1

Exact periode 42

Tweedegraads vergelijkingen Destilleren t-test boxplot

2

xact periode 42

4 Op zoek naar de onbekende

41 Wat wiskundigen willenhellip

In veel problemen bij chemie of natuurkunde gaat het om het berekenen van een onbekende waarde Er is een formule waarin alle waarden zijn

gegeven behalve eacuteeacuten de onbekende

voorbeeld

V

mm 12

m1 = 300 kg

=998 kgm-3

V = 0001 m3

m2= onbekend

In de wiskunde houdt men ervan om de onbekende x te noemen Dat maakt het oefenen met formules makkelijker

0010

3998

x

3

42 Eerstegraads-formules

Eerstegraads-formules zijn formules waarin x alleen voorkomt als x1 en niet x2 of x3 of x

Je lost ze op door alle termen waar x in voorkomt naar links van het =teken te brengen

en alle getallen naar rechts (weegschaalmethode)

voorbeeld Los x op uit 3x-4 = x+8

3x-4 = x+8 3x- x = 8+4 2 x = 12 x = 6

controle x = 6 invullen in de opgave 14 = 14 klopt

4

Oefenen

42

Los x op uit

223

8

315

7

)1(2)42(36

52)1(35

31524

61233

22622

1831

x

x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

5

43 Tweedegraads-formules

Tweedegraads-formules zijn formules waarin x voorkomt als x2

en vaak ook nog als x1

voorbeeld

x2 ndash3 = 2x +1

Een extra moeilijkheid is dat er soms geen oplossing is

In veel gevallen zijn er twee oplossingen en soms maar eacuteeacuten

6

431 Eerst simpel

We beginnen met de meest simpele vorm x2 = getal De twee oplossingen zijn

getal en - getal ( wortel)

voorbeelden

x2 = 16 x = 16 = 4 en

x = - 16 = -4

x2 = 7 x = 265 en

x = -265

4 x2= x2 + 2

4 x2- x2 = 2

3 x2= 2

x2 = 067 x = 082 en

x = - 082

Als het getal in x2 = getal negatief is zal er geen oplossing zijn omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan

Er is eacuteeacuten oplossing als het getal nul is x2 = 0 x = 0

7

Oefenen

431

06

255

4134

23

252

11

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

8

432 Iets moeilijker

x2 + cx= 0

Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeeumln

Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe

Factorenregel

Als het product van twee factoren nul is dan is eacuteeacuten van de factoren nul (of allebei)

voorbeeld

(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn

x = 3 en

x = -1

In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken

x2 ndash 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)

x = 0 en

(x-5) = 0 x = 5

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

2

xact periode 42

4 Op zoek naar de onbekende

41 Wat wiskundigen willenhellip

In veel problemen bij chemie of natuurkunde gaat het om het berekenen van een onbekende waarde Er is een formule waarin alle waarden zijn

gegeven behalve eacuteeacuten de onbekende

voorbeeld

V

mm 12

m1 = 300 kg

=998 kgm-3

V = 0001 m3

m2= onbekend

In de wiskunde houdt men ervan om de onbekende x te noemen Dat maakt het oefenen met formules makkelijker

0010

3998

x

3

42 Eerstegraads-formules

Eerstegraads-formules zijn formules waarin x alleen voorkomt als x1 en niet x2 of x3 of x

Je lost ze op door alle termen waar x in voorkomt naar links van het =teken te brengen

en alle getallen naar rechts (weegschaalmethode)

voorbeeld Los x op uit 3x-4 = x+8

3x-4 = x+8 3x- x = 8+4 2 x = 12 x = 6

controle x = 6 invullen in de opgave 14 = 14 klopt

4

Oefenen

42

Los x op uit

223

8

315

7

)1(2)42(36

52)1(35

31524

61233

22622

1831

x

x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

5

43 Tweedegraads-formules

Tweedegraads-formules zijn formules waarin x voorkomt als x2

en vaak ook nog als x1

voorbeeld

x2 ndash3 = 2x +1

Een extra moeilijkheid is dat er soms geen oplossing is

In veel gevallen zijn er twee oplossingen en soms maar eacuteeacuten

6

431 Eerst simpel

We beginnen met de meest simpele vorm x2 = getal De twee oplossingen zijn

getal en - getal ( wortel)

voorbeelden

x2 = 16 x = 16 = 4 en

x = - 16 = -4

x2 = 7 x = 265 en

x = -265

4 x2= x2 + 2

4 x2- x2 = 2

3 x2= 2

x2 = 067 x = 082 en

x = - 082

Als het getal in x2 = getal negatief is zal er geen oplossing zijn omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan

Er is eacuteeacuten oplossing als het getal nul is x2 = 0 x = 0

7

Oefenen

431

06

255

4134

23

252

11

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

8

432 Iets moeilijker

x2 + cx= 0

Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeeumln

Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe

Factorenregel

Als het product van twee factoren nul is dan is eacuteeacuten van de factoren nul (of allebei)

voorbeeld

(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn

x = 3 en

x = -1

In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken

x2 ndash 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)

x = 0 en

(x-5) = 0 x = 5

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

3

42 Eerstegraads-formules

Eerstegraads-formules zijn formules waarin x alleen voorkomt als x1 en niet x2 of x3 of x

Je lost ze op door alle termen waar x in voorkomt naar links van het =teken te brengen

en alle getallen naar rechts (weegschaalmethode)

voorbeeld Los x op uit 3x-4 = x+8

3x-4 = x+8 3x- x = 8+4 2 x = 12 x = 6

controle x = 6 invullen in de opgave 14 = 14 klopt

4

Oefenen

42

Los x op uit

223

8

315

7

)1(2)42(36

52)1(35

31524

61233

22622

1831

x

x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

5

43 Tweedegraads-formules

Tweedegraads-formules zijn formules waarin x voorkomt als x2

en vaak ook nog als x1

voorbeeld

x2 ndash3 = 2x +1

Een extra moeilijkheid is dat er soms geen oplossing is

In veel gevallen zijn er twee oplossingen en soms maar eacuteeacuten

6

431 Eerst simpel

We beginnen met de meest simpele vorm x2 = getal De twee oplossingen zijn

getal en - getal ( wortel)

voorbeelden

x2 = 16 x = 16 = 4 en

x = - 16 = -4

x2 = 7 x = 265 en

x = -265

4 x2= x2 + 2

4 x2- x2 = 2

3 x2= 2

x2 = 067 x = 082 en

x = - 082

Als het getal in x2 = getal negatief is zal er geen oplossing zijn omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan

Er is eacuteeacuten oplossing als het getal nul is x2 = 0 x = 0

7

Oefenen

431

06

255

4134

23

252

11

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

8

432 Iets moeilijker

x2 + cx= 0

Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeeumln

Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe

Factorenregel

Als het product van twee factoren nul is dan is eacuteeacuten van de factoren nul (of allebei)

voorbeeld

(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn

x = 3 en

x = -1

In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken

x2 ndash 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)

x = 0 en

(x-5) = 0 x = 5

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

4

Oefenen

42

Los x op uit

223

8

315

7

)1(2)42(36

52)1(35

31524

61233

22622

1831

x

x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

5

43 Tweedegraads-formules

Tweedegraads-formules zijn formules waarin x voorkomt als x2

en vaak ook nog als x1

voorbeeld

x2 ndash3 = 2x +1

Een extra moeilijkheid is dat er soms geen oplossing is

In veel gevallen zijn er twee oplossingen en soms maar eacuteeacuten

6

431 Eerst simpel

We beginnen met de meest simpele vorm x2 = getal De twee oplossingen zijn

getal en - getal ( wortel)

voorbeelden

x2 = 16 x = 16 = 4 en

x = - 16 = -4

x2 = 7 x = 265 en

x = -265

4 x2= x2 + 2

4 x2- x2 = 2

3 x2= 2

x2 = 067 x = 082 en

x = - 082

Als het getal in x2 = getal negatief is zal er geen oplossing zijn omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan

Er is eacuteeacuten oplossing als het getal nul is x2 = 0 x = 0

7

Oefenen

431

06

255

4134

23

252

11

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

8

432 Iets moeilijker

x2 + cx= 0

Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeeumln

Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe

Factorenregel

Als het product van twee factoren nul is dan is eacuteeacuten van de factoren nul (of allebei)

voorbeeld

(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn

x = 3 en

x = -1

In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken

x2 ndash 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)

x = 0 en

(x-5) = 0 x = 5

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

5

43 Tweedegraads-formules

Tweedegraads-formules zijn formules waarin x voorkomt als x2

en vaak ook nog als x1

voorbeeld

x2 ndash3 = 2x +1

Een extra moeilijkheid is dat er soms geen oplossing is

In veel gevallen zijn er twee oplossingen en soms maar eacuteeacuten

6

431 Eerst simpel

We beginnen met de meest simpele vorm x2 = getal De twee oplossingen zijn

getal en - getal ( wortel)

voorbeelden

x2 = 16 x = 16 = 4 en

x = - 16 = -4

x2 = 7 x = 265 en

x = -265

4 x2= x2 + 2

4 x2- x2 = 2

3 x2= 2

x2 = 067 x = 082 en

x = - 082

Als het getal in x2 = getal negatief is zal er geen oplossing zijn omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan

Er is eacuteeacuten oplossing als het getal nul is x2 = 0 x = 0

7

Oefenen

431

06

255

4134

23

252

11

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

8

432 Iets moeilijker

x2 + cx= 0

Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeeumln

Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe

Factorenregel

Als het product van twee factoren nul is dan is eacuteeacuten van de factoren nul (of allebei)

voorbeeld

(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn

x = 3 en

x = -1

In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken

x2 ndash 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)

x = 0 en

(x-5) = 0 x = 5

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

6

431 Eerst simpel

We beginnen met de meest simpele vorm x2 = getal De twee oplossingen zijn

getal en - getal ( wortel)

voorbeelden

x2 = 16 x = 16 = 4 en

x = - 16 = -4

x2 = 7 x = 265 en

x = -265

4 x2= x2 + 2

4 x2- x2 = 2

3 x2= 2

x2 = 067 x = 082 en

x = - 082

Als het getal in x2 = getal negatief is zal er geen oplossing zijn omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan

Er is eacuteeacuten oplossing als het getal nul is x2 = 0 x = 0

7

Oefenen

431

06

255

4134

23

252

11

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

8

432 Iets moeilijker

x2 + cx= 0

Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeeumln

Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe

Factorenregel

Als het product van twee factoren nul is dan is eacuteeacuten van de factoren nul (of allebei)

voorbeeld

(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn

x = 3 en

x = -1

In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken

x2 ndash 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)

x = 0 en

(x-5) = 0 x = 5

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

7

Oefenen

431

06

255

4134

23

252

11

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

8

432 Iets moeilijker

x2 + cx= 0

Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeeumln

Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe

Factorenregel

Als het product van twee factoren nul is dan is eacuteeacuten van de factoren nul (of allebei)

voorbeeld

(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn

x = 3 en

x = -1

In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken

x2 ndash 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)

x = 0 en

(x-5) = 0 x = 5

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

8

432 Iets moeilijker

x2 + cx= 0

Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeeumln

Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe

Factorenregel

Als het product van twee factoren nul is dan is eacuteeacuten van de factoren nul (of allebei)

voorbeeld

(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn

x = 3 en

x = -1

In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken

x2 ndash 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)

x = 0 en

(x-5) = 0 x = 5

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

9

Oefenen

432

2242

22

04

0)1)(2(

0)1(

0)1)(3(

0)2(

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

10

433 Vet moeilijk

3x2 ndash2x ndash5 = 0

In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2 een term met x en een term met alleen een getal

Dit type sommen is het lastigst

De methodes van 431 en 432 werken niet

De algemene vorm van dit soort problemen is

02 cxbxa De factor voor x2 noemen we dus a De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c

zie voorbeeld hierboven

5

2

3

c

b

a

We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit D

formule acbD 42

De term discriminant komt van discrimineren onderscheid maken

Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn

Als D positief is zijn er twee oplossingen

Als D nul is is er eacuteeacuten oplossing

Als D negatief is zijn er geen oplossingen

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

11

De oplossingen x1 en x2 vind je met

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

De waarde van a b en c haal je uit de formule 02 cxbxa

Zorg ervoor dat rechts van de = een 0 staat

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

12

Formules acbD 42

a

Dbx

a

Dbx

2

2

2

1

Het voorbeeld 3x2 ndash2x ndash5 = 0

5

2

3

c

b

a

D = (-2)2 - 43(-5) = 4 + 60 = 64

er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief

6716

82

6

642

16

82

6

642

2

1

x

x

Let op dat je de waarden van a b en c goed uit de formule haalt

Maak geen fouten met mintekens

Als je merkt dat D negatief is schrijf je oprdquoGeen oplossingrdquo

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

13

433

Hieronder zie je formules

Bepaal a b en c

Bereken D

Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)

