Estudos de Controle - Aula 3: Modelagem (1)
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Estudos de Controle – Modelagem (1)
1
Modelos Matemáticos
• Modelagem matemática de sistemas dinâmicos:
• Analisar características dinâmicas.
• São conjuntos de equações que representam com precisão ou razoavelmente bem a dinâmica do sistema.
• Não é único. Geralmente utilizam-se equações diferenciais.
• É considerada a parte mais importante da análise de sistemas de controle.
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Propriedades
• Sistemas lineares:
• Definição: um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele. Ou seja, a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções diversas é a soma das duas respostas individuais.
• Nesses sistemas, a resposta para cada entrada pode ser calculada tratando uma de cada vez e somando o resultado.
• Geralmente, se causa e efeito são proporcionais, o sistema é linear.
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Propriedades
• Sistemas lineares invariantes no tempo:
• Os sistemas dinâmicos cujos coeficientes das equações diferenciais são constantes são chamados de sistemas lineares invariantes no tempo.
• Exemplo: termostato.
• Sistemas lineares variantes no tempo:
• São os sistemas cujos coeficientes das equações diferenciais variam no tempo.
• Exemplo: veículo espacial (massa).
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Função de transferência
• Caracterizam as relações de entrada e saída dos sistemas.
• Geralmente escritas por equações diferenciais lineares invariantes no tempo.
• Definição: relação entre a transformada de Laplace da saída (função de resposta) e a transformada de Laplace da entrada (função de excitação), admitindo-se as condições iniciais nulas.
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Função de transferência
• Dada a equação diferencial de um sistema linear invariante no tempo:
𝑎0𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛+ 𝑎1
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1+ …+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 𝑎𝑛𝑦 =
𝑏0𝑑𝑚𝑥
𝑑𝑡𝑚+ 𝑏1
𝑑𝑚−1𝑥
𝑑𝑡𝑚−1+⋯+ 𝑏𝑚−1
𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝑏𝑚𝑥
onde 𝑛 ≥ 𝑚, y é a saída do sistema e x é a entrada. Então, a função de transferência é
𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)=𝑏0𝑠
𝑚 + 𝑏1𝑠𝑚−1 +⋯𝑏𝑚−1𝑠 + 𝑏𝑚
𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠
𝑛−1 +⋯𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛
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Função de transferência
• Muito utilizada na análise e projeto de sistemas lineares invariantes no tempo.
• É um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada.
• É uma propriedade inerente ao sistema, independentemente da magnitude e da natureza da função de entrada.
• Não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema. 7
Função de transferência
• Permite estudar a saída do sistema para várias maneiras de entrada, fornecendo informações da natureza do sistema.
• Se a função de transferência não é conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e análise das respectivas respostas do sistema.
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Função de transferência
• Exemplo:
• Sistema de controle de posição de um satélite, considerando apenas um eixo. Dois jatos localizados em A e B aplicam força de reação
para girar o corpo, com empuxo igual a 𝐹
2 e o
torque resultante seja T=Fl.
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Função de transferência
• Exemplo:
• Como os jatos são aplicados por um certo tempo, o torque é uma função do tempo 𝑇 𝑡 .
• O momento de inércia em relação ao eixo de rotação no centro da massa é J.
• Obtenha a função de transferência admitindo que a entrada é o torque 𝑇 𝑡 e o deslocamento angular 𝜃(𝑡) é a saída.
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Função de transferência
• Exemplo:
• Aplicando a segunda lei de Newton:
𝑇 𝑡 = 𝐽𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
• Transformada de Laplace: 𝑇 𝑠 = 𝐽𝑠2𝜃(𝑠)
• Função de transferência:
𝐺 𝑠 =𝜃(𝑠)
𝑇 (𝑠)=1
𝐽𝑠2
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Função de transferência
• Integral de Convolução
• Dada a função de transferência, podemos escrevê-la também da seguinte forma
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋(𝑠)
• Que equivale no domínio do tempo a integral de convolução
𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑥 𝜏 𝑑𝜏𝑡
0
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Função de transferência
• Função de resposta impulsiva:
• A saída de um sistema a um impulso unitário com condições iniciais nula é dado por
𝑌 𝑠 = 𝐺(𝑠)
• No domínio do tempo g(t) é chamada de função de resposta impulsiva, que também é chamada de função característica do sistema.
• Logo, é possível obter informações sobre as características dinâmicas do sistema por meio da excitação por um impulso de entrada. 13
Função de transferência
• Diagrama de blocos:
• Representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e o fluxo de sinais entre eles.
• Blocos funcionais – símbolo da operação matemática aplicada ao sinal de entrada do bloco, produzindo uma saída.
• Somador e ponto de ramificação. 14
G(s)
Função de transferência
• Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada:
• Quando a saída é realimentada para comparação com a entrada, é necessário converter a forma do sinal de saída à do sinal de entrada.
• Elemento de realimentação, cuja função de transferência é H(s).
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Função de transferência
• Função de transferência de malha aberta:
• Relação entre o sinal de realimentação e o sinal de erro atuante.
𝐵(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
• Função de transferência do ramo direto:
• Relação entre o sinal de saída e o sinal de erro atuante.
𝐶(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐺 𝑠
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Função de transferência
• Malha fechada
• Relaciona o sinal de saída e o sinal de entrada. 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
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