ESTUDO DA RECTA NO PLANO

Recta no plano passando na origem

40.67 ( 67%)

6( 0.67)

tg declive da recta

m Notar que é positivo

4 2

6 3

2

3

P

P

P P

ym

x

y x

P(6,4)

Em qualquer ponto P( , ) da recta veri

(eq.re

fica

duzi

-s

da da recta)

e

y

yx y

mx

mx

Inclinação da recta

Recta no plano passa na origem

40.67 ( 67%)

6( 0.67)

tg declive da recta

m Notar que é negativo

4 2

6 3P

P

P P

ym

x

y mx

P(6,-4)

Em qualquer ponto P( , ) da recta veri

(eq.re

fica

duzi

-s

da da recta)

e

y

yx y

mx

mx

Recta no plano não passa na origem

40.67 ( 67%)

6( 0.67)

tg declive da recta

m Notar que é positivo

4 2

6 3

22

(6) 63P Py b

m

mx

Em qualquer ponto P( , ) da recta veri

(eq.red

fica-

uzida da recta

s

)

e:

y mx b

x y

P(6,4)

Ordenada da recta na origem2b

4

6

Recta no plano não passa na origem

20.33 ( 33%)

61

Tangente negativa, logo -3

tg declive da recta

m

P(6,-4)

6

2

Ordenada da recta na origem2b

Em qualquer ponto P( , ) da recta veri

(eq.red

fica-

uzida da recta

s

)

e:

y mx b

x y

1(6) 4

3( 2)P Py mx b

Generalizar y=mx+b (conhecidos 2 pontos da recta)

(2,4)A

P(x,y)

Declive “m” da recta

( )A

A AA y

y ym

xy m x

xx

Equação da recta

( )

4 ( 2)

2

A Ay y m x x

y m x

y mx

2x

4y

K

y=m

x+2

Verificação em K(0,2)

4 21

2 0

( )

4 2 1(2 0) 2

2 2 . . .

A K

A K

A K A K

y ym

x x

y y m x x

q e d

Equação da recta no plano definida por dois pontos A e B

Considerar um ponto P(x,y) pertencente à rectaConsiderar o triângulo verde com catetos de dimensão igual à diferença de coordenadas dos 2 pontos definidores da recta.

Notar que a ordem escolhida para as diferenças foi A-B

Considerar o triângulo azul com catetos de dimensão igual à diferença de coordenadas de P e do 2º dos pontos anteriores.

Notar que se obedeceu à ordem anterior pois fez-se P-B

Os dois triângulos são semelhantes pelo que:

B(2,-2)

A(8,8)

A Bx x

By y

Bx x

A B B

A B B

y y y y

x x x x

A By y( , ) •P x y

Equação da recta no plano definida por dois pontos A e B

B(2,-2)

A(8,8)

A Bx x

By y

Bx x

A B B

A B B

y y y y

x x x x

A By y( , ) •P x y Não é novidade...

- :

( )

( )

"m" :

A BB B

A B

A B

B

A

B

B

Da equação anterior obtém se

y yy y x x

x x

y yé o d

y y

eclive da recta pelo quex x

m x x já apresentada

Rectas paralelas (r//s)

r

s

Rectas paralelas têm igual declive

tg tg

Rectas paralelas (exemplo)3

" ": 24

Equação recta r y x " " " " (-2, -3)

" "

A recta s é paralela a r e passa em P

Calcular a equação da recta s

r

s

Resolução3

( )4s rm m rectas paralelas

1 1

" "

( )P s P

Equação da recta s

y y m x x

P 1

1 1

1

1 1

3( 3) ( (

3 3

4

2)4

33 ( )

2

24

y x

y x

y x

3 -

2Notar b

1 1( , )y x

Rectas perpendiculares entre si

3

22 3

. 13 2

2

3r

s

r s

m

m m

m

r

P(3,7)

