Euler formula for intersecting sets Newton binomial ... fileEuler formula for intersecting sets...
-
Upload
truongkien -
Category
Documents
-
view
235 -
download
0
Transcript of Euler formula for intersecting sets Newton binomial ... fileEuler formula for intersecting sets...
Euler formula for intersecting sets Newton binomial, asymptotic combinatorial identities
Theorem 1
If ๐ โฅ 6 ๐
3
๐
< ๐! < ๐
2
๐
Proof
Prove by induction on n the upper estimate.
Assume that ๐! โค ๐
2
๐
then
๐ + 1
2
๐+1
=
๐+1
2
๐ ๐ + 1
2=
๐
2
๐
1 +1
๐
๐ ๐ + 1
2
โฅ ๐! 1 + 1 + ๐2
๐2+ โฏ +
๐๐
๐๐
๐ + 1
2> ๐! โ 2 โ
๐ + 1
2= ๐ + 1 !
Similarly prove the lower estimate
Let us assume that ๐! โฅ ๐
3
๐
then considering ๐! โฅ 2๐โ1 if ๐ โฅ 2
๐ + 1
3
๐+1
=
๐+1
3
๐ ๐ + 1
3=
๐
3
๐
1 +1
๐
๐ ๐ + 1
3
โค
๐! 1 + 1 + ๐2
๐2 + ๐3
๐3 + โฏ +๐๐
๐ !๐๐ ๐ + 1
3
<๐! 1 + 1 +
๐2
2!๐2 +๐3
3!๐3 + โฏ +๐๐
๐ !๐๐ ๐ + 1
3
<๐! 1 + 1 +
1
21 +1
22 + โฏ +1
2๐โ1 ๐ + 1
3< ๐ + 1 !
QED
Theorem 2
If ๐ โฅ 1 ๐ โ ๐
๐
๐
โค ๐! โค ๐๐ โ ๐
๐
๐
Proof
When n=1, 2 we can verify the inequality by substitution of these values of n. Further it is easy
to see if kโฅ2 for ln k
ln ๐ฅ ๐๐ฅ < ln ๐ < ln ๐ฅ ๐๐ฅ ๐+1
๐
๐
๐โ1 (2.1)
therefore
ln ๐ฅ ๐๐๐ฅ < ln ๐! < ln ๐ฅ ๐๐ฅ๐+1
2
๐
1 (2.2)
Transform the right-hand inequality (2.2) given that ๐ โฅ 3
ln ๐! < ln ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ๐๐ ๐ฅ โ ๐ฅ |2๐+1 = ๐ + 1 ln ๐ + 1 โ ๐ + 1 โ 2๐๐2 + 2
๐+1
2
= ๐ + 1 ๐๐๐ + 1
๐โ 2๐๐2 + 2
= ๐ + 1 ln๐
๐+ ๐ + 1 ln 1 +
1
๐ โ 2๐๐2 < ๐ + 1 ln
๐
๐+ 2
Hence
๐! < ๐๐ < ๐
๐
๐
QED
Lemma 1
If ๐ โฅ 2
ln ๐ฅ ๐๐ฅ + ln 2๐ โ ln 2๐ โ 1 โค ln ๐ โค ln ๐ฅ ๐๐ฅ +1
2(ln ๐ โ ln(๐ โ 1))
๐
๐โ1
๐
๐โ1
Proof
The image below shows the part of the graph of the function ln x between points x=k-1 and x=k
It can be seen that ln ๐ฅ ๐๐ฅ๐
๐โ1 exceeds the difference between the values ln k and the area of
a triangle, which is bounded by a segment b and straight lines x = k-1 and y = ln k. Thus
ln ๐ฅ ๐๐ฅ โฅ ln ๐ โ1
2(ln ๐ โ ln(๐ โ 1))
๐
๐โ1
It is also can be seen, that ln ๐ฅ ๐๐ฅ๐
๐โ1 does not exceed the area of the trapezoid, which is
bounded by a line a and lines x=k-1, x=k and y=0. As the area of the trapezoid is equal to the
multiplication of the mean line, which is equal to ln(๐ โ1
2) and the height, which is equal to
one, then
ln ๐ฅ ๐๐ฅ โค ln ๐ โ1
2 = ln ๐ + ln 1 โ
1
2๐ = ln ๐ โ ln 2๐ + ln 2๐ โ 1 .
