1. Buktikanlah jika A, B dan C adalah tiga titik pada lingkaran dengan garis AC adalah

diameter lingkaran maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-

siku terletak di B.

Bukti:

Diketahui OA = OB = OC, ∆OBA dan ∆OBC adalah segitiga sama kaki.

Berdasarkan kesamaan sudut kaki dari segitiga sama kaki diperoleh ∠OBC = ∠OCB

dan ∠BAO = ∠ABO. Dinotasikan α = ∠BAO dan β = ∠OBC, diperoleh 3 sudut

dari segitiga ∆ABC adalah α, α+β, dan β. Karena jumlah sudut segitiga adalah 180º,

diperoleh :

α + (α+β) + β = 180º

2α + 2β = 180º

2(α + β) = 180º

∴ α + β = 90º

2. Buktikan bahwa jika ukuran satu sudut duatu segitiga sama dengan ukuran jumlah

ukuran dua sudut yang lainnya, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Bukti : 

Diketahui : △ABC, m∠A + m∠B

Untuk pembuktian : △ABC adalah segitiga siku – siku

Akan dibuktikan m∠C = 900

Misalkan : a = besarnya derajat pada ∠A

b = besarnya derajat pada ∠B

Maka : a + b = besarnya derajat pada ∠C

a + b + (a + b) = 1800

2a + 2b = 1800

a + b = 900

Karena m∠C = 900, △ABC adalah △ siku-siku.

Jadi, terbukti bahwa jika ukuran satu sudut suatu segitiga sama dengan ukuran jumlah

ukuran dua sudut yang lainnya, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

3. Pada Segitiga sama kaki, sudut-sudut di alas mempunyai besar yang sama dan jika

sisi-sisi kaki diperpanjang maka sudut-sudut dibawah alas juga mempunyai besar

yang sama.

Bukti :

Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan sisi kaki adalah AB dan BC serta diberikan

garis BD dan CE yang memperpanjang sisi AB dan BC.

Akan dibuktikan :

∠ABC = ∠ACB∠FBC = ∠GCB

Ambil sembarang titik F pada BD kemudian ambil titik G pada CE sedemikian hingga AF = AG. Sekarang perharikan △AFC dan  △AGB Karena AF = AG dan AB = BC serta keduanya berbagi sudut yang sama di A maka berdasarkan sisi-sudut-sisi disimpulkan △AFC dan  △AGB kongkruen. Itu berarti diketahui :

∠ABG = ∠ACF∠AFC = ∠AGF

Karena AB = AC dan AF = AG maka BF = CG. Hal tersebut menyebabkan CF = BG. Berdasakan Sisi – sisi – sisi maka diketahui △BGC dan △BFC kongkruen. Hal tersebut menyebabkan ∠FBC = ∠GCB.Karena ∠FBC = ∠GCB dan ∠ABG = ∠ACF maka haruslah  ∠ABC = ∠ACB

4. Jika sutau segitiga △ ABC dengan panjang sisi a, b dan c serta berlaku a2 + b2 = c2 maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.Bukti:

Dikontruksikan segitiga siku-siku △ DEF dengan panjang sisi non-miring a dan b maka menurut Pythagoras berlaku :

  c2 = a2 + b2 

Bedasarkan asumsi yang diketahui, diperoleh sisi miring² =  c2 = a2 + b2 . Itu berarti △DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang sama dengan △ ABC, disimpulkan △ ABC dan △ DEF kongruen.

5. Buktikan bahwa jika sudut-sudut yang berhadapan dari suatu segiempat adalah

kongruen, maka sisi-sisinya yang berhadapan adalah sejajar.

Bukti :

Diketahui : Segiempat ABCD

∠A ≅ ∠C, ∠B ≅ ∠D

Untuk pembuktian : AB /¿CD, BC /¿ AD

Akan dibuktikan ∠ pada sisi yang sama dengan transversal adalah suplementer.

Misalkan : a = besarnya derajat pada ∠A dan ∠C

b = besarnya derajat pada ∠B dan ∠D

2a + 2b = 3600

a + b = 1800

Karena ∠A dan ∠B adalah suplementer, maka

Karena ∠A dan ∠D adalah suplementer, maka