(0,9)Q s

(4,0)A

(6,3)B

Nas rectas perpendiculares entre si, o produto dos seus declives é igual a -1

Rectas perpendiculares entre si (exemplo)3

" ": 24

Equação recta r y x

" " " " (2,6)

" "

A recta s é perpendicular a r e passa em P

Calcular a equação da recta s

r

Resolução. 1 ( )

3 41

4 3

s r

s s

m m perpendicularidade

m m

1 1

" "

( )P s P

Equação da recta s

y y m x x

P

1

1

1

1

46 ( 2)

23

4 6

3 3y

y x

x

s

26

3Notar b

Equação geral da recta no plano

3 " ": 2

4Equação reduzida da recta r y x

0 Ax By C

: 3 4 8 0

3

4

8

Equação geral da recta x y

A

B

C

Exercício 1

Círculo com centro O e raio 2. Pontos A(-2,0); B(0,2). Coordenadas de C?

A

B

C

Raciocínio

1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 0 2 2

4 4 ( 2 2) 4

(5 8) 04 8 4 4 5 8 0

16 62

5 58

805

5

y x y x

x y x y x x

x xx x x x x

y

x xx

8 6,

5 5C

Exercício 2

Raciocínio

Re " 3 - 2 4 0.

(5,6) " "

cta r com equação y x

Calcular distância de P à recta r

P

I

3

2

r

Exercício 2

Cálculo

2 4Re "

3 3 (5,6) " "

cta r com equação y x

Calcular distância de P à recta r

P

I

3

2

23

Recta "s" "r" passando em P:

1 1 3declive da recta "s": m .m =-1 m

m 2r s sr

s

r

Coordenadas do ponto I

892 3 4 13

3 2 27 42

13

xx y

x yy

2 22

89 425 6

13 13

3.33

Distância PI

PI

PI

Equação de "s"

( )

36 ( 5)

23 27

2 2

P s Py y m x x

y x

y x

Exercício 3

Raciocínio e Cálculo

B b

b

a

A

3

2

b

a

C

3

2

b

a

Exercício 3

B 20b

b

a

A

3

2

b

a

C

y ax b 2y ax b

Raciocínio e Cálculo

Vector

3

4Paralelo a AB. Tem declive 4/3. AB tem a=4/3

4Re :

3cta AB y ax b y x b

2 223 3

: 225 225 400 2044

:

4

3

Do an

b bÁ

terior sabemos

rea triângulo b ba

3 3(20)22.5

42 23

20225 22.5

2

bBase do triângulo

a

ACou AC

43

83

20( ,0) ( ,0) ( 15,0)

20( ) ( ,0) (7.5,0)2

bA

a

bC

a

2 2 2

2 2 2

15 20 25

7.5 20 21.36

AB AB

BC BC

22.5 25 21.36 68.86Perímetro 3

2

b

a

322.5

2

b

a

Exercício 4

B

3

A C

3 9y x 6 9y x

Raciocínio e Cálculo

. : 3 9

0 0 3 9 -3 (-3,0)

Eq recta AB y x

Vértice A tem y x x A

. : 6 9

9 (0,9)

0 6 9 1.5 (1.5,0)

Eq recta BC y x

Vértice B é ordenada na origem b B

Vértice C tem ordenada nula x x C

9b

1.5

(4.5)(9)20.25

2Área de ABC

1' ' ' (20.25) 2.25

9Área de A B C

2

' ' ' .

20.25 9 3

' ' ' 2.25

ABC e A B C são semelhantes

Área ABCRazão desemelhança é r r

Área A B C

13 ' (3) 1 ' 1

33 9 3( 1) 9 6

'( 1,6)

AO A K abcissa de A

y

A

x

11.5 ' (1.5) 0.5 ' 0.5

'(0.5,6

36 9 6( 5

)

0. ) 9 3

OC KC abcissa de C

y

C

x

K

Isto é lindo, lindo…