๐
๐โ1
Using these inequalities we estimate ln k
ln ๐ฅ ๐๐ฅ + ln 2๐ โ ln 2๐ โ 1 โค ln ๐ โค ln ๐ฅ ๐๐ฅ +1
2(ln ๐ โ ln(๐ โ 1))
๐
๐โ1
๐
๐โ1
.
QED
Theorem 3
0.8 โ ๐ ๐ ๐
๐
๐
โค ๐! โค ๐ ๐ ๐
๐
๐
Proof
It is sufficient to sum the inequalities from the previous lemma with ๐ โ [2, ๐]
Sum the right inequalities
ln ๐ โค ln ๐ฅ ๐๐ฅ +1
2(ln ๐ โ ln 1) = ๐ ln ๐ โ ๐ + 1 +
1
2ln ๐ .
๐
1
๐
๐=2
Hence ๐! < ๐ ๐ ๐
๐
๐
To estimate the sum of the left inequalities assume that
๐1 = (ln 2๐ โ ln 2๐ โ 1 ), ๐2 = (ln 2๐ + 1 โ ln(2๐)).
๐
๐=2
๐
๐=2
It can be seen that ๐1 + ๐2 = ln(2๐ + 1) โ ln 3
Since ๐1 > ๐2
๐1 >1
2ln 2๐ + 1 โ
1
2ln 3 >
1
2ln ๐ โ
1
2ln
3
2.
ln ๐ > ๐ ln ๐ โ ๐ + 1 +1
2ln ๐ โ
1
2ln
3
2.
๐
๐=2
Note that 2
3> 0.8
Hence ๐! > 0.8 โ ๐ โ ๐ ๐
๐
๐
QED
Lemma 2
sin2๐ ๐๐ฅ = 2๐ โ 1 2๐ โ 3 โ โฆ โ 3 โ 1
2๐(2๐ โ 2โ โฆ 4 โ 2
๐
2
0
โ๐
2=
2๐ โ 1 โผ
2๐โผโ๐
2
sin2๐+1 ๐๐ฅ =2๐ 2๐ โ 2 โ โฆ 4 โ 2
2๐ + 1 2๐ โ 1 โ โฆ โ 3 โ 1
๐
2
๐
=2๐โผ
2๐ + 1 โผ
Proof
Denote sin๐ ๐๐ฅ = ๐ผ๐๐
20
then
๐ผ๐ = โ sin๐โ1 ๐ cos ๐ฅ = โ sin๐โ1 ๐ฅ cos ๐ฅ โ0
๐
2
๐
2
๐
+ cos ๐ฅ ๐ sin๐โ1 ๐ฅ
๐
2
0
= ๐
โ 1 cos2 ๐ฅ sin๐โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ
๐
2
0
= ๐ โ 1 1 โ sin2 ๐ฅ sin๐โ2 ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ โ 1 ๐ผ๐โ2 โ ๐ผ๐
๐
2
0
Hence
๐ผ๐ =๐โ1
๐โ ๐ผ๐โ2
Consistently applying it to the integrals ๐ผ2๐๐๐๐ ๐ผ2๐+1
๐ผ2๐ = 2๐โ1 2๐โ3 โโฆโ3โ1
2๐ 2๐โ2 โโฆ4โ2โ ๐ผ0
๐ผ2๐+1 =2๐ 2๐ โ 2 โ โฆ โ 4 โ 2
2๐ + 1 2๐ โ 1 โ โฆ โ 3 โ 1โ ๐ผ1
As ๐ผ0 =๐
2๐๐๐ ๐ผ1 = 1
Substituting these values into the above expression obtain the required equality
QED
Lemma 3
22๐
๐๐๐โ
1
