Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014) 1 ...

Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014) 1

Justificaciones de los exámenes de la Fase Final

de la XI Olimpiada Internacional de Lógica

BACHILLERATO: 1

PREGUNTA:

¿Cuál de las siguientes asignaciones de valores de verdad para las proposiciones primitivas P, Q, S y T hacen

verdadera la siguiente proposición compuesta? (T ≡ ~S) ~ ((~Q (P ~P)) ~ (S ~S))

a) V(P) = V V(Q) = V V(S) = F V(T) = F

b) V(P) = V V(Q) = V V(S) = V V(T) = V c) V(P) = F V(Q) = V V(S) = F V(T) = V d) V(P) = F V(Q) = V V(S) = V V(T) = F e) V(P) = V V(Q) = F V(S) = F V(T) = V

Preámbulo de la Justificación

La proposición compuesta es equivalente a T &(Q &~S), Así que la respuesta es Q es Verdadero S es

Falso T es Verdadero El valor de P es irrelevante

(T ≡ ~ S) ~ ((~ Q (P ~ P)) ~ (S ~ S))

F F V F F V F V F V V F V F F F V V F

V F F V F F F V F V V F V V V V F F V

V V V F V V F V F F V V F F F F V V F

F V F V F F F V F F V V F V V V F F V

V V V F F F V F V V V F V V F F V V F

La respuesta correcta es c)

BACHILLERATO: 2

PREGUNTA:

¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? Ganaré la olimpiada, incluso si pierdo a todos mis amigos. (Dicho por Pablo) Diccionario: G: Pablo ganará la olimpiada, S: Pablo pierde a todos sus amigos.

a) S G b) G c) ~S G d) S ≡ G e) S


La estructura es equivalente, a Ganaré la olimpiada, pues no se afirma que pierda o no a sus amigos. Por lo tanto, la

respuesta correcta es B.

BACHILLERATO: 3.

PREGUNTA:

Asumamos que el símbolo “¢” es una conectiva de dos lugares que representa una disyunción exclusiva. Cuando

decimos que “p ¢ r” estamos diciendo “O bien p es verdadera, o bien r pero no ambas”. Considerando el conjunto

de fórmulas Γ = {P ¢ R, R ¢ S} ¿Cuál de los siguientes conjuntos de fórmulas en conjunción con Γ daría lugar a

una contradicción? Preámbulo de la Justificación Una manera sencilla de resolver este problema es sólo pensando en que con la disyunción exclusiva da uno sólo de

ambos caminos, no nada más obtendremos el restante cuando uno está negado, sino que obtendremos el otro negado

cuando tengamos uno afirmado. De este modo puede analizarse cada opción de respuesta sin tener que formalizar. La formalización de una disyunción exclusiva es equivalente a la negación de un bicondicional. Todo bicondicional


negado es equivalente a un bicondicional con uno de sus lados negado. En suma, un bicondicional con negaciones

nones sin importar el lado de la conectiva o si la afectan directamente a ella, nos da como resultado que las fórmulas

a los lados del bicondicional deben ser diferentes. Por poderse desglosar -cualquier bicondicional- como dos

condicionales, uno de ida y otro de regreso, tenemos por Modus Ponendo Ponens que la afirmación categórica de

cualquiera de los lados de un bicondicional negado dará el otro lado negado y si la afirmación categórica de uno de

sus lados está negada, dará el lado opuesto. Las opciones de respuesta ofrecen pares de afirmaciones atómicas

negadas o afirmadas categóricamente con las cuales se pueden hacer tantos MPP como hagan falta de izquierda a

derecha o de derecha a izquierda sobre la conectiva “¢” recordando de invertir el valor de verdad del lado obtenido. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

{ p, ¬ r, s }

Ésta NO es la respuesta correcta. Es consistente que “p” y “s” tengan el mismo valor de verdad y “r” uno distinto de estas dos proposiciones

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN:

{ r, ¬ s }


OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN:

{ ¬ p, s }

Ésta SÌ es la respuesta correcta. Es consistente que “p” y “s” tengan el mismo valor de verdad y “r” uno distinto de estas dos proposiciones. En este caso, “p” y “s” tienen valores distintos haciendo inconsistente la unión de los dos conjuntos

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN:

{ ¬ p, r, ¬ s }


OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN:

{ ¬ p, ¬ s }


BACHILLERATO: 4. LICENCIATURA: 12.

PREGUNTA:

Los zombies tomaron un antídoto y ahora sólo atacan a quienes enuncian un argumento que tenga al menos una

fórmula tautológica entre sus premisas y al menos una fórmula tautológica en la conclusión. Marco, Pepe, Luis,

Carlos y Juan son acorralados por un grupo de zombies y en un intento por no ser atacados, cada uno ha dicho el

argumento que se le ha ocurrido. ¿Quién es atacado por los zombies? OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

Marco: Estoy vivo y estoy muerto; o no estoy vivo y no

estoy muerto: Luego, soy un zombie y no soy un zombie.

Esta no es la respuesta. Basta con ver que la conclusión es una contradicción.


Pepe: Si no soy un zombie, no estoy muerto. Si no soy un

zombie, no estoy vivo. Luego, soy un zombie o no lo soy.

Esta no es la respuesta, porque no hay una tautología entre las premisas, ambas fórmulas son contingentes. El caso falso para ambos enunciados se da con las siguientes asignaciones: a) “Soy un zombie”=F. “Estoy muerto”=V. b) “Soy un zombie”=F. “Estoy vivo”=V.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Luis: Si no estoy vivo, estoy muerto. Si no soy un zombie,

no soy un zombie. Por lo tanto; si soy un zombie y no lo

soy, entonces no soy un zombie y lo soy.

Esta es la respuesta. En las premisas el enunciado: “si no soy un zombie, no soy un zombie” es una tautología. Y la conclusión, al ser un condicional con el antecedente falso, también es una tautología.


Carlos: Soy un zombie si y sólo si, no estoy muerto y no

estoy vivo. Luego, soy un zombie o no lo soy.

No es la respuesta, pues la premisa no es una fórmula tautológica. Una asignación que hace falsa a la premisa es cuando todos los enunciados atómicos son verdaderos.


Juan: Si soy un zombie, entonces estoy vivo o no estoy

vivo. Luego, si estoy muerto y soy un zombie; estoy vivo y

no soy un zombie.

No es la respuesta, pues la conclusión no es una tautología. Una asignación que hace falsa a la conclusión es cuando todos los enunciados atómicos son verdaderos.



PREGUNTA:

¿Qué se sigue del siguiente conjunto de oraciones? Don Lucho siempre miente. Un día Don Lucho dijo: Todos los hombres justos serán recordados por siempre. Preámbulo de la Justificación Sabemos que lo dijo Don Lucho es falso, por lo tanto existe por lo menos un hombre justo que no será recordado

por siempre. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: No hay hombres justos. Incorrecta, no se sigue, pues hay al menos un hombre justo.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Hay hombres justos que serán

recordados por siempre. Incorrecta, no se sigue, porque la premisa no permite determinar si hay

hombres justos que serán recordados por siempre. OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Nadie será recordado por siempre. Incorrecta, no se sigue, la fórmula no nos permite determinar si hay alguien

o no que será recordado por siempre. OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Hay por lo menos un hombre justo. Correcta, sí se sigue, pues la fórmula original es equivalente a decir que hay

un hombre justo que no será recordado por siempre; de donde se sigue que

hay al menos un hombre justo. OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Todos los hombres que serán recordados

por siempre son justos. Incorrecta, no se sigue. La fórmula original no permite inferir esta fórmula.

BACHILLERATO: 6.

PREGUNTA:

¿Cuál de las siguientes asignaciones de valores de verdad para las proposiciones primitivas P, Q, S y T hacen falsa

la siguiente proposición compuesta? ~ (~ (~Q T) (~(P (T ~T)) ~(S ~S)))

a) V(P) = F V(Q) = V V(S) = F V(T) = V

b) V(P) = V V(Q) = F V(S) = V V(T) = V c) V(P) = F V(Q) = F V(S) = V V(T) = F d) V(P) = V V(Q) = F V(S) = V V(T) = F e) V(P) = V V(Q) = V V(S) = V V(T) = F

Preámbulo de la Justificación La fórmula es equivalente a (Q P) (T ~S), Así que la respuesta es v(P)=V, v(Q)=F, v(S)=V, v(T)=F.

(Opción D). Las demás asignaciones hacen verdadera a la fórmula.

(Q P) (T S)

V V V F V V V V F

F F F V V V V F V

F V V F V F F F V

F F F V F F F F V

V V F V V F F F V


BACHILLERATO: 7. LICENCIATURA: 1. MASTERS: 2.

PREGUNTA:

¿Qué no se sigue del siguiente conjunto de oraciones? Cualquiera que sea amigo de Alicia está loco. Sólo los locos son felices. Si alguien es feliz no está loco. Si nadie es

feliz, entonces nadie está loco. Preámbulo de la Justificación De Sólo los locos son felices y Si alguien es feliz no está loco, se sigue que nadie es feliz. Usando esto y que Si

nadie es feliz, entonces nadie está loco, tenemos que nadie está loco. Usando esto y que Cualquiera que sea amigo

de Alicia está loco nos permite inferir que Alicia no tiene amigos.

OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Nadie es feliz. Incorrecto, sí se sigue.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Alicia no tiene amigos. Incorrecto, sí se sigue.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Cualquiera que esté loco es amigo de Alicia. Incorrecto, sí se sigue (pues no hay locos).

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Cualquiera que no esté loco es amigo de Alicia Correcta. No se sigue, pues hay por lo menos alguien que no está

loco, pero nadie es amigo de Alicia.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Hay alguien que ni está loco ni es feliz Incorrecto, sí se sigue (pues nadie está loco y nadie es feliz). Y hay

por lo menos un objeto.

BACHILLERATO: 8.

PREGUNTA:

Tenemos un argumento con la premisa P y la conclusión R. ¿Qué conjunto de fórmulas es necesario agregar a las

premisas para que el argumento sea válido? OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

{~P R, R ~ P}

Esta NO es la respuesta correcta. Contando con P para llegar a R , si tomamos la primer premisa, justo requeriríamos la negación de p para aplicar MPP. Con transposición quedaría

(~ R P) y con p no podemos llegar al antecedente. Si tomamos la segunda premisa del

conjunto, podríamos aplicar MTT, pero obtendríamos la negación de la conclusión buscada. Por

Transposición obtendríamos (P ~ R) y por MPP el resultado es el mismo. Si vinculamos con

Silogismo Hipotético ambas premisas del conjunto obtenemos una tautología, o bien (RR) o

bien se obtiene (~ P ~ P) que junto a p no nos ofrece camino válido para llegar a R. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN:

{~ S ~ P, ~ S R}

Esta NO es la respuesta correcta. Contando con p para llegar a R, si tomamos la primer premisa, podríamos aplicar MTT, pero obtendríamos la negación de ¬S que equivale a s. Por

transposición llegamos a (P S) y por MPP también obtenemos S. Con S y la segunda

premisa no podemos obtener R por que se pide ~S para un MPP. Si aplicáramos una

Transposición a la segunda premisa obtendríamos (~ R S) una vez teniendo s, nos haría falta

s negada para poder aplicar MTT, cosa que sería contradictoria. Adicionalmente, es de notarse

que (~ R S) es también una consecuencia de S por Condicionalización y no arroja nueva

información que nos haga llegar categóricamente a R. No podemos vincular con Silogismo Hipotético ambas premisas del conjunto, pues no tenemos que el consecuente de alguna se el antecedente de la otra, ni siquiera probando con sus versiones en Transposición.


