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1 http://plateforme.sillages.info Etude des réseaux de diffraction (PC*) Un réseau est constitué par la répétition périodique d’un motif diffractant, comme par exemple une fente. Les interférences entre les rayons issus des nombreux motifs successifs privilégient alors précisément certaines directions dans lesquelles l’énergie lumineuse est envoyée. Ce chapitre traite de la diffraction de la lumière par un réseau ainsi que de ses applications.

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Etude des réseaux de diffraction (PC*)

Un réseau est constitué par la répétition périodique d’un motif diffractant,

comme par exemple une fente.

Les interférences entre les rayons issus des nombreux motifs successifs

privilégient alors précisément certaines directions dans lesquelles l’énergie

lumineuse est envoyée.

Ce chapitre traite de la diffraction de la lumière par un réseau ainsi que de ses

applications.

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Vidéo : « Réseaux de diffraction »

A diffraction grating is an optical component with a periodic structure.

It splits and diffracts light into several beams travelling in different directions.

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When there is a need to separate light of different wavelengths with high resolution, then a

diffraction grating is most often the tool of choice.

A large number of parallel, closely spaced slits constitutes a diffraction grating.

The condition for maximum intensity is the same as that for the double slit or multiple slits.

The intensity maximum is very narrow (providing high resolution for spectroscopic applications).

The peak intensities are also much higher for the grating than for the double slit.

A beam of helium-neon laser is diffracted to each side in multiple orders.

Many orders are shown to each side of the direct beam, according to the grating relationship :

00s in sin m

a

λθ θ− =

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Comparison of the spectra obtained from a diffraction grating by diffraction (1), and a prism

by refraction (2).

Longer wavelengths (red) are diffracted more, but refracted less than shorter wavelengths

(violet).

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The tracks of a compact disc act as a diffraction grating, producing a separation of the colors of

white light.

The nominal track separation on a CD is 1.6 µm (about 625 tracks per millimeter).

For laser beam, this would give a first order diffraction maximum at about 22°.

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Comment fabriquer un réseau de diffraction ? Exemple d’un réseau par

réflexion (appelé réseaux à échelettes) :

Lorsque les dimensions des miroirs deviennent de l'ordre de quelques

longueurs d'onde, ceux-ci diffractent de la même façon qu'une fente, à ceci

près que le maximum de diffraction se situe dans la direction du rayon réfléchi.

Sur un support en silice de 4 cm d'épaisseur, poli avec des défauts n'excédant

pas λ / 20, on évapore une couche d'aluminium.

Un diamant taillé avec des angles bien définis va créer des sillons parallèles et

rigoureusement espacés.

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Le réseau est attaqué perpendiculairement aux grandes facettes.

Par suite de l'aller-retour dû à la réflexion, la différence des chemins optiques

entre 2 pupilles consécutives vaut 2h.

Le maximum de la courbe de diffraction (dans la direction du réfléchi) se

produit dans une direction où la différence de marche vaut ∆ = 2h = 2asin α et

non plus zéro comme dans le cas des réseaux à fentes.

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I) Intérêt d’un réseau :

Spectre d’émission :

∆E = h ν ( h = 6,63 . 10− 34 J . s (constante de Planck))

L’étude des spectres d’émission permet de connaître la composition du gaz.

En astronomie, on peut ainsi connaître la composition des gaz de la couche

externe des étoiles.

En raison de l’effet Doppler, les fréquences sont un peu décalées ; on peut en

déduire la vitesse avec laquelle l’étoile observée s’éloigne de la Terre.

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Spectre d’absorption :

Lorsqu’un faisceau de lumière blanche traverse un milieu « transparent », ce

dernier absorbe sélectivement des radiations caractéristiques du milieu traversé.

L’étude du spectre d’absorption permet de connaître la composition du milieu

absorbant.

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II) Réseau par transmission :

Un réseau par transmission est constitué par un très grand nombre de fentes

parallèles et équidistantes.

Il est souvent constitué par une lame de verre sur laquelle on a tracé un très

grand nombre de traits parallèles et équidistants (de l’ordre de 500 traits par

millimètre ! ).

La distance a entre deux fentes successives s’appelle le pas du réseau.

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Soit une source ponctuelle, à l’infini, qui éclaire le réseau.

Chaque fente diffracte la lumière.

Les rayons issus des différentes fentes interfèrent entre eux.

On s’intéresse seulement aux interférences à l’infini.

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Ordres m = - 2, - 1, 0, + 1 et + 2 du spectre du mercure avec un réseau

peu dispersif à 80 traits / mm

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III) Théorie élémentaire du réseau :

Soit une source S ponctuelle et monochromatique, à l’infini, qui envoie un

faisceau de lumière parallèle arrivant sur le réseau sous l’angle d’incidence θ0.

