ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE UNA CERÁMICA …
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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
E S C U E L A P O L I T E C N I C A S U P E R I O R D E G A N D I A
M a s t e r e n I n g e n i e r í a A c ú s t i c a
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE UNA CERÁMICA
PIEZOELÉCTRICA MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS
TESIS DE MASTER Autor: Patricia Ordóñez Cebrián Director/es: D.Francisco Camarena Femenía D.Rubén Picó Vila GANDÍA, 5 de Septiembre de 2011
2 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE UNA CERÁMICA PIEZOELÉCTRICA MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS
Autor: Patricia Ordóñez Cebrián
Director1: Francisco Camarena Femenía
Director2: Rubén Picó Vila
Resumen.- El objetivo de este trabajo es analizar el comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante su simulación con el método de elementos finitos. En primer lugar, se realizará una medida experimental de una cerámica cuadrada donde se extraerán diferentes parámetros: admitancia eléctrica, impedancia eléctrica y capacitancia. A partir de ahí, se realizarán diferentes comparativas con las distintas simulaciones generadas mediante elementos finitos. Primero, se simulará la cerámica cuadrada para validar el modelo de simulación y a partir de ahí, se introducirán las siguientes modificaciones: Cambio de geometría (simulación cerámica circular y cerámica en forma de anillo circular), cambio de espesor de la cerámica y cambio en el medio de propagación. Por último se modelará un transductor tipo Langevin al completo, mediante la adición de materiales, para observar las diferencias en su comportamiento con respecto al comportamiento individual de la cerámica.
Abstract. - The aim of this paper is to analyze the behavior of a piezoelectric ceramic by the simulation with the finite element method. First, there will be an experimental measurement of a square ceramic will be extracted parameters: electrical admittance, electrical impedance and capacitance. From there, there will be different with different comparative generated by finite element simulations. First, square ceramic is simulated to validate the simulation model and from there, with the following modifications: Changing geometry (ceramic circular simulation and ring-shaped circular ceramic), change the thickness of the ceramic and change propagation medium. Finally, we modeled a Langevin type transducer, by adding material to observe differences in behavior with respect to the individual behavior of the ceramic Autor: Patricia Ordóñez Cebrián email: [email protected] Fecha de entrega: 05-09-2
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 3
ÍNDICE
I. Objetivos………………………………………………………………………………..5 II. Introducción ………………………………………………………………..................6
II.1. Ultrasonidos…………………………………………………………………….....6 II.1.1 Antecedentes Históricos...………………………………………………….6 II. 1.2 Conceptos generales………………………………………………………7 II. 1.2.1 Características de los ultrasonidos……………………………..7 II. 1.2.2 Efectos de los ultrasonidos……………………………………..9
II.2. Piezoelectricidad………………………………………………………………...10 II.2.1. Introducción teórica………………………………………………………10 II.2.2. Ecuaciones Piezoeléctricas y parámetros………………………………...11
II.3 Transductor Langevin…………………………………………………………….13 III. Método de Elementos Finitos……………………………………………………...15
III.1. Conceptos generales……………………………………………………………15 III.2. Consideraciones del método. Ventajas y Limitaciones...……………………....16 III.3. Paquete informático: PzFlex……………………………………………….…...17
IV. Datos experimentales……………………………………………………………….18
IV.1. Características y proceso de medida……………………………………………18 IV.2. Resultados experimentales……………………………………………………..19
V. Modelo y resultados de la simulación numérica…………………………………...21
V.1. Características físicas de la cerámica piezoeléctrica…………………………….21 V.1.1. Modelo en PzFlex………………………………………………………...21
V.1.2. Modelo en 3D……………………………………………………………26 V.1.3. Resultados………………………………………………………………..27
V.2. Modificación de geometría y espesor…………………………………………..30 V.2.1. Disco cerámico…………………………………………………………...31 V.2.1.1. Modelo en PzFlex……………………………………………..31 V.2.1.2. Resultados……………………………………………………..32 V.2.2. Anillo cerámico…………………………………………………………..36 V.2.2.1. Modelo en PzFlex……………………………………………..36 V.2.2.2. Resultados…………………………………………………….36
V.3. Propagación de los ultrasonidos en el medio…………………………………...40 V.3.1. Modelo en PzFlex. ………………………………………………………40 V.3.2. Extrapolación de Kirchhoff………………………………………………41 V.3.3. Resultados………………………………………………………………..42
V.4. Adición de materiales. Transductor Langevin…………………………………..44 V.4.1. Modelo en PzFlex………………………………………………………..44 V.4.2. Resultados………………………………………………………………..46 VI. Conclusiones………………………………………………………………………..50 VI.1. Conclusiones……………………………………………………………...50 VI.2. Líneas futuras……………………………………………………………...51
4 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Agradecimientos………………………………………………………………………...51 Referencias………………………………………………………………………………52 Anexos…………………………………………………………………………………...54 Anexo 1. Análisis realizado mediante Comsol Multiphysics.………………….54 Anexo 2. Código PzFlex de todas las funciones que conforman el modelado….59
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 5
I. OBJETIVOS:
Las cerámicas piezoeléctricas se han convertido en un material de gran importancia al
representar el elemento principal en la mayoría de dispositivos y transductores
ultrasónicos. Su principal función es convertir la energía eléctrica, en energía mecánica.
Aunque hay otros grupos de materiales que pueden desempeñar la misma función, como
los cristales de cuarzo, hidrosolubles, polímeros etc., la cerámica es la que aporta mayor
flexibilidad de diseño y, además, gracias a sus propiedades físicas, presenta los mayores
factores de conversión electromecánica, así como las características más favorables para
la transducción de potencia. Desde su primera utilización se han producido grandes
avances tecnológicos en diversos sectores industriales como por ejemplo imagen médica,
limpieza ultrasónica, ensayos no destructivos etc.
Por otro lado, el método de análisis de “Elementos Finitos” es un procedimiento que
permite realizar modelos geométricos, de gran complejidad, para analizar su
comportamiento mediante simulación numérica, en circunstancias similares a las
condiciones reales.
El objetivo de este trabajo es analizar el comportamiento de una cerámica
piezoeléctrica mediante su simulación con el método de elementos finitos. Para ello, se
utilizará una muestra rectangular con la que se obtendrá datos experimentales de
diferentes parámetros como: admitancia e impedancia eléctrica y capacitancia. Una vez
extraídos estos datos, se realizarán diferentes simulaciones con distintas modificaciones
y se compararán los resultados. En primer lugar, se simulará la muestra rectangular con el
fin de validar el modelo y obtener una base para el resto de simulaciones. En segundo
lugar, se analizará el comportamiento de la cerámica al cambiar de geometría (cerámica
circular y cerámica en forma de anillo circular). En tercer y cuarto lugar se realizará un
cambio en el espesor de la cerámica y en el medio de propagación en el que se
encuentra ésta, respectivamente. En último lugar, se modelará un transductor tipo
Langevin al completo, mediante la adición de materiales, para observar las diferencias en
su comportamiento con respecto al comportamiento individual de la cerámica.
6 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
II. INTRODUCCIÓN II. 1 ULTRASONIDOS II.1.1 Antecedentes Históricos
El desarrollo de los ultrasonidos realmente empezó con la creación de transductores
subacuáticos, para la detección de submarinos enemigos, durante la I Guerra Mundial. En
cambio, su descubrimiento se remonta al siglo 18. El sacerdote y psicólogo italiano Lazzarro
Spallanzani (1729-1799), fue el primero en advertir que alrededor de nosotros existían
sonidos incapaces de detectarse por el oído humano [1]. Fue en el 1794 cuando corroboró sus
ideas mediante un experimento con murciélagos, donde certificó que no sólo estos animales
oían los sonidos inaudibles, sino que en vez de la vista, se guiaban de su oído para captar
objetos en el aire y poderse moverse sin ningún tipo de colisión. Más adelante, se supo que
los murciélagos emiten ondas con la laringe, que chocan con los objetos y retornan en forma
de ecos que son captados por el oído e interpretados por el cerebro. Mediante este
mecanismo, los murciélagos pueden conocer la distancia, orientación y forma del objeto.
Esta forma de orientación es conocida en la actualidad como eco-localización y es particular
de los murciélagos, los cetáceos y una sola especie de ave.
En el 1881 Pierre Curie, físico francés descubrió junto a su hermano Jacques Curie, que
algunos tipos de cristales reaccionaban con un determinado potencial eléctrico cuando una
tensión mecánica se ejercía sobre ellos [2]. Este comportamiento se conoce como el efecto
piezoeléctrico. Posteriormente, ambos hermanos demostraron el efecto contrario: que los
cristales se podían deformar cuando se sometían a un potencial. Este avance científico fue el
que señaló el principio para la creación de lo que se conoce en la actualidad como el
transductor de ultrasonidos. Años más tarde y tras el hundimiento del Titanic en 1912, Paul
Langevin, físico francés, inventó el primer eco localizador para detectar icebergs. El
hidrófono que así se llamaba, fue el primer transductor de ultrasonidos. Un aparato capaz de
enviar y recibir ondas de alta frecuencia. Más tarde, fue usado para la detección de
submarinos enemigos en la I Guerra Mundial (SONAR: Sound Navigation and ranging).
Gracias a Langevin, el denominado padre de los ultrasonidos se dió el mayor paso en la
historia de los ultrasonidos.
A finales de 1930, tenían lugar otros avances, esta vez en el sector de la medicina,
gracias al Dr. Karl Dussik, un psiquiatra austriaco, que utilizó imágenes de ultrasonido en
un intento de diagnosticar los tumores cerebrales. El procedimiento se llamaba
"hyperphonography". En él, se utilizaba papel sensible al calor para registrar ecos. Es aquí
donde las imágenes por ultrasonido tienen su inicio. En la década de 1940,
el Dr. George Luwig, Universidad de Pennsylvania, fue el primero en registrar y estudiar los
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 7
cambios que se producían en las ondas sonoras al viajar a través de los diferentes tejidos del
cuerpo humano: órganos, músculos, etc.
A partir de ahí y hasta la actualidad se han hecho importantes avances tales como la
creación de dispositivos para seguir el desarrollo fetal, escáner B-mode para observar el
embarazo gemelar, aparatos para la detección de distintos tipos de cáncer etc. Cada día son
más las personas interesadas en este campo de investigación, aportando su conocimiento ya
sea en el ámbito médico, como en el de la eco localización, detección de imperfecciones en
materiales, etc.