{~ R ~ S, P S}

Esta SÌ es la respuesta correcta. Basta hacer Transposición a la primer premisa del conjunto

para obtener (S R), aplicar Silogismo Hipotético a este resultado junto con la segunda

premisa del conjunto y obtener así (PR) para finalmente aplicar un MPP con la premisa

explícita P y obtener válidamente R.



{R S, S P}

Esta NO es la respuesta correcta. Podemos iniciar aplicando Silogismo Hipotético a ambas

premisas del conjunto para obtener (RP) o si aplicáramos a ambas premisas Transposición

previamente, el resultado sería (¬P ¬R), a su vez una Transposición del primer resultado que

ya habíamos obtenido. A ninguna de las dos fórmulas le sirve tener P para llegar a R válidamente, pues en el primer caso se trataría de una falacia de afirmación de consecuente y en el segundo de una falacia de negación de antecedente (aunque con doble negación).


{~ S R, P S}

Esta NO es la respuesta correcta. No hay manera de vincular ambas premisas del conjunto con Silogismo Hipotético pues no hay antecedente de alguna de las fórmulas que corresponda al consecuente de la otra. Si se aplica MPP a P (premisa explicita) junto a la segunda premisa del conjunto y con ello se obtiene S, no hay manera de llegar a R que no sea cayendo en contradicción o de manera inválida

BACHILLERATO: 9.

PREGUNTA:

¿Cuál de las opciones se sigue de la fórmula: ~(P & ~Q) v R?

OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

~P v (Q v ~R) No se sigue, se demuestra con la asignación P=V,Q=F,R=V


(~R v ~Q) v ~P No se sigue, se demuestra con la asignación P=V,Q=V,R=V


(~R & ~Q) & ~P No se sigue, se demuestra con la asignación P=V,Q=V,R=V


(R & ~Q) v (R & ~Q) No se sigue, se demuestra con la asignación P=V,Q=V,R=V


(~P v R ) v (~P v Q)

Respuesta correcta, no puede haber ningún caso en que la primer fórmula fuera

verdadera y la segunda falsa. Como la segunda es una disyunción para que

fuera falsa necesitaríamos que P=V, R=F y Q=F; pero con esta asignación la

primer fórmula resulta falsa.

BACHILLERATO: 10. PREGUNTA:

Teniendo el valor de verdad de las proposiciones P, ¬ Q , R como sigue: V(P)= V, V(Q)= F, V(R)=V ¿Cuál de las siguientes proposiciones resulta falsa?


Sólo hay que revisar las condiciones de verdad de cada fórmula. En especial, recordemos que el condicional material sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso y verdadero en los demás casos.


( ¬ P v Q) ¬ ( R & P ) NO ES respuesta correcta. Con antecedente falso y consecuente falso; la proposición es verdadera


( P v Q ) ¬ ( ¬ Q v R) SÌ ES la respuesta correcta. Con antecedente verdadero y consecuente falso; la proposición es FALSA.


( Q & R ) ( P v ¬ Q ) NO ES respuesta correcta. Con antecedente falso y consecuente verdadero; la proposición es verdadera.


( P & R ) ( ¬ Q v ¬ R ) NO ES respuesta correcta. Con antecedente verdadero y consecuente verdadero; la proposición es verdadera


( Q v R ) ¬ ( P & Q) NO ES respuesta correcta. Conntecedente verdadero y consecuente verdadero; la proposición es verdadera.


BACHILLERATO: 11.

PREGUNTA:

Alicia quiere crecer, pero sólo lo logrará si deja de decir tautologías. ¿Cuál de las siguientes frases debe decir Alicia

para poder crecer? OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Si el sombrerero está loco, yo estoy cuerda; si y solo si: si yo no estoy cuerda, el sombrerero no está loco.

Esta expresión es una tautología, así que no es la respuesta. La equivalencia es una transposición.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: El sombrerero está loco y yo estoy cuerda, si y solo si, el sombrerero no está loco y yo no estoy cuerda.

Esta es la respuesta, pues no es una tautología. Cuando las fórmulas atómicas de la expresión son verdaderas, la fórmula completa es falsa.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: El sombrerero no está loco o yo estoy cuerda, si y solo si, si yo no estoy cuerda entonces el sombrerero no está loco.

Esta expresión es una tautología, así que no es la respuesta. La equivalencia se prueba haciendo implicación material a la primera expresión, y posteriormente transposición.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Si el sombrerero está loco, está loco; y si yo estoy cuerda, estoy cuerda.

Esta expresión es una tautología, así que no es la respuesta. Las implicaciones se pueden convertir en disyunciones de la forma “No P o P” y “No Q o Q”, cada una de las cuales es una tautología; y al estar unidas con conjunción, el resultado también es una tautología.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Si el sombrerero está loco y yo estoy cuerda; entonces, el sombrerero está loco o yo no estoy cuerda.

Esta expresión es una tautología.

(L & C) (L V C)

V V V V V V F V

V F F V V V V F

F F V V F F F V

F F F V F V V F

BACHILLERATO: 12. MASTERS: 16.

PREGUNTA:

Supongamos que estamos en la isla de los caballeros y de los bribones. En esta isla todos son o caballeros o

bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. En una ocasión, hubo una

epidemia que causaba que los caballeros enfermos siempre dijesen mentiras y que los bribones enfermos siempre

dijesen la verdad. Un visitante se encontró con 2 nativos de los que no sabía nada, excepto sus nombres Juan y José.

Se dio el siguiente diálogo. Juan: Puedes confiar en José, es un bribón enfermo. José: Juan es un bribón sano. Juan: Yo no soy un bribón. José: Yo no soy un bribón. ¿De qué tipo de persona se trata en cada caso? Preámbulo de la Justificación Si Juan dice la verdad entonces José dice la verdad, pero José dice que Juan miente. Por lo tanto, Juan miente y o es

un caballero enfermo o es un bribón sano. Pero como Juan dice que no es bribón, entonces es bribón, es decir, es un

bribón sano. Entonces los que dijo José es cierto, entonces o es un caballero sano o bien un bribón enfermo.

Entonces, como dice que no es un bribón, no lo es. Entonces José es un caballero sano. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Juan es un bribón sano y José es un caballero sano. Correcta, ver el preámbulo. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Juan es un bribón sano y José es un caballero enfermo. Incorrecta, ver el preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Juan es un caballero enfermo y José es un bribón enfermo. Incorrecta, ver el preámbulo. OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Juan es un caballero enfermo y José es un caballero sano. Incorrecta, ver el preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Juan es un bribón sano y José es un bribón enfermo. Incorrecta, ver el preámbulo.


BACHILLERATO: 13.

PREGUNTA:

¿Cuál es la negación lógica de Voy a ser feliz contigo o sin ti?

a) Voy a ser feliz sin ti o no voy a ser feliz contigo.

b) Voy a ser feliz contigo y no voy a ser feliz sin ti.

c) No voy a ser feliz contigo y voy a ser feliz sin ti.

d) No voy a ser feliz contigo y no voy a ser feliz sin ti.

e) No voy a ser feliz contigo o no voy a ser feliz sin ti.


La negación de la fórmula es la negación de una disyunción, por tanto se puede usar ley de Morgan y queda una

conjunción de negaciones, las cuales se encuentran en el inciso d. Las demás opciones no son equivalentes.


PREGUNTA:

Norma, la mamá de Pepe, le dice a su hijo: Si apruebas tus materias, todos somos felices. La mamá de Pepe sólo

será infeliz si sucede lo que la negación del enunciado que le dijo a Pepe expresa. ¿Qué tiene que suceder para que

la mamá de Pepe sea infeliz?

Preámbulo de la justificación. Dado que la afirmación de la mamá de Pepe es un condicional, para que sea falso, el antecedente debe ser verdadero

y el consecuente falso. Por lo tanto, Pepe debe aprobar sus materias, y no todos deben ser felices; este segundo

enunciado es equivalente a que haya alguien que no sea feliz. Por lo tanto, la respuesta es la opción b. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

Que Pepe apruebe sus materias y que

todos sean felices. No es la respuesta, pues la negación no implica que todos sean felices;

implica que alguien no sea feliz.



alguien no sea feliz. Esta es la respuesta. Ver el preámbulo.



nadie sea feliz. No es la respuesta, pues la negación no implica que nadie sea feliz;

implica que hay alguien que no es feliz.


Que Pepe no apruebe sus materias y que

todos sean felices. No es la respuesta, pues no cumple con que Pepe apruebe las materias.


Que Pepe no apruebe sus materias y que

alguien sea feliz. No es la respuesta, pues no cumple con que Pepe apruebe las materias.


PREGUNTA:

Sea | un operador binario que indica que P|Q es verdadero en los siguientes casos y sólo en éstos: a) V(P)= F y V(Q)= F. b) V(P)=V y V(Q)=F. c) V(P)=F y V(Q)=V. Supóngase además que las reglas de formación de fórmulas son iguales a las de los operadores binarios usuales.

Señale cuál de las siguientes fórmulas no es lógicamente equivalente a ~R|S. Preámbulo de la Justificación Es claro que | es la negación conjunta (NAND), es decir P | Q es lógicamente equivalente a ¬( P&Q) OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: ¬(¬ R& S) Si tomamos a ¬R como P, se sigue de la definición del preámbulo.


OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: ¬S v R

Por teorema de De Morgan de a, aplicando doble negación y

conmutatividad.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: R v S

No se sigue, para verlo basta con tomar la interpretación R=f y S=v,

con la cual ¬R | S resulta verdadero y R v S falso.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: R v ~S En la definición se puede ver que | tiene la propiedad conmutativa. OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: ( (¬R &¬S) v (R & S) ) v ¬(¬R v S) Se sigue, puesto que la única asignación que hace falsa a esta fórmula

es R=F y S=V, y esta asignación hace falsa también a ¬R |S.

BACHILLERATO: 16.

PREGUNTA:

¿Qué se sigue del siguiente conjunto de oraciones? O bien, todo está perdido, o bien, todo tiene solución. Si todo está perdido, de nada hay que preocuparse. Si de

nada hay que preocuparse, entonces todo tiene solución.

Preámbulo de la Justificación De estas oraciones se sigue que Todo tiene solución, pero no se puede inferir de estas oraciones ni que todo está

perdido, ni que no hay nada de que preocuparse, ni que hay algo que no tiene solución. En consecuencia, la

respuesta correcta es B. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Todo está perdido Incorrecta, no se sigue. Ver preámbulo. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Todo tiene solución. Correcta, sí se sigue. Ver preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: No todo está perdido. Incorrecta, no se sigue. Ver preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Hay algo que no tiene solución. Incorrecta, no se sigue. Ver preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: De nada hay que preocuparse. Incorrecta, no se sigue. Ver preámbulo.


PREGUNTA:

Michael Jordan le dice a Michael Jackson: Si tú eres el rey del pop y yo soy el mejor basquetbolista, entonces, si tú

eres Superman, entonces yo soy Batman. ¿Qué enunciado es equivalente a la negación de esta afirmación? Preámbulo de la justificación. Simbolizando y haciendo deducción natural tenemos:

1) ~ ((P&M) (S B))

2) ~ (~ (P&M) v (S B)) Implicación material.

3) ~ (~ (P&M) v (~ S v B)) Implicación material.

4) ~ ~ (P&M) & ~ (~ S v B) Ley de Morgan.

5) (P&M) & (~ ~S&~B) Doble negación y ley de Morgan.

6) (P&M) & (S&~B) Doble negación. Esto es lo que se expresa en la opción C).


