Eusebio Ingol Blanco, Ph.DFrom Daene McKinney, Ph.D, UT Texas

Universidad Nacional Agraria La MolinaFacultad de Ingeniería Agrícola

Programa Maestría en Ingeniería de Recursos Hídricos

Una Introducción al Método de Diferencias Finitas en la Modelación

de Aguas Subterráneas

Procesos de Modelación

• Identificación del Problema– Sistema y elementos a ser modelados– Relación e interacción entre ellos– Grado de precisión

• Conceptualización y Desarollo– Representación matemática– Modelo tipo– Método numérico – Código de computo– Condiciones iniciales– Condiciones de frontera

• Calibración– Estimación de Parámetros– Comparación de modelados con simulados– Ajuste de parámetros– Análisis de incertidumbre

• Validación– Usar un grupo de datos independiente al de calibración– Comparar resultados del modelo con observados

Identificación del problema y descripción

Validación y análisis de Sensibilidad

Aplicación

Calibración

conceptualización

desarrollo

Datos de entrada

Presentación resultados

Modelo Conceptual y Matemático• Modelo Conceptual

– Idealización y implicación de las condiciones hidrológicas

– Representación descriptiva del sistema de agua subterránea que incorpora la interpretación de las condiciones geológicas y hidrológicas

– Que procesos son importantes para el modelo

– Cuales son las fronteras– Que datos necesitan ser

colectados y cuales están disponibles.

Modelo Conceptual y Matematico

• Modelo Matemático– Representación matemática de la hidrología

subterránea y del transporte de contaminantes– Utiliza las ecuaciones fundamentales del flujo y

conservación de masa– Se basa en observaciones reales o extrapolaciones

Métodos

• Analítico– Uso de formulas simples– Solución exacta en el el punto de Calculo– Modelo homogéneo– Se basa en observaciones reales o extrapolaciones

• Numérico – Discretizacion espacial y temporal– Solución aproximada– Admite heterogeneidades– Transforman las Ecuaciones en Derivadas Parciales (PDFs)

que gobiernan el flujo en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs) o ecuaciones algebraicas para su solución

Diferencias Finitas y Elementos Finitos

Que realmente queremos resolver?

• Flujo horizontal en un acuífero confinado

• Ecuaciones que gobiernan• Condiciones iniciales• Condiciones de frontera

superficie

basamento

confinadoQx

K

xyz

h

Carga en acuifero confinado

Capa confinada

b

flujo filtración fuente/pozo almacenamiento

Método de Diferencias Finitas

• Finite-difference method– Replace derivatives in governing equations with

Taylor series approximations– Generates set of algebraic equations to solve

Taylor Series

• Expresion en series de Taylor de h(x) en un punto t x+Dx cerca a x

• Si se trunca la serie despues del nth termino, el error sera

Primera Derivada- Hacia Adelante • Considerar una expansión en series de Taylor hacia adelante

de una función h(x) cerca al punto x

• Resolver para 1st derivada

xxx

x

xxx

x

Primera Derivada- Hacia Atras • Considerar una expansión en series de Taylor hacia atras de

una función h(x) cerca al punto x

• Resolver para 1st derivada

xxx

x

xxx

x

Segunda Derivada- Central

Adicionar y resolver para

Aproximación en Diferencias Finitas

x

x x

Hacia atras 1st derivada

Hacia adelante 1st derivada

Central 2nd derivada

Grids y Discretización • Proceso de discretizacion• Grid definido para cubrir el

dominio• Objetivo es predecir los valores

de carga en los puntos de nodo de la malla– Determinar efectos de bombeo– Flujo de un rio, etc

• Método D.F– Popular y fácil de implementar– Atractivo para simple geometría

i,j

i,j+1

i+1,j

i-1,j

i,j-1

x, i

y, j

Domain

Mesh

Node point

D x

D y

Grid cell

Grids en Tres Dimensiones

Capas pueden ser de Diferente material

• Un sistema acuífero esta dividido en bloque rectangulares por un grid.

• El grid es organizado por filas (i), columnas (j), y capas (k), y cada bloque es llamado celda.

• Tipos de capas– Confinada– No confinada– Convertible

Flujo en Acuífero Confinado 1-D

• Medio Homogéneo, isotrópico, 1-D, flujo confinado

• Ecuación principal

• Condición inicial

• Condiciones de frontera

Superficie del suelo

Acuifero

x

yz

hB

Confinada capa

b

hA

Dx

i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nodo

Celda grid

Dx = 1 m, L = 10 m, b = 1.5 mhA = 6.1 m, hB = 1.5 m, K = 0.5 m/d, S = 0.02

Aproximación de Derivadas• Ecuación que rige

• 2nd derivada x

• 1st derivada t

Hacia adelante Hacia atras

li ,1

ix,

lt,

1, li

li ,1

1, li

x

t

li,

Método Explicito

• Use toda la información del paso de tiempo anterior para calcular el valor en este paso de tiempo

• Procede punto por punto a través del dominio

• Podría ser inestable para largos periodos de tiempo

li ,1

ix,

lt,

1, li

li ,1

1, li

x

tli,

Aprox. DF

Método Explicito

l+1 nivel tiempodesconocido

l nivel tiempoconocido

Método ExplicitoSuperficie del terreno

Acuifero

hB

Confinada layer

b

hA

Dx

i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nodo

Celda grid

Dx = 1m, L = 10m, b = 1.5mhA = 6.1m, hB = 1.5m, K = 0.5m/d, S = 0.02

Considerar: r = 0.48

r = 0.52

Resultados (Dt = 18.5 min; r = 0.48 < 0.5)

Resultados (Dt = 20 min; r = 0.52 > 0.5)

Que pasa aqui?

• En el time t = 0 no flujo• En el time t > 0 flujo• El agua proveniente del

almacenamiento en una celda grid sobre el tiempo Dt

• El agua fluyendo fuera de la celda en el intervalo Dt

Superficie del suelo

Acuifero

hB

Confinada capa

b

hA

Dx

i = 0 1 2 … i-1 i i+1 … 8 9 10

Dx

Celda Grid i

r > 0.5El intervalo de tiempo es demasiado largo Las celdas no contienen la suficiente aguaCausa inestabilidad

Método Implícito• Usa información de un

punto en el paso de tiempo anterior para calcular el valor en todos los puntos de este paso de tiempo

• Resuelve para todos los punto en el dominio simultáneamente

• Es mas estable

li ,1

ix,

lt,

1, li

li ,1

1, li

x

tli,

1,1 li1,1 li

1,1 li 1,1 li

Aprox. DF

Método Implícito

l+1 nivel tiempodesconocido

l nivel tiempoconocido

Flujo en Estado Estable 2-D

• Ecuación que rige

• Homogéneos, acuífero isotrópico, no pozos

• Igual espaciamiento (promedio de celdas)

jy,

ix,x

y

)4,1( )4,2( )4,3( )4,4(

)3,1( )3,2( )3,3( )3,4(

)2,1( )2,2( )2,3( )2,4(

)1,1( )1,2( )1,3( )1,4(

)0,1( )0,2( )0,3(

)5,1( )5,2( )5,3( )5,4(

)4,5(

)3,5(

)2,5(

)4,5(

)5,1(Nodo No. Cargas desconocidas

Cargas conocidas

Flujo Anisotropico Heterogéneo 2-D

j+ 1

j-1

j

i-1

i i+ 1

i+ 1 /2

j+ 1 /2

j-1 /2

x

y

Q x ,i+ 1 /2 Q x ,i-1 /2

Q y ,j+ 1 /2

Q y ,j-1 /2

x

y

n o d e ( i ,j) i-1 /2

ce ll ( i ,j)

Tx and Ty son transmisividades en x and y

• Promedio armonico para T o K

Flujo Anisotropico Heterogéneo 2-D

Problema Transitorio

MODFLOW

• Modelo Matematico de la USGS http://water.usgs.gov/nrp/gwsoftware/modflow.html

• USGS desarrollo el modelo matematico• Usa el elemento de Diferencias Finitas• Varias versiones

– MODFLOW 88, 96, 2000, 2005 • Interfaces graficas para MODFLOW

– USGS interface, MPI– GWV (www.groundwater-vistas.com)

– GMS (www.ems-i.com)

– PMWIN (www.ifu.ethz.ch/publications/software/pmwin/index_EN)

Que Simula MODFLOW?

1. Unconfined and confined aquifers2. Faults and other barriers3. Fine-grained confining units and

interbeds 4. Confining unit - Ground-water flow

and storage changes 5. River – aquifer water exchange6. Discharge of water from drains

and springs7. Ephemeral stream - aquifer water

exchange8. Reservoir - aquifer water exchange9. Recharge from precipitation and

irrigation 10. Evapotranspiration 11. Withdrawal or recharge wells12. Seawater intrusion