Estudio de la Frontera de la Estabilidad en los...

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA

INGENIERÍA TÉCNICA EN ELECTRÓNICA INDUSTRIAL

PROYECTO FINAL DE CARRERA

Estudio de la Frontera de la Estabilidad en losConvertidores DC DC Buck y Boost con Control PWM

Alumno: Gonçal Pellicena TerrobaProfesor ponente: Abdelali El Aroudi

Curso: 2002/03

PFC Estudio de la Frontera de la Estabilidad en los Convertidores DC-DC con control PWM Buck y Boost

i

ÍNDICE.

Índice. i

1 Objetivo del Proyecto. 1

2 Introducción. 2

3 Convertidores DC-DC con Control PWM. 4

3.1 Descripción del Control PWM. 4

3.2 Normalización de los Parámetros del Circuito. 8

3.3 Descripción del Convertidor DC-DC Buck. 14

3.3.1 Modo de Conducción Continua. 15

3.3.2 Frontera entre el Modo de Conducción Continua 20 y el Modo de Conducción Discontinua.

3.3.3 Modo de Conducción Discontinua. 20

3.4 Descripción del Convertidor DC-DC Boost. 24

3.4.1 Modo de Conducción Continua. 24

3.4.2 Frontera entre el Modo de Conducción Continua 28 y el Modo de Conducción Discontinua.

3.4.3 Modo de Conducción Discontinua. 30

4 Descripción de los Tipos de Modelos Utilizados. 32

4.1 Modelo Conmutado. 32

4.1.1 Expresión del Modelo Conmutado para el Convertidor Buck. 34

4.1.2 Expresión del Modelo Conmutado para el Convertidor Boost. 35

4.2 Modelo Promediado. 36

4.2.1 Modelo Promediado del Convertidor Buck. 37

4.2.2 Modelo Promediado del Convertidor Boost. 38

4.2.3 Definición de la Curva Característica para Convertidores DC-DC 39


ii

4.2.3.1 Definición de Punto de Equilibrio 39

4.2.3.2 Curva Característica a partir del ModeloPromediado en el Convertidor Buck. 39

4.2.3.3 Curva Característica a partir del ModeloPromediado en el Convertidor Boost. 41

4.3 Modelo Discreto. 43

5 Estudio de la Estabilidad. 47

5.1 Criterios de Estabilidad para el Modelo promediado 47

5.1.1 Cálculo del Punto de Equilibrio en el Convertidor Buck. 49

5.1.2 Cálculo de la matriz Jacobiana en el Convertidor Buck. 50

5.1.3 Cálculo del Punto de Equilibrio en el Convertidor Boost. 51

5.1.4 Cálculo de la matriz Jacobiana en el Convertidor Boost. 52

5.2 Criterios de Estabilidad para el Modelo Discreto 53

5.2.1 Definición de Mapa de un Intervalo. 53

5.2.2 Definición de Órbita y de Gráfico. 53

5.2.3 Tipos de Órbitas 54

5.2.3.1 Punto Fijo 54

5.2.3.2 Órbita p-periódica 55

5.2.3.3 Órbita de Punto Fijo con Preperíodo. 55

5.2.3.4 Órbita Periódica con Preperíodo. 56

5.2.3.5 Punto Asintóticamente Fijo. 56

5.2.3.6 Órbita Asintóticamente p-periódica. 56

5.2.3.7 Órbita Aperiódica. 57

5.2.4 Estabilidad de un Punto Fijo: Multiplicador. 57

5.2.5 Mapa Lineal Bidimensional. 58

5.2.5.1 Mapa Lineal 2D 58


iii

5.2.5.2 Forma de Suma y Producto de Autovalores 59

5.2.5.3 Forma de Ecuación en Diferencias de Segundo Grado. 59

5.2.5.4 Punto Fijo 59

5.2.6 Mapa no lineal Bidimensional 60

5.2.6.1 Mapa no lineal de dos Dimensiones 60

5.2.6.2 Cálculo del Jacobiano a partir del Modelo Discreto 60

5.2.6.3 Autovalores Reales y Diferentes. 65

5.2.6.4 Autovalores Reales e Iguales. 66

5.2.6.5 Autovalores Complejos 66

5.2.6.6 Estabilidad del Mapa 2D según la Posición de susAutovalores. 67

5.2.7 Definición de Bifurcación. 68

5.2.8 Teoría de las Bifurcaciones. 68

5.2.9 Tipos de Bifurcaciones. 69

5.2.9.1 Bifurcación Transcrítica. 69

5.2.9.2 Bifurcación Tangente. 70

5.2.9.3 Bifurcación Horca. 71

5.2.9.4 Bifurcación Horca en la Cascada deDoblamiento de Periodo. 72

5.2.9.5 Bifurcación de Autovalores Complejos Conjugados 72

6 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable en el Convertidor Buck mediantela Simulación del Sistema. 74

6.1 Estudio de la Frontera a partir del Modelo Promediado del Circuito 74

6.2 Estudio de la Frontera a partir del Modelo Discreto del Circuito 75

6.2.1 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de R y Vin para familias de kv. 76


iv

6.2.1.1 Comprobación de la frontera obtenida para elParámetro de Familia kv=0.9 78

6.2.1.2 Comprobación de la frontera obtenida para elParámetro de Familia kv=1 84

6.2.1.3 Comprobación de la frontera obtenida para elParámetro de Familia kv=1.1 90

6.2.2 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de R y Vin para familias de Vref. 97

6.2.2.1 Comprobación de la frontera obtenida para elParámetro de Familia Vref =11V 99

6.2.2.2 Comprobación de la frontera obtenida para elParámetro de Familia Vref =11.5V 105

6.2.2.3 Comprobación de la frontera obtenida para elParámetro de Familia Vref =12V 111

7 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable en el Convertidor Boost mediantela Simulación del Sistema. 118

7.1 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de VR y z, para familias de Q, mediante la traza del jacobiano. 119

7.1.1 Comprobación de la frontera obtenida para el Parámetro de Familia Q=6.5263 121



7.2 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de VR y z, para familias de Q, mediante el determinante del jacobiano. 145





v

8 Conclusiones. 156

9 Anexos. 158

9.1 Anexo A. 158

9.2 Anexo B. 165

10 Bibliografía. 190

PFC Estudio de la Frontera de la Estabilidad en los Convertidores DC-DC Buck y Boost con Control PWM

1

1 OBJETIVO DEL PROYECTO.

El Objetivo principal de este proyecto es realizar un programa informático quesimule el comportamiento de sistemas dinámicos no lineales convertidores DC-DC buck yboost controlados mediante un control de anchura de pulsos, PWM. No se realiza el estudiodel convertidor buck-boost porque el comportamiento de éste es muy parecido al delconvertidor boost. Para poder simular estos circuitos, se deberá modelar primero sucomportamiento, ya que sino, no podría llevarse a cabo este estudio. Los modelos que seutilizaran para este efecto serán el modelo promediado y el modelo discreto. Tanto de losmodelos como de los circuitos se hará una explicación más detallada en posterioresapartados.

Una vez obtenidos los modelos de los dos sistemas, se podrá ver que para elconvertidor buck, solo se puede obtener frontera utilizando el modelo discreto. El tipo debifurcación que se encuentra es la de tipo de doblamiento de periodo, Flip. Con elconvertidor boost, utilizando el modelo promediado se podrá ver que se puede encontrardos tipos de bifurcación, una por la desaparición del unto de equilibrio, Saddle Node, y laotra por seguir una órbita quasi-periódica, Hopf. Esto es debido a que en este convertidorcon el modelo promediado, el jacobiano depende del punto de equilibrio en el cual se estáevaluando el sistema.

El siguiente paso es realizar un programa que simula su comportamiento teniendo encuenta los parámetros que caracterizan dichos circuitos. De esta familia de parámetros, seescogerá uno de ellos, para realizar un barrido en un intervalo acotado, y posteriormente,se escogerá otro de ellos para que sea calculado su valor, en el cual se produce un cambioen la estabilidad del sistema.

Este procedimiento es interesante realizarlo para diferentes valores de un tercerparámetro del circuito, para así, obtener una familia de curvas que delimitarán la fronteraentre la región estable y la región inestable del sistema.

Una vez realizada está operación para cada uno de los convertidores, y haberobtenido diferentes gráficas de familias para variaciones de diferentes parámetros, severificarán las fronteras obtenidas evaluando, con una aplicación informática de granprecisión, los puntos de las fronteras obtenidas.