Tú eres el rey del pop y yo soy el mejor

basquetbolista, o tú eres Superman y yo no soy

Batman.

No es la respuesta. Con la asignación: P=V, M=V, S=V y

B= V, las dos fórmulas salen con distinto valor de verdad.



Tú eres el rey del pop o yo soy el mejor

basquetbolista, y tú eres Superman y yo soy Batman. No es la respuesta. Con la asignación: P=V, M=V, S=V y



Tú eres el rey del pop y yo soy el mejor

basquetbolista, y tú eres Superman y yo no soy

Batman.

Es la respuesta. Ver el preámbulo.



basquetbolista, o tú no eres Superman y yo no soy

Batman.





basquetbolista, y tú eres Superman o yo no soy

Batman.




PREGUNTA:

Un periodista llegó a una extraña isla llamada Logi-Kosa. La isla está habitada por dos tribus: los Logis, que

siempre dicen la verdad y los Kosa que siempre mienten. Al ver a 4 nativos (llamémosles A, B y C) sentados en

círculo, el periodista se acercó y, para descubrir a qué tribu pertenecían les preguntó en orden: ¿Usted y el que está a

su izquierda son de la misma tribu? Y recibió las siguientes respuestas: A: Sí. B: Sí. C: No. D: No.

¿A qué tribu pertenecía cada aborigen?


El enigma se resuelve mediante una prueba por casos.

Caso 1: A es Logi B es Logi C es Logi D es Kosa A es Kosa ^

Caso 2: A es Kosa B es Logi C es Logi D es Kosa A es Kosa. Como el primer caso lleva a contradicción sólo es posible el segundo. De Modo que la respuesta correcta es la e. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: A y C son Kosa; B y D son

Logi. Esta opción no es la correcta. Porque si C es Kosa D es Kosa. Pues C miente

al decir que NO son del mismo tipo. Pero Aquí se dice que C es Logi OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: A y B son Logi, C y D son Kosa. Esta opción no es correcta. Porque Si B es Logi C es Logi. Pues B dice que él

y C son de la misma tribu. Pero Aquí se dice que C es Kosa

OPCIÓN DE RESPUESTA C)

JUSTIFICACIÓN:

A y C son Logi; B y D son

Kosa. Esta opción no es correcta porque si D es Kosa A debe ser Kosa. Pues D

miente al decir que no son de la misma tribu. Pero acá se dice que A es logi OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: A, B y C son Logi y D es Kosa.

Esta opción no es correcta porque si D es Kosa A debe ser Kosa. Pues D

miente al decir que no son de la misma tribu. Pero acá se dice que A es logi OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: A y D son Kosa; B y C son

Logi.

Esta opción sí es la respuesta correcta. Como se ha visto en el preámbulo no

lleva a contradicción alguna.

Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)

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PREGUNTA:


bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. En una ocasión, hubo una

epidemia que causaba que los caballeros enfermos siempre dijesen mentiras y que los bribones enfermos siempre

dijesen la verdad. ¿Cuál de las siguientes oraciones no puede ser dicha por un bribón enfermo? Preámbulo de la Justificación Hay cuatro tipos de nativos, los caballeros sanos y los bribones enfermos siempre dicen la verdad. Los caballeros

enfermos y los bribones sanos siempre mienten. Debemos buscar algo que dicho por un bribón enfermo sea falso. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Soy un bribón. Incorrecta, pues sería verdad y los bribones enfermos dicen la verdad. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Si soy un caballero, entonces estoy

enfermo. Incorrecta, pues sería verdadero el consecuente y inconsecuencia el

condicional sería verdadero.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Si soy un caballero, entonces soy un

bribón. Incorrecta, pues sería verdadero el consecuente y inconsecuencia el

condicional sería verdadero.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Soy un caballero sii soy un bribón. Correcta, pues es falsa y un bribón enfermo no podría decirla.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Si estoy sano, entonces soy un

caballero. Incorrecta, pues el antecedente es falso y por tanto el condicional es

verdadero.

BACHILLERATO: 20.

PREGUNTA:

¿Qué se sigue de la negación del siguiente enunciado: Estudio o no es el caso que: voy a la Olimpiada y gano?

Preámbulo de la justificación. Simbolizando: E: Estudio. O: Voy a la Olimpiada. G: gano. Tenemos que la

negación es: ~ (E v ~ (O & G)) Aplicando Ley de Morgan queda: ~E & ~ ~ (O & G). Y con doble negación solo

queda: No estudio y voy a la Olimpiada y gano; lo que se expresa en la opción e).


No voy a la Olimpiada y no estudio o no gano. No se sigue que no voy a la Olimpiada.


No estudio y voy a la Olimpiada, y no gano. No se sigue que no gano.


No voy a la Olimpiada o estudio, o no gano. No se sigue ninguno de los tres disyuntos.


No gano y estudio y voy a la Olimpiada. No se sigue que: no gano y que estudio.


Voy a la Olimpiada, y no estudio y gano. Es la respuesta correcta. Ver el preámbulo.


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PREGUNTA:

Tenemos un argumento con la premisa P y la conclusión (S&T). ¿Qué conjunto de fórmulas es necesario agregar a

las premisas para que el argumento sea válido? OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

{P (~ T& R), ~ R S, P ~ S}

Ésta NO es la respuesta correcta. Aunque por MPP entre la primer premisa del conjunto y p podamos obtener ( ¬ T & R ) y por Simplificación tanto a ¬ T (segunda parte de la conclusión a la que faltaría S) como a R, no hay manera de llegar a la s faltante. Ni con r en la segunda premisa del conjunto, ni con p en la tercera en donde

con MPP obtendríamos justo la negación de nuestro objetivo.


{R (P ~ (S T)), P R}

Ésta SÌ es la respuesta correcta. Con P y la segunda premisa del conjunto se obtiene R por MPP y con la misma regla aplicada a la primer premisa del conjunto y a R, se deriva (P→ ¬ ( S → T) ) ; como ya teníamos P, volvemos a aplicar un MPP y nos quedamos con ¬ ( S → T) que equivale a (S & ¬ T ) por Definición del condicional material y Doble negación, justo la conclusión a la que queríamos llegar.


{P (S T), (S T) R, R S}

Ésta NO es la respuesta correcta. Podemos evidenciar la transitividad entre las tres premisas del conjunto aplicándoles varios Silogismos Hipotéticos para obtener P→ S. Con la premisa explícita P derivaríamos S y nos faltaría ¬ T, que no puede obtenerse. Si en la primer premisa del conjunto aplicamos MPP, obtenemos S → T y con la S llegaríamos a T, justo la negación de lo que nos falta.


{S ~T , ~ T P}

Ésta NO es la respuesta correcta. Sólo confundiendo el condicional con un bicondicional y aplicando en reversa una especie de MPP que en realidad resultaría inválido es como podría obtenerse la conclusión. Finalmente, con este conjunto de premisas y P, no puede derivarse nada útil.


{ P (S ~T)}

Ésta NO es la respuesta correcta. Con P podemos aplicar un MPP para obtener ( S → ¬ T ), pero en ésta nueva fórmula no tenemos categóricamente ni a S ni a ¬ T con lo que no pueden ponerse en conjunción como la conclusión lo pide.


PREGUNTA:

Asumamos que el símbolo “¢” es una conectiva de dos lugares que representa una disyunción exclusiva. Cuando

decimos que “P ¢ R” estamos diciendo “O bien P es verdadera, o bien R, pero no ambas”. Considerando el conjunto de fórmulas Γ = {P ¢ Q, Q ¢ R, T ¢ S, R ¢ S} ¿Cuál de los siguientes conjuntos de

fórmulas en conjunción con Γ daría lugar a una contradicción? La formalización de una disyunción exclusiva es equivalente a la negación de un bicondicional. Todo bicondicional

negado es equivalente a un bicondicional con uno de sus lados negado. En suma, un bicondicional con negaciones

nones sin importar el lado de la conectiva o si la afectan directamente a ella, nos da como resultado que las fórmulas

a los lados del bicondicional deben ser diferentes. Por poderse desglosar -cualquier bicondicional- como dos

condicionales, uno de ida y otro de regreso, tenemos por Modus Ponendo Ponens que la afirmación categórica de

cualquiera de los lados de un bicondicional negado dará el otro lado negado y si la afirmación categórica de uno de

sus lados está negada, dará el lado opuesto. Las opciones de respuesta ofrecen pares de afirmaciones atómicas

negadas o afirmadas categóricamente con las cuales se pueden hacer tantos MPP como hagan falta de izquierda a

derecha o de derecha a izquierda sobre la conectiva “¢” recordando de invertir el valor de verdad del lado obtenido.

Ayudará reordenar las fórmulas de la pregunta para ver con más claridad la solución y colocarlas en lugar de así: Γ = { p ¢ q, q ¢ r, t ¢ s, r ¢ s } Mejor así: Γ = { p ¢ q, q ¢ r, r ¢ s s ¢ t, } Recordemos también que las cuatro opciones que no son la respuesta correcta deben ser consistentes con el

conjunto A. La respuesta correcta debe arrojarnos una contradicción.


12


{ q, ¬ t }

Ésta NO es la respuesta correcta. Aplicando todos los MPP pertinentes, la fórmula “q” nos arroja ¬ p, ¬r que a su vez nos arroja s y s nos arroja ¬ t que es justo la otra fórmula que se nos ofrece en la respuesta


{ s, ¬ p } Ésta NO es la respuesta correcta.


{ p , t }

Ésta NO es la respuesta correcta. “p” por MPP da por resultado ¬ q. A su vez ¬ q arroja r. A su vez r arroja ¬ s quien arroja t manteniendo consistencia.


{ ¬ s, q } Ésta SÍ es la respuesta correcta. ¬s por MMP da r y r por MMP da ¬ q que es inconsistente con la q que se ofrece.


{ ¬ r, ¬ t } Ésta NO es la respuesta correcta. ¬ r por MPP da s quien a su vez da ¬ t.


PREGUNTA:

¿Cuál de las siguientes fórmulas es falsa dada la siguiente asignación de valores de verdad? v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=V, v(S)=V. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

(~(P ~P) & ~Q) & ~(R ~S) No es, la asignación de valores da verdadero.


P (P ~((R & S) Q)) No es, la asignación de valores da verdadero


(R & P) ((~R ~P) (~Q & S)) No es, la asignación de valores da verdadero


(P (Q (R S))) (P Q) Esta es la respuesta. La asignación hace falsa a la fórmula.


(S P) ~(Q R) No es, la asignación de valores da verdadero

BACHILLERATO: 24.

PREGUNTA:

¿Qué fórmula, que contenga sólo negaciones y disyunciones, es equivalente a la siguiente: (P ≡ Q)? OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

(P Q) ( Q P) No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción a) es verdadera.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: (P Q) ( Q P) No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción b) es verdadera.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: (P Q) ( Q P) No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción c) es verdadera.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: (P Q) ( Q P)

Esta es la respuesta correcta. Prueba por equivalencias. La fórmula original es equivalente a la negación de la conjunción de “P entonces Q” y “Q entonces P”. Aplicando Ley de Morgan queda la negación de “P entonces Q” o la negación de “Q entonces P”. Y aplicando implicación material a ambos condicionales queda la respuesta.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: (P Q) (Q P) No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción e) es verdadera.


13

BACHILLERATO: 25.

PREGUNTA:

¿Cuál de las siguientes formalizaciones no es adecuada para el siguiente argumento? Peter ama a Gwen. Pero, si Peter ama a Gwen, ella correrá peligro y tarde o temprano morirá. Ergo, Gwen tarde

o temprano morirá. Diccionario: P: Peter ama a Gwen, Q: Gwen correrá peligro, R: Gwen tarde o temprano morirá.