II.1.2 CONCEPTOS GENERALES II.1.2 .1. Características de los ultrasonidos
El sonido es un fenómeno ondulatorio de naturaleza mecánica. Las variaciones de presión
producidas se propagan en un medio elástico, no produciéndose así en el vacío.
El sonido se clasifica en diferentes rangos, teniendo como umbral el rango audible por
los seres humanos que va desde los 20Hz a 20KHz aproximadamente. Por debajo de este
rango, nos encontramos los infrasonidos que van desde los 0 a 20Hz y por encima, a partir de
los 20Khz se encuentran los ultrasonidos.
Por lo tanto los parámetros que definen las ondas sonoras son los mismos que los
ultrasonidos y son los siguientes:
Fig.1. Parámetros de una onda sonora
8 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
- Frecuencia: Numero de ciclos completados por la onda por segundo. Su unidad en el
sistema internacional es el Hertzio (Hz). Si realizamos la inversa obtenemos el
periodo de la señal medido en segundos (s).
- Longitud de onda: Distancia entre dos puntos de la onda que presentan el mismo
estado de vibración. Su unidad internacional es el metro (m).
- Velocidad: La velocidad acústica es el cociente entre la longitud de onda y el periodo
de la señal. Se denomina velocidad de propagación y depende del medio material en el
que se encuentre.
- Amplitud: Máximo desplazamiento de la partícula desde la posición de equilibrio.
- Presión Acústica: Fuerza por unidad de superficie existente en diversas zonas del
material.
- Energía, Potencia e Intensidad: El haz sonoro transporta una determinada cantidad de
energía producida por el transductor, si la consideramos por unidad de tiempo, es lo
que se conoce como potencia. La unidad de potencia es el vatio (W). Dividiendo la
potencia por la superficie del haz, obtenemos la intensidad (W/cm²). Esta última
característica es de gran importancia en lo que se refiere al campo de los ultrasonidos.
Así pues, para saber la cantidad de ultrasonidos que están llegando en cada momento a
una zona, deberemos referirnos a la intensidad o densidad de potencia.
- Impedancia acústica: Característica del medio que atraviesa la onda. Relaciona la
velocidad que la partícula adquiere en el momento de su vibración y la presión a la que
está sometida. La impedancia da idea de la facilidad que un determinado medio ofrece
al paso de las ondas sonoras a su través. Se conoce habitualmente con la letra Z y es
igual al producto de la densidad del medio por la velocidad de transmisión del
ultrasonido en ese medio (Z= ρV). Cuando la onda viaja de un medio a otro con
diferentes impedancias, es cuando se produce las reflexión, si la diferencia entre
ambas es elevada se puede reflejar casi toda la onda, sin llegar a propagarse en el
segundo medio.
- Atenuación: El haz de ultrasonidos va perdiendo intensidad conforme va avanzando
por los tejidos. Esta pérdida por unidad de longitud se denomina atenuación [3]. La
atenuación se produce por diferentes factores, desde la propia absorción de
ultrasonidos por el medio, hasta las diversas reflexiones que puedan producirse por
una homogeneidad del medio. También se producen dispersiones y pérdidas de
dirección por refracción que lo hacen ineficaz a efectos terapéuticos. La atenuación es
directamente proporcional a la frecuencia del ultrasonido utilizado, por lo que
debemos esperar una mayor pérdida de intensidad del haz en profundidad, con
ultrasonidos de mayor frecuencia.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 9
II. 1.2.2 Efectos de los ultrasonidos
Los efectos que pueden producir las ondas ultrasónicas se pueden dividir en tres categorías:
físicos, químicos y médicos.
- EFECTOS FÍSICOS: La cavitación es el efecto físico más importante. Este fenómeno
se produce en los líquidos y su causa no es únicamente el ultrasonido. Cuando una
onda presenta grandes amplitudes produce variaciones de presión a su paso. Si dentro
de un líquido, la presión de este, se sitúa debajo de su punto de tensión de vapor, el
líquido comienza a convertirse en gaseoso generando burbujas de vapor. Estas burbujas
viajan a regiones de mayor presión y temperatura, pudiendo alcanzar valores, de
presión y temperatura, de alrededor de 700MPa y 5000ºC y pudiendo destruir
superficies, tuberías etc. La cavitación depende de muchos parámetros como la
frecuencia, viscosidad del medio, la presión externa y la intensidad. De ellos, depende
la potencia en que se ocasione la cavitación o en qué condiciones se genere. Por
ejemplo, a mayor frecuencia, menos tiempo tiene la burbuja para generarse y por lo
tanto menor efecto tendrá la cavitación. En cambio, si aumentamos la presión externa,
la colisión entre las burbujas se producirá con mayor violencia. Este fenómeno
debemos de tenerlo en cuenta además de por su extremada peligrosidad, por las
aplicaciones de gran interés que nos aporta, como es la "Súper-Cavitación",
consistente en que los proyectiles lanzados por un submarino viajen dentro de una
burbuja de aire consiguiendo mayor velocidad, ó la limpieza ultrasónica de maquinas
diversas (motores de coches, hélices de aviones...) e incluso operaciones medicas
como por ejemplo la liposucción.
- EFECTOS QUÍMICOS: Todos los efectos están relacionados entre sí. Así, la
cavitación también genera un efecto químico, ya que al generarse las burbujas se crean,
entre las cavidades del medio, cargas eléctricas iguales y opuestas en extremos
contrarios, el llamado efecto electrolítico.
- EFECTOS MÉDICOS: Es innumerable la cantidad de aplicaciones que se han
desarrollado gracias a los ultrasonidos y que han servido durante estos años para
facilitar y mejorar los procesos médicos y los resultados dependientes de ellos. En este
apartado se destacan dos de ellos:
10 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
- Imagen médica: Basada en los fenómenos de reflexión, que permiten generar
una imagen y localizar variaciones en los tejidos internos del cuerpo
permitiendo por ejemplo el control del feto durante el embarazo o tumores en
determinados órganos del cuerpo. Aquí, deberemos tener en cuenta la
atenuación que se produce en el haz ultrasónico al atravesar distintos medios
con diferentes impedancias acústicas y establecer un compromiso entre la
resolución de la imagen y dicha atenuación, ya que a más frecuencia se
distinguirán mejor esas variaciones u objetos pero la onda sufrirá un mayor
atenuamiento.
- Terapia: Gracias a los ultrasonidos también se puede tratar, o mejor dicho
destruir, cálculos que se forman en el riñón, la vejiga o la vesícula biliar.
también se usan otra técnicas que se basan en la aplicación de haces
ultrasónicos, en determinadas zonas del cuerpo, para tratar problemas de
tendinitis cuando existen calcificaciones.
II.2. PIEZOELECTRICIDAD II.2.1. Introducción En el año 1881, los hermanos Curie, científicos franceses de la Universidad de París,
descubrieron un fenómeno que en la actualidad se considera de gran importancia. A través de
experimentos con cristales de cuarzo, vieron que si una deformación era aplicada a uno de
ellos, daba como resultado un potencial eléctrico en la superficie de sus caras. A este
fenómeno lo llamaron piezoelectricidad (Piezo significa presión) [3]. Aproximadamente un
año más tarde, descubrieron que el efecto era recíproco, ya que si un cristal de cuarzo era
sometido a un determinado potencial eléctrico se generaba una deformación mecánica.
Además constataron que este efecto era normalmente reversible y al dejar de someter a los
cristales a un determinado campo eléctrico recuperaban su forma original.
Los materiales que poseen esta propiedad, es decir, los materiales piezoeléctricos son
cristales naturales o sintéticos que no poseen centro de simetría [4]. Estos materiales, están
constituidos de moléculas que pueden ser polares o no polares, y que están alineadas en lo
que se conoce como dominios. Así, el material presenta un momento dipolar distinto de cero
y permanente. Son lo que podría decir el equivalente eléctrico de un imán. El fenómeno
piezoeléctrico se debe a que el momento dipolar del que se habla, está completamente unido
a la estructura física del elemento. Por tanto, si se aplica una deformación mecánica adecuada
se altera el momento resultante.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 11
eSD
Directa PiezoEcuación
-eE
Inversa piezoEcuación
=
=σ
II.2.2. Ecuaciones Piezoeléctricas y parámetros Las ecuaciones que se presentan, relacionan las tensiones y deformaciones existentes en el
material cuando se produce el fenómeno piezoeléctrico.
Donde
D= desplazamiento Eléctrico [C/m2]
e= constante piezoeléctrico [N/Vm]
S= deformación unitaria
E= campo eléctrico [N/C]
σ= Tensión unitaria
La primera ecuación (Efecto Piezo Inverso) explica que cuando se dispone por ejemplo
de un disco, ya sea un cristal de cuarzo o una cerámica piezoeléctrica, y se aplica un
potencial eléctrico en las superficies del mismo, se produce un campo eléctrico E, que a su
vez es proporcional a una tensión unitaria dentro del disco. La constante de proporcionalidad
que une a estas dos variables, es la constante piezoeléctrica e (N/Vm). Esta ecuación es
válida sólo si se considera que la cerámica permanece amarrada, es decir, que su espesor se
mantiene constante y no se ve afectado por el campo eléctrico[5].
Fig.2. Esquema del efecto Piezo Inverso
Por otro lado el efecto piezoeléctrico directo se observa cuando el mismo disco es
deformado por fuerzas externas. Esta deformación, representada por S, que se corresponde
con la deformación unitaria, está acompañada por una polarización dieléctrica del material
representado en la ecuación por el desplazamiento eléctrico. Esta ecuación, es válida sólo si el
12 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
disco esta eléctricamente cortocircuitado y el desplazamiento eléctrico es debido a las fuerzas
de deformación.
Fig.3. Esquema del efecto Piezo Directo
La constante piezoeléctrica, e, se puede intercambiar por el módulo piezoeléctrico d (m/V)
y reescribir las ecuaciones del efecto piezoeléctrico de la siguiente forma:
S=-dE (3)
D=dσ (4)
Una vez definido de forma sencilla las relaciones existentes entre deformaciones y
tensiones, si se tiene en cuenta todos los factores que influyen en el proceso piezoeléctrico,
como es el campo eléctrico, las ecuaciones constitutivas finales quedan de la siguiente
manera:
(5)
Otra consideración que se debe realizar y que es de gran importancia para entender el
comportamiento de una cerámica real, es que el campo eléctrico, no sólo se relaciona con las
tensiones y deformaciones normales en la dirección del mismo, sino también con las
tensiones y deformaciones de las direcciones perpendiculares. Además, sobre un cuerpo se
pueden aplicar muchos más esfuerzos que los tres pertenecientes a cada eje. Esto da a lugar a
una matriz de esfuerzos 3X3 en la que sólo 6 componentes son independientes:
(6) ,
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 13
Por lo tanto se deberán relacionar los tres campos eléctricos con las tres coordenadas en las que se puede obtener movimiento. Esta relación es la siguiente:
Tensión y deformación Campo eléctrico
xx=1 yz=4 x=1
yy=2 zx=5 y=2
zz=3 xy=6 z=3
Con esta simplificación y para describir de forma general la ecuación de la piezoelectricidad necesitaremos 18 constantes piezoeléctricas.