Para realizar estas comprobaciones, evaluaremos la dinámica del sistema, tanto en eldominio temporal como en el plano de fase, para ver que en un lado de la frontera, ladinámica es estable y en el otro lado es inestable o viceversa.

Con las fronteras obtenidas y, con las correspondientes comprobaciones, se podránsacar las conclusiones pertinentes sobre el comportamiento de estos circuitos, y así facilitarel posible diseño de los mismos, ya que se habrá acotado su región de funcionamiento.


2

2 INTRODUCCIÓN.

Los convertidores continua-continua son circuitos que tienen como principal usoregular la tensión proporcionada por una fuente de energía continua a una carga conocida.Para que estos circuitos no funcionen en ciclo abierto y se desestabilicen fácilmente, se lessuele añadir un circuito de control como puede ser el PWM.

La topología de estos circuitos es bastante simple ya que están formados bien conosciladores LCR o con filtros paso bajo LR y CR. Estos circuitos no tienen uncomportamiento lineal ya que se caracterizan por tener dos estados de funcionamiento. Laconmutación entre estos estados viene determinada por dos interruptores, un transistor y undiodo.

El interruptor principal es el transistor ya que es el que permite que en el primerestado de conmutación, ON, la energía que proporciona la fuente se transfiera a la bobina,produciendo su carga. Cuando el transistor está en estado OFF, la energía que haacumulado la bobina es transferida a la carga. El interruptor normalmente es gobernado porla lógica de control, que provocará que conmute de un estado a otro.

El segundo interruptor utilizado es el diodo que realiza la acción opuesta al transistor.Cuando el transistor está en estado ON el diodo está en estado OFF. Cuando los dosinterruptores conmutan entre los dos estados antes citados, el convertidor trabaja en elmodo de conducción continua. Pero se puede dar el caso que los dos interruptores estén enestado OFF ya que el diodo no soporta tensiones inversas. Cuando esto sucede, se diceque el convertidor trabaja en modo de conducción discontinua.El control que se utiliza, consiste en amplificar el error producido entre el valor de lasvariables de salida y su valor deseado, obteniendo una tensión de control. Esta tensión escomparada con una forma de onda repetitiva produciendo una señal de conmutación que esla que gobierna al interruptor.

Como ya se ha especificado antes, el comportamiento de estos circuitos siguen unadinámica no lineal, de hecho, cada estado por separado es lineal, pero la acción deconmutar entre un estado y otro produce un fuerte no-linealidad. Este hecho hace que elanálisis del sistema esté fuera del alcance de las teorías conocidas para el tratamiento desistemas dinámicos.

Los convertidores básicos son sistemas de dos dimensiones, pero la señal deconmutación produce que el sistema sea no autónomo. Como ya es conocido, los sistemasde dos dimensiones no autónomos tienen propiedades comunes a los sistemas de tresdimensiones.

El comportamiento de estos sistemas puede producir una amplia variedad dedinámicas con sus correspondientes bifurcaciones. Estas dinámicas incluyen puntos deequilibrio, orbitas periódicas y quasiperiodicas y por supuesto el caos. Las posiblesbifurcaciones que nos podemos encontrar son, por ejemplo, una bifurcación del tipo Hopfseguida de una ruta quasiperiodica al caos, o una bifurcación del tipo Flip seguida de unaruta de desdoblamiento de periodo al caos, o una bifurcación del tipo Saddle Node obifurcación tangente y el fenómeno implicado cuando se produce mas de una conmutacióndurante un periodo. Además de estas bifurcaciones, nos podemos encontrar con otras demás complejas relacionadas con los límites de los circuitos de control por ejemplo, cuandose alcanza el modo de conducción discontinua o cuando el control evita la conmutación alvalor máximo o mínimo de la señal de modulación. Este caso puede llevar a que ladinámica del convertidor se sitúe en uno de los dos estados de conmutación, sin volver aconmutar o que pueda parar de conmutar durante algunos de los periodos de la señal demodulación.


3

En este proyecto se realizará un análisis de este tipo de bifurcaciones, ya que el hechode buscar una frontera de la región estable, posibilita el estudio de las mismas. Un análisiscuantitativo es difícil de tratar debido a la dependencia de las variables del sistema con eltiempo. Por tanto, será más factible si se realizan aproximaciones de la dinámica enpequeños periodos de tiempo, teniendo en cuenta las constantes de tiempo del circuito.

Para este efecto, si se utiliza el modelo promediado, se pueden obteneraproximaciones bastante reales de sistemas conmutados. Para que los resultados sean lomás fiables posible, nos ayudaremos de herramientas gráficas y analíticas como son lacurva característica y la impedancia crítica del circuito que se lleva a estudio. Tanto unacomo la otra, están asociadas al punto de equilibrio obtenido a partir del modelopromediado. Además, estas herramientas nos facilitarán entender las diferentesbifurcaciones que se puedan obtener.

El análisis a través del modelo promediado, se limita al estudio de los puntos deequilibrio del sistema, los cuales corresponden a la órbita de un periodo. Por tanto, seanalizará la matriz jacobiana alrededor del punto para que, según sus autovalores, se puedaconocer la región de trabajo del circuito.

Este estudio, se realizará para dos de los convertidores básicos, buck y el boost, peronos encontramos con el inconveniente que el modelo promediado del convertidor buck eslineal y su comportamiento es bastante simple, en detrimento del convertidor boost, el cualsu modelo es no lineal.

Debido a que los sistemas promediados son sistemas autónomos de dos dimensiones(el tiempo ha sido suprimido de las ecuaciones del modelo), algunas de las dinámicas y delas bifurcaciones asociadas al sistema, como el comportamiento caótico o la bifurcación deFlip, con periodos grandes de modulación de señal, no se podrán explicar. Este es elprincipal inconveniente de utilizar el modelo promediado.

El inconveniente antes citado, nos lleva a la utilización de otro tipo de modelo pararealizar el estudio de bifurcaciones o dinámicas donde el periodo de modulación de la señalsea alto. Este modelo es el llamado modelo discreto en el cual la señal de conmutación esesencialmente discreta.

Por tanto, se realizará la modelización discreta de los convertidores con un controlPWM con una frecuencia de conmutación fija. Se propondrán las ecuaciones que describenel circuito en el modo de conducción continua para realizar el modelo. También se deberámodelar la función rampa que se utiliza en el control ya que es muy importante para elestudio de la dinámica del sistema. Para el estudio de la estabilidad, se realizará alrededorde un punto de la órbita de un periodo, por tanto, se deberá estudiar la matriz jacobianapara que según sus autovalores se pueda determinar la dinámica del sistema.

Cabe decir que las herramientas, tanto analíticas como gráficas, que se utilizan en elmodelo promediado, también podrán ser muy útiles para entender las dinámicas y lasbifurcaciones que se puedan hallar mediante su utilización

El uso de este modelo provoca que se pueda encontrar bifurcaciones del tipo Flip,ya que depende del periodo de modulación de la señal.


4

3 CONVERTIDORES DC-DC CON CONTROL PWM.

En este apartado se describen los dos convertidores DC-DC que se llevan a estudio yel control utilizado.

3.1 Descripción del Control PWM

En los convertidores DC-DC, la tensión continua de salida debe ser controlada paramantener un valor deseado de dicha tensión, frente a fluctuaciones de la tensión de entraday de la carga.

Para ello, se puede controlar mediante el control de la duración de los estados ON yOFF de los interruptores (Ton y Toff). Este tipo de control es conocido como control pormodulación de anchura de pulsos o PWM, en el cual, se varía la relación de conmutación.Esta relación también es conocida por duty cycle, D, y se define como la relación entre laduración del estado ON del interruptor y su periodo de conmutación.

r

on

TT

D = (1)

La conmutación en este tipo de control, a una frecuencia de conmutación constante,se genera comparando el voltaje de una señal de control con una forma de onda repetitiva,en este caso una diente de sierra. De esta comparación se determinará el estado de laconmutación (ON o OFF). La señal diente de sierra que utilizamos estará acotada entredos valores de tensión fijos, uno para el máximo, Vu y otro para el mínimo Vl..

La señal de control se obtiene a partir de la siguiente expresión:

)( reflicvcontrol Vikvkav −⋅+⋅⋅= (2)

En la siguiente figura, se muestra el diagrama de bloques del circuito PWM.

Figura 1. Diagrama de bloques del modulador de anchura de pulsos.

La frecuencia de la señal en diente de sierra, con un valor de pico constante, es la queestablece la frecuencia de conmutación, ésta suele escogerse entre unos pocos kHz y unoscientos kHz.