Todas las opciones excepto la e) son equivalentes.


1. P 2. P (Q & R) / R

No es la respuesta. Sí es adecuada a lo que dice el argumento.


1. P 2. (P Q) & (P R) / R



1. P 2. P ~(~Q ~R) / R



1. P & (P (Q & R)) / R



1. P 2. P (Q R) / R

Es la respuesta. No es una formalización adecuada para el

argumento porque la segunda premisa es un condicional cuyo

consecuente es una disyunción; y en el argumento esos últimos

elementos están en una conjunción.


PREGUNTA:

¿Cuál de las siguientes asignaciones de valores de verdad muestra que el siguiente argumento es inválido?

1. (P R) (R & P) 2. ~R Q

3. ~(~Q Q) / ~P


v(P)=F, v(Q)=V, v(R)=V. Ésta no es la respuesta, la asignación no hace que las premisas sean

verdaderas y la conclusión sea falsa.


v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=V.

Ésta es la respuesta, la asignación hace que las premisas sean verdaderas y la

conclusión sea falsa.


v(P)=V, v(Q)=V, v(R)=F.

Ésta no es la respuesta, la asignación no hace que las premisas sean



14


v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F. Ésta no es la respuesta, la asignación no hace que las premisas sean



v(P)=F, v(Q)=F, v(R)=F.

Ésta no es la respuesta, la asignación no hace que las premisas sean



PREGUNTA:

28. Hugol quiere saber quién ganará el mundial de futbol; así que va con el oráculo del deporte, para que le dé sus

pronósticos. El oráculo le dice: Si España no gana o México gana, entonces Alemania gana. Si Francia no gana,

entonces España no gana. Si Holanda gana, entonces Brasil gana. No es el caso que: Holanda gana o Francia

gana. Como Hugol es un experto en lógica, inmediatamente supo quien ganaría. De acuerdo a lo dicho por el

oráculo y considerando que solo un equipo puede ganar, ¿quién gana el Mundial?

Diccionario: E: España gana. M: México gana. A: Alemania gana. F: Francia gana. H: Holanda gana. B: Brasil

gana. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

México No se sigue. Con la asignación de valores v(F)=V, v(E)=V, v(M)=F, v(A)=V,

v(H)=F v(B)=V, se demuestra que esta opción no se deriva de las premisas.


Francia

No se sigue. Con la asignación de valores v(F)=F, v(E)=F, v(M)=F, v(A)=V,

v(H)=F v(B)=V, se demuestra que esta opción no se deriva de las premisas.


Brasil

No se sigue. Con la asignación de valores v(F)=F, v(E)=F, v(M)=F, v(A)=V,

v(H)=F v(B)=F, se demuestra que esta opción no se deriva de las premisas.


España No se sigue. Con la asignación de valores v(F)=F, v(E)=F, v(M)=F, v(A)=V,

v(H)=F v(B)=F, se demuestra que esta opción no se deriva de las premisas. OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN:

Alemania Respuesta correcta.

Prueba por deducción natural:

1. (~E v M) A Premisa

2. ~F ~E Premisa

3. H B Premisa

4. ~(H v F) Premisa

5. ~H & ~F Ley de Morgan 4

6. ~H Simplificación 5

7. ~E Ponendo ponens 2, 6.

8. ~E v M Adición 7.

9. A Ponendo Ponens 1, 8.


15

BACHILLERATO: 28. MASTERS: 14.

PREGUNTA:

En cierta comunidad todo acusado de haber cometido un delito es juzgado por cuatro jueces quienes determinan si

éste es condenado o absuelto. De los jueces se sabe que el juez A siempre se ajusta a la solución del anterior, el juez

B siempre contradice la resolución del anterior, el juez C siempre concede la absolución, y el juez D siempre

condena cuando él es el primero en emitir su resolución, y absuelve cuando es el último; si no es el primero o el

último, a veces condena y a veces absuelve. Con respecto al juicio se sabe que el orden en que los jueces emiten su

resolución es determinado por medio de un sorteo, y que se concede definitivamente la absolución si y sólo si al

menos tres jueces resuelven absolver. ¿Cuál de los siguientes sorteos no permite determinar si el acusado será

condenado o absuelto? Preámbulo de la Justificación Es importante notar que dado que es una condición necesaria y suficiente que tres de los cuatro jueces resuelven

absolver al condenado para conceder la absolución definitiva, entonces bastará que en un caso concreto dos jueces

condenen al acusado para que se niegue la absolución definitiva. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Juez D, juez B, juez C, juez A

Este sorteo conduce necesariamente a la absolución del acusado. Dado que el Juez

D es el primero en emitir su resolución, condenará al acusado (pues siempre lo

hace), en tanto que el Juez B, quien es el segundo en resolver, contradirá la

resolución del anterior, de modo que resolverá absolver al acusado. Dado que el

juez C siempre absuelve, entonces también absolverá al acusado. Finalmente el

juez A absolverá al acusado pues siempre hace lo mismo que el anterior.

Tenemos, entonces, que se ha resuelto en tres casos absolver al acusado y estamos

seguros de que esa será la resolución. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN:

Juez C, juez A, juez B, juez D.

Este sorteo conduce necesariamente a la absolución del acusado. Dado que el Juez

C es el primero en emitir su resolución, absolverá al acusado (pues siempre lo

hace), y puesto que el juez A siempre se ajusta a la resolución del anterior,

entonces también absolverá al acusado. El juez B, quien resuelve en tercer lugar,

contradirá la resolución del anterior, de modo que resolverá condenar al acusado.

Finalmente el juez D resolverá absolver al acusado. OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN:

Juez C, juez D, juez B, juez A.

Este sorteo no conduce necesariamente a la condena del acusado. Dado que el

Juez C es el primero en emitir su resolución, absolverá al acusado (pues siempre

lo hace). Del juez D sabemos que resolverá condenar si es el primero en el sorteo,

pero resolverá absolver si es el último en el sorteo, sin embargo nada sabemos

sobre su comportamiento cuando es el segundo en el sorteo. De este modo,

tenemos dos casos: Caso 1. El juez D condena al acusado. Si el juez D condena al acusado, entonces el juez B contradirá esta resolución

absolviendo al acusado. Finalmente, en juez A se ajustará a este dictamen y

absolverá también al acusado. De modo que resultan tres absoluciones y sólo una

condena, lo cual es suficiente para conceder la absolución definitiva. Caso 2. El juez D absuelve al acusado. Si el juez D absuelve al acusado, entonces el juez B contradirá esta resolución

condenando al acusado. Finalmente, en juez A se ajustará a este dictamen y

condenará también al acusado. De modo que resultan dos absoluciones y dos

condenas, lo cual es suficiente para no conceder la absolución definitiva. Siendo esto así, podemos concluir a partir de este sorteo que el acusado será

condenado o no lo será. Por lo tanto, esta es la respuesta correcta. OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN:

Este sorteo conlleva necesariamente a la condena del acusado. Dado que el juez C

siempre concede la absolución, absolverá al acusado. El juez B contradirá esta


16

Juez C, juez B, juez A, juez D.

resolución, condenando al acusado. El juez A, por su parte, se ajustará a la

resolución del anterior, condenando al acusado. Finalmente, dado que el juez D

resolvió al final, absolverá al acusado. Tenemos, pues, dos condenas y dos

absoluciones con lo cual se establecerá condenar al acusado. OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN:

Juez D, juez B, juez A, juez C.

Este sorteo conlleva necesariamente a la absolución del acusado. Dado que El juez

D es el primero en resolver, condenará al acusado. El juez B contradirá esta

resolución, absolviendo al acusado. El juez A, por su parte, se ajustará a la

resolución del anterior, absolviendo al acusado. Finalmente, el juez C, como

siempre lo hace, absolverá al acusado. Tenemos, en suma, tres absoluciones.

BACHILLERATO: 29. PREGUNTA:

Si el conjunto de proposiciones { P v R, ~ P v ~ R } lo unimos con el conjunto que tiene como única proposición { R S}, ¿Qué

podemos derivar con validez de las tres proposiciones juntas? Preámbulo de la Justificación

El conjunto { P v R, ~ P v ~ R} es equivalente a una disyunción exclusiva, pues la segunda proposición es equivalente a

~ (p&r). De tal modo, la disyunción exclusiva entre P y R es equivalente a

(~P R). Al unir { RS} puede hacerse el Silogismo Hipotético que resulta en la respuesta correcta. ~ P S.


P S NO ES respuesta correcta. P llevaría a ~ R y esto no lleva a S, sino a través de una falacia

de afirmación de antecedente.


~R S NO ES respuesta correcta. S no es categórica.


P ~S NO ES respuesta correcta. P llevaría a ¬ R y entre R y s no hay bicondicional.


R ~S

NO ES respuesta correcta. No tendría nada que ver con el primer conjunto de proposiciones y del segundo no se sigue.


~P S SÌ ES la respuesta correcta. ~P llevaría a R y R llevaría a S con un ponendo ponens.

BACHILLERATO: 30.

PREGUNTA:

30. ¿Cuál de las siguientes fórmulas en cálculo proposicional es equivalente a la que expresa el diagrama?


17


OPCIÓN DE RESPUESTA A)

JUSTIFICACIÓN:

(P v ~Q) v ((R v S)& ~T)

Esta es la respuesta correcta. Es equivalente a la fórmula del diagrama haciendo una ley de Morgan a la primera parte de la disyunción.


(P &Q) v ((R v S)& ~T)

No es respuesta. No está la negación de P y la negación del primer disyunto.


(~P & ~Q) v ((R v S)&T)

No es la respuesta. Falta la negación del primer disyunto y Q no debe ir negada. T debe ir negada.


(~P v ~Q) v ((~R v S)& ~T)

No es la respuesta. P no debe ir negada; y R tampoco.


a) ~ (P v ~Q) v ((R v S)& ~T)

No es la respuesta. Falta la negación de P, Q no debe ir negada, y en el primer disyunto el conectivo principal debe ser conjunción.

LICENCIATURA: 2.

PREGUNTA:

2. ¿Cuál de las siguientes opciones se sigue del siguiente conjunto de premisas? {P (P (R S)), S T, Q R} Preámbulo de la Justificación De P(P(RS)) es equivalente a la conjunción de P y RS. Para mostrar que una fórmula no se sigue hay que dar una asignación de valores de verdad que hagan verdaderas a las fórmulas del conjunto y falsa a la opción que se está evaluando


PS

Incorrecta. Valuación que lo muestra: v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F, v(S)=F, v(T)=F.


~TR Incorrecta. Valuación que lo muestra: v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F, v(S)=F, v(T)=F.


QT Correcta. Ninguna asignación hace verdaderas a las fórmulas del

conjunto y falsa a esta opción. OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN:

P(QS) Incorrecta. Valuación que lo muestra: v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=V, v(S)=V, v(T)=V.


(RS)(TQ) Incorrecta. Valuación que lo muestra: v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F, v(S)=F, v(T)=V.


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LICENCIATURA: 3. MASTERS: 9.

PREGUNTA:

Sea la constante falsedad, es decir, siempre tiene el valor de verdad falso. ¿Cuál de las siguientes fórmulas es

equivalente a (P T) & ~T? Preámbulo de la Justificación La fórmula es equivalente a ~P~T


((P)T) Correcta, sí es equivalente.


~(PT)~T Incorrecta, no es equivalente.


((PT)) ~T Incorrecta, no es equivalente.


(T)((PT)) Incorrecta, no es equivalente.


(P(PT)) Incorrecta, no es equivalente.