4๐ โค 2๐๐
โค22๐
๐๐
Proof
As sin x varies from 0 to 1 between 0 and ฯ/2, then
sin2๐+1 ๐ฅ โค sin2๐ ๐ฅ โค sin2๐โ1 ๐ฅ , ๐ฅ โ [0,๐
2]
Hence
sin2๐+1 ๐ฅ ๐๐ฅ โค sin2๐ ๐ฅ ๐๐ฅ โค sin2๐โ1 ๐ฅ ๐๐ฅ
๐
2
0
๐
2
0
๐
2
0
Using lemma 2
2๐โผ
2๐ + 1 โผโค
2๐ โ 1 โผ
2๐โผโ๐
2โค
2๐ โ 2 โผ
2๐ โ 1 โผ
2๐โผ โ 2๐โผ
2๐ + 1 โผ โ 2๐ โ 1 โผโค
๐
2โค
2๐โผ โ 2๐ โ 2 โผ
2๐ โ 1 โผ โ 2๐ โ 1 โผ
1
2๐ + 1โ
2๐โผ
2๐ โ 1 โผโค
๐
2โค
1
2๐โ
2๐โผ
2๐ โ 1 โผ
Divide all members of the resulting inequalities on 2n!! and ๐
2 and multiply it on (2n-1)!! and
22๐
1
1+1
2๐
โ22๐
๐๐โค 22๐ โ
2๐โ1 โผ
2๐โผโค
22๐
๐๐ (*)
Note that
2๐ โ 1 โผ
2๐โผ=
2๐ โ 1 โผ โ 2๐!!
2๐โผ โ 2๐โผ=
(2๐)!
22๐ โ ๐! โ ๐!=
2๐
๐ โ 2โ2๐
Given that if 0 < ๐ฅ < 1 ๐โ๐ฅ โค 1/(1 + ๐ฅ) substitute the last equality in (*)
and obtain the required estimates for 2๐๐
QED
Theorem 4
2๐๐ โ ๐
๐
๐
๐โ1/4๐ โค ๐! โค 2๐๐ โ ๐
๐
๐
๐1/4๐
Proof
As 2๐๐
= 2๐!
๐ ! โ๐!=
2๐ 2๐โ1 โโฆโ(๐+1)
๐ !, it can be seen that ๐! = 2๐ 2๐ โ 1 โ โฆ โ (๐ + 1)/ 2๐
๐
Estimate the logarithm of 2๐ 2๐ โ 1 โ โฆ โ (๐ + 1)
We will use
ln ๐ โฅ ln ๐ฅ ๐๐ฅ + ln 2๐ โ ln(2๐ โ 1)๐
๐โ1 (1)
ln ๐ โค ln ๐ฅ ๐๐ฅ +1
2 (ln ๐ โ ln ๐ โ 1 )
๐
๐โ1 (2)
from lemma 1
Summing the inequalities (2) for ๐ โ [๐ + 1, 2๐]
ln ๐ โค ln ๐ฅ ๐๐ฅ2๐
๐
+
2๐
๐=๐+1
1
2 ln 2๐ โ ln ๐
= ln ๐ฅ ๐๐ฅ +1
2ln 2 = ๐ ln ๐ + 2๐ ln 2 โ ๐ +
1
2ln 2
2๐
๐
To estimate the sum of inequalities (1) assume
๐1 = (ln 2๐ โ ln(2๐ โ 1)) , ๐2 = (ln 2๐ + 1 โ ln(2๐))
2๐
๐=๐+1
2๐
๐=๐+1
๐1 + ๐2 = ln 4๐ + 1 โ ln(2๐ + 1)
As ๐1 > ๐2 then
๐1 >1
2ln 4๐ + 1 โ
1
2ln 2๐ + 1 =
1
2ln 2 โ
2๐+1
2
2๐+1 =
1
2ln 2 +
1
2ln 1 โ
1
4๐+2 โฅ
1
2ln 2 โ
1
4๐.