Ecuación Piezo Inversa
(Tensión –carga)
(7)
Ecuación Piezo Directa
(Deformación –carga)
(8)
14 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
II.3 TRANSDUCTOR LANGEVIN
El transductor de tipo Langevin o también denominado transductor "sándwich" es el
transductor piezoeléctrico más característico utilizado en aplicaciones de potencia.
Este diseño se obtuvo al intentar generar transductores que trabajaran en rangos de baja
frecuencia para producir cavitación. En un principio se utilizaron bloques cerámicos, pero la
baja resistencia a la tensión de las cerámicas y las dimensiones necesarias para que vibraran a
baja frecuencia los hicieron imprácticos. A partir de ahí, se decidió realizar un modelo de
transductor basándose en el diseño de Langevin realizado para el cuarzo. Este diseño, consta
de una estructura formada por dos anillos cerámicos de mismo espesor dispuestos entre dos
cilindros metálicos, formando una estructura que vibra extensionalmente a media longitud de
onda. Esta estructura, queda fijada a través de un tornillo que aumenta la resistencia a la
tensión de las cerámicas y permite trabajar a los distintos materiales como si fueran uno.
Cada una de las partes que conforman el modelo presenta una funcionalidad determinada
dentro del conjunto [7]. Así, se puede dividir el transductor en:
- Elemento Activo: Anillos cerámicos que
convierten la energía eléctrica en energía
ultrasónica.
- Backing o Apoyo: Cilindro metálico
posicionado en la parte trasera del elemento
activo. El material del cilindro suele ser
normalmente acero, el cual posee una alta
densidad y actúa como un gran atenuador
capaz de controlar las vibraciones del
transductor, absorbiendo la energía que se produce en la parte trasera del elemento activo. De
la adaptación de impedancias entre el backing y el elemento activo dependerá la resolución y
la sensibilidad del transductor al completo.
- Matching o Placa Protectora: Cilindro metálico posicionado entre el elemento activo y el
medio de transmisión cuya función es proteger a los anillos cerámicos del entorno y además
servir de transformador acústico acoplando las impedancias acústicas del elemento activo y el
medio. El espesor necesario para conseguir este efecto es de 1/4 de la longitud de onda
emitida. El material más común para este tipo de placa es el aluminio, con una impedancia
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 15
acústica de aproximadamente 1.7MRayls, situándose entre medio de los valores de
impedancia de la cerámica (aprox. 2.8MRayls) y el agua (1.5MRayls).
Las dimensiones del backing y del matching se obtienen a partir de la ecuación de
Langevin mostrada a continuación.
(9) III. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS El método de elementos finitos (MEF) es una técnica numérica que permite la resolución de
problemas derivados de la física y de la ingeniería mediante su descripción en un conjunto de
ecuaciones diferenciales parciales [9]. El MEF realiza un modelo matemático que aporta una
solución aproximada obtenida a partir del ensamblaje de las soluciones independientes de los
elementos finitos.
III.1. CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO Los pasos a seguir ante cualquier proyecto de elementos finitos, independientemente del
campo de aplicación, se pueden generalizar y son los siguientes:
PASO 1:
Definición del espacio geométrico. A este espacio se le denominará dominio y es donde se
analiza el sistema. En este dominio se establece:
- Condiciones de contorno: Variables conocidas que condicionan al sistema a que actúe
de una forma determinada
- Incógnitas: Variables del sistema que se desean obtener (desplazamientos, tensiones
etc.)
16 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
PASO 2:
Discretización del dominio: Para resolver el problema, el método de elementos finitos
individualiza el dominio en pequeños subdominios llamados elementos. Este proceso se
denomina generación de malla.
Los elementos están formados por un número discreto de puntos, llamados nodos, que
conectan entre sí a todos los elementos.
PASO 3:
Cálculo de variables: Los nodos están caracterizados por un número finito de parámetros
N, llamados grados de libertad. Cuando N tiende a infinito, las soluciones de los elementos
finitos convergen a una solución que es independiente del modelado y que resuelve la
incógnita buscada.
Las funciones utilizadas para el cálculo pueden ser ecuaciones lineales o polinomiales de
alto orden dependiendo de la localización geométrica de los nodos. La resolución de estas
ecuaciones se consigue a través de técnicas algebraicas lineales [11].
PASO 4:
Post-procesado: Interpretación de las variables (incógnitas) obtenidas a partir del análisis
por elementos finitos. En esta paso, se testea si el diseño está respondiendo de una forma
coherente y se puede considerar que el modelo es válido. Se establecerá una relación entre los
cambios en las variables del diseño y los correspondientes cambios en el comportamiento del
prototipo.
III.2. CONSIDERACIONES DEL MÉTODO. VENTAJAS Y LIMITACIONES El MEF es un método aplicado a multitud de problemas de ingeniería. Sin embargo, hay que
tener en cuenta que en el proceso de creación del modelo matemático se introducen
determinados errores que influirán en mayor o menor medida en el resultado final. Estos
errores se dividen en: errores de modelado, de discretización y de solución.
Los errores de discretización son los únicos específicos del método y por tanto los únicos
controlables. En cambio, los errores de modelado y de solución, afectan al modelo
matemático [12]. El primero de ellos se introduce antes de usar MEF y el segundo será el
resultado de los errores de redondeo acumulados por el módulo de cálculo.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 17
Las ventajas y limitaciones del método son las siguientes:
VENTAJAS:
- Los fundamentos del método permiten realizar software de propósito general.
- No se requieren mallas estructuradas. Por ejemplo, al contrario que en el
método de diferencias finitas, en el que los elementos deben distribuirse en
filas y columnas de manera ortogonal, aquí cada elemento presenta una
estructura independiente del resto.
- Tratamiento de geometrías complicadas
- Condiciones de contorno generales y no dependientes de cada elemento finito.
LIMITACIONES:
- El MEF calcula soluciones numéricas concretas y adaptadas a unos datos
particulares de entrada, es decir, que el método no puede hacer un análisis de
sensibilidad sencillo que permita conocer como variará la solución si alguno
de los parámetros se altera ligeramente [12].
- El margen de error es desconocido. Aunque en algunos problemas se puede
acotar en gran medida, en problemas no lineales o dependientes del tiempo no
se puede llegar a conocer.
- La precisión del problema está ligado al refinado de la malla y por
consiguiente al aumento del coste computacional
III.3. PAQUETE INFORMÁTICO: PZFLEX
En el presente trabajo se va a utilizar como programa de simulación para la creación de los
modelos el software comercial PzFlex, de la empresa Weidlinger Associates Inc., USA.
PzFlex no es un software de propósito general, sino que está diseñado para la
resolución de problemas ultrasónicos, piezoeléctricos y problemas de modelado
térmico, lo que lo hace una herramienta muy útil para analizar el comportamiento de
una cerámica piezoeléctrica. Se basa fundamentalmente en el análisis temporal, por
lo que es adecuado para aplicaciones de banda ancha y propagación de ondas en un
medio [13].
Las características principales del interface usado por PzFlex son:
- Entorno de simulación parecido al Visual C++ de programación. Ejecución
de los programas de forma interactiva.
18 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
- Sistema de colores que alerta de la utilización de variables, funciones etc.
Creación de un sistema jerárquico que permite una construcción del modelo
de manera más sencilla.
- Capacidad del programa de mostrar gráficos, de forma simultánea, a la
ejecución del análisis.
- Surtido de modelos plantilla, que permiten al usuario realizar modificaciones
sobre ellos, sin tener que empezar desde cero.
- Integración CAD de modelado: PzFlex importa archivo STL desde el paquete
de SolidWorks. Por otro lado, SolidWorks puede utilizar un filtro para
importar otra clase de formatos , tales como Pro-E y el GID
IV. DATOS EXPERIMENTALES IV.1. CARACTERÍSTICAS Y PROCESO DE MEDIDA La muestra seleccionada para la medida en laboratorio presenta las siguientes características:
Fig.5. Muestra rectangular de la cerámica Pz29 Tabla .1. Características de la cerámica Pz29
Material Pz 29
Geometría Rectangular
Dimensiones 80 X 55 X 8 (mm)
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 19
Las especificaciones técnicas ofrecidas por el fabricante, empresa Ferroperm, son las
mostradas a continuación:
Fig.6. Hoja de especificaciones de las cerámicas Pz Las mediciones experimentales se han llevado a cabo con un analizador de impedancias.
Los pasos seguidos han sido: 1. Interconexión del analizador y la muestra rectangular
2. Aplicación de voltaje (V) en bornes de la cerámica
3. Barrido frecuencial, registrando los valores de corriente (I) a través de la muestra.
Los valores medidos quedan registrados en un software informático que de forma
automática calcula las siguientes características físicas de la cerámica detalladas en la tabla 2:
CARACTERÍSTICA ECUACIÓN REPRESENTACIÓN
Admitancia
- Angular (magnitud y fase)
- Rectangular (real(G) e imaginaria(B)) (Siemens)
Impedancia
- Angular (magnitud y fase)
- Rectangular (real(R) e imaginaria(X)) (Ohmios)
Capacitancia
- Amplitud (Faradios)
Tabla.2. Características físicas de la cerámica Pz29
20 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
ADMITANCIA (PARTE IMAGINARIA) EXPERIMENTO
-6.00E-02
-4.00E-02
-2.00E-02
0.00E+00
2.00E-02
4.00E-02
6.00E-02
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05
Frecuencia (Hz)
Su
spec
tan
cia
(Sie
men
s)
Una vez ha finalizado el proceso se obtiene un archivo en formato .txt con toda la
información, fácilmente manejable para su posterior comparación.
IV.2. RESULTADOS EXPERIMENTALES
A continuación se muestran todas las gráficas obtenidas, a partir del analizador de
impedancias, de las características físicas de la muestra rectangular pz29.
Estas son las siguientes:
1. Admitancia eléctrica de la cerámica. Parte Real e Imaginaria (Fig.7).
Fig.7. Admitancia eléctrica. Parte real e imaginaria respectivamente del primer modelo.