Formule a b c D x1 x2

2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 038 26

3x2 -2x ndash 1 = 0

x2 - x + 1 = 0

-2x2 - 8x + 1 = 0

-x2 -3x + 2 = 0

-x2 + 2 = 0

2x2 - 6x = 0

4x2 + 4x ndash 2 = 0

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

14

44 gemengde opgaven

012

63

4563

632

333

8162

2

2

22

22

22

xf

xxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxa

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

15

0712

02

1

2

1

832

01

2

2

2

2

xxj

xxi

xxh

xxg

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

16

Excelopdracht De abcD-formule a Zie hieronder Overtypen wat niet vetgedrukt is

b Geef de cellen in de B-kolom de namen a b c en D

c Bereken cel B7 B9 en B10 met de formules die rechts staan

d Opslaan en geef naam abcD-formule

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 2

4 b 2

5 c -4

6

7 D 36

8

9 x1 -2

10 x2 1

11

12

A B C D

1 abc-formule

2

3 a 1

4 b -2

5 c 3

6

7 D -8

8

9 x1 geen oplossing

10 x2 geen oplossing

11

12

a

Dbx

a

Dbx

acbD

cbxax

2

2

4

0

2

1

2

2

e Verander cel B5 in 4 (ipv -4) Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt

omdat D negatief is De wortel van een negatief getal bestaat niet Daarom gaan we het

werkblad aanpassen Zie opdracht f en g

f Verander cel B9 en B10 Bij negatieve D-waarde komt er te staan ldquogeen oplossingrdquo

Zie voorbeeld hieronder

Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c

g Resultaat opslaan Geef naam jouwachternaam_abcDxls

Mail dit bestand naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

17

Destillatie

1 Principe

Destillatie is een scheidingstechniek Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste

vloeistof het eerst verdampen De damp wordt gekoeld met water en condenseert De vloeistof wordt opgevangen in een

opvangkolf De minder vluchtige vloeistof blijft achter

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

18

2 Destillatieopstelling

Laboratory distillation set-up using

without a fractionating column

1 Heat source

2 Still pot

3 Still head

4 ThermometerBoiling point

temperature

5 Condenser

6 Cooling water in

7 Cooling water out

8 Distillatereceiving flask

9 Vacuumgas inlet

10 Still receiver

11 Heat control

12 Stirrer speed control

13 Stirrerheat plate

14 Heating (Oilsand) bath

15 Stirrer baranti-bumping granules

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

19

Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het

mengsel gaat verdampen In de damp boven de

vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van

de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes) De minder

vluchtige component (witte bolletjes) blijft

voornamelijk in de vloeistof achter

stap 2 De verwarming gaat verder De

gecondenseerde damp komt in de opvangkolf

terecht Hierin zit voornamelijk de vluchtige

component Zie figuur rechts

stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door Het

destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna

volledig uit de vluchtige stof In de destillatiekolf

is de minder vluchtige stof achtergebleven Er is een

zekere mate van scheiding bereikt

3 Destillatie in drie stappen

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

20

4 Azeotroop mengsel

Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof

Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden

In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf

vloeistof

damp

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

21

De t-test

1 Doel van de t-test

Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de werkelijke waarde

of de algemeen geaccepteerde waarde micro ( spreek uit mu)

Voorbeelden zijn

het testen van een meetmethode mbv een gecertificeerde standaard

nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet

het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt

De t-test komt overeen met de vraag of de werkelijke waarde binnen het 95 betrouwbaarheidsinterval ligt

xt s

n

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

22

2 Het uitvoeren van de t-test

Eerst wordt t berekend met de formule

Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel (zie rechts)

Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is

is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout

Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen

de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

s

nxtberekend

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

23

Voorbeeld

Een referentiestandaard bevat 389 (mm) kwik

Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt

vindt men bij het meten van de standaard

389 374 371 (mm)

Geeft de methode een systematische fout

Het gemiddelde is 378 (mm)

De standaardafwijking 0964 (mm)

Zou het verschil tussen x en micro op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout

Berekening van t geeft

Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden

t = 430 ( 95 betrouwbaarheid)

Dus t berekendlt t tabel

Conclusie het verschil tussen x en micro kan op toeval berusten er is niet aangetoond dat er een systematische fout is

Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema-

tische fout

Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is

9819640

3938837

berekendt

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

24

3 Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval

Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen

in het 95 betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval

= 378 4309643 = 378 24

De waarde voor is 389 (mm) Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval

xt s

n

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

25

opgaven

1

Van een monster is bekend dat het 0123 (mm) zwavel bevat Met nieuwe snelle methode om snel het

zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald

De verkregen resultaten zijn

0112 0118 0115 0119 (mm) S

Zijn de verkregen waarden significant te laag

2

Van een monster is bekend dat het 3510 Mn bevat Men analyseert het monster op twee verschillende

methoden

Men vindt de volgende waarden

methode 1 3530 3570 3540

methode 2 3502 3502 3501

Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden

vrijheidsgrad

en

90 95 99

1 631 1271 637

2 292 430 992

3 235 318 584

4 213 278 460

5 202 257 403

6 194 245 371

7 190 236 350

8 186 231 336

9 183 226 325

10 181 220 311

11 180 220 311

12 178 218 306

13 177 216 301

14 176 214 298

164 196 258

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

26

3

Bij een sporter wordt bloed afgenomen

Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald

53 54 52 58 55 54 56

Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is

4

Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie)

De waarden staan hieronder

Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a

1 2 3 4 5

040 035 030 027 028

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

27

5

Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A)

Analist A 146 146 147 174 145

a Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A Zo ja verwijder deze

b Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 150

tabel met Q-waarden betrouwbaarheid

aantal waarnemingen

90 95 99

4 076 083 093

5 064 072 082

6 056 062 074

7 051 057 068

8 047 052 063

9 044 049 060

10 041 046 057

Qverdachte waarde naastliggende waarde

spreiding

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

28

PW4 Een automatische t-test in Excel

Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel De vraag is

Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 40

1 Geef D3 tm D12 de naam de meetwaarden

2 Geef de normwaarde In F2 de naam mu

3 in D15 komt het gemiddelde van D3 tm D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel) Geef deze cel de naam xgem

4 In D16 komt de standaarddeviatie van D3 tm D12(gebruik de STDEV-functie van Excel) Geef deze cel de naam s

5 In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel) Geef deze cel de naam n

6 In G15 bereken je t met de formule

(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)

7 In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERTZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B

8 In G 19 komt de conclusie ldquoer is overeenstemmingrdquo of ldquoer is geen overeenstemmingrdquo (gebruik de ALS-functie van Excel)

9 Opslaan en geef naam t-test

10 Voer als normwaarde in 106

en de volgende meetwaarden

108 104 110 107 108 111 104 102 102

Welke uitkomst geeft de t-test

Opslaan en geef naam jouw_achternaam_ttest2

s

nmuxgemt

29

Mailen naar dlosscaldanl

29

Mailen naar dlosscaldanl

30

Boxplot

Een boxplot is een grafische manier van weergeven van meetwaarden

Eerst zet je alle waarden op volgorde van laag naar hoog Hierna bepaal je de mediaan de middelste waarde

Dan bepaal je de mediaan van de laagste helft waarden dit noem je mediaanlaag

Vervolgens bepaal je de mediaan van de hoogste helft waarden dit noem je mediaanhoog

Links en rechts van de box komen horizontale strepen

De lengte van de strepen van de boxplot kan je bereken door de formule

Lengte streep = 15 (mediaan hoog - mediaanlaag)

Dit getal tel je bij de mediaan hoog op en van de mediaan laag trek je dit getal af