Thus
ln ๐ > ๐ ln ๐ + 2๐ ln 2 โ ๐ +1
2ln 2 โ
1
4๐
2๐
๐=๐+1
Hence
2 ๐
๐
๐
22๐๐โ1
4๐ โค 2๐ 2๐ โ 1 โ โฆ โ ๐ + 1 โค 2 ๐
๐
๐
22๐
From lemma 3
๐๐
22๐โค
1
2๐๐
โค
๐๐
22๐ ๐
1
4๐
Term by term, we multiply the last inequalities
2๐๐ โ ๐
๐
๐
๐โ1
4๐ โค ๐! โค 2๐๐ โ ๐
๐
๐
๐1
4๐
QED
Theorem 5
If min ๐, ๐ โ ๐ โ โ
๐
๐ =
2๐๐ป ๐
๐
2๐๐ ๐โ๐
๐
(1 + ๐ 1 )
Proof
Using Stirlingโs formula
๐
๐ =
๐!
๐! ๐ โ ๐ ! ~
2๐๐
2๐๐ โ 2๐(๐ โ ๐)โ
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐โ๐
๐
๐โ๐
=1
2๐๐ ๐โ๐
๐
โ๐๐
๐๐ ๐ โ ๐ ๐โ๐=
1
2๐๐ ๐โ๐
๐
โ ๐
๐
โ๐
โ 1 โ๐
๐
โ ๐โ๐
=1
2๐๐ ๐โ๐
๐
โ 2๐๐ป ๐
๐
QED
Theorem 6
If ๐ โ โ ๐๐๐ ๐ก = ๐(๐2
3) then
๐๐
2โ๐ก
=2๐๐โ
2๐ก2
๐
๐๐
2
1 + ๐ 1 = ๐
๐
2 ๐โ
2๐ก2
๐ 1 + ๐ 1 .
Proof
With the use of the previous theorem we transform the exponent on the right part of its
equality
๐ป
๐
2โ ๐ก
๐ = ๐ป
1
2 1 โ
2๐ก
๐
= โ1
2 1 โ
2๐ก
๐ log2
1
2 1 โ
2๐ก
๐
โ1
2 1 +
2๐ก
๐ log2
1
2 1 +
2๐ก
๐
= 1 โ1
2 1 โ
2๐ก
๐ log2(1 โ
2๐ก
๐) + 1 +
2๐ก
๐ log2 1 +
2๐ก
๐
Using (3)
โ 1 โ2๐ก
๐ log2 1 โ
2๐ก
๐ โ 1 +
2๐ก
๐ log2 1 +
2๐ก
๐ = โ
4๐ก2
๐2+ ๐ช
๐ก3
๐3 log2 ๐.
so
๐๐ป
๐
2โ ๐ก
๐ = ๐ 1 โ
1
2 4๐ก2
๐2 + ๐ช ๐ก3
๐3 log2 ๐ = ๐ โ
2๐ก2
๐+ ๐ช
๐ก3
๐2 log2 ๐.
Substituting this equality in equality from theorem 5, taking into account ๐ก = ๐(๐2
3) we will
have
๐
๐
2โ ๐ก
=2๐๐
โ2๐ก2
๐+๐ช
๐ก3
๐2
2๐ ๐
2โ๐ก
๐
2+๐ก
๐
1 + ๐ 1 =2๐๐โ
2๐ก2
๐
๐๐
2
1 + ๐ 1 .
QED
Theorem 7
If ๐ โ โ ๐๐๐ ๐ = ๐(๐2
3) then
๐
๐ =
๐๐๐โ๐2
2๐
๐! (1 + ๐ 1 )
Proof
Using Stirlingโs formula, equality 1 + ๐ฅ ๐ = ๐๐ ๐ฅ๐๐
๐=0 and ๐ = ๐(๐2
3)
๐
๐ =
๐!