5

vcontrol > vrampa

OFF OFF

ONON

0 t

vrampa vcontrol

vcontrol < vrampa

vu - vl

TonToff

Tr

Cuando la señal amplificada del error, vcontrol, la cual varía muy poco respecto delperiodo de conmutación, es mayor que la onda en diente de sierra, vrampa, la señal decontrol se pone en estado alto, causando la conmutación a estado ON, y viceversa. Locomentado se puede ver en la siguiente figura.

Figura 2. Señales de comparación del modulador de anchura de pulsos.

En término de tensión de control, vcontrol, y de la tensión de pico de la señal en dientede sierra, lu VV − , el duty cycle se puede expresar como sigue:

lu

control

r

on

VVv

TT

D−

== (3)

La expresión del duty cycle como la relación entre la tensión de control definida en laecuación (2) y la señal en diente de sierra definiendo la amplitud como Vu-Vl, teniendo encuenta que Vl >0 y Vu>Vl, queda según la siguiente ecuación:

lu

reflicvu

r

on

VV

VikvkaV

TT

D−

−⋅+⋅⋅−==

)((4)

Ton en el eje de tiempo se corresponde a la diferencia entre el valor máximo de latensión de la rampa y la tensión de control en el eje de tensión. El periodo de la rampa, Tr,en el eje de tiempo se corresponde a la amplitud de la rampa en el eje de tensión.

El hecho de tener la rampa acotada, nos permite introducir el concepto de la banda deconmutación ya que si la señal de conmutación, Vcontrol-Vrampa, es mayor que el extremosuperior de la función rampa o es menor que el extremo inferior, el convertidor noconmutará de estado quedándose en un estado permanentemente o durante unos ciclos defuncionamiento. Por tanto, para el estudio que llevaremos a cabo, el convertidor deberátrabajar dentro de las bandas de conmutación.


6

i

v

bl

bh

El valor de los bordes de la banda de conmutación se pueden calcular si comparamosla expresión con cada uno de los extremos de la rampa.

Vrefa

VikvkVVikvka ulicvureflicv +<>⋅+⋅⇒<>−⋅+⋅⋅ )( (5)

Vrefa

VikvkVVikvka llicvlreflicv +<>⋅+⋅⇒<>−⋅+⋅⋅ )( (6)

Los circuitos que simularemos, tratamos tanto con realimentación de tensión comocon los dos tipos, de corriente y de tensión. A partir de las comparaciones anteriores,podemos calcular las expresiones de los extremos de la banda para cada uno de los doscasos.

El primer caso será cuando el control solo tenga realimentación de corriente, donde elvalor de kv es igual a 0. Calcularemos cada uno de los bordes, llamando bh al bordecorrespondiente al valor máximo de la rampa, y bl al borde correspondiente al valormínimo.

bhVrefa

Vk

iVrefa

Vik u

il

uli =

+⋅=⇒+<>⋅

1(7)

blVrefaV

kiVref

aV

ik l

il

lli =

+⋅=⇒+<>⋅

1(8)

Si se representa la banda calculada en el plano (v,i), podemos ver que tienen lasiguiente forma.

Figura 3. Representación en el plano (v,i) de la banda de conmutación para una realimentación de corriente.


7

i

vbl bh

Si tratamos el circuito solo con realimentación de tensión, calcularemos los bordesde la banda correspondiente con la misma notación utilizada en el caso anterior.

bhVrefa

Vk

vVrefa

Vvk u

vc

ucv =

+⋅=⇒+<>⋅

1(9)

blVrefa

Vk

vVrefa

Vvk l

vc

lcv =

+⋅=⇒+<>⋅

1(10)

Si se representa gráficamente:

Figura 4. Representación en el plano (v,i) de la banda de conmutación para una realimentación de tensión

En el caso en que el circuito tenga realimentación de corriente y de tensión,deberemos calcular las coordenadas (x,y) del punto inicial y del punto final de cada borde.Llamaremos tanto a la coordenada del eje x como del eje y correspondiente al valor de labanda en el valor máximo de la rampa como bhx y bhy respectivamente, y, blx y bly, a lascoordenadas de los ejes en el valor mínimo dela rampa. Como se puede ver solocalculamos un punto en cada coordenada porque el cálculo se realiza tomando como 0 unade las dos coordenadas.

⇒+<>⋅+⋅ Vrefa

Vikvk ulicv si il=0 bhxVref

aV

kv u

vc =

+⋅=⇒

1(11)

⇒+<>⋅+⋅ Vrefa

Vikvk ulicv si vc=0 bhyVref

aV

ki u

il =

+⋅=⇒

1(12)

⇒+<>⋅+⋅ Vrefa

Vikvk llicv si il=0 blxVref

aV

kv l

vc =

+⋅=⇒

1(13)


8

i

vblx bhx

blx

bly

⇒+<>⋅+⋅ Vrefa

Vikvk llicv si vc=0 blyVref

aV

ki l

il =

+⋅=⇒

1(14)

Si se representan las bandas a partir de los puntos calculados anteriormente,

Figura 5. Representación en el plano (v,i) de la banda de conmutación para realimentación de tensión y de corriente.

3.2 Normalización de los Parámetros del circuito.

El gran número de parámetros asociados a los convertidores DC-DC con controlPWM es el mayor inconveniente para el estudio de todas las posibles dinámicas. Losparámetros asociados a estos circuitos sin tener en cuenta el modelo que se utilice, son Vin,R, L, C y Rs, para el circuito, y Vref, Vl, Vu, kv, ki, a y T, para el control PWM. Como sepuede ver el elevado número de parámetros puede dificultar el estudio. Para solucionar esteproblema, definiremos parámetros adimensionales para reducir el número de parámetrosindependientes del circuito.

El primer paso será realizar una transformación lineal de las variables de estado paraobtener como resultado final los nuevos parámetros adimensionales. Escogemos lasvariables Ts, Vs y Is como parámetros de escala con dimensiones físicas de tiempo, tensióny corriente, respectivamente.

La normalización de variables y parámetros de un sistema facilita el análisis delsistema, permite ver las diferencias entre los convertidores y muestra como el factor decalidad, que está relacionado con la resistencia de carga, y el factor de calidad asociado a laresistencia serie de la bobina intervienen en la dinámica del sistema.


9

De todas las posibilidades que se pueden adoptar, escogemos las siguientesexpresiones para los parámetros de escala.

CLTs ⋅⋅⋅= π2 (15)

ins VV = (16)

CL

VI in

s = (17)

Una vez definidos los parámetros de escala, definimos las variables de estadonormalizadas del convertidor,

in

c

Vtv

tv)(

)( = (18)

)()( tiV

CL

ti lin

⋅= (19)

y los parámetros normalizados.

sTt

=τ (20)

CLR

Q = (21)

ss R

CL

Q = (22)

Q es el factor de calidad asociado a la resistencia de carga del circuito, Qs es elfactor de calidad asociado a la resistencia serie de la bobina, y τ es una variableadimensional de tiempo.

El siguiente paso es normalizar las variables que pertenecen al control PWM.Normalizando la condición de conmutación se obtiene que,

( ) 0))((,, =⋅+−⋅+= ττ hVVizvivf DRs (23)

El parámetro VR es la tensión de referencia normalizada. VD, es la amplitud de latensión de la rampa normalizada. z, es la impedancia normalizada. h(τ), es una funcióndiente de sierra de amplitud la unidad, con valor máximo de 1/2, y de valor mínimo –1/2,periodo TN.


10

h(τ)

τpT T

1/2

0

-1/2

Expresamos los anteriores parámetros normalizados en función de los parámetrosdel circuito y del control.

inv

lu

vin

refR Vka

VVkV

VV

⋅⋅⋅+

+⋅

=2

(24)

inv

luD Vka

VVV

⋅⋅−

= (25)

)( CLk

kz

v

i

⋅= (26)

0TT

TN = (27)

Una vez se tienen todas las variables normalizadas, se puede definir nuevamente elduty cycle en función de estas nuevas variables, siendo por tanto,

D

R

VtiztvV

td)()(

21

)(⋅−−

+= (28)

Al normalizar los parámetros del control, la banda de control también se normaliza,por tanto obtendremos las nuevas expresiones de los bordes para los nuevos parámetros.

En la siguiente figura se muestra la función rampa normalizada.

Figura 6. Representación de la rampa normalizada


11

i

v

bl

bh

Si consideramos que la función h(τ) toma el valor de los extremos de la rampa, yutilizando la misma notación, para cada una de ellas, como cuando no estaba normalizada,sus expresiones serán las siguientes.