On cherche les directions θ pour lesquelles l’intensité des rayons qui

interfèrent à l’infini est maximale.

Il y a interférences à l’infini entre tous les rayons diffractés selon la direction θ .

L’amplitude diffractée par le réseau à l’infini résulte des interférences entre les

rayons issus de tous les motifs éclairés : on parle d’interférences à N ondes

(Dans le cas des trous d’Young, il s’agit d’interférences à deux ondes).

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La différence de marche entre les deux rayons (1) et (2) est :

1 2 0 0(SM) (SM) a sin a sin a(sin sin )δ = − = θ − θ = θ − θ

θ0

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Pour un angle d’incidence θ0 donné, les angles θ correspondant à un maximum

de lumière (les interférences entre les ondes issues de deux motifs successifs

sont constructives) sont donnés par la relation : (« formule des réseaux »)

00 0 0a(sin sin ) m soit sin sin m

a

λθ − θ = λ θ − θ =

m est appelé l’ordre du spectre (c’est l’ordre d’interférences).

Pour un angle θ0 donné, le nombre des valeurs de m est limité car :

− 1 ≤ sinθ ≤ 1

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Cas d’un réseau en réflexion :

a) Etablir la formule des réseaux pour un réseau en réflexion.

b) Commenter la direction de l’ordre 0.

a

a θ0

H2

H1

θ

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Un exemple d’application :

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IV) Interprétation de la formule des réseaux :

1 – Cas d’une lumière monochromatique :

On suppose que la source ne délivre qu’une seule longueur d’onde et on

considère un réseau éclairé sous l’incidence θ0.

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2 – Cas de la lumière blanche :

La solution dans la direction de l’optique géométrique :

θ = θ0 pour m = 0

est valable indépendamment de la longueur d’onde.

Dans cette direction, on observera de la lumière blanche.

Animation JJ.Rousseau

θ0

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Exercice d’application ; recouvrement des ordres :

Un réseau comportant n0 = 800 motifs par millimètre est éclairé par une lampe

à vapeur atomique en incidence normale.

Les longueurs d’onde sont comprises entre min 404, 7 nmλ = (violet) et

min 579,1 nmλ = (jaune).

Les spectres se recouvrent-ils et si oui, à partir de quel ordre ?

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On évalue les déviations des longueurs d’onde extrêmes dans les différents

ordres grâce à la formule des réseaux. La pas est donné par 3

01/ 1, 25.10n mm−= =l .

On en déduit :

m = 1 m = 2 m = 3

Violet 18,9° 40,4° 76,2°

Jaune 27,6° 67,9 /

(Le jaune n’existe pas dans les ordres supérieurs ou égaux à 3).

Les ordres ne se recouvrent donc pas.

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V) Etude expérimentale : (Voir TP)

1) Minimum de déviation dans un ordre donné :

Pour un ordre m donné, la déviation du rayon incident est :

m m 0D = θ − θ (Avec : 0

m 0sin sin ma

λθ − θ =

)

On cherche un extremum (que l’on supposera être un minimum) de Dm lorsque

l’angle d’incidence θ0 varie, pour un ordre m donné :

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θ0 θm = θ0

Dm = 2θm

Le rayon diffracté est symétrique du rayon incident par rapport au réseau :

a

mDoùdD m

22sin'2 0min

min

λθ =

=

(Rappel : pour le prisme)

+

=

2sin

2sin

A

DA

n

m

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La courbe suivante a été tracée avec Regressi, avec un pas du réseau

p = 1 / a = 300 traits / mm et une longueur d’onde dans le vide de 500 nm.

Cette courbe donne la déviation pour l’ordre 1 en fonction de l’angle

d’incidence.

D (°)

(°)i (°)i-30 -15 0 15 30 45

D (°)

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

θ0

θ0

D

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2) Intensité lumineuse dans un ordre donné :

On ne prend pas en compte dans un 1er

temps la diffraction par les motifs du

réseau.

On note 0

0

a2 (sin sin )ϕ = π θ − θ

λ le déphasage entre deux rayons successifs.

θ0

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0 2 2

1 sin ( / 2)( )

2 sin ( / 2)tot

NI k s I

N

ϕϕ

ϕ= =

Répartition de l’intensité pour des interférences à N = 5, 10 et 100 ondes

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Dans cette partie, on prend en compte la diffraction :

Cette fois, il faut tenir compte de la diffraction non isotrope de chacune des

fentes ; on aura ainsi :

1 max

sin( ) ( ) sini t i tb

s A e A c eω ωπ θ

θ θλ

= =

La suite du calcul est inchangée.