31

Nu kan je de boxplot gaan tekenen

Je tekent de waarde van de mediaan een verticale streep

Mediaanlaag en mediaanhoog teken je ook in en je maakt hier een hokje van

Hier na teken je de horizontale strepen

Als er waarden links of rechts van de strepen zijn dan zijn dit uitschieters Je tekent de waarde van de uitschieter in door bij deze waarde op

dezelfde hoogte als de strepen een teken te zetten

Hieronder zie je een voorbeeld van een boxplot

Waarom een boxplot wordt toegepast

32

Om uitschieters te bepalen

Om te kijken waar de meeste waarden liggen

Voorbeeld

Waarden

20 6 14 12 15 13 16 11 14 13

waarden op volgorde

6 11 12 13 13 14 14 15 16 20

de mediaan = 135

mediaan laag = 12

mediaan hoog = 15

lengte strepen = 15(15-12) = 45

mediaan hoog + 45 = 195

mediaan laag ndash 45 = 75

5 10 15 20

6 en 20 zijn uitschieters

33

vragen

1 wat is de formule voor het bepalen van de lengte van de strepen

2 Wanneer heb je een uitschieter

3 Waarom wordt een boxplot toegepast

4 Hier zie je acht meetwaarden

8 5 6 5 4 12 6 7

a bepaal van deze waarden de mediaan mediaan laag mediaan hoog en de lengte van de horizontale strepen

b teken hieronder de boxplot met eventuele uitschieters

34

31

Nu kan je de boxplot gaan tekenen

Je tekent de waarde van de mediaan een verticale streep

Mediaanlaag en mediaanhoog teken je ook in en je maakt hier een hokje van

Hier na teken je de horizontale strepen

Als er waarden links of rechts van de strepen zijn dan zijn dit uitschieters Je tekent de waarde van de uitschieter in door bij deze waarde op

dezelfde hoogte als de strepen een teken te zetten

Hieronder zie je een voorbeeld van een boxplot

Waarom een boxplot wordt toegepast

32

Om uitschieters te bepalen

Om te kijken waar de meeste waarden liggen

Voorbeeld

Waarden

20 6 14 12 15 13 16 11 14 13

waarden op volgorde

6 11 12 13 13 14 14 15 16 20

de mediaan = 135

mediaan laag = 12

mediaan hoog = 15

lengte strepen = 15(15-12) = 45

mediaan hoog + 45 = 195

mediaan laag ndash 45 = 75

5 10 15 20

6 en 20 zijn uitschieters

33

vragen

1 wat is de formule voor het bepalen van de lengte van de strepen

2 Wanneer heb je een uitschieter

3 Waarom wordt een boxplot toegepast

4 Hier zie je acht meetwaarden

8 5 6 5 4 12 6 7

a bepaal van deze waarden de mediaan mediaan laag mediaan hoog en de lengte van de horizontale strepen

b teken hieronder de boxplot met eventuele uitschieters

34

32

Om uitschieters te bepalen

Om te kijken waar de meeste waarden liggen

Voorbeeld

Waarden

20 6 14 12 15 13 16 11 14 13

waarden op volgorde

6 11 12 13 13 14 14 15 16 20

de mediaan = 135

mediaan laag = 12

mediaan hoog = 15

lengte strepen = 15(15-12) = 45

mediaan hoog + 45 = 195

mediaan laag ndash 45 = 75

5 10 15 20

6 en 20 zijn uitschieters

33

vragen

1 wat is de formule voor het bepalen van de lengte van de strepen

2 Wanneer heb je een uitschieter

3 Waarom wordt een boxplot toegepast

4 Hier zie je acht meetwaarden

8 5 6 5 4 12 6 7

a bepaal van deze waarden de mediaan mediaan laag mediaan hoog en de lengte van de horizontale strepen

b teken hieronder de boxplot met eventuele uitschieters

34

33

vragen

1 wat is de formule voor het bepalen van de lengte van de strepen

2 Wanneer heb je een uitschieter

3 Waarom wordt een boxplot toegepast

4 Hier zie je acht meetwaarden

8 5 6 5 4 12 6 7

a bepaal van deze waarden de mediaan mediaan laag mediaan hoog en de lengte van de horizontale strepen

b teken hieronder de boxplot met eventuele uitschieters

34

34