Para el caso que el control solo tiene realimentación de tensión.

bhV

Vz

iVViz DRDR =+⋅=⇒⋅+<>⋅ )

2(

121

(29)

blV

Vz

iVViz DRDR =−⋅=⇒

−⋅+<>⋅ )

2(

121

(30)

Representando gráficamente la banda de conmutación para parámetros normalizados.

Figura 7. Representación en el plano (v,i) de las banda normalizada para realimentación de corriente.

En el caso que solo haya realimentación de tensión, los bordes de la banda seexpresarán como:

bhV

VvVVv DRDR =+=⇒⋅+<>

221

(31)

blV

VvVVv DRDR =−=⇒

−⋅+<>

221

(32)


12

i

vbl bh

Y expresada gráficamente:

Figura 8. Representación en el plano (v,i) de la banda normalizada para realimentación de tensión.

Realizamos la misma operación para una realimentación de corriente y de tensión.

⇒⋅+<>⋅+21

DR VVizv si i=0 bhxV

Vv DR =+=⇒

2(33)

⇒⋅+<>⋅+21

DR VVizv si v=0 bhyV

Vz

i DR =

+⋅=⇒

21

(34)

⇒

−⋅+<>⋅+

21

DR VVizv si i=0 blxV

Vv DR =−=⇒

2(35)

⇒

−⋅+<>⋅+

21

DR VVizv si v=0 blyV

Vz

i DR =

−⋅=⇒

21

(36)


13

i

vblx bhx

bly

bhy

i

vblx bhx

bly bhy

Representamos gráficamente la nueva banda de conmutación con parámetrosnormalizados. Según el signo de la variable normalizada z, variará el signo de la pendientede la banda, de esta forma, si z>0,

Figura 9. Representación en el plano (v,i) de la banda normalizada para realimentación de tensión y de corriente paraz>0.

y en caso contrario,

Figura 10. Representación en el plano (v,i) de la banda normalizada para realimentación de tensión y de corriente paraz>0.


14

3.3 Descripción del Convertidor DC-DC Buck.

Este tipo de circuito, convierte una tensión continua de entrada a una tensióncontinua de salida menor. En la siguiente figura se muestra el circuito básico queconstituye este tipo de convertidor con una carga puramente resistiva.

Figura 11. Circuito básico de un convertidor DC-DC.

Suponiendo el interruptor ideal, el voltaje de salida depende de la posición delinterruptor, de esta forma, se puede calcular el valor medio de dicha tensión en función delduty cycle.

ininr

onTr

Ton

Ton

in

Tr

VDVTT

dtdttVdttvV ⋅=⋅=⋅+⋅=⋅= ∫∫∫ 0)()(00

00 (37)

De esta forma, se puede controlar la tensión de salida a partir de duty cycle. En elcircuito anterior, existen dos inconvenientes para su utilización. En la práctica, se puedetener una carga resistiva con una fuerte componente inductiva. Este hecho, provoca que elinterruptor tenga que absorber o disipar la energía de dicha bobina parásita y pueda serdestruido el interruptor. Por último, es que el voltaje de salida pueda fluctuar entre 0 V yVin, siendo inaceptable en muchas aplicaciones.

Para solucionar estos dos inconvenientes, se introducen modificaciones en el circuito.Si se introduce un diodo entre el interruptor y la carga provoca que la energía en la bobinase pueda transferir a la carga. Este efecto se explica ya que si el interruptor está en estadoON, el diodo no conduce y la entrada suministra energía a la carga y a la respectiva bobina.Cuando el interruptor se encuentra en estado OFF, el diodo conduce, provocando que lacorriente del inductor circule a través del diodo y se pueda transferir energía a la carga.

Para disminuir las fluctuaciones de la tensión de salida, se introduce un filtro pasobajo formado por una bobina y un condensador. La frecuencia de corte del filtro tiene queser mucho mayor que la frecuencia de conmutación para así, eliminar el rizado provocadopor dicha frecuencia en el voltaje de salida.


15

Tras las modificaciones antes descritas, el convertidor DC-DC del tipo buck, presentala siguiente forma:

Figura 12. Convertidor DC-DC del tipo Buck.

Cabe decir que el valor del condensador deberá ser de un valor elevado para eliminarel rizado de la señal de salida y así obtener que 00 )( Vtv = .

También se puede observar que el promedio de la corriente en la bobina es igual alpromedio de la corriente de salida. Esto es debido a que el promedio de la corriente en elcondensador es 0 en el estado estacionario.

3.3.1 Modo de Conducción Continua.

Cuando el convertidor funciona en este modo de conducción, la corriente que pasapor la bobina fluye constantemente, siendo. Como se puede ver en la siguiente figura,tomando que Vd=Vin,

Figura 13. Gráfica de la corriente en la bobina en el convertidor buck trabajando en modo de conducción continua.


16

En el estado estacionario, la forma de onda se repite de un periodo a otro, siendo laintegral del voltaje en la bobina igual a 0. así, de esta forma:

00 0

=⋅+⋅=⋅∫ ∫∫Tr Tr

Tonl

Ton

ll dtvdtvdtv (38)

De la ecuación anterior, se puede concluir que las áreas A y B tienen que ser iguales,por tanto:

)()( 00 onronin TTVTVV −⋅=⋅− (39)

DTT

VV

r

on

in

==0 (40)

De este modo, la tensión de salida varía linealmente con el duty cycle del interruptorpara un voltaje dado. Así no se depende de otro parámetro del circuito.

Para buscar las expresiones de las variables de estado del circuito, la corriente en labobina y la tensión en el condensador, estudiamos cada una de las topologías por separado,para Ton, y para Toff.

Durante el periodo de tiempo Ton, el interruptor está en estado ON, suministrandocorriente a la bobina, y el diodo se encuentra en estado de corte. Esto provoca que en labobina, la tensión sea positiva, Vin-V0.

Por tanto, el circuito queda de la siguiente manera,

Figura 14. Convertidor buck en estado ON.

Si aplicamos un KVL al circuito obtenemos que,

)( clllsin iiRviRV −⋅++⋅= (41)


17

Consideramos que la expresión tanto de la tensión de una bobina como la corrienteen un condensador son:

dttdi

Lv ll

)(⋅= (42)

y

dttdv

Ci cc

)(= (43)

Sustituimos las expresiones (42) y (43) en la expresión (41).

dt

tdvCRiR

dttdi

LiRV cl

llsin

)()(⋅−⋅+⋅+⋅= (44)

La expresión de la tensión en el condensador sabemos que tiene la siguienteexpresión.

dttdv

CRiRv clc

)(⋅−⋅= (45)

Despejando la derivada de la tensión en el condensador.

lcc i

Cv

CRdttdv

⋅+⋅⋅

−=11)(

(46)

Sustituimos la expresión de la derivada de la tensión del condensador de laecuación (46) en la ecuación (44), y despejamos la derivada de la corriente en la bobina,obteniendo.

⇒+⋅−⋅+⋅−⋅−=⇒

⇒+⋅−⋅+⋅+⋅=⇒

⇒

⋅

⋅−⋅⋅−⋅+⋅+⋅=

LV

iLR

iLR

iLR

vLdt

tdi

viRiRdt

tdiLiRV

vCR

iC

CRiRdt

tdiLiRV

inlll

sc

l

clll

lsin

clll

lsin

1)(

)(

11)(

LV

iLR

vLdt

tdi inl

sc

l +⋅−⋅−=⇒1)(

(47)


18

Por tanto, las ecuaciones de las variables de estado para el convertidor Buck,cuando está topología ON son:

lcc i

Cv

CRdttdv

⋅+⋅⋅

−=11)(

(48)

LV

iLR

vLdt

tdi inl

sc

l +⋅−⋅−=1)(

(49)

Si expresamos las ecuaciones anteriores, (48) y (49), con parámetros normalizados,las ecuaciones de estado quedan de la siguiente manera:

ivQdt

tdv+⋅−=

1)((50)

11)(

+⋅−−= iQ

vdt

tdi

s

(51)

Ahora buscamos la expresión de las variables para la topología OFF. En estatopología el circuito presenta de la siguiente forma:

Figura 15. Convertidor buck en estado OFF.

El procedimiento que utilizaremos es el mismo que para buscar las expresiones delas ecuaciones de las variables de estado para la topología anterior. Si aplicamos un KVL alcircuito obtenemos que,

)(0 cllls iiRviR −⋅++⋅= (52)

Sustituimos las expresiones de la tensión en la bobina, (43), y la de la corriente enel condensador, (42), en la expresión (52).

dt

tdvCRiR

dttdi

LiR cl

lls

)()(0 ⋅−⋅+⋅+⋅= (53)


19

La expresión de la tensión en el condensador sabemos que tiene la siguienteexpresión.

dttdv

CRiRv clc

)(⋅−⋅= (54)

Despejando la derivada de la tensión en el condensador.

lcc i

Cv

CRdttdv

⋅+⋅⋅

−=11)(

(55)

Sustituimos la expresión anterior, (55), en la ecuación (53), y despejamos laderivada de la corriente en la bobina, obteniendo.

⇒⋅−⋅+⋅−⋅−=⇒

⇒+⋅−⋅+⋅+⋅=⇒

⇒

⋅

⋅−⋅⋅−⋅+⋅+⋅=

llls

cl

clll

ls

clll

ls

iLR

iLR

iLR

vLdt

tdi

viRiRdt

tdiLiR

vCR

iC

CRiRdt

tdiLiR

1)(

)(0

11)(0

ls

cl i

LR

vLdt

tdi⋅−⋅−=⇒

1)((56)

Por tanto, las ecuaciones de las variables de estado para el convertidor buck, cuandoestá topología OFF son:

lcc i

Cv

CRdttdv

⋅+⋅⋅

−=11)(

(57)

ls

cl i

LR

vLdt

tdi⋅−⋅−=

1)((58)

Si expresamos las ecuaciones anteriores, (57) y (58), con parámetros normalizados,las ecuaciones de estado quedan de la siguiente manera:

ivQdt

tdv+⋅−=

1)((59)

iQ

vdt

tdi

s

⋅−−=1)(

(60)


20

3.3.2 Frontera entre el Modo de Conducción Continua y el Modo de ConducciónDiscontinua.

En este apartado, se desarrollan las ecuaciones que muestran la influencia de variosparámetros del circuito a la corriente de la bobina en el modo de conducción continua odiscontinua, y así, poder introducir la frontera entre ambos modos de conducción.

La forma de la onda de la corriente y la tensión en la bobina en la frontera entreambos modos de conducción, tomando Vin=Vd es:

Figura 16. Forma de onda de la corriente en la bobina en la frontera delos dos modos de conducción

Como se puede ver, en la frontera entre el modo de conducción continua ydiscontinua, la corriente en la bobina, il, se hace 0 al final del tiempo Toff.

Teniendo en cuenta que el subíndice B se utiliza para referirse a la frontera, laecuación que determina la corriente en la bobina en dicha frontera es:

Binr

inon

picollB IVVLTD

VVL

TiI 000, )(

2)(

221

=−=⋅⋅

=−⋅⋅

=⋅= (61)

Por tanto, si durante el modo de conducción, la corriente media en la bobina es menorque ILB, entonces, il se convertirá en discontinua y se situará en la frontera entre ambosmodos de conducción.

3.3.4 Modo de Conducción Discontinua.

Dependiendo de la aplicación de estos convertidores, o la tensión de entrada Vin, o latensión de salida V0 se controla ajustando el duty cycle, D.

El primer caso que tratamos es cuando se mantiene la tensión de entrada constante.Este caso se puede encontrar, por ejemplo, en un control de velocidad de un motor DC,donde la tensión de entrada Vin permanece constante, mientras V0 se controla ajustando elduty cycle, D.

De inVDV ⋅=0 , la corriente media en el inductor en la frontera del modo deconducción continua:

)1(2

DDL

TI r

LB −⋅⋅⋅

= (62)


21

Usando esta ecuación, se puede mostrar en la siguiente figura, ILB en función del dutycycle, manteniendo Vin (Vd) y todos los parámetros del circuito constantes.

Figura 17. Relación entre la corriente de la bobina en la frontera y el duty cycle para Vd constante.

Como se puede ver en la figura, la corriente de salida es máxima para un duty cyclede 5.0=D en el modo de conducción continua.

LVT

I inrLB ⋅

⋅=

8max, (63)

De las ecuaciones (62) y (63):

DDII LBLB ⋅−⋅⋅= )1(4 max, (64)

Se procede al cálculo de la relación V0/Vin en el modo discontinuo. Inicialmente, setoma que el convertidor trabaja en la frontera del modo continuo con unos valores de T, L,Vin y D dados. Si se mantienen estos parámetros constantes, la salida se decrementa, lacorriente en el inductor también se verá decrementada.

Como se muestra en la siguiente figura, el efecto antes descrito, produce un aumentode la tensión en la carga y una corriente discontinua en el inductor.

Figura 18. Modo de conducción discontinua en el convertidor Buck.


22

Durante el intervalo D2Tr, donde la corriente en el inductor es 0, la potenciasuministrada a la carga resistiva es suministrada por el filtro capacitivo. El voltaje en labobina durante este intervalo es 0. también en este caso, la integral del voltaje en la bobinadurante un periodo es 0.

rrin TVTDVV ⋅∆⋅−⋅⋅− 100 )( (65)

Si se despeja:

1

0

∆+=

DD

VV

in

(66)

Donde 0.11 <+ DD .

De la figura anterior:

rpicol TL

Vi ⋅∆⋅= 1

0, (67)

Por tanto:

21

,0

∆+⋅=

DiI picol (68)

usando (68)

110 )(2

∆⋅∆+⋅⋅⋅

= DLTV r (69)

usando (66)

12∆⋅⋅

⋅⋅

= DLTV rin (70)

usando (63)

1max,4 ∆⋅⋅⋅= DI LB (71)

si se despeja:

1max,0 4 ∆⋅⋅⋅= DII LB (72)

se obtiene que:

max,

01 4 LBID

I⋅⋅

=∆ (73)


23

de las ecuaciones (66) y (73):

⋅+

=

max,

02

20

41

LB

in

II

D

DVV

(74)

El segundo caso que tratamos será cuando se mantiene la tensión de salida constante.En aplicaciones como la regulación del suministro de potencia DC, se puede encontrar estecaso ya que la tensión de entrada, Vin, puede fluctuar, pero V0 debe mantenerse constanteajustando el duty cycle.

De Vin=V0/D, la corriente media en el inductor en la frontera del modo de conduccióncontinua es:

)1(2

0 DLVT

I rLB −⋅

⋅⋅

= (75)

De esta ecuación, se puede sacar la conclusión que si V0 se mantiene constante, elvalor máximo de ILB ocurre cuando el duty cycle es 0.

LVT

I rLB ⋅

⋅=

20

max, (76)

Se puede ver que la operación correspondiente para un duty cycle igual a 0 y una V0

finita es hipotética, ya que, Vin tendría que ser infinito.De las ecuaciones (71) y (72) se puede sacar:

max,)1( LBLB IDI ⋅−= (77)

Para el convertidor donde V0 se mantiene constantemente, puede ser útil obtener elduty cycle requerido como función de I0/ILB,max. Usando las ecuaciones (66), (67) y (76),para el caso de V0 se mantiene constante.

d

LB

in

VV

II

VV

D0

max,

0

0

1−⋅= (78)


24

3.4 Descripción del Convertidor DC-DC Boost.

Este tipo de circuito, convierte una tensión continua de entrada en una tensióncontinua de salida mayor. En la siguiente figura, se muestra el esquema de este tipo decircuitos:

Figura 19. Esquema del convertidor DC-DC del tipo boost.

Cuando el interruptor está en estado ON, el diodo está en corte, produciendo que lafuente de entrada suministre energía a la bobina. Cuando el interruptor está en estado OFF,el diodo conduce, y la carga recibe energía tanto de la fuente de entrada como de la bobina.

En el estado estacionario, presentado aquí, el condensador, que forma el filtro desalida, se toma lo suficientemente grande como para que la tensión de salida sea constante,

00 )( Vtv ≅ .

3.4.1 Modo de Conducción Continua.

En la siguiente figura se muestra la forma de onda, tomando como Vd=Vin, en este tipode modo de conducción donde la corriente en el inductor fluye constantemente )0)(( >til .

Figura 20. Gráfica de la corriente en la bobina en el convertidor boost trabajando en modo de conducción continua.


25

Como en el convertidor buck, en este convertidor en estado estacionario, la integralen el tiempo del voltaje en la bobina más allá de un periodo tiene que ser 0, por tanto:

000

=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫Tr

Tonl

Ton

l

Tr

l dtvdtvdtv (79)

0)( 0 =⋅−+⋅ offdond TVVTV (80)

Dividiendo cada uno por Tr y reordenando los términos, se tiene que:

DTT

VV

off

r

d −==

110 (81)

Para buscar las ecuaciones de estado del circuito, utilizaremos el mismo método quecon el convertidor buck. Para ello, estudiamos cada una de las topologías del circuito porseparado, para Ton, y para Toff.

Durante el periodo de tiempo Ton, el transistor está conduciendo y el diodo está encorte, por tanto toda la corriente que suministra la fuente, es transferida a la bobina. En estatopología el circuito queda de la siguiente forma.

Figura 21. Convertidor boost en estado ON.

Aplicando un KVL a cada malla del circuito, obtenemos las siguientes expresiones.

llsin viRV +⋅= (82)

cc iRv ⋅−= (83)

Si sustituimos en las ecuaciones anteriores, la expresión de la tensión en la bobina,(42), y la expresión de la corriente en el condensador, (43),

dttdi

LiRV llsin

)(⋅+⋅= (84)


26

dttdv

CRv cc

)(⋅⋅−= (85)

Despejando las derivadas correspondientes, se obtienen las ecuaciones para cadauna de las variables de estado.

inlsl V

Li

LR

dttdi

⋅+⋅−=1)(

(86)

cc v

CRdttdv

⋅⋅

−=1)(

(87)

Si normalizamos las expresiones anteriores,

11)(

+⋅−= ls

l iQdt

tdi(88)

cc v

Qdttdv

⋅−=1)(

(89)

Durante el periodo de tiempo Toff, el transistor está en corte y el diodo conduce, estoproduce que toda la energía almacenada por la bobina durante el periodo de tiempo ton, setransfiera al condensador, que se comporta como una fuente de tensión, y a la carga , almismo que la fuente no deja de suministrarle energía. Durante Toff, la topología del circuitotiene la siguiente forma.

Figura 22. Convertidor Boost en estado OFF.

Aplicamos el mismo método que con la topología anterior, en este caso podemosver que en la malla de entrada,

cllsin vviRV ++⋅= (90)


27

Si sustituimos en la expresión anterior, la tensión en la bobina por su ecuacióncorrespondiente, (42), la expresión de la malla tendrá la siguiente forma.

cl

lsin vdt

tdiLiRV +⋅+⋅=

)((91)

Despejando la derivada de la corriente,

inls

cl V

Li

LR

vLdt

tdi⋅+⋅−⋅−=

11)((92)

Se consigue la ecuación de estado para la corriente de la bobina. Analizando elcircuito, vemos que la tensión en el condensador se puede expresar como,

)( clc iiRv −⋅= (93)

Si se sustituye la corriente en el condensador por se ecuación correspondiente, (43),podemos ver que

))(

(dt

tdvCiRv c

lc ⋅−⋅= (94)

Despejando la derivada de la tensión en el condensador,

lcc i

Cv

CRdttdv

⋅+⋅⋅

−=11)(

(95)

Por tanto, podemos decir que las ecuaciones de estado para el convertidor en sutopología OFF, corresponden a las ecuaciones (92) y (95). Si normalizamos estasecuaciones, obtenemos que,

lcc iv

Qdttdv

+⋅−=1)(

(96)

11)(

+⋅−−= ls

cl i

Qv

dttdi

(97)


28

3.4.2 Frontera entre el Modo de Conducción Continua y el Modo de ConducciónDiscontinua.

Por definición, el convertidor boost trabajará en la frontera entre los modos deconducción continuo y discontinuo, cuando la corriente de la bobina, il(t), sea 0 al final delintervalo OFF. Por tanto, las formas de onda en esta región serán:

Figura 23. Forma de onda de la corriente en la bobina en la frontera delos dos modos de conducción.

y el valor medio de la corriente en esta frontera será:

ond

picolLB TL

ViI ⋅⋅=⋅=

21

21

, (98)

y usando la ecuación (81):

)1(2

0 DDLVT

I rLB −⋅⋅

⋅⋅

= (99)

Si se supone que en un convertidor boost, la corriente en el inductor es la misma quela corriente de entrada (id=il) podemos ver que el valor de la corriente de salida en lafrontera del modo de conducción continua es:

200 )1(

2DD

LVT

I rB −⋅⋅

⋅⋅

= (100)


29

En muchas aplicaciones en las que se usa el convertidor boost, requieren que V0 semantenga constante. Por tanto, con V0 constante, se puede expresar ILB e I0B en función delduty cycle. Como se puede ver:

Figura 24. Relación entre la corriente en la bobina y el duty cycle.

Así, manteniendo constante V0 y variando el duty cycle implicará que el voltaje en laentrada también varíe. Como se puede ver en la figura, ILB alcanza un valor máximocuando D=0.5:

LVT

I rLB ⋅

⋅=

80

max, (101)

También, I0B tiene un valor máximo cuando 31

=D .

LVT

LVT

I srB

00max,0 074.0

272 ⋅

⋅=⋅

⋅= (102)

Así, en términos de valores máximos, ILB e I0B se puede expresar como:

max,)1(4 LBLB IDDI ⋅−⋅⋅= (103)

e

max,2

0 )1(4

27OBB IDDI ⋅−⋅⋅= (104)

Así, tal como muestra la figura anterior, para un duty cycle dado, con V0 constante, si elvalor medio de la corriente en la carga es menor de I0B, el convertidor estará trabajando enmodo discontinuo.


30

3.4.3 Modo de Conducción Discontinua.

Para entender este modo de conducción, se supone el caso que la carga puededecrementar manteniéndose constantes Vin y el duty cycle. En la siguiente figura, semuestra la forma de onda en la frontera entre el modo de conducción continua y el modode conducción discontinua con Vin, en la gráfica Vd, y el duty cycle constantes.

Figura 25. Forma de onda de la corriente en la bobina en la frontera delos dos modos de conducción.

Y en esta figura, se muestra la forma de onda cuando el convertidor funciona enmodo de conducción discontinua.

Figura 26. Forma de onda de la corriente de la bobina cuando el convertidor trabaja en modo de conduccióndiscontinua.

Como se ve, la diferencia entre los dos modos, es debido a que la potencia en lacarga, decrementa, y por tanto, disminuye il, manteniéndose Vin constante, ya que lacorriente de pico en la bobina es la misma en cada caso, y un valor bajo de il solo esposible si aumenta la tensión en la carga.

Si se toma la integral de la tensión en la bobina más allá de un periodo.

DVV

TVVTDVd

rdrd +∆∆

=⇒=⋅∆−+⋅⋅1

1010 0)( (105)

y

DII

d +∆∆

=1

10 (106)


31

De la figura anterior, se puede ver que la corriente de entrada promediada, la cual esigual a la corriente de la bobina, es:

)(2 1∆+⋅⋅⋅

⋅= DTD

LV

I rd

d (107)

y usando la ecuación (106).

10 2∆⋅⋅

⋅⋅

= DLTV

I rd (108)

En la práctica, V0 se mantiene constante, y el duty cycle varía como respuesta a lavariación de Vin. Esto es más útil para obtener un valor requerido del duty cycle comofunción de la corriente de la carga para variar valores de Vin/V0. Así usando las ecuaciones(106), (108) y (102) se ve que:

max,0

000 1274

Bdd II

VV

VV

D ⋅

−⋅

⋅= (109)

En el modo discontinuo, V0, no se puede controlar en cada ciclo de conmutación, comomínimo es transferido desde la entrada a la salida del condensador y la carga. Si la carga nopermite disipar esta energía, la tensión en el condensador, V0, disminuirá hasta que elbalance de energía se establezca, Por tanto,

( ))(

22

22, sw

LTDV

iL sd

picol −⋅

⋅⋅=⋅ (110)


32

4 DESCRIPCIÓN DE LOS TIPOS DE MODELOS UTILIZADOS.

En este apartado se describen los modelos utilizados en este proyecto. Aunque elprimero no se utiliza, se hace mención porque, a partir de él, se obtienen los siguientes.

4.1 Modelo Conmutado.

El primer modelo que se describe es el punto de origen de los anteriores. Con éste nose puede realizar un estudio del sistema, ya que al ser la conmutación entres dos estados,no se puede estudiar como conjunto.

El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables de modoque el conocimiento de estas variables en t=t0 junto con el conocimiento de la entrada para

0tt ≥ , determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo 0tt ≥ .Las variables de estado de un sistema dinámico, son las que forman el conjunto más

pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si se necesitan almenos n variables x1, x2,....,xn para describir por completo el comportamiento de un sistemadinámico, tales n variables son un conjunto de variables de estado.

Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamientode un sistema determinado, estas n variables de estado se consideran los n componentes deun vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto, un vector de estado esaquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo

0tt ≥ , una vez que se obtiene el estado en t=t0 y se especifica la entrada u(t) para 0tt ≥ .En el análisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables

involucradas en el modelado de sistemas dinámicos: variables de entrada, variables desalida y variables de estado. El sistema dinámico debe incorporar elementos quememoricen los valores de la entrada para 1tt ≥ . Dado que los integradores de un sistemade control en tiempo continuo funcionan como dispositivos de memoria, las salidas detales integradores se consideran las variables que definen el estado interno del sistemadinámico. Por tanto, las salidas de los integradores funcionan como variables de estado. Lacantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica delsistema es igual a la cantidad de integradores que contiene el sistema.

La descripción de un sistema dinámico mediante las ecuaciones de estado es:

),,()( tuxftx =& (111)

),,()( tuxgty = (112)

Si las funciones vectoriales f y/o g involucran explícitamente el tiempo t, el sistemase denomina variante con el tiempo.

Si f y g son lineales, las ecuaciones anteriores son de la forma,

)()()()()( tutBtxtAtx ⋅+⋅=& (113)

)()()()()( tutDtxtCty ⋅+⋅= (114)

en donde A(t) se denomina la matriz de estado, B(t) matriz de entrada, C(t) matriz de saliday D(t) matriz de transmisión directa.


33

Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explícitamente, el sistemase denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso, las ecuaciones (113) y (114) sesimplifican a

)()()( tuBtxAtx ⋅+⋅=& (115)

)()()( tuDtxCty ⋅+⋅= (116)

La ecuación (115) es la ecuación de estado del sistema lineal e invariante con eltiempo. La ecuación (116) es la ecuación para el mismo sistema.

En el caso que se trata en este proyecto, cada uno de los circuitos descritos tienen dosestados diferenciados por el estado del interruptor, y a su vez por la variable u(t), quedetermina el estado en el cual trabaja el convertidor. Cuando el interruptor se encuentra enestado ON, la variable u(t) toma por valor 1, y cuando el interruptor se encuentra en estadoOFF, la variable u(t) toma por valor 0. Cada estado por separado es lineal e invariante conel tiempo, ya que cada uno de ellos se describe con la ecuación de una recta, y no seinvolucran directamente con el tiempo.

Las ecuaciones que describen cada uno de los estados son:

ONON BtxAtx +⋅= )()(& (117)

OFFOFF BtxAtx +⋅= )()(& (118)

Siendo la ecuación (117) la que transcurre durante el intervalo [0,Ton], y las ecuación(118) la que transcurre durante el intervalo [Ton,T]. La ecuación del sistema completo,teniendo en cuenta cada uno de los dos estados, viene descrito por siguiente ecuación:

))(1())(()())(()( tuBtxAtuBtxAtx OFFOFFONON −⋅+⋅+⋅+⋅=& (119)

Operando la ecuación anterior, el modelo conmutado en nuestro caso toma la siguienteforma:

OFFOFFONOFFOFFON BtuBBtxAtutxAAtx +⋅−+⋅+⋅⋅−= )()()()()()()(& (120)

Dependiendo del valor de u(t)=0,1, el sistema actuará en un estado o en otro, ya queesta variable se encargará de la conmutación. Como se puede ver en la ecuación anterior,aunque las ecuaciones en cada estado son lineales, el conjunto de todo el sistema no eslineal. Esto es debido a la conmutación del sistema.


34

4.1.1 Expresión del Modelo Conmutado para el Convertidor Buck.

El primer paso para definir el modelo conmutado del convertidor buck, es definir laforma de los vectores de las variables de estado, x(t) y )(tx& . En nuestro caso las variablesde estado son la tensión en el condensador y la corriente en la bobina, las dosnormalizadas. Por tanto, dichos vectores serán:

=

dttdi

dttdv

tx )(

)(

)(& (121)

=

)()(

)(titv

tx (122)

Teniendo en cuenta las ecuaciones de estado de la topología ON del convertidor conlos parámetros normalizados, (50) y (51), se pueden definir la matriz AON, y el vector BON .

−−

−=

s

ON

Q

QA 11

11

(123)

=

10

ONB (124)

Realizamos lo mismo para la topología OFF a partir de las ecuacionescorrespondientes, (59) y (60).

−−

−=

s

OFF

Q

QA 11

11

(125)

=

00

OFFB (126)

Si sustituimos cada una de las matrices y vectores en la expresión general delmodelo conmutado, su forma es:

+

−

+

−−

−+

−−

−−

−−

−=

00

)()00

10

()(11

11

)()()11

11

11

11

()( tutx

Q

Qtutx

Q

Q

Q

Qtx

sss

&


35

Operando la expresión, el modelo queda como sigue,

)(10

)(11

11

)( tutx

Q

Qtx

s

⋅

+⋅

−−

−=& (127)

y de forma general:

)()()( tuBtxAtx ON ⋅+⋅=& (128)

Siendo A=AON=AOFF , para este convertidor.

4.1.2 Expresión del Modelo Conmutado para el Convertidor Boost.

Para obtener el modelo conmutado para el convertidor boost, realizamos las mismasoperaciones para el convertidor buck La forma de los vectores de la variables de estado,x(t) y )(tx& , (121) y (122), es la misma.

Las ecuaciones de estado de la topología ON del convertidor con los parámetrosnormalizados, (88) y (89), definidas como matriz AON, y vector BON son.

−

−=

s

ON

Q

QA 10

01

(129)

=

10

ONB (130)

Volvemos a partir de las ecuaciones de estado del convertidor, pero para latopología OFF, (96) y (97).

−−

−=

s

OFF

Q

QA 11

11

(131)

=

10

OFFB (132)


36


+

−

+

−−

−+

−−

−−

−

−=

10

)()10

10

()(11

11

)()()11

11

10

01

()( tutx

Q

Qtutx

Q

Q

Q

Qtx

sss

&


+⋅

−−

−+

−=

10

)(11

11

)()(0110

)( tx

Q

Qtutxtx

s

& (133)

y de forma general:

OFFOFFOFFON BtxAtutxAAtx +⋅+⋅⋅−= )()()()()(& (134)

4.2 Modelo Promediado.

El promediado de una variable x(t) dentro de un ciclo de conmutación se obtiene apartir de:

∫−

⋅⋅=t

Tt

dxT

tx ττ )(1

)( (135)

para un valor fijo de periodo de conmutación T.El hecho de promediar, produce que la nueva variable promediada, sea menos

complicada y que haya una continuidad en el tiempo si la variable sin promediar impulsabaa ello. Otra ventaja del promediado es que la derivada de una variable promediada es igualal promedio de la derivada de una variable, produciendo que no se vea modificado elanálisis del sistema.

En nuestro caso, es un promediado local ya que se promedia el modelo conmutadodurante un periodo de la rampa, siendo el periodo del circuito mucho mayor ya que sino severían cambios de la señal de control respecto de la rampa. Este hecho produce que elnuevo modelo sea continuo y autónomo.

Por tanto, las ecuaciones obtenidas, después de aplicar este procedimiento, para cadaestado son

)())(()( tuBtxAtx ONON ⋅+⋅=& (136)

))(1())(()( tuBtxAtx OFFOFF −⋅+⋅=& (137)


37

Evaluando el sistema completo, se obtiene la expresión del modelo promediado,expresándose de la siguiente forma:

))(1())(()())(()( tuBtxAtuBtxAtx OFFOFFONON −⋅+⋅+⋅+⋅=& (138)

Donde )(tx& es el valor promediado de )(tx& , )(tx es el valor promediado de x(t) y )(tues el valor promediado de la función del control. En este caso, la variable promediada antescitada adquiere valores continuos entre 0 y 1.

Operando la ecuación anterior, (138), el modelo promediado en nuestro caso es elsiguiente.

OFFOFFONOFFOFFON BtuBBtxAtutxAAtx +⋅−+⋅+⋅⋅−= )()()()()()()(& (139)

4.2.1 Modelo Promediado del Convertidor Buck.

Como ya se ha dicho en el apartado anterior, el hecho de promediar el circuito noafecta a su análisis, por tanto las matrices y vectores de los parámetros del circuito no severán afectadas.

