! 𝑥 =8 − 4𝑥 − 4𝑥 + 2𝑥! + 8𝑥 − 2𝑥!
2 − 𝑥 ! =8
2 − 𝑥 !
Comprobamos el signo de la derivada segundo en los extremos relativos:
𝑓!! 0 =8
2 − 0 ! > 0 ⟹ Mínimo
𝑓!! 4 =8
2 − 4 ! < 0 ⟹ Máximo
Calculamos el valor que toma la función es cada extremo relativo:
𝑓 0 =0!
2 − 0= 0 𝑦 𝑓 4 =
4!
2 − 4= −8
Por lo tanto, los extremos relativos de la función serán:
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜: 0, 0 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜: 4,−8
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Para calcular la curvatura estudiamos el signo de la función derivad segunda:
𝑓!! 𝑥 =8
2 − 𝑥 ! = 0 ⟹ ∄ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 𝑥 /𝑓!! 𝑥 = 0
Como no existe ningún valor que anule la segunda derivada de la función podemos concluir que no habrá ningún punto de inflexión. Sin embargo, cabe la posibilidad de que la función cambie su curvatura en 𝑥 = 2, dado que en dicho punto 𝑓 𝑥 es discontinua.
INTERVALOS −∞, 2 2,∞
SIGNO 𝑓!! 𝑥 + −
CURVATURA 𝑓 𝑥 CÓNCAVA CONVEXA
Y por último, el dominio de la función: 𝐷 𝑓 𝑥 = ℝ − 2
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2. Deriva las siguientes funciones: (3 puntos)
a) 𝑦 = sin 2𝑥 + 1 !" !!!
b) 𝑦 = 2𝑥 + 7 ! · arctg 𝑥!
c) 𝑦 = 𝑒!"#!! + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 5!!!! − cos! 𝑥! + 3𝑥
a) 𝑦! = ln 𝑥 + 3 · sin 2𝑥 + 1 !" !!! !! · 2 cos 2𝑥 + 1 + sin 2𝑥 + 1 !" !!! ·ln sin 2𝑥 + 1
𝑥 + 3
𝑏) 𝑦! = 3 2𝑥 + 7 ! · 2 · arctg 𝑥! + 2𝑥 + 7 ! ·1
1 + 𝑥!·3𝑥!
2 𝑥!
𝑐) 𝑦! = −2 sin 2𝑥 · 𝑒!"#!! +5!!!! · 3 ln 51 − 5!!!!
+ 2 cos 𝑥! + 3𝑥 · sin 𝑥! + 3𝑥 · 2𝑥 + 3
3. Determina la monotonía, concavidad y convexidad de la función: (1 punto)
𝑦 = 𝑒! 𝑥! − 3
Para estudiar la monotonía calculamos la derivada de la función:
𝑓! 𝑥 = 𝑒! 𝑥! − 3 + 𝑒! · 2𝑥 = 𝑥! + 2𝑥 − 3 · 𝑒!
Igualamos a cero para localizar los puntos donde cambie el signo de la derivada y, por consiguiente, el comportamiento creciente o decreciente de la función:
𝑥! + 2𝑥 − 3 · 𝑒! = 0 ⟹ 𝑥! + 2𝑥 − 3 = 0 ⟶ 𝑥 = −3
𝑥 = 1
Valoramos el comportamiento de la función a través del signo de la función derivada:
INTERVALOS −∞,−3 −3, 1 1,∞
SIGNO 𝑓! 𝑥 + − +
COMPORTAMIENTO 𝑓 𝑥 CRECIENTE DECRECIENTE CRECIENTE
Para estudiar la concavidad y convexidad igualamos a cero la derivada segunda:
𝑓!! 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥 − 3 · 𝑒! + 2𝑥 + 2 · 𝑒! = 𝑥! + 4𝑥 − 1 · 𝑒! = 0
𝑥! + 4𝑥 − 1 = 0 ⟶ 𝑥 = − 5 − 2
𝑥 = 5 − 2
Valoramos la concavidad o convexidad de la función a través del signo de la función derivada segunda:
INTERVALOS −∞,− 5 − 2 − 5 − 2, 5 − 2 5 − 2,∞
SIGNO 𝑓!! 𝑥 + − +
CURVATURA 𝑓 𝑥 CÓNCAVA CONVEXA CÓNCAVA
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4. Estudia la continuidad y derivabilidad de: (1 punto) 𝑔 𝑥 = 𝑥! − 4𝑥 − 5
Lo primero que debemos hacer es reescribir la función valor absoluto 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 como una función a trozos. Parra ello debemos calcular los puntos donde 𝑓 𝑥 cambia de signo:
𝑓 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥! − 4𝑥 − 5 = 0 ⟶ 𝑥 = −1
𝑥 = 5
Analizamos el signo de la función 𝑓 𝑥 :
INTERVALOS −∞,−1 −1, 5 5,∞ SIGNO 𝑓 𝑥 + − +
Por lo tanto, la función 𝑔 𝑥 será:
𝑔 𝑥 = 𝑥! − 4𝑥 − 5 𝑠𝑖 −∞ < 𝑥 ≤ −1−𝑥! + 4𝑥 + 5 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 5𝑥! − 4𝑥 − 5 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑥 < ∞
Calculamos la continuidad de la función, los puntos donde podría existir discontinuidad son 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 5:
lim!→!!!