LICENCIATURA: 4.

PREGUNTA:

Suponga que Paquita la del Barrio, Paulina Rubio y Lupita D’alessio son sospechosas de evasión de impuestos.

Ellas dan testimonio bajo juramento como sigue: Paquita: Paulina es culpable pero Lupita no. Paulina: Si Paquita es culpable, entonces también Lupita lo es. Lupita: Soy inocente, pero al menos una de las otras es culpable. Suponiendo que la(s) inocente(s) dijo(eron) la verdad y la(s) culpable(s) mintió(eron), ¿quien(es) es(son)

inocente(s) y quien(es) es(son) culpable(s)? Preámbulo de la Justificación

Supongamos que P denota “Paquita es inocente”; A denota “Paulina es inocente” y L denota “Lupita es inocente”, entonces tenemos que en las siguientes tablas:

P A L Conjunción que debería ser verdadera por la hipótesis Valor de verdad

V V V (~AL)(~P~L)(L(~P~A)) F

V V F (~AL)(~P~L)~(L(~P~A)) F

V F V (~AL)~(~P~L)(L(~P~A)) F

V F F (~AL)~(~P~L)~(L(~P~A)) F

F V V ~(~AL)(~P~L)(L(~P~A)) F

F V F ~(~AL)(~P~L)~(L(~P~A)) V

F F V ~(~AL)~(~P~L)(L(~P~A)) F

F F F ~(~AL)~(~P~L)~(L(~P~A)) F


Todas son inocentes.

Respuesta Incorrecta. Si todas fueran inocentes la conjunción de lo que dijeron debería ser verdadero, pero vemos en la tabla que es falso.


Todas son culpables.

Respuesta Incorrecta. Si todas fueran culpables, la conjunción de las negaciones de sus testimonios debía ser verdadera, pero es falsa.


Paquita y Lupita son culpables pero Paulina es inocente.

Respuesta Correcta. Si Paquita y Lupita son culpables y Paulina inocente, la conjunción del renglón 6 en la tabla, debería ser verdadero. Vemos que sí lo es, por tanto esta es la respuesta correcta.


Paquita y Lupita son inocentes pero Paulina es culpable.

Respuesta Incorrecta. Si Paquita y Lupita son inocentes, pero Paulina es culpable, la conjunción de la tabla en el renglón 3 debería ser verdadera, pero vemos que es falsa.


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Lupita es inocente pero Paquita y Paulina son culpables.

Respuesta Incorrecta. Si Lupita es inocente pero Paquita y Paulina son culpables, la conjunción del renglón 7 de la tabla debería ser verdadera, pero es falsa.


PREGUNTA:

¿Qué no se sigue del siguiente conjunto de oraciones? Es falso que: Hay actos injustos que son castigados. Es falso que: Hay actos justos que son recompensados. Es

falso que: Todos los actos injustos provocan dolor. Es falso que: Todos los actos justos provocan placer. Preámbulo de la Justificación Las oraciones de la preguntan son equivalentes a: Todo acto injusto no es castigado. Todo acto justo no es

recompensado. Existe un acto injusto que no provoca dolor. Existe un acto justo que no provoca placer. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Hay actos injustos que ni provocan

dolor ni son castigados. Incorrecto, sí se sigue; pues por la primer premisa sabemos que ningún acto

injusto es castigado, y por la premisa tres sabemos que algunos actos injustos no

provocan dolor. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Hay actos justos que provocan

placer pero no son recompensados. Correcto, NO se sigue. De las premisas no se puede determinar que hay actos

justos que provocan placer. OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Todo acto injusto que provoca dolor

no es castigado. Incorrecto, sí se sigue; pues por la por la primer premisa sabemos que ningún

acto injusto es castigado. OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Hay actos justos que ni provocan

placer ni son recompensados. Incorrecto, sí se sigue. Pues por la segunda premisa sabemos que ningún acto

justo es recompensado y por la cuarta premisa sabemos que hay actos justos que

no provocan placer. OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Todo acto justo que provoca placer

no es recompensado. Incorrecto, sí se sigue. Pues por la segunda premisa sabemos que ningún acto

justo es recompensado.


PREGUNTA:

¿Cuál de las siguientes fórmulas es equivalente a la negación de: Soy feliz si y solo si soy una lombriz? a) No soy feliz o soy una lombriz; o no soy una lombriz o soy feliz. b) No soy una lombriz o no soy feliz; o no es cierto que: no soy feliz o no soy una lombriz. c) Soy feliz o soy una lombriz; o no es cierto que: soy una lombriz o soy feliz. d) No es cierto que: no soy feliz o soy una lombriz; o no es cierto que: no soy una lombriz o soy feliz.

e) No soy feliz o soy una lombriz; o, no soy una lombriz o soy feliz.. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

(P Q) ( Q P) No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción a) es verdadera.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: (P Q) ( Q P) No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción b) es verdadera.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: (P Q) ( Q P) No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción c) es verdadera.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: (P Q) ( Q P)

Esta es la respuesta correcta. Prueba por equivalencias. La fórmula original es equivalente a la negación de la conjunción de “P entonces

Q” y “Q entonces P”. Aplicando Ley de Morgan queda la negación de “P entonces

Q” o la negación de “Q entonces P”. Y aplicando implicación material a ambos

condicionales queda la respuesta.


20

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: (P Q) (Q P) No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción e) es verdadera.


PREGUNTA:

Sea Γ un conjunto de fórmulas, y α, β y φ tres fórmulas cualesquiera. Suponga que Γ, β ⊨ α. ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones no se sigue? Las respuestas se siguen de principios básicos de metalógica. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Γ ⊨ β ⊃ α Se sigue por deducción.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Γ ⊨ α v ¬ β Se sigue por equivalencia lógica de la opción a. OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Γ, β, ¬ α ⊨ φ Se sigue porque {Γ, β, ¬ α} es insatisfacible. OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Γ, α ⊨ β No se sigue, se ve claramente en el caso en que Γ = {p}, α=q, β =r. OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Γ, β, φ ⊨ α Se sigue por monotonicidad dado que Γ, β ⊨ α.


PREGUNTA:

¿Cuál es la negación de la siguiente fórmula? x(Sx y(Py & x=y)) OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

x(Sx & y(Py x≠y))

1. ~x(Sx y(Py & x=y)) Premisa

2. x ~( Sx y(Py & x=y)) Equivalencia 1 3. x ~ (~Sx v y(Py & x=y)) Implicación material 2 4. x (Sx & ~y(Py & x=y)) Ley de Morgan 3

5. x (Sx & y~(Py & x=y)) Equivalencia 4

6. x(Sx & y (~Py v x≠y)) Ley de Morgan 5

7. x(Sx & y(Py x≠y)) Implicación material 6 OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN:

x(~Sx y(Py & x=y))

No es la respuesta. La negación de la fórmula original es el existencial de una

conjunción y esta fórmula es la universalización de una disyunción.


x(Sx v y(Py x≠y))

No es la respuesta. La negación de la fórmula original es el existencial de una

conjunción y esta fórmula es el existencial de una disyunción.


xy(~Sx (Py & x=y)) No es la respuesta. Esta fórmula no es equivalente a la negación de la fórmula

original. OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN:

xy(~ (Py & x=y) Sx)

No es la respuesta. Esta fórmula no es equivalente a la negación de la fórmula

original.


21


PREGUNTA:

¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? Todos los hombres son felices, a menos que haya más de un monstruo. Dominio de discurso: Los seres humanos y los monstruos. Diccionario: Sx: x es un ser humano, Fx: x es feliz, Mx: x es un monstruo.

Preámbulo de la Justificación El “a menos que” indica una disyunción o un condicional con el antecedente negado. En este caso el antecedente

dice que no existe más de un monstruo (es decir, no es cierto que existen por lo menos dos). El consecuente dice

que todos los hombre serán felices.


~xy(~x=y z(Mz (x=z y=z))) xFx

Incorrecta, pues el antecedente dice que no existen

exactamente 2 monstruos y el consecuente dice que todos

(incluyendo a los monstruos) son felices. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN:

~xy(~x=y (Mx My)) x(Sx Fx) Incorrecta, pues la conectiva principal es una conjunción.


~xy(~x=y z(Mz (x=z y=z))) x(Sx Fx)

Incorrecta, pues el antecendente dice que no existen

exactamente 2 monstruos.


~xy(~x=y (Mx My)) x(Sx Fx) Correcta.


~xy(~x=y (Mx My)) xFx Incorrecta, pues el consecuente dice que todos (incluyendo a

los monstruos) son felices.


PREGUNTA:

¿Qué expresión es equivalente a la negación lógica del siguiente enunciado? Si estoy en Puebla y no estoy en

Puebla, entonces estoy en México o no estoy en México. Preámbulo de la Justificación La fórmula propuesta es una tautología, pues el antecedente del condicional es una contradicción. En consecuencia,

la negación de la fórmula es una contradicción. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Estoy en Puebla o no estoy en Puebla, y si

no estoy en México, no estoy en México.

No es la respuesta. Cuando todas las fórmulas atómicas son

verdaderas; la fórmula es verdadera.


Estoy en Puebla y no estoy en Puebla; o si

no estoy en México, estoy en México.




Estoy en Puebla o no estoy en Puebla; y si

estoy en México, estoy en México.




Estoy en Puebla o no estoy en Puebla; y si

estoy en México, no estoy en México.

No es la respuesta. Cuando todas las fórmulas atómicas son falsas; la

fórmula es verdadera.


Estoy en Puebla y no estoy en Puebla; y si

estoy en México, estoy en México.

Esta es la respuesta. La fórmula es una conjunción cuya primera parte

es una contradicción; en consecuencia, la fórmula completa es una

contradicción.


22


PREGUNTA:

¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? Incluso si todos me odian, yo amaré a todos y cada uno de los seres humanos (dicho por Jacinto). Dominio de discurso: Los seres humanos. Diccionario: a: Jacinto, Oxy: x odia a y, Axy: x ama a y. Preámbulo de la Justificación La oración es equivalente a decir que Jacinto amará a todos los seres humanos.


xO(x,a) xA(a,x) Es más débil que la afirmación original.


xA(x,a) Dice que todos aman a Jacinto.




xA(a,x) Correcta.




PREGUNTA:

Supongamos que tenemos un conjunto de fórmulas Γ { α } que es consistente. ¿Cuál de las siguientes opciones

tiene que ser verdadera?


Se sigue que es consistente, pero es posible que de se siga Pero sabemos que no se sigue ~

pues para ellos {} debería ser inconsistente.


╞ Incorrecto, ver el preámbulo.


El conjunto de fórmulas {~} es inconsistente. Incorrecto, ver el preámbulo.


El conjunto de fórmulas {~} es consistente. Incorrecto, ver el preámbulo.


╞~ Correcto, ver el preámbulo.


El conjunto de fórmulas es inconsistente. Incorrecto, ver el preámbulo.


23


PREGUNTA:

18. ¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? Javier tiene más de un amigo, además de Martha. Dominio de discurso: Los seres humanos. Diccionario: a: Javier, b: Martha, Axy: x es amigo de y. Preámbulo de la Justificación La oración debe indicar que Martha es amiga de Javier que hay dos personas que no son Martha que son amigas de

Javier.


xy(~x=y (A(x,a) A(y,a))) Incorrecta, pues no implica que Martha sea amiga de Javier.


xy(~x=y z(A(z,a) (z=x z=y))) Incorrecta, pues dice que Javier sólo tiene 2 amigos, y Javier tiene por lo menos 3.


xy((~x=y (~x=b ~z=b))(A(x,a) A(y,a))) A(b,a) Correcta.


xy(~x=y (A(x,a) A(y,a))) A(b,a) Incorrecta, pues no se indica que Martha no es ni x ni y.


xy((~x=y (~x=b ~y=b)) z(A(z,a) (z=x z=y))) Incorrecta, pues implica que Martha no es amiga de Javier.