De esta gráfica se puede destacar los siguientes puntos:
a. Frecuencia de resonancia a 251kHz. Es aquí donde se obtiene la mayor amplitud
en la parte real de la admitancia (conductancia).
b. Presencia de otros picos resonantes correspondientes a otros modos de vibración
(modo radial, de cizalladura, etc.).
c. Fluctuaciones en la parte imaginaria de la admitancia (suspectancia) debido a los
demás modos vibracionales excitados, a parte del modo de resonancia en espesor.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 21
IMPEDANCIA (FASE) EXPERIMENTO
-1.00E+02
-8.00E+01
-6.00E+01
-4.00E+01
-2.00E+01
0.00E+00
2.00E+01
4.00E+01
6.00E+01
8.00E+01
1.00E+02
0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05 3.50E+05 4.00E+05
Frecuencia (Hz)
An
gu
lo (
Rad
ian
es)
2. Impedancia eléctrica
La impedancia eléctrica es la única variable que el software informático facilita tanto en
forma angular, como en rectangular. La representación utilizada es la angular (magnitud y
fase) (Fig.8), al ser esta la escogida en la mayoría de textos científicos.
Fig.8. Impedancia eléctrica. Magnitud y fase respectivamente del primer modelo.
Las características a destacar son:
a. Frecuencia de resonancia a 251kHz. En este caso se obtiene un mínimo en la
magnitud de la impedancia. Esto es debido a que en esta frecuencia es donde
existe la menor oposición al paso de corriente.
b. Presencia de modos de vibración diferentes al modo en espesor. Menor
definición de estos comparados con la gráfica de la parte real de la admitancia
eléctrica.
c. Gran influencia en la fase de la impedancia eléctrica, de los modos vibracionales,
tanto a baja frecuencia (modos radiales), como en frecuencias próximas a la
frecuencia de resonancia (modo de cizalladura).
3. Capacitancia eléctrica
La capacitancia de un dispositivo es la medida de la capacidad que tiene este para almacenar
carga y energía potencial eléctrica. Será una variable de gran utilidad, para la creación de los
circuitos electrónicos conectados a los transductores de ultrasonidos, ya sean transmisores o
receptores. Desde el punto de vista práctico nos aportara información sobre si es factible
manufacturar dicho transductor o cuanto voltaje se va a necesitar para excitar el transductor de
22 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
la forma correcta etc. La capacitancia depende proporcionalmente del área de la cerámica y de
la constante dieléctrica e inversamente al espesor de esta.
Fig.9. Capacitancia eléctrica del primar modelo
V. MODELO Y RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA En este apartado se detallan todos los modelos realizados y los resultados extraídos para
caracterizar el comportamiento de la cerámica piezoeléctrica.
V.1. CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DE LA CERÁMICA PIEZOELÉCTRICA Este primer modelo, es el que establece si la simulación numérica realizada por el
paquete informático PzFlex, es válida y por tanto, los resultados obtenidos son
próximos a los datos experimentales, mencionados en el punto anterior.
Para realizar esta comparativa, se modela la muestra utilizada en el laboratorio con
las mismas dimensiones y geometría.
En los siguientes subapartados se muestra por un lado, el proceso de modelado y
por otro los resultados obtenidos.
V.1.1. Modelo en PzFlex El proceso de modelado en PzFlex consta de los siguientes pasos:
1. Geometría del objeto 2. Definición del los materiales 3. Condiciones de contorno 4. Señal de excitación 5. Mallado 6. Condiciones eléctricas
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 23
A continuación se detallan cada uno de ellos. 1. Geometría del objeto
Lo primero que se ha de buscar, es la existencia de simetría. Identificar los planos de
simetría existente y definir unas apropiadas condiciones de contorno va a reducir
significativamente el coste computacional de nuestro modelo. PzFlex dispone de tres
opciones a la hora de dibujar el modelo [14].
- Simetría axial: Rotación de la geometría respecto a un eje (X o Y) de 360°
- Plano de Simetría: El modelo se presenta infinitamente largo en la dirección z
- Modelo 3D: Geometría al completo sin aproximaciones a excepción de la
simetría.
Fig.10. Ilustración de los varios tipos de geometría disponibles en PzFlex
En este caso, se utiliza la opción de plano de simetría, simplificando el cubo rectangular
de (80x55x8mm) a un rectángulo en 2D con simetría en el eje X de dimensiones (40x8mm),
e infinitamente largo en la dirección z. Esta simplificación se tendrá en cuenta cuando se
definan las condiciones eléctricas del material.
Fig.11. Representación del modelo generado en PzFlex con el plano de simetría aplicado
24 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
2. Definición de los materiales
PzFlex permite el análisis sobre dos tipos de materiales, isotrópicos y antisotrópicos. Las
características descritas en cada uno de ellos son: La densidad, la velocidad longitudinal,
transversal y la atenuación. Además ofrece una librería de materiales piezoeléctricos, que se
pueden ampliar si se introducen todas las propiedades que el programa necesita.
Esta elección es uno de los puntos más delicados en la cadena de modelado y hay que
tenerlo bastante en cuenta, sobre todo en la etapa de resultados.
En el presente proyecto se ha utilizado las medidas de las características realizadas en el
laboratorio en lugar de escoger las especificaciones técnicas ofrecidas por el fabricante. Estos
datos son los siguientes:
CONSTANTES DIELÉCTRICAS: Establecen una proporcionalidad entre el dislocamiento
eléctrico y el campo eléctrico aplicado. Determinan la capacitancia de la cerámica
piezoeléctrica, que a su vez es determinante en el cálculo y proyección de los circuitos
adaptadores de impedancia.
k33 = 1340.
k11 = 1220.
DENSIDAD: Cantidad de masa contenida por unidad de volumen
ρ= 7460 kg/m3
FACTOR DE CALIDAD MECÁNICO: Es el que determina el rendimiento y el ancho de
banda del material. Por ejemplo, si se desea hacer uso del material en aplicaciones de
potencia se buscará un factor Q elevado que representa pocas pérdidas y menor ancho de
banda. En cambio, si lo que se busca es sensibilidad, se necesitará un mayor ancho de banda
obteniendo así un factor Q pequeño y unas pérdidas considerables. En las cerámicas
piezoeléctricas las pérdidas dieléctricas no son muy elevadas mientras que en la construcción
de un transductor real el factor de calidad mecánico se considera un parámetro determinante.
Q = 120.
CONSTANTES ELÁSTICAS Y DE RIGIDEZ: Establecen una proporcionalidad entre la
deformación y la tensión aplicada.
c11 = 1.34e11 (N/m2)
c33 = 1.09e11 (N/m2)
c44 = 1.85e10 (N/m2)
c12 = 0.897e11(N/m2)
c13 = 0.857e11(N/m2)
c66 = 2.20e10 (N/m2)
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 25
CONSTANTES PIEZOELÉCTRICAS: Establecen una proporcionalidad entre la generación
de cargas y las tensiones mecánicas aplicadas:
e15 = 13.4 (N/Vm)
e31 = -5.06(N/Vm)
e33 = 21.2 (N/Vm)
3. Condiciones de contorno
PzFlex permite cuatro condiciones de contorno. Estas son las siguientes:
- Symm: Ningún movimiento a través del plano.
- Fixd: Posición fija de todos los nodos. No existencia de movimiento
- Absr: Las ondas incidentes son absorbidas
- Vel: Velocidad prescrita en el modelo
Si no se establece ningún tipo de condición, el programa pondrá por defecto condición de
contorno libre.
Las condiciones de contorno son importantes por dos razones. La primera es que de su
correcta definición, dependerá en gran parte la aproximación de nuestro modelo a la realidad
y además a menudo es útil para poder simplificarlo. En este primer diseño, donde se tiene la
cerámica en aire para observar su comportamiento mientras oscila libremente, se aplica la
condición de contorno libre en todos los extremos excepto en el lateral izquierdo, el cual
presenta condición de simetría.
Fig.12. Esquema de las condiciones de contorno aplicadas en el primer modelo
4. Señal de excitación
PzFlex utiliza un resolvedor en el dominio temporal (análisis transitorio). El modelo se excita
durante un determinado periodo, registrando toda la información en archivos en régimen
26 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
temporal. PzFlex dispone de herramientas como la transformada de Fourier que permiten la
conversión de información entre el dominio temporal a frecuencial ó viceversa.
La señal de excitación en el modelo, será un ciclo de una señal senoidal a la frecuencia de
resonancia del modo en espesor. Además, se debe asegurar que a los restantes modos
vibracionales les llega suficiente energía para ser excitados.
5. Mallado
La frecuencia de resonancia en el modo en espesor, mencionada en el apartado anterior,
también influye en el mallado del diseño, ya que con ella y con la velocidad mínima se
obtiene la mínima longitud de onda y de ahí el tamaño de elemento siguiendo la siguiente
relación.
λ = v / f (10)
Tamaño elemento de mallado = λ / nº elementos
Siendo,
λ, longitud de onda
v, velocidad
f, frecuencia
Esta, es una forma de asegurarse que en la frecuencia de resonancia el modelo esta
perfectamente mallado.
Los parámetros del modelo son;
v = 4000 m/s, velocidad de las ondas en la cerámica piezoeléctrica
f = 250kHz, frecuencia de resonancia testada a través de los resultado experimentales
Nº elementos = 50, la única condición es que tiene que se mayor que 20
λ = 0.016 m
Tamaño elemento de mallado = 3.2e-4 m
6. Condiciones eléctricas
En PzFlex, para modelar de forma correcta los desplazamientos que ocurren en los
materiales piezoeléctricos debido al campo eléctrico aplicado, es necesario hacer uso de un
comando llamado “wndo” [15] que define los límites dónde se aplican las condiciones
eléctricas. Éste, crea una ventana alrededor del material piezoeléctrico para realizar el cálculo
electrostático. Esta ventana, sólo se debe aplicar donde el campo eléctrico tiene efecto, ya que
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 27
incrementa en gran medida el tiempo computacional. Una vez creada la ventana se tiene que
definir la posición de los electrodos y por ultimo especificar el voltaje en ellos.
En el primer diseño, la ventana piezoeléctrica se aplica en todo el modelo, definiendo dos
electrodos:
- Electrodo TOP: Parte superior de la cerámica, a lo largo de todo el eje X y con un
potencial eléctrico de 1V.
- Electrodo BOT: Parte inferior de la cerámica, a lo largo de todo el eje X y
conectado a tierra.