๐! (๐ โ ๐!) ~
2๐๐
2๐(๐ โ ๐)โ
๐
๐
๐
๐! ๐โ๐
๐
๐โ๐
=๐๐
๐!โ
๐โ๐
1 โ๐
๐
โ 1 โ๐
๐
๐โ๐
~๐๐๐โ๐
๐!โ ๐
๐โ๐ ln 1โ๐
๐
=๐๐๐โ๐
๐!โ ๐
๐โ๐ โ๐
๐โ
๐2
2๐2โ๐ช ๐3
๐3 =
๐๐๐โ๐
๐!โ ๐
๐โ๐2
2๐โ๐ช
๐3
๐2
=๐๐๐โ
๐2
2๐
๐! 1 + ๐ 1 .
QED
Theorem 8
If 1 โค ๐ ๐ โค ๐
2 then
๐๐ โค
2๐โ3
๐(๐)
๐
2โ ๐๐ ๐
๐=0
Proof
We estimate the sum of the binomial coefficients, the lower index of which differs from ๐
2 more
than on t units.
๐๐
๐ : ๐
2โ๐ >๐ก
=
๐
2โ ๐
2
๐
2โ ๐
2 ๐๐
๐ : ๐
2โ๐ >๐ก
โค1
๐ก2
๐
2โ ๐
2
๐๐ โค
1
๐ก2
๐ : ๐
2โ๐ >๐ก
๐
2โ ๐
2
๐๐
๐
๐=0
(4)
Find the sum of the right side of the inequality
๐๐
๐
2โ ๐
2
= ๐๐
๐2
4โ ๐๐ + ๐2 =
๐2
4
๐๐ โ
๐๐ ๐ โ ๐ ๐.
๐
๐=0
๐
๐=0
๐
๐=0
๐
๐=0
The first sum of the right side is equal to ๐22๐โ2, now find the second sum
๐ โ ๐ ๐ ๐๐
๐
๐โ0
= ๐ โ ๐ ๐ ๐๐
๐โ1
๐=1
= ๐ โ ๐ ๐๐!
๐ โ ๐ ! ๐!
๐โ1
๐=1
= ๐ ๐ โ 1 ๐ โ 2 !
๐ โ ๐ โ 1 ! ๐ โ 1 != ๐ ๐ โ 1
๐ โ 2 ๐
= ๐ ๐ โ 1 2๐โ2
๐โ2
๐=0
๐โ1
๐=1
From the two previous inequalities
๐๐
๐
2โ ๐
2
= ๐22๐โ2 โ ๐ ๐ โ 1 2๐โ2 = ๐2๐โ2
๐
๐=0
Substitute this equality into the right side of (4) and assume ๐ก = ๐๐ ๐
๐๐ โค
๐2๐โ2
๐๐ ๐ =
2๐โ2
๐(๐)๐ :
๐
2โ๐ > ๐๐ ๐
QED
Theorem 9
If 1 โค ๐ก โค๐
2 then
๐๐ โค 2๐๐ป
๐ก
๐
๐ก
๐=0
Proof
Assume 0 < ๐ฅ < 1
๐๐ โค ๐ฅ๐โ๐ก
๐๐ =
1
๐ฅ๐ก ๐ฅ๐
๐๐ โค
1
๐ฅ๐ก ๐ฅ๐
๐๐ =
1 + ๐ฅ ๐
๐ฅ๐ก
๐
๐=0
๐ก
๐=0
๐ก
๐=0
๐ก
๐=0
Differentiate the function ๐ ๐ฅ = 1+๐ฅ ๐
๐ฅ ๐ก on x
1 + ๐ฅ ๐
๐ฅ๐ก
โฒ
=๐ 1 + ๐ฅ ๐โ1
๐ฅ๐กโ
๐ก 1 + ๐ฅ ๐
๐ฅ๐ก+1=
1 + ๐ฅ ๐โ1
๐ฅ๐ก+1 ๐๐ฅ โ ๐ก 1 + ๐ฅ
Its derivative between 0 and 1 has the only root ๐ฅ0 =๐ก
๐โ๐ก