PREGUNTA:

¿Qué se sigue de las siguientes premisas?: Todos los filósofos son dogmáticos y ningún matemático es empirista.

Pepe es filósofo y Juan no es empirista. Preámbulo de la Justificación Usando el diccionario: Fx: x es filósofo. Dx: x es dogmático. Mx: x es matemático. Ex: x es empirista. p: Pepe. j: Juan.

1) ∀x(FxDx) Premisa

2) ∀x(Mx¬Ex) Premisa

3) Fp¬Ej Premisa

4) Fp Simplificación

5) ¬Ej Simplificación

6) FpDp Instanciación universal 1

7) Mj¬Ej Instanciación universal 2

8) Dp Ponendo ponens 4, 6.

9) x(Dx) Generalización existencial 8.

10) x(¬Ex) Generalización existencial 9.

11) ¬¬x(Dx) Doble negación 9.

12) ¬∀x(¬Dx) Equivalencia de negación de cuantificadores.

13) ¬∀x(¬Dx) v x(Mx) Adición 12.


24


No todos son matemáticos, aunque hay

alguien que es dogmático.

No se sigue. Las premisas no permiten determinar si hay o no

matemáticos.


Si alguien no es filósofo, alguien no es

empirista.

No se sigue. Las premisas no permiten determinar que alguien sea

empirista.


Alguien es matemático y alguien no es

dogmático.

No se sigue. Las premisas no permiten determinar que hay

matemáticos y que hay alguien que no es dogmático.


No todos no son dogmáticos o alguien es

matemático.

Esta es la respuesta correcta. La prueba está en el preámbulo de la

justificación.


Aunque alguien es un filósofo, alguien no

es un dogmático.

No se sigue. Las premisas no permiten determinar si hay alguien que

no es dogmático.


PREGUNTA:

Tenemos un argumento con la conclusión (xMx) y las premisas Pa y ~(xRx & xSx). ¿Qué conjunto de

fórmulas es necesario agregar a las premisas para que el argumento sea válido? OPCIÓN DE

RESPUESTA A)

JUSTIFICACIÓN:

{ Pb, Pc, ( ∀x Px → ∃x

Mx ) }

Ésta NO es la respuesta correcta. Lo sería si el dominio de discurso fuera de tres individuos, pero el dominio es irrestricto (infinito).

OPCIÓN DE RESPUESTA B)

JUSTIFICACIÓN:

{ ( ∀x Mx → ∃x Sx ),

¬ ∃x ¬ Rx, Ma → Ra }

Ésta NO es la respuesta correcta. La segunda premisa equivale a decir que Todos en el dominio tienen la propiedad R: ∀x Rx. Esto es irrelevante para la tercer premisa del conjunto pues una

instancia se encuentra en el consecuente del condicional y nada nuevo agrega o puede obtenerse derivando. Si aplicamos Ley De Morgan a la segunda premisa explícita, obtenemos ¬ ∀x Rx v ¬ ∃x Sx. Con Doble Negación a la primer fórmula que hemos derivado podemos aplicar un Silogismo Disyuntivo y

quedarnos con ¬ ∃x Sx. Al llegar a este punto podemos aplicar un MTT a la primer premisa del

conjunto y obtener negado el antecedente: ¬ ∀x Mx que tampoco nos conduce a la conclusión.

OPCIÓN DE RESPUESTA C)

JUSTIFICACIÓN:

{ ∃x Sx, ∀x Rx Mb, ∀x Px }

Ésta NO es la respuesta correcta. Si aplicamos Ley De Morgan a la segunda premisa explícita,

obtenemos ¬ ∀x Rx v ¬ ∃x Sx. Con Doble Negación a la primer fórmula del conjunto podemos aplicar un Silogismo Disyuntivo y quedarnos con ¬ ∀x Rx. El bicondicional de la segunda premisa del

conjunto (∀x Rx Mb) puede desglosarse en dos condicionales en conjunción:(∀x Rx → Mb) & (Mb→∀xRx).Simplificando el segundo conyunto, puede aplicársele MTT junto con la última fórmula

obtenida del párrafo anterior y derivar ¬ Mb. Si quisiéramos generalizar existencialmente esta fórmula, llegaríamos a ∃x ¬Mx, pero nunca a ∃x Mx.

OPCIÓN DE RESPUESTA D)

JUSTIFICACIÓN:

{ (∃x ¬ Rx v ∀x ¬ Sx ),

( Pa & ∀x ¬ Sx ) →∃x

Mx}

Ésta NO es la respuesta correcta. La primer premisa del conjunto no es sino una equivalencia de la segunda premisa explícita, resultado de aplicar Ley De Morgan ¬ ∀x Rx v ¬ ∃x Sx y equivalencia

entre cuantificadores en su versión sencilla; así que no agrega nueva información y ella es insuficiente para derivar algo hacia la conclusión. La segunda premisa del conjunto promete llegar a la conclusión con sólo tener una conjunción entre dos cosas que parecen estar a la mano: Pa que sí tenemos entre las premisas explícitas y ∀x¬Sx que aunque se encuentra en la fórmula de la primer

premisa del conjunto, ahí aparece como un disyunto que jamás se obtendrá categóricamente pues no tenemos la información para decir que todos tienen la propiedad R para de ese modo extraerle mediante un Silogismo Disyuntivo. Decir que ∀x Rx equivaldría a decir que ¬∃x ¬Rx lo que

constituiría la negación del otro disyunto en que la fórmula faltante permanece atrapada.


25

OPCIÓN DE RESPUESTA E)

JUSTIFICACIÓN:

{Sb, ∀x Rx ¬ ∃x Tx,

Mc¬ (¬Pa v ¬∃z Tz)}

Ésta SÍ es la respuresta correcta. La segunda premisa explícita es equivalente por Ley De Morgan a: ¬ ∀x Rx v ¬ ∃x Sx . Con la primer premisa del conjunto: Sb, generalizamos existencialmente y

obtenemos ∃x Sx que con Doble Negación permite aplicar un Silogismo Disyuntivo a la equivalencia

antes obtenida de la segunda premisa explícita, resultando en ¬ ∀x Rx. Al tratarse de la negación

categórica del lado izquierdo de la equivalencia material de la segunda premisa del conjunto, podemos obtener el tro lado de dicha equivalencia, pero negada a su vez: ∃x Tx, por Doble Negación.

Por su parte, la tercera premisa del conjunto tiene en el lado derecho del bicondicional una fórmula que por Ley De Morgan equivale a: Pa & ∃z Tz. Este trozo de la premisa se puede obtener haciendo

una conjunción entre la primera premisa explícita y la última fórmula del párrafo anterior. Toda vez que las variables “x” son equivalentes a las “z”. Con la conjunción categórica, puede obtenerse Mc

por MPP aplicado al bicondicional de derecha a izquierda (o a uno de sus condicionales equivalentes). Por último, la Generalización Existencial de ésta fórmula nos arroja ∃x Mx, que es la

conclusión que queríamos.


PREGUNTA:

El historiador Octavio Krouza describe así la situación en la Nueva España: Todos los blancos (españoles

peninsulares y criollos) eran explotadores y dueños de medios de producción. No había ningún blanco pobre que

trabajara como sirviente, capataz o arriero. A su vez, todos los indios eran pobres. Y todos los indios trabajaban

como peones o comuneros. Ningún indio o negro era rico. Además existían indios y negros que no eran

discriminados de manera racista por los blancos. Pero el historiador Kike Some, dice que todas y cada una de las

afirmaciones de Krouza son falsas. Y sabemos que Some siempre dice la verdad.

De las siguientes opciones ¿Cuál sí se sigue de todo lo anterior?

Preámbulo de la Justificación Dado que se ha dicho que todas las cosas afirmadas por el primer historiador son falsas, hay que convertir éstas

aseveraciones en sus negaciones para saber qué se sigue de ellas. Una vez hechas las conversiones tenemos la

siguiente información:

1) Existían blancos (españoles, peninsulares o criollos) que no eran explotadores o no eran dueños de medios

de producción.

2) Algunos blancos eran pobres y trabajaban como sirvientes, capataces o arrieros.

3) Algunos indios no eran pobres.

4) Algunos indios no trabajaban como peones ni como comuneros.

5) Algunos indios o negros eran ricos

6) Todos los indios y negros eran discriminados de manera racista por los blancos

OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Ningún indio rico era discriminado de

manera racista por los blancos pobres.

Esta opción no es la correcta. Porque se ha dicho que todos los indios

eran discriminados de manera racista por los blancos, sin importar si

eran ricos o no.


Algunos blancos pobres eran

discriminados de manera racista por

algunos indios ricos

Esta opción no es la respuesta correcta. Porque si bien se ha

mencionado que los indios eran discriminados por los blancos. No se

ha dicho que los blancos fueran discriminados por los indios. Falta

información que permita llegar a ésta conclusión.


Algunos indios ricos no eran

discriminados de manera racista por los

blancos.

Esta opción no es la respuesta correcta. Porque se ha dicho que todos

los indios eran discriminados de manera racista por los blancos, sin

importar si eran ricos o no.


Algunos indios ricos eran discriminados

de manera racista por blancos pobres.

Ésta opción es la respuesta correcta.


Todos los indios ricos discriminaban de

manera racista a los blancos pobres.

Porque no hay información que permita saber si los indios

discriminaban de manera racista o no a los blancos.


26

LICENCIATURA: 27.

PREGUNTA:

27. ¿Qué se sigue de las siguientes premisas?: Ningún festival de música es excluyente. Todo festival de música es

heterogéneo. Hay un festival de música que es cosmopolita. Preámbulo de la Justificación

1)∀x(Fx ¬Ex) Premisa

2)∀x(Fx Hx)Premisa

3)x(Fx Ix) Premisa

4)Fa ¬ Ia Supuesto de instanciación existencial 3

5) Fa Simplificación 4

6) Fa ¬Ea Instanciación universal 1

7) Fa Ha Instanciación universal 2

8) ¬Ea Ponendo ponens 5, 6

9) Ha Ponendo ponens 5,7

10) Ha ¬Ea Conjunción 8,9

11) x(Hx¬ Ex) Generalización existencial 10.

12) x(Hx ¬Ex) Instanciación existencial 11.

OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Algo heterogéneo no es excluyente. Esta es la respuesta. La prueba está en el preámbulo de la justificación.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Algo excluyente no es heterogéneo. No se sigue. Las premisas no permiten determinar que hay algo que es excluyente.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Nada heterogéneo es excluyente. No se sigue. Las premisas no permiten determinar la relación entre lo heterogéneo y lo excluyente.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Algo cosmopolita es excluyente. No se sigue. Las premisas no permiten determinar que hay algo que es excluyente.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Algo excluyente no es cosmopolita. No se sigue. Las premisas no permiten determinar que hay algo que no es cosmopolita.

LICENCIATURA: 30.

PREGUNTA:

Los siguientes símbolos representan las operaciones lógicas conjunción, disyunción y negación

respectivamente.

Una bifurcación después de un punto grande indica que en las líneas subsecuentes debe leerse la misma proposición que se encuentra antes de dicho punto, esto es: Considerando el siguiente diagrama:

¿Cuál expresión lógica es equivalente a la expresión que se obtiene del diagrama?