𝑔 𝑥 = lim!→!!!
𝑥2 − 4𝑥− 5 = 0
𝑔 −1 = 0 lim!→!!!
𝑔 𝑥 = 𝑔 −1 = lim!→!!!
𝑔 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = −1
lim!→!!!
𝑔 𝑥 = lim!→!!!
−𝑥2 + 4𝑥+ 5 = 0
lim!→!!
𝑔 𝑥 = lim!→!!
−𝑥2 + 4𝑥+ 5 = 0
𝑔 5 = 0 lim!→!!
𝑔 𝑥 = 𝑔 5 = lim!→!!
𝑔 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 5
lim!→!!
𝑔 𝑥 = lim!→!!
𝑥2 − 4𝑥− 5 = 0
Calculamos la derivabilidad de la función en dichos puntos:
𝑔′ −1! =𝑑 𝑥2 − 4𝑥− 5
𝑑𝑥−1 = 2𝑥 − 4 −1 = −6 𝑔′ −1! = 𝑔 −1 ≠ 𝑔′ −1! ⟹
𝑔! !!! =𝑑 −𝑥2 + 4𝑥+ 5
𝑑𝑥−1 = −2𝑥 + 4 −1 = 6 ⟹ 𝑔 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = −1
𝑔′ 5! =𝑑 −𝑥2 + 4𝑥+ 5
𝑑𝑥5 = −2𝑥 + 4 5 = −6 𝑔! 5! ≠ 𝑔 5 = 𝑔′ 5! ⟹
𝑔! 5! =𝑑 𝑥2 − 4𝑥− 5
𝑑𝑥5 = 2𝑥 − 4 5 = 6 ⟹ 𝑔 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 5
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5. Calcula “𝑎”, “𝑏” y “𝑐” para que la función 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 tenga una tangente en el punto 𝑃 2,−1 cuya pendiente sea 2 y cumpla que su segunda derivada en el punto 𝑥 = 0 valga 4. (1 punto)
Primero vamos a calcular la primera y segunda derivada de la función:
𝑓! 𝑥 = 3𝑥! + 2𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦 𝑓!! 𝑥 = 6𝑥 + 2𝑎
Ahora empezaremos a sustituir las condiciones de contorno para calcular los valores de “𝑎”, “𝑏” y “𝑐”. Empezaremos por la segunda derivada:
𝑓!! 0 = 6 · 0 + 2𝑎 = 4 ⟹ 𝑎 = 2
Sustituimos el valor de "𝑎" y aplicamos la condición de la primera derivada:
𝑓! 𝑥 = 3𝑥! + 4𝑥 + 𝑏 ⟶ 𝑓! 2 = 3 · 2! + 4 · 2 + 𝑏 = 2 ⟹ 𝑏 = −18
Sustituimos el valor de "𝑏" y tenemos en cuenta que la función toma valor −1 cuando 𝑥 = 2 para calcular el valor de "𝑐":
𝑓 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥! − 18𝑥 + 𝑐 ⟶ 𝑓 2 = 2! + 2 · 2! − 18 · 2 + 𝑐 = −1 ⟹ 𝑐 = 19
6. Calcula !!!!!!!!
· !!!!!"
!!!!− !!"#
!!!!" expresando el resultado en todas las formas posibles. (1 punto)
2 − 𝑖5 + 4𝑖!
·2 + 4𝑖!"
3 + 2𝑖−
𝑖!"#
4 − 𝑖!"=2 − 𝑖5 − 4
·2 + 4𝑖3 + 2𝑖
−−𝑖4 + 1
=2 − 𝑖1
·2 + 4𝑖3 + 2𝑖
+𝑖5=4 + 8𝑖 − 2𝑖 − 4𝑖!
3 + 2𝑖+𝑖5=
=8 + 6𝑖3 + 2𝑖
+𝑖5=
8 + 6𝑖 · 3 − 2𝑖3 + 2𝑖 · 3 − 2𝑖
+𝑖5=24 − 16𝑖 + 18𝑖 − 12𝑖!
9 + 4+𝑖5=36 + 2𝑖13
+𝑖5=5 36 + 2𝑖 + 13 · 𝑖
13 · 5=
=180 + 10𝑖 + 13𝑖
65=180 + 23𝑖
65=3613
+2365𝑖.
Calculamos el radio y el argumento:
𝑅 =3613
!+
2365
!=
2533325
≈ 2!79 𝛼 = arctan23
6536
13= arctan
23180
≈ 7° 16! 54′′
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑏𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎:=3613
+2365𝑖 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑧 = 2!79!° !"! !"##
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎: 𝑧 = 2!79 · cos 7° 16! 54′′ + 2!79 · sin 7° 16! 54′′