El esquema se muestra en la fig.12:
Fig.13. Esquema de las condiciones de eléctricas aplicadas en el primer modelo
Otro dato a tener en cuenta en este apartado es que al haber aplicado simetría en el eje X
y al posicionar los electrodos en el mismo eje, se escala el valor del voltaje en un factor 2 para
obtener un valor aproximado a la realidad, ya que el voltaje modelado sólo está aplicado en la
mitad de la cerámica.
V.1.2. Modelo en 3D
En el apartado anterior se ha explicado el procedimiento de modelado en PzFlex para un
diseño en 2D de una muestra rectangular. La creación de un diseño en 3D no es necesaria ya
que, el modelo en 2D sólo simplifica el eje Z considerándolo infinito y al trabajar en el modo
en espesor, esta simplificación no ejerce una gran influencia en el resultado final. Sin
embargo, se ha generado un modelo en 3D para cerciorarse de que las desviaciones que se
producen no son significativas. Las características son exactamente las mismas excepto por
estas consideraciones:
1. Se añaden las coordenadas en el eje Z
2. No se escala el potencial eléctrico en los electrodos ya que se dispone del modelo al
completo
3. Todas las condiciones de contorno son libres, al no existir ningún plano de simetría.
28 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
El diseño es el siguiente:
Fig.14. Representación del diseño 3D del primer modelo
V.1.3. Resultados
Las variables calculadas en PzFlex han sido:
1. Parte real de la admitancia eléctrica (conductancia). (Fig.15)
2. Magnitud de la impedancia eléctrica (Fig.16)
3. Capacitancia eléctrica (Fig.17)
4. Amplitud de desplazamiento en el eje Y (modo en espesor). (Fig.18)
Se ha necesitado de un programa de post-procesado auxiliar para calcular las dos
primeras variables. La capacitancia se ha extraído de la parte imaginaria de la admitancia,
siguiendo la ecuación mostrada en la tabla 2, mientras que la amplitud de desplazamiento
se ha obtenido de manera directa a través de la introducción de un comando de PzFlex
antes de comenzar la simulación.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 29
Las gráficas obtenidas son las siguientes:
Fig.15. Comparación de la admitancia eléctrica entre las simulaciones 2D y 3D y las medidas
experimentales. Representada la parte real (conductancia (Siemens)) en función de la frecuencia.
Fig.16. Comparación de la impedancia eléctrica entre las simulaciones 2D y 3D y las medidas
experimentales. Representada la magnitud (dB) en función de la frecuencia
30 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Fig.17. Comparación de la capacitancia eléctrica entre las simulaciones 2D y 3D y las medidas
experimentales. Representada la amplitud (Faradios) en función de la frecuencia.
Fig.18. Comparación de la amplitud de desplazamiento (m) en el eje Y, entre las simulaciones 2D y 3D
en función de la frecuencia
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 31
Los resultados extraídos a partir de ellas son:
1. Primera gráfica (Fig.15):
a. La frecuencia de resonancia en ambas simulaciones se produce a 248kHz.
Se obtiene una desviación del 0.8% respecto a los datos experimentales
b. Los valores de conductancia son de 1.01e-1 y 8.77e-2 Siemens en 2D y 3D
respectivamente. Es importante que estos valores se encuentren dentro de
un rango próximo al valor real, pero su exactitud, dependerá de muchos
factores como por ejemplo tener en cuenta que el programa actúa en
condiciones ideales, que las propiedades de los materiales aunque estén
medidas, pueden no ser completamente exactas y afectar a los resultados,
las condiciones aplicadas en el modelo etc.
c. En la simulación en 2D, los demás modos vibracionales quedan
fuertemente atenuados haciéndose casi imperceptibles. Esto es debido a la
simplificación efectuada en el modelo.
d. En el modelo en 3D los modos, aunque mas atenuados que en el
experimento, se ven reflejados en el resultado acercándose con gran
exactitud al experimento en frecuencia.
2. Segunda gráfica (Fig.16)
a. Frecuencia de resonancia a 248kHz. Se observa un mínimo en magnitud.
Se produce la misma desviación en los modelos, que la que se producía en
la admitancia eléctrica, al estar inversamente relacionadas
b. Atenuación, en las simulaciones, de los picos resonantes a baja frecuencia,
incluyendo el de mayor amplitud, a la frecuencia de 27kHz que se
corresponde con el modo radial de vibración.
3. Tercera gráfica (Fig. 17)
Forma de onda mas suavizada en los modelos en 2D y 3D al estar los distintos modos
vibracionales mas atenuados que en los datos experimentales.
4. Cuarta gráfica (Fig.18)
De esta variable no se disponen datos experimentales comparables, pero se considera de
importancia para observar:
1. La atenuación al cambiar de medio de propagación.
2. La frecuencia de resonancia en el modo en espesor
En esta grafica se observa que:
32 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
a. La frecuencia de resonancia obtiene el máximo desplazamiento.
b. La amplitud de desplazamiento queda condicionada de igual manera que el
valor de la conductancia.
Concluimos que los modelos diseñados en PzFlex se aproximan con suficiente rigor a
la muestra medida, por lo que a partir de aquí las modificaciones que se realicen en la
simulación y los resultados obtenidos, se consideran fiables para analizarlos como si de una
ceramica real se tratase.
V.2. MODIFICACIÓN DE GEOMETRÍA Y ESPESOR En esta sección se modifican dos aspectos físicos de la cerámica, como son la geometría y el
espesor. Los diseños realizados están hechos en 2D debido al ahorro computacional y se dividen
en dos: El disco cerámico y el anillo cerámico.
V.2.1. Disco cerámico En este diseño transforma la muestra en forma de cubo rectangular, que se simula en el primer
modelo, a una muestra tipo cilíndrica. Con esta geometría se realizan dos modelos:
1. Modelo 1: Espesor 8 mm y 80mm de diámetro
2. Modelo 2: Espesor 5mm y 30mm de diámetro
En el primer modelo se mantiene el espesor de la muestra que se tenía en un principio
mientras que en el segundo modelo, se reduce tanto el espesor como el diámetro. Se escogen
estas dimensiones porque son unas de las más comunes que se disponen en el mercado.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 33
V.2.1.1. Modelo en PzFlex Los dos modelos presentan las mismas características de modelado que en el primer diseño
excepto por la opción de simetría. En este caso, en vez de usar plano de simetría se utiliza
simetría axial en el eje Y (Fig.19). PzFlex interpreta este eje como un eje de revolución en el
que la geometría dibujada gira hasta conseguir el objeto deseado
(a) (b)
Fig.19. Representación de la geometría dibujada en PzFlex de los modelos 1 (a) y 2 (b)
34 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Modelo muestra en 2D & Modelo disco 2D
-2.00E-02
0.00E+00
2.00E-02
4.00E-02
6.00E-02
8.00E-02
1.00E-01
1.20E-01
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05
Frecuencia (Hz)
Co
nd
uct
anci
a (S
iem
ens)
muestra 2D
disco 2D dimensions 80-8
V. 2.1.2. Resultados Los resultados obtenidos están divididos en dos bloques:
- BLOQUE 1: Comparativa entre la muestra rectangular y el modelo 1.
Fig.20. Comparación de la admitancia eléctrica entre las simulaciones en 2D de la muestra rectangular y el
disco cerámico de 8mm de espesor y 80mm de diámetro. Representada la conductancia (S) en función de
la frecuencia.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 35
CAPACITANCIA
-3.00E-08
-2.00E-08
-1.00E-08
0.00E+00
1.00E-08
2.00E-08
3.00E-08
4.00E-08
5.00E-08
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05
Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
(F
)
Muestra 2D
disco 2D
Fig.21. Comparación de la capacitancia eléctrica entre las simulaciones en 2D de la muestra rectangular y
el disco cerámico de 8mm de espesor y 80mm de diámetro Representada la amplitud (Faradios) en función
de la frecuencia.
De estas gráficas se destaca:
a. Obtención de la misma frecuencia de resonancia pero con menor amplitud de la
conductancia.
b. Los modos vibracionales (radiales y de cizalladura) aumentan su amplitud y varían
ligeramente en frecuencia.
c. Incremento a baja frecuencia del valor de la capacitancia en el disco, respecto a la
muestra. La capacitancia depende de la permitividad del material, del espesor y del
área de la cerámica. En el modelo no se ha modificado el espesor pero si el área,
incrementándola. Al ser la capacitancia directamente proporcional a él, ésta sufre un
incremento de igual forma, quedando reflejado en la fig.21
36 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Admitancia
-2.00E-02
0.00E+00
2.00E-02
4.00E-02
6.00E-02
8.00E-02
1.00E-01
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05
Frecuencia (Hz)
Co
nd
uct
anci
a (S
iem
ens)
disc2D_dim80-8
disc2D_dim30-5
Impedancia
1.00E+00
1.00E+01
1.00E+02
1.00E+03
1.00E+04
-5.00E+04 5.00E+04 1.50E+05 2.50E+05 3.50E+05 4.50E+05 5.50E+05 6.50E+05
Frecuencia (Hz)
Mag
nit
ud
(d
B)
imp_dic2D_dimen80-8
imp_dic2D_dimen30-5
- BLOQUE 2: Comparativa entre el modelo 1 y 2.
Fig.22. Comparación de la admitancia eléctrica entre las simulaciones en 2D de los modelos 1 y 2 del disco
cerámico. Representada la conductancia (S) en función de la frecuencia.
Fig.23. Comparación de la impedancia eléctrica entre las simulaciones en 2D de los modelos 1 y 2 del
disco cerámico Representada la magnitud (dB) en función de la frecuencia.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 37
CAPACITANCIA
-3.00E-08
-2.00E-08
-1.00E-08
0.00E+00
1.00E-08
2.00E-08
3.00E-08
4.00E-08
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05
Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
(F
)
disco 2D dimen 80-8
disco 2D dimen 30-5
Fig.24. Comparación de la capacitancia eléctrica entre las simulaciones en 2D de los modelos 1 y 2 del
disco cerámico Representada la amplitud (F) en función de la frecuencia.
En general, de las tres variables representadas se extrae como diferencias principales
las siguientes:
1. Desplazamiento de la frecuencia de resonancia en el modo en espesor, así como
los demás modos vibracionales a un rango frecuencial mayor. El valor de la
frecuencia de resonancia en el modo en espesor depende inversamente del espesor
de la muestra.
(11)
Siendo
fr, Frecuencia de resonancia en modo espesor
c, velocidad de la onda en la cerámica
t, espesor de la cerámica
Si se resuelve esta ecuación para los dos modelos:
38 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
MODELO 1:
MODELO 2:
Como se puede comprobar se obtiene el mismo resultado analíticamente que el
ocasionado en la simulación.
