Estudio Del Flujo Gradualmente Variado
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ESTUDIO DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
INTRODUCCIN
El flujo gradualmente variado es un fenmeno que se presenta cuando el tirante de un
flujo vara a lo largo del canal con un gasto siempre constante, disminuyendo o
incrementndose dependiendo del tipo de flujo que se presenta, ya sea flujo
gradualmente acelerado (abatimiento) o flujo gradualmente retardado (remanso).
Las causas que producen el flujo gradualmente variado pueden ser diversas, entre ellas
pueden mencionarse a: cambios en la seccin geomtrica, cambios de la pendiente,
cambios en la rugosidad de las paredes y/o fondos, curvas horizontales en el trazo,
obstrucciones del rea hidrulica, etc.
Fundamentalmente en los problemas relacionados con el flujo gradualmente variado, se
desea calcular la distancia existente entre dos tirantes dados o los tirantes extremos entre
una distancia determinada; habiendo sido desarrollados diversos mtodos de clculo.
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OBJETIVOS
Entender el comportamiento de flujo gradualmente variado, la influencia de los
controles que lo generan e identificar correctamente los perfiles de flujo que se
pueden presentar en canales.
Aplicar modelos matemticos desarrollados para el clculo de perfiles de flujo
gradualmente variado, contrastndolos con las mediciones realizadas en el
laboratorio.
Analizar perfiles de flujo experimentales y compararlos con resultados tericos.
PRINCIPIOS TERICOS
FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
Es el flujo permanente cuya profundidad varia de manera gradual a lo largo de la
longitud del canal. Esta definicin establece dos condiciones:
1) El flujo es permanente; es decir, las caractersticas hidrulicas de flujo
permanecen constantes para el intervalo de tiempo bajo consideracin.
2) Las lneas de corriente son paralelas; es decir, prevalece la distribucin
hidrosttica de presiones sobre la seccin del canal.
El flujo gradualmente variado puede ser de dos tipos:
Flujo variado retardado.- se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por
ende aumenta la profundidad en el sentido de la corriente.
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Flujo variado acelerado.- se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta por ende
la profundidad del flujo disminuye en sentido de la corriente. Ocurre cuando la
pendiente del canal aumenta bruscamente o cuando existe una cada vertical.
DERIVACIN DE LA ECUACIN PARA LA SUPERFICIE LIBRE EN FLUJO
GRADUALMENTE VARIADO
En el anlisis de flujo en canales abiertos es necesario predecir el comportamiento de
los perfiles de la lmina de agua. Esto se puede hacer con un anlisis del
comportamiento de la pendiente de la superficie del agua en funcin de las variables
geomtricas e hidrulicas del flujo, como se analizara a continuacin a partir de la
siguiente figura.
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En cualquier seccin transversal la energa total H est dado por la expresin:
En donde:
H: energa total.
V: velocidad de flujo.
Y: energa de presin (P/ ).
Z: posicin respecto al plano de referencia.
Derivando la ecuacin (1) con respecto a x (distancia longitudinal) y considerando un
sistema de referencia (x,Y) con incrementos positivos hacia la derecha y hacia arriba
respectivamente, se obtiene:
.(2)
Donde
es el cambio de la energa respecto a la distancia x, es decir la pendiente de
friccin.
Viene a ser el cambio de la energa
cintica respecto a la distancia (x).
Es el cambio de elevacin del fondo del canal con respecto a la distancia, o
pendiente del fondo del canal.
Ahora escribiendo la ecuacin 2 en funcin de la variacin de la profundidad del flujo
con respecto a la distancia:
De aqu obtenemos:
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CLASIFICACIN DE PERFILES EN FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
A efectos de identificar el comportamiento de la superficie libre en flujo gradualmente
variado, los perfiles se clasifican en funcin de su pendiente de fondo y tambin de su
rugosidad y el caudal que circula por ellos.
La pendiente crtica (Sc) resulta ser aquella pendiente para la cual en un canal de
geometra y rugosidad conocidas, por el que circula un caudal Q, el tirante normal
coincide con el tirante crtico.
1) En el caso que la pendiente de fondo sea negativa (S0 < 0), esto es la cota del
fondo del canal crece en la direccin del flujo, se clasifica como perfil tipo A
(pendiente adversa).
2) En el caso que la pendiente de fondo valga cero (S0 = 0), esto es canal de fondo
horizontal, se clasifica como perfil tipo H (pendiente nula).
3) Cuando la pendiente de fondo del canal resulta igual a la pendiente crtica
(S0 = Sc), el perfil se clasifica como tipo C (pendiente crtica). Obsrvese que
esto implica (Yn = Yc).
4) Cuando la pendiente de fondo del canal resulta mayor que la pendiente crtica
(S0 > Sc), el perfil se clasifica como tipo S (pendiente fuerte). Se verifica en
este caso (Yn < Yc).
5) Cuando la pendiente de fondo del canal resulta menor que la pendiente crtica
(S0 < Sc), el canal se clasifica como tipo M (pendiente suave). En esta
condicin se cumple (Yn > Yc).
En el caso de pendiente cero no existe la posibilidad de flujo uniforme; en efecto, para
S0 = 0 el tirante normal es Yn = . Para S0 S0 corresponde a Y < Yn y Sf < S0 corresponde a Y > Yn.
FR > 1 corresponde a Y < Yc y FR < 1 corresponde a Y > Yc.
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Con la ayuda de estas desigualdades se puede observar fcilmente como se afecta el
comportamiento de dY/dx, al cambiar las magnitudes de Y, Yn y Yc.
Cualquiera que sea la pendiente, el gasto y la seccin del canal, las lneas que indican la
altura del tirante normal y del tirante critico respecto de la plantilla, dividen al espacio
en que puede desarrollarse el perfil del flujo en tres zonas, llamadas:
Zona 1. El espacio arriba de la lnea superior.
Zona 2. El espacio entre las dos lneas.
Zona 3. El espacio debajo de la lnea inferior.
En ciertos casos, algunas zonas pueden desaparecer, por ejemplo, la 2 cuando la
pendiente es crtica y Yn = Yc. Sin embargo, las restantes mantienen el nmero de la
zona antes asignado.
Dentro de cada zona queda alojado cualquier perfil, de modo que si:
El perfil de la superficie libre diverge de la plantilla.
El perfil de la superficie libre es paralelo a la plantilla.
El perfil de la superficie libre converge con la plantilla.
Esto significa que existen diferentes formas para el perfil del flujo gradualmente variado
(doce en total). La forma o tipo del perfil de flujo depende de las condiciones
particulares en el canal; es decir, el incremento o disminucin del tirante depende del
signo que resulte de dichas condiciones al imponerla en la ecuacin (3).
Por ejemplo para un canal de pendiente subcrtico o perfil de tipo suave:
Zona 1: Y>Yn>Yc; S0>Sf, FR 0, se forma remanso, perfil M1.
Zona 2: Yn>Y>Yc; S00, se forma remanso, perfil M3.
Con un anlisis similar al anterior para cada zona y cada pendiente se tienen diversas
situaciones, presentadas en la siguiente figura:
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SECCIONES DE CONTROL
Las seccin del canal en que sea posible establecer una relacin definida entre el nivel
de la superficie libre del agua y el gasto correspondiente, se cono ce como seccin de
control. Dicha seccin impone sus condiciones al perfil del flujo y puede actuar tanto en
la direccin del flujo como en la direccin contraria. Por sus propiedades una estacin
de aforo es el sitio adecuado para una seccin de control y viceversa.
Algunos ejemplos de secciones de control son las presas, vertederos y compuertas.
MTODOS DE CLCULO
Para el clculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza la ecuacin (3); sin
embargo, la pendiente de friccin en flujos reales no es conocida y se debe determinar a
partir de alguna ecuacin de resistencia al flujo. Adicionalmente, se deben hacer algunas
suposiciones, entre ellas:
Se consideran tramos de anlisis relativamente pequeos, de tal forma que se
pueda considerar flujo uniforme y as determinar la pendiente de friccin
utilizando una ecuacin de resistencia al flujo, usualmente Manning.
La pendiente del canal es pequea, por ende la profundidad de flujo vertical es
aproximadamente la misma profundidad perpendicular al fondo, es decir que no
se requiere corregir la profundidad de flujo por la pendiente.
El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidrulico y constante en
todo el tramo en consideracin.
Para conocer la variacin de la profundidad del flujo gradualmente variado en relacin
con la longitud del canal ya sea hacia aguas arriba o aguas abajo de la seccin de
control, se emplean mtodos tericos aproximados entre los cuales los ms usados son:
el mtodo tramo a tramo y el de integracin grfica. Estos mtodos son aplicables a
canales prismticos y no prismticos.
MTODO DE TRAMO A TRAMO
En este mtodo se divide el canal en tramos cortos y se hacen los clculos etapa por
etapa. Es un mtodo simple aplicado a canales prismticos.
A partir de la ecuacin de energa se tiene:
.(4)
En donde:
y
..(5)
Remplazando (5) en (4) y despejando para x se obtiene:
x: longitud de cada tramo.
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E1 : energa especfica para la seccin inicial del tramo.
E2 : energa especfica para la seccin final del tramo.
S0 : pendiente del canal en tanto por uno (m/m; cm/cm).
Sf : pendiente de friccin, tambin denominado gradiente hidrulico medio del tramo.
Se calcula para la profundidad media del tramo dada por:
Y1 : profundidad del agua en la seccin inicial del tramo.
Y2 : profundidad del agua en la seccin final del tramo.
Para el sistema de unidades tcnico, internacional o MKS:
Para el sistema C.G.S:
Am : rea de la seccin media de profundidad Ym.
Rm : radio hidrulico de la seccin media de profundidad Ym.
Q : caudal.
n : coeficiente de rugosidad del canal segn Manning.
Para aplicar este mtodo se debe conocer la profundidad de la seccin inicial y la clase
de variacin. Tomando incrementos o decrementos Y, la profundidad siguiente ser
El signo es (+) si la variacin es retardada hacia aguas abajo y el signo es (-) si es
acelerada. El valor de los intervalos que se adopten (x, Y) puede ser cualquiera,
pero entre ms pequeo sea, es mayor la exactitud del mtodo.
La siguiente figura nos muestra el clculo de tramo a tramo.
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MTODO DE INTEGRACIN GRAFICA
El mtodo tiene como base la expresin diferencial presentada en la ecuacin (3), que
cuando se consideran tramos se convierte en la siguiente expresin.
Para sistema tcnico, internacional o M.K.S:
Para el sistema C.G.S:
g : aceleracin de gravedad = 980 cm/s2 = 9.8 m/s.
R: radio hidrulico.
Como las variables A y Sf son funcin de la profundidad Y, la ecuacin (6) puede
expresarse como:
. (7)
Puesto que esta expresin no es integrable directamente, se debe recurrir a otros
mtodos aproximados como el de la
integracin grfica.
Si se grafica en coordenadas
rectangulares la funcin F(Y) se tiene
una curva.
Segn la figura, la curva est limitada por F(Y0) y F(Yn). El rea debajo de la curva
corresponde a la integral de la ecuacin (7) o sea la longitud entre las secciones de
profundidades Y0 y Yn. Para encontrar esta rea numricamente se procede as:
Se divide el rea en trapecios de bases F(Y1) y F(Y2) y altura Y= Y2-Y1.
El rea de cada trapecio (
)
.. Longitud del flujo gradualmente variado.
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EQUIPOS
Canal de laboratorio de mecnica de fluidos.
Canal de laboratorio de mecnica de fluidos
HERRAMIENTAS
Limnmetro
Reglas
MATERIALES
Agua
Tabla de valores de caudales
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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
1. Colocar el canal en una pendiente pronunciada.
2. Encender la bomba y permitir que circule un caudal en el canal mediante la
vlvula.
3. Esperar que el flujo en el vertedero se estabilice para aforar el caudal que pasa
por el canal.
4. Manipular la compuerta al final del vertedero para generar la curva de remanso.
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5. Mirar la variacin del perfil del agua. Si es bien pronunciada continuar con los
pasos siguientes; de o contrario modificar la pendiente del canal y el caudal
hasta lograr visualizar bien la variacin del perfil.
6. A partir del control (compuerta) marcar en el canal con pasos de 10 cm a lo
largo de la curva.
7. Medir con el Limnmetro el tirante del flujo en cada marca que se hizo.
8. Anotar los datos experimentales.
TOMA DE DATOS
Q(cm/s) : 2410
q=(cm/s) 223,1481
Z1(cm) 0
L(cm) 220,5
n: 0,01
B(cm): 10,8
Z2(cm): 8,8
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N L(cm) Medida con el Limnmetro Mediciones echas con una regla
Y Y (tirante)
1 0 - 17.50
2 10 - 16.90
3 20 - 16.40
4 30 34.10 -
5 40 33.70 -
6 50 33.50 -
7 60 32.80 -
8 70 32.40 -
9 80 32.00 -
10 90 31.50 -
11 100 31.10 -
12 110 30.70 -
13 120 30.30 -
14 130 29.80 -
15 140 29.40 -
CLCULOS
1. Calculo de la pendiente del canal:
2. Calculo del tirante normal:
Yn = 1.9124 cm
3. Calcule la profundidad crtica Yc
4. Calcule la pendiente crtica y verifique el tipo de perfil.
Ac = Yc*B = 3.703*10.8 = 39.987 cm2
Rc = Ac/(B+2*Yc) = 39.987/(10.8+2*3.703) = 2.1965
5. Tome como profundidad inicial la misma de la prctica de laboratorio para
L=0, y dando incrementos de Y arbitrarios, calcule las distancias x entre
secciones y la distancia total L medida en el laboratorio.
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Por el mtodo de tramo a tramo
DATOS Clculos Mtodo Tramo a Tramo
N L(cm) Y(cm) A(cm) V(cm/s) E(cm) Ym(cm) Am(cm) Pm(cm) Rm(cm) Sf x(cm) L(cm)
1 0 17,5 189 12,7513 17,5829 17,2 185,76 45,2 4,1097 0,0003040 0,0000 0,0000
2 10 16,9 182,52 13,2040 16,9889 16,65 179,82 44,1 4,0776 0,0003279 12,4932 12,4932
3 20 16,4 177,12 13,6066 16,4944 16,3 176,04 43,4 4,0562 0,0003445 4,9957 17,4890
4 30 16,2 174,96 13,7746 16,2967 15,95 172,26 42,7 4,0342 0,0003624 12,4850 29,9739
5 40 15,7 169,56 14,2133 15,8030 15,525 167,67 41,85 4,0065 0,0003861 8,7354 38,7093
6 50 15,35 165,78 14,5373 15,4577 15,1 163,08 41 3,9776 0,0004120 12,4724 51,1817
7 60 14,85 160,38 15,0268 14,9651 14,625 157,95 40,05 3,9438 0,0004443 11,2174 62,3991
8 70 14,4 155,52 15,4964 14,5224 14,2 153,36 39,2 3,9122 0,0004763 9,9639 72,3630
9 80 14 151,2 15,9392 14,1295 13,75 148,5 38,3 3,8773 0,0005141 12,4439 84,8069
10 90 13,5 145,8 16,5295 13,6393 13,3 143,64 37,4 3,8406 0,0005565 9,9451 94,7520
11 100 13,1 141,48 17,0342 13,2479 12,9 139,32 36,6 3,8066 0,0005986 9,9346 104,6866
12 110 12,7 137,16 17,5707 12,8574 12,5 135 35,8 3,7709 0,0006456 9,9226 114,6093
13 120 12,3 132,84 18,1421 12,4678 12,05 130,14 34,9 3,7289 0,0007052 12,3835 126,9927
14 130 11,8 127,44 18,9109 11,9823 11,6 125,28 34 3,6847 0,0007732 9,8882 136,8809
15 140 11,4 123,12 19,5744 11,5953
L=x= 136,8809
-
Observaciones:
La seccin de control se encuentra en L=0 y para esa posicin el tirante vale Y = 17.5 a partir de ese punto el tirante comienza a
disminuir hasta que se establece un flujo uniforme aproximadamente.
La seccin de control se encuentra en L=0 y para esa posicin el tirante vale Y = 17.5 a partir de ese punto el tirante comienza a
disminuir hasta que se establece un flujo uniforme aproximadamente.
De los clculos S0 > SC (flujo supercrtico cuando el flujo es uniforme), es decir el tirante normal es menor al tirante critico (Y > Yc > Yn
)
El tipo de perfil que se observa es un tipo S1.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Y (
cm)
L (cm)
metodo tramo a tramo
Y vs L
-
Empleando el mtodo de integracin grafica
DATOS Mtodo de Integracin Grfica
N L(cm) Y(cm) A(cm) P(cm) R(cm) Sf V(cm/s) Fr F(Y) F(Ym) Y x(cm) L(cm)
1 0 17,5 189,0 45,8 4,1 0,00029 12,75 0,0009 25,22 0,00 0,00 0,00 0,00
2 10 16,9 182,5 44,6 4,1 0,00032 13,20 0,0010 25,23 25,23 0,60 15,14 15,14
3 20 16,4 177,1 43,6 4,1 0,00034 13,61 0,0011 25,24 25,24 0,50 12,62 27,76
4 30 16,2 175,0 43,2 4,1 0,00035 13,77 0,0011 25,25 25,25 0,20 5,05 32,80
5 40 15,7 169,6 42,2 4,0 0,00038 14,21 0,0012 25,26 25,26 0,50 12,63 45,43
6 50 15,35 165,8 41,5 4,0 0,00040 14,54 0,0013 25,28 25,27 0,35 8,84 54,28
7 60 14,85 160,4 40,5 4,0 0,00043 15,03 0,0014 25,29 25,28 0,50 12,64 66,92
8 70 14,4 155,5 39,6 3,9 0,00046 15,50 0,0016 25,31 25,30 0,45 11,39 78,31
9 80 14 151,2 38,8 3,9 0,00049 15,94 0,0017 25,33 25,32 0,40 10,13 88,43
10 90 13,5 145,8 37,8 3,9 0,00054 16,53 0,0019 25,35 25,34 0,50 12,67 101,10
11 100 13,1 141,5 37 3,8 0,00058 17,03 0,0021 25,37 25,36 0,40 10,14 111,25
12 110 12,7 137,2 36,2 3,8 0,00062 17,57 0,0023 25,39 25,38 0,40 10,15 121,40
13 120 12,3 132,8 35,4 3,8 0,00067 18,14 0,0025 25,42 25,41 0,40 10,16 131,56
14 130 11,8 127,4 34,4 3,7 0,00074 18,91 0,0029 25,46 25,44 0,50 12,72 144,28
15 140 11,4 123,1 33,6 3,7 0,00081 19,57 0,0032 25,49 25,48
L=x= 144,2820
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Observaciones:
La seccin de control se encuentra en L=0 y para esa posicin el tirante vale Y = 17.5 a partir de ese punto el tirante comienza a
disminuir hasta que se establece un flujo uniforme aproximadamente.
De los clculos S0 > SC (flujo supercrtico cuando el flujo es uniforme), es decir el tirante normal es menor al tirante critico
(Y > Yc > Yn )
El tipo de perfil que se observa es un tipo S1.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Y (
cm)
L (cm)
metodo de integracion grafica
Y vs L
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RESULTADOS
INTERPRETACIN DE RESULTADOS
Por ambos mtodos se obtienen longitudes que se acercan a lo que en un inicio se ha
planteado a medir en el canal de laboratorio que es 140 cm.
CONCLUSIONES
Podemos concluir en lo siguiente a partir de los clculos, en la experiencia se obtuvo:
S0 = 0.0399093
Sc = 0.0059
De aqu tenemos S0 > Sc por lo tanto la PENDIENTE ES PRONUNCIADA es decir
se tiene que Yn < Yc.
Tambin tenemos que para ambos mtodos de tramo a tramo como el mtodo de
integracin grfica: Sf < S0 por lo tanto Y > Yc >Yn. (ZONA 1)
A partir de esto podemos ubicar el perfil del flujo gradualmente variado en el cuadro de
doble entrada, obteniendo un REMANSO SUBCRITICO EN UN PERFIL FUERTE
(S1).
METODO TRAMO A TRAMO
Y(cm) S0 Sf x(cm)
17,5 0.0399 0,0003040 0,0000
16,9 0.0399 0,0003279 12,4932
16,4 0.0399 0,0003445 4,9957
16,2 0.0399 0,0003624 12,4850
15,7 0.0399 0,0003861 8,7354
15,35 0.0399 0,0004120 12,4724
14,85 0.0399 0,0004443 11,2174
14,4 0.0399 0,0004763 9,9639
14 0.0399 0,0005141 12,4439
13,5 0.0399 0,0005565 9,9451
13,1 0.0399 0,0005986 9,9346
12,7 0.0399 0,0006456 9,9226
12,3 0.0399 0,0007052 12,3835
11,8 0.0399 0,0007732 9,8882
11,4 0.0399
L=x= 136,8809
METODO DE INEGRACION GRAFICA
Y(cm) S0 Sf x(cm)
17,5 0.0399 0,00029 0,00
16,9 0.0399 0,00032 15,14
16,4 0.0399 0,00034 12,62
16,2 0.0399 0,00035 5,05
15,7 0.0399 0,00038 12,63
15,35 0.0399 0,00040 8,84
14,85 0.0399 0,00043 12,64
14,4 0.0399 0,00046 11,39
14 0.0399 0,00049 10,13
13,5 0.0399 0,00054 12,67
13,1 0.0399 0,00058 10,14
12,7 0.0399 0,00062 10,15
12,3 0.0399 0,00067 10,16
11,8 0.0399 0,00074 12,72
11,4 0.0399 0,00081
L=x= 144,2820
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Como una verificacin de los clculos se adjunta la siguiente foto tomada en la
experiencia del laboratorio.
en esta imagen se observa el remanso subcrtico aqu se observa que se forma un
resalto
Las longitudes del resalto son:
Segn el mtodo de tramo a tramo: 136.8809 cm
Segn el mtodo de integracin grfica: 144.2820 cm
Que estn alrededor de la longitud fijada en el inicio: 140 cm