DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES EXERCICE DE PERFECTIONNEMENT SUR LES BASES DU COMPORTEMENT ELASTIQUE

ex-pignon-arbre.doc / version du 01/11/2010/JG

ELEMENTS DE REDUCTION DU TORSEUR DE COHESION : PIGNON ARBRE EN LIAISON PIVOT

Un pignon arbr 2 en liaison pivot par rapport un palier 1 reoit de la puissance mcanique par lintermdiaire dune roue dente (engrenage denture hlicodale) non reprsente (contact A). Il la restitue un organe rcepteur grce un accouplement au point B donnes: - l'action mcanique motrice connue en A de la roue dente sur le pignon arbr 2 est modlise par le torseur des efforts transmissibles :

{ }R ,AA

AAAA2/roue

0

ZZYYXX=A

=

++=

MF

avec pour composantes axiale XA

dans la section droite de centre gomtrique G situe entre la projection du point A sur laxe de larbre et le point C, donner l'expression qualitative du torseur des efforts cohsion, en donner une reprsentation graphique sur la figure ci-dessous, aprs avoir dessin le repre local r (Gxyz) et ombr la partie conserve du pignon arbr

2GX

Y

Z

en utilisant les rsultats de la thorie des poutres, donner ci-dessous le nom de chaque lment de rduction ainsi que les contraintes engendres

dsignation nom contraintes

dans la section droite de centre gomtrique H situe entre C et B, donner l'expression qualitative du torseur des efforts cohsion, en donner une reprsentation graphique sur la figure ci-dessous, aprs avoir dessin le repre local r (Hxyz) et ombr la partie conserve du pignon arbr

2HX

Y

Z

CORRECTION torseur des efforts transmissibles au centre gomtrique C de la liaison pivot

{ }R ,CCCC

CCCC2/1

ZNYM

ZZYYXX=C

+=

++=

MF

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

systme isol : pignon arbr 2 bilan des actions mcaniques extrieures

{ }R ,AA

AAAA2/roue

0

ZZYYXX=A

=

++=

MF { }

R ,CCCC

CCCC2/1

ZNYM

ZZYYXX=C

+=

++=

MF { }

R ,BBBB2/recept XL

0=B

=

=

MF

6 inconnues algbriques (donc ncessit davoir 6 quations) application du principe fondamental de la statique

0 BA)(Fext =+= 0ACA/)(F BCCext =++= MM M

on pose YyXxY)yy(X)xx(

)ZzYyXx()ZzYyXx(OCOAOACOCACACACACA

CCCAAA

+=+=

++++==+=

avec ( )ZXyYxYZxXZyZYX0yxZYX

ACA ACAACAACAACAAAA

CACA +=

=

- 6 quations de projections pour dterminer les 6 inconnues algbriques

force

s / X : ACCA XX 0XX ==+ / Y : ACCA YY 0YY ==+ / Z : ACCA ZZ 0ZZ ==+ m

om

ents

/ X : ACABACAB ZyL 0ZyL ==+ / Y : ACACACAC ZxM 0ZxM +== / Z : ACAACACACAACAC XyYxN 0XyYxN +==+

avec xCA0 , XA0 ; YC>0 ; ZC

G XY

Zrepre structural ou global R (OXYZ)

XGYG ZG NG

LGMG

- expression gnrale des lments de rduction du torseur de cohsion en repre local

{ } ( )r

zyx

zyx

,G)G(sup/cons

conssup/GGcons/sup

++=

++==

zyt

zyx

MfMfMM

TTNRCoh

- changement de base avec la matrice de passage du repre local r vers le repre global R

=

=

=

=

z

yx

z

yx

r

ZY

X

100010001-

ZYX

R

- aprs avoir exprim dans le repre local { }Gpignon/roueF (remplacer les vecteurs unitaires du repre global par leur expression en repre local) et sachant que { } { }Gpignon/roueGcons/sup FCoh = : { } ( )

( ) ( )r

zyx

zyx

,GAGAAGAAGAAGAconssup/G

AAAsup/consGGconssup/

XyYxZxZy

ZYX=

++=

+=

M

RCoh

lments de rduction du torseur de cohsion au point G et dans le repre local r (Gxyz)

r,GAGAAGAA

AGAA

AGAA

XyYxZZxY

ZyX

+==

==

==

zz

yy

tx

MfT

MfT

MN

partie

cons

erve

G

partie

suppr

ime

x

z

y

Mfy Mt

Mfz

Tz

Ty

Nx

XY

Zrepre structural ou global R (OXYZ)

repre local r (Gxyz)

normale sortante au centre gomtrique G de la section droite de la partie conserve

nom de chaque lment de rduction et contraintes engendres dsignation nom contraintes

Nx effort normal suivant laxe x contraintes normales x (traction x>0) Ty effort tranchant suivant laxe y contraintes tangentielles xy et xz

(cas dune section circulaire) Tz effort tranchant suivant laxe z contraintes tangentielles xy et xz

(cas dune section circulaire) Mt moment de torsion autour de laxe x contraintes tangentielles ( )zy xzxy += Mfy moment de flexion autour de laxe y contraintes normales x Mfz moment de flexion autour de laxe z contraintes normales x

lments de rduction du torseur de cohsion au point H et dans le repre local r (Hxyz)

{ }R ,BBB

B2/recept XL

0=B

=

=

MF { } { }

H2/receptHcons/sup FCoh =

=

=

=

=

z

yx

z

yx

r

ZYX

100010001

ZYX

R

r,H

B

0000

L0

==

==

==

zz

yy

tx

MfT

MfT

MN

partie

cons

erve

H partie supp

rime

x

z

y

MtXY

Zrepre structural ou global R (OXYZ)

repre local r (Hxyz)

normale sortante au centre gomtrique H de la section droite de la partie conserve