2. La amplitud de la frecuencia de resonancia de los modos radiales y de cizalladura
se ve incrementada, mientras que la frecuencia de resonancia del modo en espesor
sufre una disminución.
3. La amplitud de la capacitancia además de sufrir un desplazamiento en frecuencia
como ocurre en las restantes variables, sufre una disminución en amplitud. Esto es
debido, de igual manera que en el bloque 1, al área de la cerámica, pero esta vez
con el efecto inverso, ya que aquí no aumenta el área si no que se disminuye. En
este caso, también se reduce el espesor de muestra lo que incrementaría el valor de
capacitancia, pero la reducción en espesor es solo de 3 mm mientras que el área del
disco de dimensiones 30 X 5 es siete veces menor que el modelo del primer disco
por lo que este efecto solapa al resto.
V.2.2. Anillo cerámico En el siguiente modelo se trabaja con el disco cerámico del modelo 2 (30mm de diámetro y
5mm de espesor), introduciendo un anillo circular interno con el que se obtiene el anillo
cilíndrico. Este tipo de anillos son los utilizados en la construcción de transductores tipo
Langevin. El orificio presente en ellos se utiliza para introducir el tornillo que une las cerámicas
con el resto de los materiales.
V.2.2.1 Modelo en PzFlex Este diseño presenta las mismas características que en los modelos del disco cerámico.
Solamente se debe separar el rectángulo del eje rotacional, una distancia igual al radio del
círculo interno, para que al girar se cree el orificio deseado (Fig.25).
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 39
Fig.25. Representación de la geometría dibujada en PzFlex del anillo cerámico
V2.2.2 Resultados
En las siguientes gráficas se muestran las variables de admitancia, impedancia y capacitancia en función de la frecuencia. En ellas se comparan los resultados obtenidos con los modelos del disco cerámico y el anillo cerámico.
Fig.26. Comparación de la admitancia eléctrica entre las simulaciones en 2D de los modelos 1 y 2 del disco cerámico y del anillo cerámico. Representada la conductancia (S) en función de la frecuencia
40 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Fig.27. Comparación de la impedancia eléctrica entre las simulaciones en 2D de los modelos 1 y 2 del disco cerámico y del anillo cerámico. Representada la magnitud (dB) en función de la frecuencia.
Fig.28. Comparación de la capacitancia eléctrica entre las simulaciones en 2D de los modelos 1 y 2 del disco cerámico y del anillo cerámico. Representada la amplitud (F) en función de la frecuencia.
Las características principales extraídas son:
- Incremento de la frecuencia de resonancia en el modo en espesor en 20kHz. Los
demás picos resonantes por consiguiente sufren el mismo desplazamiento.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 41
Desplazamiento eje Y
0.00E+00
2.00E-12
4.00E-12
6.00E-12
8.00E-12
1.00E-11
1.20E-11
1.40E-11
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05
Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
(m
)
disco_2D_dim80-8
disco_2D_dim30-5
anillo _2D_dim30-5
Muestra 2D
- En la capacitancia, se debería observar un decremento al presentar el mismo espesor que en el disco cerámico del modelo 2, pero con un área menor. Sin embargo, al calcularse la capacitancia de forma práctica a través de la conductancia, y al tener esta última los demás modos vibracionales con mayor amplitud, éstos quedan reflejados como muestra la fig.32, incrementando la capacitancia en el anillo y quedando por encima del disco de igual dimensiones.
Para finalizar con este apartado se ha realizado una última comparativa de la amplitud de
desplazamiento en el eje Y, de todos los modelos realizados hasta ahora (Fig.29)
Fig.29. Comparación de la amplitud de desplazamiento en el eje Y, entre las simulaciones en 2D de los modelos 1 y 2 del disco cerámico, el modelo del anillo cerámico y el modelo de la muestra rectangular
A través de ella se observa que:
• A mayor área de superficie de la cerámica, mayor amplitud de desplazamiento
en el eje Y. Se obtiene la mayor amplitud con la muestra rectangular y la
menor con el anillo cerámico.
• El disco cerámico, de 30mm de diámetro y 5mm de espesor, es el que presenta
la mayor amplitud de los demás modos vibracionales frente a la muestra
rectangular que es el que los tiene más atenuados.
42 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
La figura 30 muestra el movimiento que se produce en el anillo cerámico a una
frecuencia de 109kHz. Esta frecuencia corresponde a un modo radial de vibración, representando el desplazamiento a 0 grados (a) y a 180 grados (b).
(a)
(b)
Fig.30. Representación de un movimiento armónico radial a 109kHz en el anillo cerámico. Representación a 0 grados (a) y 180 grados (b)
V.3. PROPAGACIÓN DE LOS ULTRASONIDOS EN EL MEDIO Los modelos presentados hasta ahora han sido simulados en aire, permitiendo que las
cerámicas oscilen libremente sin ningún tipo de fuerzas aplicadas sobre ellas. Los cambios
introducidos han sido siempre modificaciones que afectaban directamente a la cerámica de
forma física.
En esta sección se va introducir el diseño del anillo cerámico en un medio distinto (agua),
para observar que fenómenos se producen en el comportamiento de este.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 43
V.3.1. Modelo en PzFlex. Las modificaciones aplicadas en este diseño son las siguientes:
1. Se definen las coordenadas del medio donde se introduce el transductor. Se
establece 50 mm de agua desde los extremos del anillo, tanto en el eje Y
como en el eje X.
2. Se definen condiciones de contorno absorbentes. En este modelo, el límite del
diseño no es la cerámica, sino el agua. Para evitar reflexiones de la onda, que
afecten a los resultados, es necesario definir contornos absorbentes excepto
en el contorno donde se aplique la simetría axial ,como ocurría en el anterior
modelo.
3. Por último la velocidad mínima de este modelo con la que se calcula el
tamaño del elemento, ya no es la velocidad de la cerámica sino la del agua
disminuyendo de 4000m/s a 1500m/s.
El esquema del modelo es el siguiente:
Fig.31. Esquema de la geometría del anillo cerámico en agua
V.3.2. Extrapolación de Kirchhoff Con el fin de evitar el incremento exponencial de la carga computacional que se ocasiona, al
incluir en el modelo grandes regiones de transmisión para medir presiones a determinadas
distancias, las técnicas de extrapolación, están siendo usadas para producir campos en los que
existe una transmisión homogénea de las ondas sin la necesidad de un numero excesivo de
elementos.
44 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Los pasos a seguir en PzFlex para obtener la información de forma correcta se describen a
continuación:
- Definición de un plano de datos que se posiciona a un número determinado
de elementos (usualmente de 8 a 10) entre el límite entre el transductor y
el medio a propagarse.
- Entre el plano de datos y el límite del modelo debe haber al menos una
longitud de onda para que las condiciones de contorno aplicadas en el
modelo no afecten a la extrapolación.
La figura 32 muestra el diseño sin la ventana de kirchhoff (izquierda) y una vez aplicada
esta (derecha).
Fig.32. Esquema de la geometría del anillo cerámico sumergido en agua. Representación del modelo sin
ventana de extrapolación y con ventana (comando espejo activado)
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 45
Impedancia
1.00E+00
1.00E+01
1.00E+02
1.00E+03
1.00E+04
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05 8.00E+05 9.00E+05
Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
(d
B)
anillo 2D aire
anillo 2D agua
Desplazamiento eje Y
0.00E+00
5.00E-13
1.00E-12
1.50E-12
2.00E-12
2.50E-12
3.00E-12
3.50E-12
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05
Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
(m
)
anillo 2D air
anillo 2D agua
Admitancia
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
4.00E-02
4.50E-02
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05 8.00E+05 9.00E+05
Frecuencia (Hz)
Co
nd
uct
anci
a (S
iem
ens)
anillo 2D aire
anillo 2D agua
V.3.3. Resultados En este punto se comparan las características físicas fundamentales del diseño del anillo
cerámico en aire frente al anillo cerámico en agua.
(a) (b)
(c) (d)
Fig.33. Gráficas comparativas del diseño del anillo cerámico en aire frente al diseño del anillo cerámico en agua. Representación de la parte real de la admitancia eléctrica (a); magnitud de la impedancia
eléctrica (b); capacitancia eléctrica (c) y amplitud de desplazamiento en el eje Y (d)
46 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Directividad
-6.00E+01
-5.00E+01
-4.00E+01
-3.00E+01
-2.00E+01
-1.00E+01
0.00E+00
-1.00E+02 -8.00E+01 -6.00E+01 -4.00E+01 -2.00E+01 0.00E+00 2.00E+01 4.00E+01 6.00E+01 8.00E+01 1.00E+02
Grados
Am
plit
u (
dB
)
Se aprecian dos diferencias:
1. Atenuación de la forma de onda de todas las variables del anillo cerámico sumergido en
agua. Este efecto es producido por la cantidad de energía que se transmite, al propagarse
las ondas ultrasónicas por este medio.
2. Ligero desplazamiento de la frecuencia de resonancia en el agua. Disminución de
20kHz
3. Incremento de los modos radiales a baja frecuencia del anillo cerámico en el agua.
Por último, y gracias a la extrapolación de Kirchhoff explicada anteriormente se ha
calculado el patrón de directividad del anillo a la frecuencia de resonancia (400kHz) y a una
distancia de 1 metro, donde queda reflejado los niveles de presión desde un ángulo de 0º hasta
90º. El ancho de banda del transductor a -3dB es de 6°. El patrón de directividad muestra
simetría al igual que lo hace el modelo.
Fig.34. Gráfica de directividad del anillo cerámico sumergido en agua a una frecuencia de 400kHz
V.4. ADICIÓN DE MATERIALES. TRANSDUCTOR LANGEVIN
La última sección de este apartado está dedicada a la modificación del comportamiento de la
cerámica piezoeléctrica mediante la adición de materiales. En particular, se va a diseñar un
transductor de Langevin formado por los tres elementos que lo conforman explicados en el
punto (II.3).