As f(x) increases without limit as x tends to 0 on the right and ๐ 1 = 2๐ then on the interval
(0, 1) f(x) reaches its minimum value at ๐ฅ0
๐๐ โค
๐ก
๐ โ ๐ก
โ๐ก
1 +๐ก
๐ โ ๐ก
๐
= ๐ก
๐ โ ๐ก
โ๐ก
๐
๐ โ ๐ก
๐
= ๐ก
๐
โ๐ก
๐
๐ โ ๐ก
๐โ๐ก๐ก
๐=0
= ๐ก
๐
โ๐ก
1 โ๐ก
๐
โ ๐โ๐ก
= ๐ก
๐
โ๐ก
๐
1 โ๐ก
๐
โ 1โ๐ก
๐
๐
= 2๐๐ป ๐ก
๐
QED
Theorem 10
If ๐ โค ๐ โค๐
๐
๐๐ โค 2๐๐โ
2๐ก2
๐
๐
2โ๐ก
๐=0
Proof
From theorem 9 and
๐๐ ๐ โค 2
๐๐ป
๐2
โ๐ก
๐
โค 2๐๐ป
1
2 1โ2๐ก๐
โค 2(๐(1โ1/2( 1โ2๐ก
๐ log 2 1โ
2๐ก
๐ + 1+
2๐ก
๐ log 2 1+
2๐ก
๐ ))
๐
2โ๐ก
๐=0
๐ป ๐
2โ๐ก
๐ = 1 โ 1/2( 1 โ
2๐ก
๐ log2 1 โ
2๐ก
๐ + 1 +
2๐ก
๐ log2 1 +
2๐ก
๐ ). (5)
To estimate exponent on the right side of the inequality show that
๐ ๐ฅ = 1 โ ๐ฅ ln 1 โ ๐ฅ + 1 + ๐ฅ ln 1 + ๐ฅ โ ๐ฅ2 โฅ 0
๐ฅ โ (โ1,1)
f(x) is an even function, so we can prove it only for [0,1) and as ๐ 0 = 0 it is enough to prove
that on this interval derivative of a function f(x) is non-negative.
๐ โฒ ๐ฅ = โ1 โ ๐ฅ
1 โ ๐ฅโ ln 1 โ ๐ฅ +
1 + ๐ฅ
1 + ๐ฅ+ ln 1 + ๐ฅ โ 2๐ฅ = ln 1 + ๐ฅ โ ln 1 โ ๐ฅ โ 2๐ฅ
๐ โฒ 0 = 0
๐ โฒโฒ ๐ฅ =1
1 + ๐ฅ+
1
1 โ ๐ฅโ 2 =
2
1 โ ๐ฅ2โ 2
These derivatives are non-negative on the interval 0,1 hence
1 โ ๐ฅ ln 1 โ ๐ฅ + 1 + ๐ฅ ln 1 + ๐ฅ โฅ ๐ฅ2for all ๐ฅ โ (โ1, 1)
Hence
โ 1 โ2๐ก
๐ log2 1 โ
2๐ก
๐ โ 1 +
2๐ก
๐ log2 1 +
2๐ก
๐ โค โ
4๐ก2
๐2 log2 ๐
Substitute this inequality into (5)
๐๐ โค 2
๐ 1โ1
2โ4๐ก2
๐2 โlog 2 ๐ = 2๐
๐
2โ๐ก
0
๐โ2๐ก2
๐
QED
ะะธัะตัะฐัััะฐ:
ะ.ะ. ะงะฐัะบะธะฝ โะะตะบัะธะธ ะฟะพ ะดะธัะบะตัะฝะพะน ะผะฐัะตะผะฐัะธะบะตโ
A First Course in Discrete Mathematics 2nd ed
Discrete Mathematics for Computing