On obtient ainsi, en supposant ici θ0 = 0 :

22

0 2 2

sin sin ( sin / )( ) sin

sin ( sin / )

b N aI I c

N a

π θ π θ λϕ

λ π θ λ

=

b étant plus petit que a, on voit que la « fonction diffraction » (le sinc2) varie

« moins vite » que la fonction « réseau » (

2

2 2

sin ( sin / )

sin ( sin / )

N a

N a

π θ λ

π θ λ ) : c’est donc la

1ère

qui enveloppe la seconde.

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With :

1

i

k ks s eϕ−

+ =

The total amplitude is : (geometrical progression with i

eϕ−

as common ratio)

1

1 1

0

1

1

iNNik

tot ik

es s e s

e

ϕϕ

ϕ

−−−

−=

−= =

−∑

So :

/2 /2 /2 /2

1 1/2 /2 /2 /2

sin( / 2)

sin( / 2)

iN iN iN iN

tot i i i i

e e e e Ns s s

e e e e

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

− − −

− − −

−= =

The intensity is therefore : (normal incidence, θ0 = 0)

22

0 2 2

sin sin ( sin / )( ) sin

sin ( sin / )

b N aI I c

N a

π θ π θ λθ

λ π θ λ

=

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File Regressi

Animations JJR : Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau plan (principe)

Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources

Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources (Fresnel)

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Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau plan (principe)

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Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau plan (principe)

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Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources

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Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources (Fresnel)

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3) Pouvoir dispersif d’un réseau :

On rappelle le déphasage entre deux rayons passant par deux traits consécutifs

du réseau :

0

0

a2 (sin sin )ϕ = π θ − θ

λ

Soient L la longueur du réseau éclairé, a le pas du réseau et N le nombre de

traits éclairés :

L = Na

On a montré au paragraphe précédent qu’un maximum principal a une demi-

largeur angulaire (prise à mi-hauteur du pic d’intensité) égale à :

N

πϕ

2=∆

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L’analyse spectrale de la lumière sera convenable si le réseau sépare

correctement la lumière dans un ordre donné et si deux ordres différents ne se

recouvrent pas.

On considère deux radiations lumineuses de longueurs d’onde voisines λ0 et

λ0 + ∆λ (lampe à vapeur de sodium, par exemple).

On souhaite, dans un ordre donné m, résoudre ces deux raies séparées de ∆λ.

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Réseau

Collimateur

Lampe Hg

L CV

Angle de déviation D

Lunette autocollimatrice

à l’infini

Oculaire

L CV

F

Prisme

Plateau

Réseau

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On voit sur l’écran ou à travers la lunette auto-collimatrice :

I

λθ ∆=∆a

mm )(sin

θsinNa

m

0)(sinλ

θ =∆

00 λλ ∆+0λ

La résolution théorique du réseau est :

mNa

Lm ==

∆=ℜ

λ

λ0

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Par exemple, dans le cas du sodium :

0001982;6,0;5890 ≈=ℜ=∆= nmnm λλ

A l’ordre 1, on peut choisir N = 1 000. A l’ordre 2, N = 500.

Dispersion angulaire du réseau :

On montre que la dispersion angulaire du réseau vaut :

m

m

anga

m

d

d

θλ

θ

cos0

==ℑ

La dispersion est d’autant plus élevée que l’ordre est grand et le pas du réseau

petit.

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Exercice d’application :

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VI) Etude d’un réseau à échelettes :

Diffraction grating with a triangular profile (technique is called blazing)

Animation JJR : Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau blazé

It is possible to concentrate most of

the diffracted energy in a particular

order for a given wavelength.

This is a dispersif order.

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L’animation proposée permet de tracer les deux graphes des fonctions de diffraction (en rouge) et d’interférences (en bleu).

On peut faire varier le pas a du réseau ainsi que l’angle d’une facette α.

Quel est l’intérêt de ce réseau comparé à un réseau par transmission constitué de N fentes équidistantes ?

Page 50: Etude des réseaux de diffraction (PC*)olivier.granier.free.fr/cariboost_files/Tr-reseaux-PC... · 2013-03-23 · 1 Etude des réseaux de diffraction (PC*) Un réseau est constitué

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Le déphasage entre l’onde passée par O1 et l’onde passée par Op, arrivant sous

incidence normale et diffractée dans la direction β, est ( )pϕ β où :

2( ) sin( )

cos

aπϕ β = β−α

λ α

Dans quelle direction observe-t-on des maxima d’intensité ?

Quel est l’effet de la diffraction ?

On peut ajuster les paramètres du réseau de telle sorte que, pour une longueur d’onde donnée (on utilise ici une lumière infrarouge de longueur d'onde égale à 2 µm), seul le maximum d’ordre p soit lumineux et tous les autres éteints.