V.4.1. Modelo en PzFlex Se generan dos modelos en 2D y con simetría axial:
1. Transductor de Langevin en aire
2. Transductor de Langevin en agua.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 47
A través de la ecuación de Langevin se despeja tanto la longitud del bloque de aluminio
(matching), como la del bloque de acero (backing). Los datos necesarios para el cálculo son los
siguientes:
- Frecuencia de resonancia a la que va a trabajar el transductor: 40kHz
- Espesor del conjunto de bloques cerámicos: 10mm
- Datos de densidad y velocidad de todos los componentes:
Tabla.3. Densidad y velocidad de los elementos que componen el transductor de Langevin
Al introducir los datos en la ecuación las longitudes obtenidas son:
Tabla.4. Longitud de los materiales que conforman los anillos metálicos
Por lo tanto las dimensiones de todos los elementos que conforman el transductor de
Langevin son las siguientes:
Número Material Longitud
(cm)
Anchura (cm)
Backing 1 Acero 2.09 3
Cerámica 2 Pz29 0.5 3
Electrodos 3 Hardset 0.1e-4 3
Matching 1 Aluminio 2.25 3
Tornillo (cabeza) 1 Acero 1 1.5
Tornillo Cuerpo 1 Acero 3.89 1
Tabla.5. Descripción de los materiales utilizados para el transductor tipo Langevin
1. Transductor de Langevin en aire
a. Definición de las nuevas coordenadas correspondientes al bloque de aluminio,
acero, al nuevo bloque cerámico y al tornillo.
48 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
b. La velocidad mínima utilizada para obtener el tamaño del elemento finito es
la velocidad del sonido en el aire (343m/s), en lugar de la velocidad del
sonido en la cerámica. Al tratarse de un sistema más complejo, con diferentes
materiales, se escoge esta, que es la mínima del sistema, para asegurarse de
obtener un buen mallado en todo el conjunto. Sobre todo en la unión entre los
materiales.
c. Aplicación de una señal de Prestress antes de la función de excitación. En un
sistema real, para conseguir compactar todos los materiales y que trabajen
como uno solo, se aplica, a través del tornillo, una presión que hace que los
elementos del sistema permanezcan juntos y vibren a una determinada
frecuencia de resonancia. En PzFlex, esta señal es una función escalonada de
1MPa, aplicada por un lado entre la cabeza del tornillo y el backing, y por
otro lado y en dirección opuesta, entre el matching y el tornillo, creando la
misma condición de presión que en el caso real. Además, con ella, se aumenta
la resistencia a la tensión de las cerámicas lo que facilita el correcto
funcionamiento de estas. PzFlex es un software que trabaja de forma lineal, e
interpreta las uniones entre los diferentes materiales de forma ideal, trabajando
toda la geometría de igual manera. Esto implica por tanto, que el resultado
obtenido con o sin Prestress es el mismo y por tanto no es necesario incluirlo
en el diseño. Sin embargo el estudio se ha realizado con Prestress ya que es el
modo que más se aproxima a la realidad.
2. Transductor de Langevin en agua.
a. Definición de las dimensiones del medio donde se sumerge el transductor, en
este caso el agua. Se ha escogido unas dimensiones de 90X90mm asegurándose
que las distancias sean más grandes que la longitud de onda (37.5mm).
b. Condiciones de contorno absorbentes para evitar las reflexiones que se
producen en los límites del modelo.
c. Velocidad mínima se modifica a 1500m/s (agua), al cambiar el medio de
transmisión.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 49
Admitancia
0.00E+00
2.00E-04
4.00E-04
6.00E-04
8.00E-04
1.00E-03
1.20E-03
1.40E-03
0.00E+00 1.00E+04 2.00E+04 3.00E+04 4.00E+04 5.00E+04 6.00E+04 7.00E+04 8.00E+04 9.00E+04
frecuencia (Hz)
Co
nd
uct
anci
a (S
iem
ens) Transductor con Prestress
Transductor sin Prestress
La figura 35 muestra el esquema final del transductor en agua. El transductor en aire
presenta el mismo exceptuando el agua que rodea a la geometría.
Fig.35. Esquema de la geometría del transductor de Langevin en PzFlex. V.4.2. Resultados
1. Parte real de la admitancia eléctrica del transductor de Langevin en agua. Representación
de la señal con y sin prestress.
Fig.36. Representación de la admitancia eléctrica del transductor de Langevin con y sin la señal de
Prestress
50 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Admitancia
0.00E+00
5.00E-04
1.00E-03
1.50E-03
2.00E-03
2.50E-03
3.00E-03
3.50E-03
4.00E-03
4.50E-03
0.00E+00 1.00E+04 2.00E+04 3.00E+04 4.00E+04 5.00E+04 6.00E+04 7.00E+04 8.00E+04 9.00E+04
Frecuencia (Hz)
Co
nd
uct
anci
a (
Sie
men
es)
transductor en aire
transductor en agua
Impedancia
1.00E+02
1.00E+03
1.00E+04
0.00E+00 1.00E+04 2.00E+04 3.00E+04 4.00E+04 5.00E+04 6.00E+04 7.00E+04 8.00E+04 9.00E+04
Frecuencia (Hz)A
mp
litu
d (
dB
)
transducer en aire
transductor en agua
Desplazamiento
0.00E+00
1.00E-11
2.00E-11
3.00E-11
4.00E-11
5.00E-11
6.00E-11
7.00E-11
8.00E-11
0.00E+00 1.00E+04 2.00E+04 3.00E+04 4.00E+04 5.00E+04 6.00E+04 7.00E+04 8.00E+04 9.00E+04
Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
(m)
transductor en aire
transductor en agua
Capacitancia
-8.00E-09
-6.00E-09
-4.00E-09
-2.00E-09
0.00E+00
2.00E-09
4.00E-09
6.00E-09
8.00E-09
1.00E-08
1.20E-08
1.40E-08
0.00E+00 1.00E+04 2.00E+04 3.00E+04 4.00E+04 5.00E+04 6.00E+04 7.00E+04 8.00E+04 9.00E+04
Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
(F
)
transductor en aire
transductor en agua
2. Comparativa características físicas fundamentales del transductor de Langevin en aire
frente al transductor de Langevin en agua.
(a) (b)
(c) (d)
Fig.37. Gráficas comparativas del diseño del transductor de Langevin en aire frente al diseño del transductor de Langevin en agua. Representación de la parte real de la admitancia eléctrica (a); magnitud
de la impedancia eléctrica (b); capacitancia eléctrica (c) y amplitud de desplazamiento en el eje Y (d)
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 51
Directividad
-2.50E+01
-2.00E+01
-1.50E+01
-1.00E+01
-5.00E+00
0.00E+00
-1.00E+02 -8.00E+01 -6.00E+01 -4.00E+01 -2.00E+01 0.00E+00 2.00E+01 4.00E+01 6.00E+01 8.00E+01 1.00E+02
Angulo
Am
plit
ud
(d
B)
3. Directividad del transductor de Langevin en agua. Representación a la frecuencia
de resonancia en el modo en espesor (35kHz) y a una distancia de 1metro.
Fig.38. Gráfica de directividad del transductor de Langevin sumergido en agua a una frecuencia de
35kHz
Las conclusiones extraídas a partir de ellas son:
a. Obtención del mismo resultado con o sin la señal de Prestress.
b. Disminución de la frecuencia de resonancia del modo en espesor a 35.8kHz,
debido al acoplamiento de los bloques metálicos
c. Atenuación de la amplitud de las variables del diseño del transductor
sumergido en agua, respecto al modelo en aire.
d. Excitación de otros dos modos vibracionales a las frecuencias de 52kHz y
72kHz.
e. El ancho de banda a -3dB es de 44°. Éste es siete veces mayor que el que se obtiene con el anillo cerámico. Esto es debido a que la frecuencia de resonancia del anillo es de orden mayor y por lo tanto más directiva, reduciéndose el ángulo del haz principal.
52 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Para ofrecer una imagen visual del movimiento del transductor en aire, se ha representado el desplazamiento de éste a la frecuencia de resonancia del modo en espesor (35kHz) y a la frecuencia de resonancia de modo radial (72kHz).
(a)
(b) Fig.39. Representación a 0 y 180 grados de dos movimientos armónicos del transductor de tipo
Langevin a las frecuencias de 35kHz (a) y 72kHz (b)
Para finalizar con el estudio de la cerámica piezoeléctrica se realiza una última comparativa
de la amplitud de desplazamiento en el eje Y de todos los modelos simulados en la presente
trabajo fin de máster.
Fig.40. Amplitud de desplazamiento en el eje Y de todos los diseños realizados
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 53
La gráfica refleja un considerable aumento del desplazamiento en el transductor de
Langevin a la frecuencia de resonancia, en comparación con los demás modelos. Esto refleja la
eficacia que posee el backing a la hora absorber reflexiones que se producen en la cara
posterior del bloque cerámico y que provocan interferencias no deseadas en el comportamiento
del sistema. En definitiva el transductor presenta una mayor eficiencia que el resto de los
modelos.
VI. CONCLUSIONES VI.1. CONCLUSIONES Se ha realizado un estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica, cambiando
propiedades físicas propias de ésta y también características del entorno.
Se han estudiado de forma particular cinco variables: Impedancia, Admitancia,
Capacitancia, Amplitud de desplazamiento y Directividad. A partir de ellas, se han obtenido
diversos resultados para cada diseño, extrayendo las siguientes conclusiones:
En primer lugar, la transformación de la geometría de la cerámica de una muestra en forma
de cubo rectangular a una muestra cilíndrica no influye, ni en el valor de la frecuencia de
resonancia en el modo en espesor, ni en las demás frecuencias resonantes de los distintos
modos, pero sí, en la amplitud de estos. Se produce una mayor influencia de los modos
radiales y de cizalladura (mayor amplitud), frente a una disminución de la amplitud de
conductancia, en la frecuencia de resonancia del modo en espesor. Además, este efecto se
intensifica al introducir un orificio interno.
En segundo lugar, la modificación del espesor de la cerámica provoca un desplazamiento
de la frecuencia de resonancia en el modo en espesor, con una relación inversamente
proporcional, como cabía esperar. Los modos resonantes sufren el mismo desplazamiento.
En tercer lugar, la transmisión de las ondas ultrasónicas en un medio de propagación
distinto del aire, en este caso agua, provoca la atenuación de la amplitud de todas las
variables, debido a la cantidad de energía consumida para la transmisión de las ondas en este
medio. Además, se observa una mayor excitación de los modos radiales a baja frecuencia.
Este efecto, puede ser debido a que las condiciones de contorno absorbentes del modelo no
estén actuando de forma correcta y provoquen una interferencia constructiva a baja frecuencia
Por último, la adición de materiales a la cerámica piezoeléctrica, conformando un
transductor de tipo Langevin, provoca que todo el sistema trabaje a una frecuencia de rango
inferior, regida por la ecuación de Langevin. Además, se produce un incremento de la
eficiencia del sistema, al obtener una mayor amplitud de desplazamiento, en la frecuencia de
54 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
resonancia en el modo en espesor, lo cual es uno de los objetivos que se persiguen con este
tipo de transductores.
