ESTIMACIN I

2oB

Convocatoria de Septiembre 6-9-13

1.- Comprueba que para cualquier distribucin terica con varianza 2 nita setiene que E[S2] = 2 , siendo S2 la cuasivarianza muestral (con m.a.s.).

2.- Consideremos una m.a.s. de una distribucin terica (p; a). Determina elestimador de = (p; a) por el mtodo de los momentos.

3.- SeaX1; : : : ; Xn una m.a.s. de una distribucin terica con funcin de densidad

f(x) =

x2e=x si x > 0 ,

siendo > 0.a) Determina el estimador mv (de mxima verosimilitud) de y de la funcin

del parmetro g() = 1=.b) Determina el estadstico suciente minimal.

4.- Sea X1; : : : ; Xn una m.a.s. de una Exp (). Calcula la esperanza y la varianzade T = nX(1). Para llo, hay que empezar obteniendo la funcin de distribucin T ,que resulta ser la de una distribucin conocida, con momentos conocidos (se empiezacon: GT (x) = P fT xg = P

X(1) x=n

= ). A partir de lla, la funcin de

densidad, y los momentos se obtienen integrando. Determina un estimador centradopara g() = 1

y obtn su error cuadrtico medio.

Recurdese que la funcin distribucin del mnimo es G (x) = PX(1) x

=

1 [1 F(x)]n .

5.- Obtn el estimador de mxima verosimilitud para el cuarto decl, d, de unadistribucin terica normal (P fN (; ) dg = 004).

6.- Se est estudiando la efectividad de un tratamiento para reducir el nivel decolesterol. En la tabla adjunta se presenta el nivel de colesterol antes y despus deltratamiento para una m.a.s. de 4 pacientes. Supn normalidad. Se puede concluirde estos datos la ecacia del tratamiento en la reduccin del nivel de colesterol? Parallo, determina una cota de conanza adecuada. Con = 0005 y p-valor.

Antes 606 605 506 602Despus 600 504 508 506

1

7.- Un empresa tiene dos fbricas, A y B, donde se produce cierto tipo de ejemetlico y se desea estudiar la resistencia a la torsin de los ejes. Se tomaron sendasmuestras de tamaos 5 y 3 respectivamente, y se obtuvo el valor de cierto ndice deresistencia con los siguientes resultados.En la fbrica A: 87, 71 , 97 , 84 , 83.En la fbrica B: 82 , 74 , 95.Se supone que en cada fbrica la distribucin del ndice es normal.

a) Obtn un intervalo de conanza al 90% para el cociente de varianzas21=

22.b) Suponemos que las varianzas son iguales. Obtn un intervalo de conanza

al 99% para la diferencia de medias 1 2. Qu se puede decir acerca de si 1 y2 son iguales o no a partir de este intervalo?

x z=2

rx

n

! (1 2)1=n x(n); 1=n1 x(n)

E

d2

d2log f(X)

N

;

1pn i ()

! 1

2n;=2

nXi=1

(xi )2; 12n;1=2

nXi=1

(xi )2!

x y z=2

rx (1 x)

n+y (1 y)m

! x z=2

rx (1 x)

n

!x z=2 p

n

S21=S

22

Fn1;m1;=2;

S21=S22

Fn1;m1;1=2

c ()h (x) exp fq ()V (x)g

x Sp

ntn1;=2

(n 1)S22n1;=2

;(n 1)S22n1;1=2

! x y z=2

r21n+22m

!

ns2

2

((; ) : jx j < p

nz=2 ,

s(n 1)S22n1;=2