ESTUDO DAS FUNÇÕES
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ESTUDO DAS FUNÇÕES
NOTAÇÃO: f: A B
A é denominado domínio da funçãoB é denominado contra domínio da função
Valor numérico Valor numérico
1) Se f(x) = 2x – 1, calcule f(100).
f(x) = 2x – 1 f(100) = 2(100) – 1 f(100) = 200 – 1
f(100) = 199
100 199
A B
2) Se f(x) = x2 – 6x + 8, calcule os valores de x tal que f(x) = 0
f(x) = x2 – 6x + 8
0 = x2 – 6x + 8(Equação do 20 grau)
a = 1 b = - 6 c = 8
= b2 – 4ac
= (-6)2 – 4.1.8
= 36 – 32
= 4 226
x
2abx
Logo temos: x1 = 2 e x2 = 4
ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLOS:
1) f(x) = x2 - 5x + 6
Valores de x para os quais existe y
Domínio:
2) f(x) = 3x5
62x1x
Domínio: denominador 0x – 3 0x 3
3) f(x) =
Domínio: 2x – 6 0 2x 6 x 3
4) f(x) = 5x Domínio: radicando 0
x – 5 0x 5
FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS IGUAIS
FUNÇÃO ÍMPAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS SIMÉTRICAS
EXEMPLOS:
a) f(x) = x2 – 4 f(-3) = (-3)2 – 4 =
f(3) = (3)2 – 4 =
5
5
Logo f(x) é par
b) g(x) = 2xg(-4) = 2(-4) =
g( 4) = 2(4) =
-8
8
Logo g(x) é ímpar
NOTAÇÕES
f(g(x)) = fog (x)g(f(x)) = gof (x)f(f(x)) = fof(x)
1) Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = 4x – 3. Determinar f(g(x))
f(x) = 2x + 1f(…) = 2(…) + 1f(g(x)) = 2g(x) + 1f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1f(g(x)) = 8x – 6 + 1
f(g(x)) = 8x – 5
2) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x + 3, g(x) = 2x – 1. O valor de f(g(5)) é:
1o Modo
Vamos obter primeiramente a f(g(x))
f(x) = x + 3
f(…) = (…) + 3
f(g(x)) = g(x) + 3
f(g(x)) = 2x – 1 + 3
f(g(x)) = 2x + 2
Se f(g(x)) = 2x + 2, então:f(g(5)) = 2.5 + 2
f(g(5)) = 12
2o Modo
Vamos “abrir a função”
Como queremos calcular f(g(5)) ,procedemos assim:
f(x) = x + 3 g(x) = 2x – 1 g(5) = 2.5 – 1 g(5) = 10 – 1 g(5) = 9
f(9) = 9 + 3
f(9) = 12
Portanto f(g(5)) = 12
3) Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3))
f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1
h(3) = 3.3 – 1h(3) = 9 – 1 h(3) = 8
g(8) = 8 – 5 g(8) = 3
f(3) = 2.3 + 3f(3) = 6 + 3f(3) = 9
Portanto f(g(h(3)) = 9
4) ( CEFET – PR ) Sendo f(x) = x + 2 e f(g(x)) = 2x – 3, então g(x) é igual a:
f(x) = x + 2f(g(x)) = g(x) + 2
2x – 3 = g(x) + 2
2x – 3 – 2 = g(x)
2x – 5 = g(x)
Para encontra a inversa de uma função, o processo prático é trocar x por y e em seguida isolar y.
1) Seja f(x) = 2x + 3. Obtenha f -1(x).
f(x) = 2x + 3
x = 2y + 3x – 3 = 2y
yx
2
3
23)(1
xxf
3x 1-2xf(x)
2) Encontre a inversa da função
3x1-2xf(x)
x = 312
yy
x(y – 3) = 2y – 1
xy – 3x = 2y – 1
xy – 2y = 3x – 1
xy – 2y = 3x – 1
y(x – 2) = 3x – 1
y = 213
xx
2x13x(x)f 1
3) ( UFSC ) Seja a função f(x) = 2x
2x
22)(
xxxf
22
yyx
Determine f -1(2)
PASSO 1: determinar a inversa de f(x)
x(y – 2) = – 2y xy – 2x = – 2y
xy + 2y = 2x
xy + 2y = 2x
y(x + 2) = 2x
22
xxy
2x2x(x)f 1
PASSO 2: determinar f-1 (2)
2x2x(x)f 1
22
2.2)2(1f
44)2(1 f
Portanto f-1(2) = 1