En conclusión, las simulaciones realizadas en el presente trabajo se pueden adoptar como
base para futuros estudios al presentar, por un lado, resultados próximos a los datos
experimentales y por otro, resultados coherentes que verifican ecuaciones analíticas. Este
trabajo también ha permitido demostrar la viabilidad del software PZFlex para el diseño de
transductores complejos, como es el caso de los transductores de Langevin.
VI.2. LÍNEAS FUTURAS Una de las posibles vías de estudio para futuros análisis es el estudio de una muestra
piezoeléctrica pero no sólo formada por material cerámico, sino por una mezcla de polímero y
cerámica, que se conoce comúnmente como piezocomposite.
Como se ha visto en este trabajo, en los anillos circulares utilizados en los transductores tipo
Langevin la amplitud de los modos radiales y de cizalladura se ven incrementados en amplitud,
pudiendo solapar a la frecuencia de resonancia en el modo en espesor ( frecuencia de trabajo),
causando interferencias indeseadas.
Son diversos los artículos que afirman que el uso de los piezocomposite estabilizan este
comportamiento, atenuando esos modos resonantes, y quedando solamente la frecuencia de
interés.
Por otro lado, el estudio del comportamiento de un array de cerámicas o transductores en
términos de fase y propagación nos puede aportar datos de relevancia en referencia a eficiencia
de transmisión, energía transmitida etc.
El software podría ser utilizado para el diseño de transductores con gran ancho de banda y
con capacidades de potencia elevada, de gran utilidad en aplicaciones submarinas y médicas.
AGRADECIMIENTOS Agradezco al Dr. Andrew Tweedie por enseñarme a utilizar la mayoría de los comandos
utilizados en el código PzFlex. A mis tutores, Francisco Camarena y Rubén Picó, por sacar
tiempo para resolverme dudas, aun estando en el extranjero y muy especialmente a mi familia y
amigos que han estado apoyándome en todo momento durante este año.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 55
REFERENCIAS [1] Dra.Dulia Orteg, Historia del ultrasonido: El caso chileno. Revista chilena de
Radiología, Vol.10 nº 2 (2004)
[2] Shaul Katzir, “Measuring constants of nature: confirmation and determination in
piezoelectricity (2003)
[3] Heinrich Kuttruff, “Ultrasonics: Fundamental and applications” (1989)
[4] J.A Gallego Juárez, “Piezoelectric ceramics and ultrasonic transducers”. Instituto de
Acústica CSIC. Madrid, Spain
[5] Cheeke, J. David, “Fundamentals and Applications of Ultrasonic Waves”
[6] N.F.Ivina, “Analysis of the Natural Vibrations of Circular Piezo ceramic Plates of
variable thickness”. Makarov Pacific Naval Institute. Rusia, December 12, 2000.
[7] F.Camarena, “Transductor tipo sándwich para Aplicaciones ultrasónicas en frutas”.
Tecni-Acústica, Gandía 2006.
[8] A. Carnicero, “Introducción al método de los elementos finitos”.
[9] Juan C. Heinrich, “The finite element method: basic concepts and applications”.
[10] Barna Aladár Szabó, “Finite element analysis”. Ivo Bsabuska (2003)
[11] R. M. Jimenez Rodriguez, “Estudio y simulación por elementos finitos del
comportamiento de discos cerámicos”. Universitat Politécnica de Catalunya.
[12] O.Zienkievnicz, “El método de los elementos finitos”. (2001)
[13] Gerald Harvey, “An Investigation into the simulation and measurement of high
intensity ultrasonic systems”. University of Stathclyde. March 2008.
[14] PZFlex User Manual. Weidlinger Associates Inc., USA.
56 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
[15] PZFlex Command Reference.Weidlinger Associates Inc., USA.
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 57
ANEXOS
Anexo 1: Análisis realizado mediante Comsol Multiphysics. En el siguiente anexo se muestra un análisis auxiliar realizado con otro software de simulación,
en concreto Comsol Multiphysics 3.5.
Comsol es un software de propósito general. A través de un interfaz gráfico se define
geometría, condiciones de contorno, mallado, parámetros del resolvedor etc. Obteniendo a
través del procesado los resultados deseaos.
Se ha realizado un diseño de la muestra rectangular, que se utilizó para las medidas en el
laboratorio, para comparar por un lado con los datos experimentales y por otro, con el primer
modelo en PzFlex presentado en este trabajo. El módulo escogido ha sido el de acústica, en el
subapartado de piezoelectricidad. El análisis realizado ha sido un análisis de respuesta en
frecuencia.
A partir de aquí se define el diseño, de igual forma que se definía en PzFlex, a través de los
siguientes puntos:
1. Geometría del objeto
Se realiza una simulación en 3D. Las dimensiones utilizadas son las mismas que presenta la
muestra rectangular en la realidad (80X55X8 mm).
La figura 41 muestra la geometría dibujada:
Fig.41 Geometría muestra rectangular dibujada en Comsol Multiphysics
2. Definición del los materiales
El material utilizado es la cerámica Pz29, de la empresa Ferroperm, con los mismos datos que
se utilizaron para el modelo en PzFlex.
58 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
3. Condiciones de contorno
Al tratarse de un modelo en 3D y al querer estudiar el comportamiento de la cerámica cuando
oscila libremente en el aire, todas las superficies del modelo presentan condiciones de
contorno libre como en el modelo en 3D de PzFlex.
4. Señal de excitación
Al trabajar en régimen frecuencial no se necesita ningún tipo de señal de excitación, en
función del tiempo. El programa, con las determinadas condiciones eléctricas, realiza un
barrido frecuencial, dentro del rango que se desee, En este modelo está definido de 10kHz a
400kHz en pasos de 10kHz y mide las propiedades necesarias para el procesado (Tensión,
Campo eléctrico, desplazamiento, desplazamiento eléctrico etc.)
5. Mallado
El mallado en Comsol se puede realizar de dos formas diferentes. En la primera, el programa
da la opción de inicializar una determinada malla e ir refinándola si es necesario. En la
segunda y en la que utiliza en el diseño, se definen los parámetros de la malla. Aquí se escoge
el subdominio que deseas mallar y se indica el tamaño máximo del elemento. También se
puede escoger la forma del elemento: triangular o cuadrada y la tasa de crecimiento.
Que una malla sea la adecuada o no, depende de la siguiente condición:
∆x =λ/10, con λ= c/f
Siendo
∆x: distancia entre extremos del elemento finito.
λ: longitud de onda
c: velocidad de propagación
f: frecuencia
De todos los elementos restrictivos presentes en la ecuación, el más restrictivo que se va a
encontrar es el de la frecuencia, ya que, si se trabaja con frecuencias elevadas, del orden de
las ultrasónicas, la longitud de onda será muy pequeña y por lo tanto más pequeño tendrá que
ser el elemento. El problema de esto, ya no es generar el mallado sino que el ordenador tenga
suficiente memoria para ejecutar todo análisis sin quedarse bloqueado.
Como se desea comparar los resultados entre los dos modelos, en vez de realizar la
ecuación mencionada anteriormente, simplemente se definirá el máximo tamaño del elemento
con las mismas dimensiones que el elemento de PzFlex: (3.2e-4m).
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 59
6. Condiciones eléctricas Las condiciones eléctricas definidas en Comsol son las siguientes:
- Ground: Se aplica cero potencial en la superficie inferior de modelo. Es el
equivalente del electrodo conectado a tierra del modelo Pzflex.
- Electric Potencial: Se define un determinado potencial en la cara superior del
objeto en concreto 1V
- Zero chargue /symmetry: Especifica que el componente normal del
desplazamiento es 0. Se utiliza para las caras exteriores del objeto.
Fig.42 Esquema de las condiciones eléctricas de la muestra rectangular, en Comsol Multiphysics
Las incógnitas a resolver en el procesado son las definidas a continuación:
- Amplitud de desplazamiento en el eje Z (modo en espesor) - Admitancia eléctrica
La primera variable, se obtiene directamente en el procesado mientras que la segunda
necesitas seguir una serie de pasos. Estos pasos son:
1. Integración de la densidad de corriente en el eje Z siguiendo la siguiente
ecuación:
(12)
60 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
2. Definición de la admitancia como variable escalar. La admitancia se define mediante la siguiente ecuación:
(13)
Siendo,
Y, Admitancia eléctrica
V, Potencial eléctrico (V) definido, como variable de entrada, en una de las superficies
de la cerámica
I, Intensidad (A) obtenida a partir de la integración, de la densidad de corriente, de una
de las superficies de la cerámica
En las gráficas siguientes se muestran los resultados obtenidos:
Fig.43 Comparación de la admitancia eléctrica entre la simulación en 3D en Comsol de la muestra rectangular y los datos experimentales. Representada la conductancia (S) en función de la frecuencia
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 61
Desplazamiento PzFlex & Comsol
0.00E+00
2.00E-12
4.00E-12
6.00E-12
8.00E-12
1.00E-11
1.20E-11
1.40E-11
0.00E+00 1.00E+05 2.00E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05 7.00E+05
Frecuencia (Hz)
Am
plit
ud
(m
) desplazamiento PzFlex 2D
desplazamiento PzFlex 3D
desplazamiento Comsol 3D
Fig.44 Comparación de la amplitud de desplazamiento entre las simulaciones en 2D y 3D en PzFlex de la muestra rectangular y la simulación en 3D en Comsol. Representada la conductancia (S) en función de
la frecuencia
A partir de ellas se extrae: - La frecuencia de resonancia en Comsol es de 260KHz, presentando
mayor valor de conductancia. - Los demás modos resonantes quedan solapados, no diferenciándose a
qué modo corresponde cada uno.
En conclusión, la aproximación realizada con Comsol está bastante alejada de la realidad no pudiéndola tomar como válida para posteriores análisis.
62 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
Anexo 2. Código PzFlex de todas las funciones que conforman el modelado MUESTRA EN 2D:
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 65
MUESTRA EN 3D:
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 71
DISCO CERÁMICO EN 2D:
76 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
ANILLO 2D EN AIRE:
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 81
TRANSDUCTOR DE LANGEVIN EN AGUA:
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 87
CÁLCULO ADMITANCIA E IMPEDANCIA:
88 Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos
MODOS ARMÓNICOS:
Estudio del comportamiento de una cerámica piezoeléctrica mediante elementos finitos 89
PATRÓN DE DIRECTIVIDAD: