1. Probleme geodezice fundamentaleProblema geodezică directăDate intrare: coordonatele geodezice ale unui punct, lungimea liniei geodezice către alt punct şi azimutul acestei direcţii.Date ieșire: coordonatele geodezice ale celui de-al doilea punct şi valoarea azimutului invers.

Problema geodezică inversăDate intrare: coordonatele geodezice a două puncteDate ieșire: lungimea liniei geodezice dintre cele două puncte şi a azimutelor (direct şi invers).

Cu problema geodezică directă sunt calculate coordonatele geografice ale punctelor geodezice din reţelele de ordin I, iar cu problema geodezică inversă sunt calculate elementele geodezice iniţiale (distanţe şi azimute) şi se verifică în acelaşi timp calculele efectuate la problema geodezică directă.

Metoda dezvoltărilor în serie (directă)- LegendrePresupune că un triunghi elipsoidic mic se poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri, iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecăruia cu câte o treime din valoarea excesului sferic.

Metoda înlocuirii suprafeţei elipsoidului cu sfera Gauss (directă și inversă): se aproximează elipsoidul cu sfera de rază medie gauss, lucrându-se astfel la nivel local pentru simplificarea calculelor.

2. Problema geodezică directă (Metoda Gauss)

Se cunosc: coordonatele punctului P1 (ϕ1 λ1) , lungimea P1 P2=S şi azimutul A1.

Se cer: A2, λ2 , ϕ2

A=A1

B=180o−A2

C=Δλ

a=90o−ϕ2

b=90o−ϕ1

c=S

sina2

cosB−C2

=sinb+c2

sinA2

sina2

sinB−C2

=sinb−c2

cosA2

cosa2

cosB+C2

=cosb+c2

sinA2

cosa2

sinB+C2

=cosb−c2

cosA2

, dar

B−C2

=90o−A2+λ2

2;a2

=90o−ϕ2

2

b−c2

=90o−ϕ1−S

2;

A2

=A1

2B+C2

=90o−A2−λ

2;b+c2

=90o−ϕ+s2

sin90o−ϕ2

2⋅sin

A2+λ2

2=sin

90o−ϕ1+S

2⋅sin

A1

2

sin90o−ϕ2

2⋅cos

A2+ λ2

2=sin

90o−ϕ1−S

2⋅cos

A1

2

cos90o−ϕ2

2⋅sin

A2−λ2

2=cos

90o−ϕ1+S

2⋅sin

A1

2

cos90o−ϕ2

2⋅cos

A2−λ2

2=cos

90o−ϕ1−S

2⋅cos

A1

2Prin împărţirea relaţiilor (1 cu 2, 3 cu 4), rezultă:

{tg A2+λ2

2=tg

A1

2⋅sin

90o−ϕ1+s

2

sin90o−ϕ1−s

2

¿ ¿¿¿

, rezultă A2, λ2.

Prin împărţirea relaţiilor (1 cu 3, 2 cu 4), rezultă:

tg90o−ϕ2

2=

sinA2+λ2

2

sinA2−λ2

2

⋅tg90o−ϕ1+s

2

tg90o−ϕ2

2=

cosA2+λ2

2

cosA2−λ2

2

⋅tg90o−ϕ1+s

2

, rezultă

ϕ2

.

2. Problema geodezică inversă (Metoda Gauss)

Se cunosc: S1 (ϕ1 , λ1) şi S2 (ϕ2 , λ2) .Se cer: lungimea S dintre cele două puncte, A1 şi A2.A=Δλ=λ2− λ1

B=180o−A2

C=A1

a=Sb=90o−ϕ1

c=90o−ϕ2

sina2

cosB−C2

=sinb+c2

sinA2

¿}sina2

sinB−C2

=sinb−c2

cosA2

¿}cosa2

cosB+C2

=cosb+c2

sinA2

¿}¿¿¿

sau

sinS2

sinA1+ A2

2=cos

ϕ1+ϕ2

2⋅sin

Δλ2

sinS2

cosA1+ A2

2=sin

ϕ2−ϕ1

2⋅cos

Δλ2

cosS2

sinA2−A1

2=sin

ϕ2+ϕ1

2⋅sin

Δλ2

cosS2

cosA2−A1

2=cos

ϕ2−ϕ1

2⋅cos

Δλ2

Împărţind 1 la 2 și 3 la 4, obținem:

{tg A1+A2

2=tg

Δλ2

⋅cos

ϕ2+ϕ1

2

sinϕ2−ϕ1

2

¿ ¿¿¿

¿

¿

, rezultă A1 şi A2.

Împărțind 1 la 3 și 2 la 4, obținem:

tgs2

=sin

A2−A1

2

sinA2+ A1

2

⋅ctgϕ2+ϕ1

2¿}¿¿¿

, rezultă S în unități de arc.

2*pi*RA1 ... 360S ... s

S = s (rad) * RA1

4. Etapele de rezolvare a unei rețele geodezice pe elipsoid

Măsurăm: - unghiurile αi, βi, γi.

- latura AB, prima latură.Scop: determinarea tuturor punctelor din rețea.Etape:a) calculul provizoriu al coordonatelor punctelor geodezice: determinarea coordonatelor provizorii de tip x,ySe consideră un sistem arbitrar cu originea în punctul A:

Aalignl {x A=0¿ ¿¿¿

Balignl {xB=x A+s AB⋅cos A AB ¿ ¿¿¿¿

¿Calignl {xC=x A+s AC⋅cos A AC ¿¿¿¿¿

¿

Th. sin:

sAC=sAB

sin β1

sin γ1

,

AAC=A AB+α 1

Idem pentru celelalte puncte

b) calculul suprafeţei triunghiurilor sferice: în funcţie de punctele de capăt ale triunghiului sferic.

SI=12

¿|x A y A1 ¿||xB yB 1¿|¿¿

¿

SII=12¿|xB yB 1¿||xC yC 1 ¿|¿

¿¿

SIII=12

¿|xB yB1 ¿||x D yD 1¿|¿¿

¿

c) calculul excesului sferic: se împarte suprafaţa triunghiului la pătratul razei medii.

ε I||=

S I

R2ρ||

ε II|| =

SII

R2ρ||

ε III|| =

SIII

R2ρ||

d) compensarea unghiurilor în reţea: unghiurile au fost măsurate cu aparate care au introdus erori.

(α1)=α 1+V α1

(β1)=β1+V β1

(γ1 )=γ1+V γ1

(α1)+(β1)+(γ 1)=180o±εI

α 1+β1+γ1+vα 1+v β

1+vγ

1=180o±ε I

, dacă

vα1=v β1

=v γ1

v=180o+ε1−(α1+ β1+γ 1)

3e) calculul laturilor definitive: se folosește Th. sin, introducând valorile compensate ale unghiurilor.

s AB

sin (γ1 )=

sBC

sin (α 1)=

s AC

sin (β1)⇒

sBC şi sAC.

f) calculul coordonatelor: se vor calcula coordonatele geografice din aproape în aproape, aplicând Problema geodezică directă, iar verificările se vor face cu Problema geodezică inversă.

5. Gravitația – noțiuni generale (metode de determ. a gravitației), pendulul gravitationalCalculul aproximativ al gravităţii teoretice faţă de un elipsoid Gravitatea normală sau teoretică sau câmpul de referinţă gravitaţional reprezintă efectul gravităţii datorat unui elipsoid de revoluţie echipotenţial

Formulele de aproximare se întrebuinţează pe scară largă.

Formula generală: gravitaţia pe suprafaţa elipsoidului (Formula lui Somigliana)

(A-1)unde

e – prima excentricitate

1

2

22

a

bae

a

bk

e

p

a, b – semiaxa mare, respectiv semiaxa mică a elipsoiduluiγe şi γp – gravitaţia teoretică la ecuator, respectiv poliΦ – latitudinea geodezică.

Formula de aproximare pentru calculul corecţiei de latitudine

γ=γe (1+f ¿ sin2Φ−14

f 4 sin22Φ) ,

f ¿=γ p−γ e

γ e

- turtirea gravimetrica

f 4=−12

f 2+52

fm ,

f =a−ba

- turtirea elipsoidului

si

m=ω2 a2 bGMGeodezii au determinat forma Pământului (ex. geoidul) în două etape. În prima etapă, au redus la geoid

gravitatea măsurată pe suprafaţa topogarfică a Pământului. În cea de-a doua etapă pornind de la gravitaţia redusă, au calculat ondulaţiile geoidului (ex. deviaţiile de la suprafaţa elipsoidului).

Pendulul gravitaţional reprezintă un sistem fizic, format dintr-un corp de masă m suspendat de un punct fix printr-un fir de lungime l, care efectuează o mişcare oscilatorie sub acţiunea forţei gravitaţionale.Deoarece firul unui pendul gravitaţional este aproape inextensibil, centrul de greutate al corpului atârnat de fir se mişcă, practic, pe un arc de cerc (de o parte şi cealaltă a poziţiei verticale de echilibru).

Gt=−m∗g∗sinαOscilaţiile unui pendul gravitaţional au loc sub acţiunea componentei tangenţiale a greutăţii acestuia.

22

2

sin1

sin1

e

ke

S = coordonata curbilinie măsurată în lungul arcului de cerc descris de centrul de greutate al pendulului, faţă de poziţia de echilibrul = raza cercului descris de centrul de greutate al pendulului (α fiind exprimat în rad)

, k = ct de elasticitate

(pp că mişcarea pendulului gravitațional este armonică)

ω = pulsația pendulului gravitațional

T = perioada

, g = gravitația

6. Pendulul lui FaucautPendulul lui Faucaut este un dispozitiv experimental bazat pe pendulul gravitaţional care demonstrează că Pământul se învârte în jurul propriei axe. Dispozitivul experimental constă dintr-un pendul gravitaţional capabil să oscileze în orice plan vertical.Cauza principală a fenomenului Foucault este acţiunea forţei Coriolis. Forţa Coriolis este o forţă de inerţie care se manifestă în cazul mişcării relative într-un sistem rotitor de coordonate. [ex: rotaţia Pământului, care se deplasează în jurul propriei axe cu o viteză de rotaţie mai mare la Ecuator decât la poli.]Consecinţele existenţei acestei forţe se referă la faptul că obiectele aflate în mişcare, curenţii atmosferici (alizeele) şi curenţii marini din emisfera nordică sunt deviaţi spre dreapta, iar în emisfera sudică spre stânga. Admiţând că mişcarea pendulului este declanşată în emisfera nordică, pe meridian spre nord, atunci forţa Coriolis deplasează corpul spre est. La întoarcere forţa deplasează corpul spre vest.Dacă mişcarea este declanşată fără viteză iniţială, în planul orizontal local, corpul nu se va mişca pe diametrul cercului, ci va descrie o formă complexă de roză, fără să treacă prin centrul cercului. Dacă însă pendulul porneşte cu viteză iniţială din centrul cercului orizontal el va trece mereu prin centru. Corpurile care se rotesc îşi păstrează planul de rotaţie. Mişcarea de oscilaţie este o proiecţie liniară a unei mişcări de rotaţie, astfel pendulul gravitaţional îşi păstrează neschimbat planul de oscilaţie liniară.

7. Deviația verticalei (la nivelul terenului)= unghiul spaţial dintre direcţia vectorului gravităţii şi normala la elipsoidul de referinţă în acelaşi punct de pe suprafaţa terestră.

Unghiul de deviaţie al verticalei este descompus în două componente ortogonale: - o componentă în planul meridian (), care este pozitivă spre nord; - o componentă în primul vertical (), pozitivă spre est.sB , sL)cosB, latitudinea astronomică, =longitudinea astronomică Deviaţia relativă se referă la un elipsoid de referinţă particular, iar deviaţia absolută se referă la un elipsoid de referinţă geocentric.Componentele deviaţiei verticalei sunt pozitive dacă direcţia vectorului gravităţii este îndreptată mai mult spre sud şi, respectiv, vest decât normala corespondentă sau suprafaţa de nivel este în creştere spre sud, respectiv, vest faţă de elipsoid.Deoarece linia firului cu plumb este perpendiculară pe suprafaţa de nivel, deviaţia verticalei reprezintă o măsură a gradientului suprafeţelor de nivel faţă de un elipsoid oarecare.

8. Deviația verticalei (la nivelul geoidului)= unghiul spaţial format de direcţia vectorului gravităţii şi direcţia normalei la elipsoid care trec prin punct.

Deviaţia relativă se referă la un elipsoid de referinţă particular, iar deviaţia absolută se referă la un elipsoid de referinţă geocentric.Deoarece linia firului cu plumb este perpendiculară pe suprafaţa de nivel, deviaţia verticalei reprezintă o măsură a gradientului suprafeţelor de nivel faţă de un elipsoid oarecare.Unghiul de deviaţie al verticalei este descompus în două componente ortogonale: - o componentă în planul meridian (), care este pozitivă spre nord; - o componentă în primul vertical (), pozitivă spre est.

,unde: M = raza de curbură a elipsei meridiane, N = raza de curbură a primului vertical în punctul considerat, B = latitudinea geodezică,

Δn = reprezintă modificările în ondulaţiile geoidului între nodurile reţelei de lat ΔB şi long ΔL.

Perpendiculara la elipsoid

Ondulaţia geoidului

Ondulaţia geoidului

Perpendiculara la geoidGeoid

Elipsoid

Unghiul de deviaţie a verticalei

9. Transformarea coord. astronomice ↔ coord. geodeziceRelaţiile de trecere de la coordonatele astronomice (care sunt naturale), determinate in funcţie de vectorul gravităţii, la coordonatele geodezice, care se referă la elipsoidul de referinţă, se deduc din componentele deviaţiei verticalei la nivelul suprafeţei terestre, unde se fac şi determinările de coordonate astronomice. Dacă în aceleaşi relaţii am dori să utilizăm componentele deviaţiei verticalei la nivelul geoidului, atunci ar trebui să se ţină cont şi de influenţa curburii liniei firului cu plumb.

B s

L s / cos B s

Ls / cos B

10. Reducerea direcțiilor unghiurilor orizontale pe elipsoid ?? fără desenAtunci când punctul de staţie şi semnalul vizat nu se află la aceeaşi altitudine elipsoidală, direcţiile unghiulare orizontale trebuie să fie corectate cu corecţia datorată deviaţiei verticalei la nivelul suprafeţei terestre.Dacă se consideră că a fost aplicată corecţia datorată înclinării normalelor în cele două staţii, relaţia de calcul a direcţiei unghiulare orizontale reduse la suprafaţa elipsoidului este:

d D ssinA s cosA) cos , unde: d = direcţia unghiulară orizontală redusă la elipsoidul de referinţă, D = direcţia unghiulară măsurată, = unghiul zenital (măsurat sau determinat).

Probleme:

h = H + N; u2 2 2 cos Asin A

sB ,

sL)cosB

A s tan B s sinA s cosA) cot d D ssinA s cosA) cot ,

Coord geodezice

Coord astronomice

g≈ 4 π2∗lT 2