27

Preámbulo de la Justificación Las expresiones lógicas pueden ser representadas a través de circuitos electrónicos digitales como son las

compuertas lógicas. Las compuertas responden a voltajes aplicados en sus entradas. Para un valor de 0 lógico se

emplea un rango de 0.2V-0.8V, mientras que para el 1 lógico el rango va de 2.4V-5V. Las entradas representan las

proposiciones primitivas en un sistema de lógica a través del cual se puede formar una tabla de verdad para analizar

proposiciones compuestas. OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: (PQRS) Respuesta Incorrecta. No es lógicamente equivalente a la expresión generada por el

diagrama de acuerdo a la demostración presentada en la justificación de la respuesta B.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: R&(PQS)

Respuesta Correcta. Empleando las Leyes de Lógica podemos obtener una expresión

lógicamente equivalente y simplificada a partir de la expresión generada por el diagrama.

((pq)&r)(r(q&s))

(p&q&r)(r&(q&s))

(p&q&r)(r&(qs))

(p&q&r)(r&(qs))

(p&q&r)(r&q)(r&s)

(r &((p&q)q))(r&s)

(r &(pq)(r&s)

r &(pqs)

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: P&Q&R&S

Respuesta Incorrecta. No es lógicamente equivalente a la expresión generada por el diagrama de acuerdo a la demostración presentada en la justificación de la respuesta B.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: PQRS

Respuesta Incorrecta. No es lógicamente equivalente a la expresión generada por el diagrama de acuerdo a la demostración presentada en la justificación de la respuesta B.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: (P&Q&R&S) Respuesta Incorrecta. No es lógicamente equivalente a la expresión generada por el

diagrama de acuerdo a la demostración presentada en la justificación de la respuesta B.

MASTERS: 1.

PREGUNTA:

¿Cuál de las siguientes opciones no se sigue del siguiente conjunto de premisas?

{P Q, (R P) P, (R ~P) ~R}


De (RP)P y (R~P)~R se sigue que P, como también tenemos que PQ, entonces también se sigue que Q.

Para mostrar que una fórmula no se sigue hay que dar una asignación de valores de verdad que hagan verdaderas a

las fórmulas del conjunto y falsa a la opción que se está evaluando.

OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: ~(P~Q) Incorrecta, es equivalente a PQ, por lo que sí se sigue. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN:

R P Incorrecta, se sigue de (R~P)~R


(Q R) R Incorrecta, se sigue de Q.


(R P) R Incorrecta, se sigue de P.


(Q P) ~Q Correcta, no se sigue. v(P)=V, v(Q)=V, v(R)=V.


28

MASTERS: 3.

PREGUNTA:

Sea la constante falsedad, es decir, siempre tiene el valor de verdad falso. ¿Cuál de las siguientes fórmulas no

es equivalente a P Q? OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

(P)Q Incorrecta, sí es equivalente.


((P)~Q) Incorrecta, sí es equivalente.


(Q)(P(P(Q))) Incorrecta, sí es equivalente.


(PQ)Q Incorrecta, sí es equivalente.


((PQ)Q)(((Q)P)) Correcta, no es equivalente.

MASTERS: 6.

PREGUNTA:

Suponiendo que una y sólo una de las siguientes fórmulas es verdadera, ¿cuál es?


xyz((z=x z=y) Pz)) Incorrecto, pues dice que hay o una o dos personas

exactamente que cumplen con P. Si es verdadera, entonces

o es verdadera B o son verdaderas E y D. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN:

xy(Py x=y)) Incorrecto, dice que hay exactamente uno. Si es verdadera,

también lo es A. OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN:

xyz((~x=y (~x=z ~y=z))(Px(Py Pz))) Correcta, pues dice que hay por lo menos 3 cosas que

cumplen con P. Si es verdadera, todas las demás son falsas. OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN:

xy(~x=y z((z=x z=y) Pz))) Incorrecta, pues dice que hay exactamente 2 objetos que

cumplen P y es equivalente a E. OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN:

xy((~x=y (Px Py)) z((z=x z=y) Pz)) Incorrecta, pues es equivalente a D.

MASTERS: 12.

PREGUNTA:

Un periodista llegó al islote de coral. Los habitantes de este islote siempre alternan una verdad y una mentira, una

verdad y una mentira, etc., y se dividen en tres grupos: los Corales que siempre inician con una verdad; los

Rosados que siempre inician con una mentira y los Salmones cuya primera respuesta puede ser una verdad o una

mentira. Un turista encontró a tres habitantes de la isla sentados alrededor de una mesa circular. Y le preguntó a

cada uno las mismas tres preguntas: ¿Cómo te llamas? ¿Cómo se llama el de la izquierda? ¿A qué grupo pertenece

el de la izquierda? Los nativos contestaron así:

Nativo A: 1) Marcos 2) Hindra 3) Rosado

Nativo B: 1) Hindra 2) Fantomas 3) Coral

Nativo C: 1) Marcos 2) Hindra 3) Rosado

¿A qué grupo pertenecía cada aborigen y, si lo hay, con qué inició sus respuestas el salmón (verdad o mentira)?


29


A es coral, B es rosado, C es

salmón e inició con una verdad

Esta opción no es la correcta. Porque si A es Coral es rosado pero si C es

salmón e inicia con una verdad C se llama Marcos, pero B había dicho que se

llama Fantomas. Como B es rosado, inició con una mentira, de modo que al

decir el nombre de C debió responder con una verdad OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN:

A es rosado, B salmón e inició

con una mentira, C es coral Esta opción no es correcta. Si B es salmón e inicia con una mentira no se

llama Hindra. Pero A dijo que Bse llama Hindra y como se dice que es rosado,

esto debe ser verdad, pues fue su segunda respuesta. OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN:

A es salmón e inició con una

verdad, B es rosado, C es Coral Esta opción no es correcta porque si C es coral inicia con una mentira su

segunda respuesta es una verdad A se llama Hindra. Pero Como A es salmón

e inició con una verdad A se llama Marcos OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN:

A es salmón e inició con una

mentira, B es rosado y C es

Coral

Esta opción no es correcta porque si A es salmón e inicia con una mentira su

tercera respuesta es una mentira también B no es rosado y aquí se dice que sí

lo es OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: A es rosado, B es salmón e

inicia con una verdad, C es

coral.

Esta opción sí es la respuesta correcta. No lleva a ninguna contradicción. Como

A es rosado B se llama Hindra y B no es rosado. Lo cual cuadra porque B

aquí es salmón. Como B es Salmón e inicia con una verdad B se llama

Hindra, C no se llama Fantomas y C es coral. Y como C es coral su primera

respuesta es una verdad se llama Marcos, A no se llama Hindra y A es rosado.

No sabemos el nombre de A, pero esto no importa.

MASTERS: 17.

PREGUNTA:

Supongamos que tenemos un conjunto de fórmulas Γ y una fórmula α, tales que Γ {α} es consistente y Γ {~α}

es consistente. ¿Cuál de las siguientes opciones es falsa? Preámbulo de la Justificación

Se sigue de la información que ni ni ~ se sigue de . Además, es consistente.


Existe un conjunto de fórmulas tal que y

es inconsistente.

Incorrecta, es verdadera. Considérese el caso en el que se agrega

a una contradicción.


Existe un conjunto de fórmulas tal que y

es consistente.

Incorrecta es verdadera Considérese el caso en el que se agrega a

la fórmula .


╞ Incorrecta, ver el preámbulo.


El conjunto de fórmulas es consistente. Incorrecta, ver el preámbulo.


╞~ Correcta, es falsa. Ver el preámbulo.


30

MASTERS: 18.

PREGUNTA:

Suponga que los siguientes enunciados vienen en un libro de floricultura: Algunas flores son rojas. Todas las flores

son hermosas. Todo lo impresionante es rojo. Todas las rosas son rojas. Todas las rosas son flores. Algunas cosas

armoniosas son azules. Ninguna cosa impresionante es armoniosa. Algunas violetas son preciosas. Todas las

violetas son armoniosas. Ninguna cosa roja es azul. Hay cinco floristas que quieren presumir sus conocimientos y

para ello cada uno afirma tres cosas. ¿Cuál de ellos dice algo que o bien es falso o no es posible saber que se cumple

a partir de lo que dice el libro de floricultura? OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN:

Gerardo: Ninguna cosa armoniosa es

impresionante. Algunas violetas no son

impresionantes. Algunas cosas rojas son

flores.

Estas afirmaciones se siguen del libro. El primer enunciado se deriva de

Ninguna cosa impresionante es armoniosa. Las violetas que no son

impresionantes se deriva de Algunas violetas son preciosas, Todas las

violetas son armoniosas y Ninguna cosa impresionante es armoniosa. El

último enunciado se deriva de Algunas flores son rojas.


Mariel: Alguna cosa armoniosa no es

impresionante. Algunas violetas son

armoniosas. Todas las cosas

impresionantes son rojas.


Ninguna cosa impresionante es armoniosa y de Algunas cosas armoniosas

son azules. Algunas violetas son armoniosas se deriva de Todas las violetas

son armoniosas y Algunas violetas son preciosas. El último enunciado es

equivalente a Todo lo impresionante es rojo.


Andrea: Alguna cosa impresionante es

una rosa. Ninguna rosa es armoniosa.

Alguna violeta es impresionante.

Andrea se equivoca al decir que Alguna violeta es impresionante. Esto es

falso. Puesto que todas las violetas son armoniosas y nada impresionante

es armonioso, sabemos que ninguna violeta es impresionante, por tanto su

negación, el enunciado alguna violeta es impresionante es falso.


Miguel: Ninguna cosa impresionante es

azul. Algunas cosas azules son

armoniosas. No es el caso que alguna

violeta no sea armoniosa.


Todo lo impresionante es rojo y de Ninguna cosa roja es azul. El segundo

enunciado se deriva de Algunas cosas armoniosas son azules. Y el último

enunciado es equivalente a Todas las violetas son armoniosas.


Karen: Ninguna cosa azul es roja.

Algunas cosas rojas son hermosas.

Ninguna rosa es no-flor.

El primer enunciado se deriva de Ninguna cosa roja es azul. El segundo se

deriva de Algunas flores son rojas y Todas las flores son hermosas. El

último enunciado se deriva de Todas las rosas son flores.

MASTERS: 19.

PREGUNTA:

¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? Nadie es más listo que Pedro, con la posible excepción de José. Dominio de discurso: Los seres humanos. Diccionario: a: Pedro, b: José, Lxy: x es más listo que y.

Preámbulo de la Justificación La formula debe ser un condicional cuantificado universalmente. El antecedente debe seleccionar a todos menos a

José. El consecuente debe decir que los objetos seleccionados no son más listos que Pedro.


x(~x=b L(x,a)) Correcta.


31


x(~x=b L(x,a)) L(b,a) Incorrecta, pues la oración original no dice que pasa con José y esta

fórmula sí lo dice.


x(~L(x,a) x=b) Incorrecta, pues dice que José es más listo que Pedro.


x(x=b L(x,a)) L(b,a) Incorrecta, pues dice que José es más listo que Pedro.


x(L(x,a) x=b) Incorrecta, pues dice que José no es más listo que Pedro.

MASTERS: 20.

PREGUNTA:

Supongamos que tenemos dos conjuntos de fórmulas, Γ y Δ, y una fórmula α, tales que Γ╞ α y Δ╞ ~α. ¿Cuál de las

siguientes opciones no puede ser verdadera? Preámbulo de la Justificación

es inconsistente.


╞~ Incorrecta, pues ser el caso si es inconsistente.


Si , entonces es inconsistente. Incorrecta, es el caso pues en este caso = que es inconsistente.


El conjunto de fórmulas {~} es consistente.

Incorrecta, es el caso si ~.


El conjunto de fórmulas {~} es consistente.

Correcta, pues no puede ser caso, dado que ╞.


Si , entonces es inconsistente. Incorrecta, pues ser el caso si es inconsistente.

MASTERS: 23.

PREGUNTA:


bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. Un visitante se encontró con tres

nativos, Cirilo, César y Carlos. El visitante sabía que por lo menos uno de ellos era bribón. Se dio el siguiente

diálogo. Cirilo: Nunca he dicho que “Si soy un caballero, entonces César es un caballero.” César: Carlos nunca ha dicho “Si soy un caballero, entonces César es un bribón”. Carlos: Cirilo ha dicho “Carlos es caballero si y sólo si César es caballero.” ¿De qué tipo de persona se trata en cada caso? Preámbulo de la Justificación Cirilo es un caballero, pues si miente, entonces si ha dicho Si soy un caballero, entonces César es un caballero, pero

entonces sería un caballero que miente y eso es imposible. Si lo que dice César es falso, entonces Carlos ha dicho Si

soy un caballero, entonces César es un bribón. En consecuencia, Carlos sería un caballero y César un Bribón: Pero

si lo que dice César es cierto, entonces Carlos en bribón, pues hay por lo menos un bribón. De esto se sigue que

Carlos y César son de tipos diferente y la oración Carlos es caballero sii César es caballero es falsa. Por lo tanto,

Carlos miente cuando dice que que Cirilo ha dicho Carlos es caballero sii César es caballero. Por lo tanto, Carlos es

un bribón y César un caballero. Así, Cirilo es caballero, César es caballero y Carlos es un bribón.


32

OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Cirilo: Caballero, César: Bribón, Carlos: Caballero. Incorrecto, ver preámbulo. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Cirilo: Caballero, César: Caballero, Carlos: Bribón. Correcto, ver preámbulo. OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Cirilo: Bribón, César: Bribón, Carlos: Caballero. Incorrecto, ver preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Cirilo: Caballero, César: Bribón, Carlos: Bribón. Incorrecto, ver preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Cirilo: Bribón, César: Caballero, Carlos: Bribón. Incorrecto, ver preámbulo.

MASTERS: 28.

PREGUNTA:

24. ¿Cuál de las siguientes fórmulas no es lógicamente equivalente a la fórmula (~PQ) & ((P~Q)R)? Preámbulo de la Justificación Por la estructura de la fórmula anterior observamos que su tabla de verdad es de la forma:

P Q R (PQ)(PQR)?

V V V V

V V F V

V F V F

V F F F

F V V V

F V F F

F F V V

F F F V

JUSTIFICACIÓN: (PQ)(PR)(PQ)(QR)

(PQR)(PQR)

Respuesta incorrecta. Esta fórmula sí es equivalente. Se puede probar dividiendo la

tabla de la opción a) para que sea más manejable. Si hacemos solo las asignaciones que dan como resultado falso (renglones 3,4 y 6 de la tabla anterior); como todas involucran algún valor de falso y alguno de verdadero, siempre da como resultado dentro de las conjunciones algún falso, las conjunciones son falsas, y la disyunción de las conjunciones también. Por otro lado, con respecto a los renglones que dan como resultado verdadero: a) En el renglón 1, como todas las asignaciones son verdaderas, y en todas las disyunciones hay alguna conjunción sin negaciones, alguna conjunción da verdadero, y la disyunción también; por lo tanto, el resultado de ese renglón de la tabla da verdadero. b) En el renglón 2, P y Q son verdaderas y R falsa. Esta combinación también dará verdadero; pues en todos los casos, alguna conjunción da verdadero. c) En el renglón 5, P es falsa; y Q y R son verdaderas. En consecuencia, la fórmula

PR es verdadera, lo que hace verdadero el primer lado de la disyunción, y con eso basta para que el resultado sea verdadero.

d) En el renglón 7, P y Q son falsas; y R es verdadera. Con lo cual, PQ es verdadera, y con eso basta para que toda la fórmula sea verdadera.

e) En el renglón 8, todas las asignaciones son falsas, así que la fórmula (PQR) es verdadera, y con eso basta para que toda la fórmula sea verdadera.

OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: (PQ)(PR)(PQR)

Respuesta incorrecta. Una simplificación de la Forma Normal Disyuntiva

correspondiente a la tabla de E, nos muestra que sí es lógicamente equivalente.


33

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: (PQ)(PR)(PQ)(QR)

Respuesta incorrecta. Si analizamos las tablas de cada una de las disyunciones

anteriores, observamos que

P Q R (PQ) (PR)

(PQ)

(QR)

V V V V F F V

V V F V F F F

V F V F F F F

V F F F F F F

F V V F V F V

F V F F F F F

F F V F V V F

F F F F F V F

Si unimos los resultados de esta tabla en disyunción, vemos que el resultado corresponde con la tabla de E y por tanto es lógicamente equivalente.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: (PQR)(PQR)(PQR)

Respuesta incorrecta. La fórmula corresponde a la Forma Normal Conjuntiva

correspondiente a la tabla de la fórmula E. De ahí que sí es lógicamente equivalente.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: (PQ)(PR)(RQ)

Respuesta correcta. Basta observar por separado cada disyunción cuando P, Q y R

sean todas F (falsas), es claro que (PQ)(PR)(RQ) es F(falsa), mientras que E es V (verdadera).

MASTERS: 29.

PREGUNTA:

29. Supongamos que estamos en la isla de los caballeros y de los bribones. En esta isla todos son o caballeros o

bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. Un visitante se encontró con 2

nativos de los que no sabía nada, excepto sus nombres Sebastián y Sergio. El visitante quería saber si había o no

una función de cine a las 4. Se dio el siguiente diálogo. Sebastián: Si Sergio es un caballero, hay una función de cine a las 4. Sergio: Si Sebastián es un caballero, hay una función de cine a las 4. El visitante lo pensó bien y se dio cuenta que todavía no podía saber si había o no función de cine a las 4. Entonces

los nativos hablaron de nuevo. Sebastián: Si por lo menos uno de los dos es un bribón, entonces hay una función de cine a las 4. Sergio: Eso es falso. ¿De qué tipo de persona se trata en cada caso? ¿Hay o no una función de cine a las 4? Preámbulo de la Justificación

Usando la técnica antes descrita, lo dicho por los natives se puede formalizar como: K1(K2F),

K2(K1F), K1((~K1~K2)F), K2~((~K1~K2)F), donde K1: Sebastián es caballero, K2:

Sergio es Caballero y F: Hay una función de cine a las 4. Ese conjunto de fórmulas tiene como consecuencia que ~K1, K2 y ~F. Por lo tanto, Sebastián es un bribón, Sergio es un caballero y No hay una función de cine a las 4.

OPCIÓN DE RESPUESTA A) JUSTIFICACIÓN: Sebastián es un caballero, Sergio es un bribón y sí hay función de cine a las 4. Incorrecto, ver preámbulo. OPCIÓN DE RESPUESTA B) JUSTIFICACIÓN: Sebastián es un caballero, Sergio es un bribón y sí hay función de cine a las 4. Incorrecto, ver preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA C) JUSTIFICACIÓN: Sebastián es un bribón, Sergio es un bribón y no hay función de cine a las 4. Incorrecto, ver preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA D) JUSTIFICACIÓN: Sebastián es un bribón, Sergio es un caballero y sí hay función de cine a las 4. Incorrecto, ver preámbulo.

OPCIÓN DE RESPUESTA E) JUSTIFICACIÓN: Sebastián es un bribón, Sergio es un caballero y no hay función de cine a las 4. Correcto, ver preámbulo.


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MASTERS: 30.

PREGUNTA:

30. Al diagramar circuitos digitales, los siguientes símbolos representan respectivamente las operaciones lógicas

NOT, ~A; OR, (AvB); AND, (A&B); y NAND, ~(A&B), que se expresa también de manera abreviada como

(A|B):

Para construir los circuitos se interconectan chips que implementan electrónicamente estas operaciones o

compuertas lógicas. Por lo regular cada chip contiene varias compuertas lógicas, pero todas son de un mismo tipo.

Así pues, usando chips que sólo tienen compuertas NAND, se requiere construir un circuito lógicamente

equivalente al representado en el diagrama inferior. ¿Qué expresión representaría tal implementación con la menor

cantidad posible de compuertas NAND? Considera que cuando en una expresión aparecen varias veces los mismos

operandos vinculados por el mismo operador, en un circuito se requiere solamente de una compuerta para ejecutar

dicha operación.

Preámbulo de la Justificación El meollo del problema reside en que todo operador veritativo-funcional proposicional clásico pueda ser expresado en términos de la barra de Scheffer A|B = ~(A&B), esto es, la compuerta lógica NAND. Las equivalencias relevantes para el problema son: ~A = A|A A&B = (A|B)|(A|B) AvB = (A|A)|(B|B) Para solucionar el problema se pueden hacer transformaciones sintácticas a la expresión booleana correspondiente al circuito, (~A&B)v(A&~B), aplicando dobles negaciones, leyes de DeMorgan y la equivalencia negación simple-scheffer. También se pueden evaluar las respuestas rápidamente usando tablas de verdad. La operación lógica representada por el circuito se conoce como disyunción exclusiva o compuerta XOR. Obtener la equivalencia es fácil pero se requiere agudeza para percatarse que una de las expresiones requiere menos compuertas para ser implementada debido a que en ella se repite una operación.


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((A|A)|(B|B))|(A|B)

Esta opción NO es equivalente. Cuando intentamos obtener una expresión similar a la orginal, con una disyunción de dos conjunciones, sólo se llega a algo como esto; aquí las negaciones están distribuidas de otra manera:

1. ((A|A)|(B|B))|(A|B) 2. (~A|~B)|(A|B) cambio negaciones simples 3. ~(~A|~B)&(A|B) cambio notación 4. ~(AvB)&(~Av~B) deMorgan 5. (~A&~B)&~(A&B) deMorgan 6. ~(~(~A&~B)v(A&B)) doble neg y deMorgan


((A|A)|B)|(A|(B|B))

Esta opción es equivalente pero requiere físicamente 5 compuertas NAND

1. (~A&B)v(A&~B) expresión original 2. ~((Av~B)&(~AvB)) doble neg y deMorgan 3. ~(~(~A&B)&~(A&~B)) doble neg y deMorgan 4. ~(~(~(A&A)&B)&~(A&~(B&B))) equivalencia de negaciones internas

con scheffer 5. ((A|A)|B)|(A|(B|B)) simplificación notación


((A|B)|A) | ((A|B)|B)

Esta opción es la CORRECTA. Es equivalente y requiere físicamente 4 compuertas NAND; pues aunque en la expresión la barra de Scheffer aparece 5 veces, se repite 2 veces la expresión (A|B); por lo cual se puede ahorrar una compuerta al hacer la implementación física:


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((A|B)|(A|B))|((A|B)|(A|B))

Esta opción NO es equivalente. Tenemos aquí la conjunción negada de dos conjunciones negadas. ~(~(A&B) & ~(A&B)) Si aplicamos de Morgan y doble negación para intentar obtener el circuito original, obtenemos:

((A&B) v (A&B))


((A|B)|(A|B))|((B|B)|(A|A)) Esta opción NO es equivalente. Tenemos aquí la conjunción negada de una conjunción y una disyuncion. ~((A&B) & (BvA)) Si aplicamos de Morgan y doble negación para intentar obtener el circuito original, obtenemos:

~(A&B) v ~(BvA) Aplicando leyes de Morgan por segunda vez: (~Av~B)v(~B&~A)

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