Primero, se definen los vectores de las variables de estado promediadas, )(tx y )(tx& .Dichos vectores se expresan de la siguiente forma:

=

dttid

dttvd

tx)(

)(

)(& (140)

=

)()(

)(titv

tx (141)

La función del control promediada con parámetros normalizados es:

))(()( τhVVizvtu DR ⋅+−⋅+= (142)

Al realizar un promediado del modelo conmutado, las matrices de los parámetros delcircuito no se ven afectadas, por tanto se utilizan las matrices (123) y (124) para el estadoON, y las (125) y (126) para el estado OFF.


+

−

+

−−

−+

−−

−−

−−

−=

00

)()00

10

()(11

11

)()()11

11

11

11

()( tutx

Q

Qtutx

Q

Q

Q

Qtx

sss

&


38


)(10

)(11

11

)( tutx

Q

Qtx

s

⋅

+⋅

−−

−=& (143)

y de forma general:

)()()( tuBtxAtx ON ⋅+⋅=& (144)

Siendo A=AON=AOFF , para este convertidor.

4.2.2 Modelo Promediado del Convertidor Boost.

Se definen los vectores de las variables de estado promediadas, )(tx y )(tx& , loscuales serán los mismos que en el apartado anterior, (140) y (141). La función del controlutilizado, tampoco varía de un convertidor a otro, por tanto se utiliza la ecuación descritacomo (142).

Como se ha especificado en el apartado anterior, para este convertidor las matricescorrespondientes serán las (129) y (130) para el estado ON, y las (131) y (132) para elestado OFF.

Si sustituimos cada una de las matrices y vectores en la expresión general del modeloconmutado, su forma es:

+

−

+

−−

−+

−−

−−

−

−=

10

)()10

10

()(11

11

)()()11

11

10

01

()( tutx

Q

Qtutx

Q

Q

Q

Qtx

sss

&


+⋅

−−

−+

−=

10

)(11

11

)()(0110

)( tx

Q

Qtutxtx

s

& (145)

y de forma general:

OFFOFFOFFON BtxAtutxAAtx +⋅+⋅⋅−= )()()()()(& (146)


39

4.2.3 Definición de la Curva Característica para Convertidores DC-DC.

Como se ha podido ver en apartados anteriores, los convertidores DC-DC del tipobuck y boost, son sistemas que se caracterizan por tener dos configuraciones básicas condos variables de estado. El sistema conmuta de una configuración a otra dependiendo deuna señal de control. Dicha señal de control, depende del cruce entre una tensión decontrol, definida en apartados anteriores, y una rampa.

La curva característica es el conjunto de puntos de equilibrio posibles del sistemacuando el ciclo de trabajo varía entre 0 y 1. El objetivo principal de este apartado serámostrar un camino sencillo para encontrar la función asociada con dicha curva que une lasdos configuraciones básicas.

La curva característica esta relacionada con una combinación especifica de losparámetros del convertidor, y se puede decir que no existen puntos de equilibrio que noestén situados en la curva característica, para esos parámetros.

Este nuevo concepto es muy interesante para el análisis del sistema y para lavalidación de los resultados obtenidos, porque si los puntos de equilibrio calculados nopertenecen a la curva, se podrá decir que no son correctos. Si se representa la banda deconmutación, y los puntos de equilibrio no se encuentran entre sus bordes, producirá que elsistema no conmute, siendo inestable.

4.2.3.1 Definición de Punto de Equilibrio.

Se define como punto de equilibrio xeq a la solución constante de la siguiente funciónpara todo t.

00 )()(xtx

xfx=

=& (147)

siendo entonces la solución del sistema en este punto,

eqeq xxfx =⇒= )(0& (148)

4.2.3.2 Curva Característica a partir del Modelo Promediado en el Convertidor Buck.

El primer paso para el cálculo de la curva característica, es especificar la forma delmodelo promediado para el convertidor DC-DC del tipo buck, calculado en apartadosanteriores, (143).

)(10

)(11

11

)( tutx

Q

Qtx

s

⋅

+⋅

−−

−=&


40

Teniendo en cuenta que x(t) es un vector columna, definido en (122), formado porvariables de estado correspondientes a las variables normalizadas del voltaje en elcondensador y de la corriente en la bobina, y )(tu es la función promediada del duty cycle,la condición en el punto de equilibrio es:

=

00

)(tx& (149)

Por tanto, tomando las variables de estado en el punto de equilibrio en mayúsculas, sepuede decir que

UX

Q

Q

s

⋅

+⋅

−−

−=

10

11

11

00

(150)

Mostrando cada ecuación, correspondiente a la tensión del condensador y a lacorriente en la bobina, por separado e imponiendo la condición de equilibrio,

IVQ

+⋅−=1

0 (151)

UIQ

Vs

+−−=1

0 (152)

De la ecuación (151), se puede obtener la forma de la curva característica para elconvertidor buck, siendo:

QV

I = (153)

La expresión anterior nos da la relación entre el voltaje normalizado delcondensador y la corriente normalizada de la bobina en el punto de equilibrio. Como sepuede ver, la curva característica en este convertidor, se trata de una línea recta conpendiente 1/Q, en el plano normalizado (v,i).


41

i

v

CC

Configuración ON

Configuración OFF bhbl

En la siguiente figura, se muestra la curva característica para el convertidor buckcon unos valores concretos de sus parámetros y incluyendo la banda de conmutación, solopara realimentación de tensión, para estos mismos parámetros.

Figura 27. Forma de la Curva característica para un convertidor del tipo Buck con parámetros fijos, y con lacorrespondiente banda de conmutación para estos mismos parámetros.

Como se muestra en la figura anterior, los puntos que determinan las dosconfiguraciones del circuito están separados por la banda de conmutación, asegurando unamejor conmutación entre estas dos configuraciones. Es fácil ver que este hecho es uncriterio muy importante cuando se realiza el diseño de este convertidor, ya que si el puntode equilibrio del mismo no está dentro la banda de conmutación, se corre el riesgo que elsistema no conmute, y provoque que el circuito no realice su función.

4.2.3.3 Curva Característica a partir del Modelo Promediado en el Convertidor Boost.

El procedimiento utilizado para el cálculo de la curva característica en el convertidorboost, es el mismo que el utilizado en el apartado anterior. Por tanto, la forma del modelopromediado con las variables y los parámetros normalizados es el obtenido en la ecuación(145).

+⋅

−−

−+

−=

10

)(11

11

)()(0110

)( tx

Q

Qtutxtx

s

&

Teniendo en cuenta que tanto el vector x(t) como la función u(t) son los mismos queel apartado anterior, también las condiciones para este convertidor en el punto de equilibrioson las descritas en la expresión (153). Por tanto, imponiendo la condición de equilibrio,

+⋅

−−

−+⋅

−=

10

11

11

0110

00

X

Q

QUX

s

(154)


42

Mostrando cada ecuación, correspondiente a la tensión del condensador y a lacorriente en la bobina, por separado,

IVQ

UI +⋅−⋅−=1

0 (155)

UIQ

VUVs

+−−⋅=1

0 (156)

A partir de la ecuación (155) y sustituyendo la variable correspondiente a laexpresión del duty cycle por su función correspondiente, se obtiene que la expresión de lacurva característica para el convertidor DC-DC del tipo boost, es la siguiente:

)1(sQ

IIQV −⋅⋅= (157)

La expresión anterior nos da la relación entre el voltaje normalizado delcondensador y la corriente normalizada de la bobina en el punto de equilibrio. En este casono se trata de una recta, sino de un tramo de una elipse en el plano (v,i). En la siguientefigura, se muestra la curva característica para el convertidor boost con unos valoresconcretos de sus parámetros y incluyendo la banda de conmutación, tanto pararealimentación de corriente como para tensión, para estos mismos parámetros.

Figura 28. Forma de la Curva característica para un convertidor del tipo boost con parámetros fijos, y con lacorrespondiente banda de conmutación para estos mismos parámetros.

i

v

CC

Configuración ON

Configuración OFF

bhy

blx bhx

bly


43

4.3 Modelo Discreto.

La descripción del espacio de estados en tiempo discreto, viene de un muestreoperiódico de las variables de estado del sistema en tiempo continuo. Debido a laperiodicidad de los circuitos que se llevan a estudio, se realiza un muestreo del modeloconmutado tomando una muestra por cada ciclo del periodo natural.

Suponiendo que la descripción del sistema que se pretende discretizar es el modeloconmutado, y que se muestrea cada T segundos, se escribe xi[k] para indicar xi[kT], dondek es un entero que indexa las muestras. Para obtener este tipo de modelo, se supone que lasentradas en el modelo conmutado son determinadas por un juego finito de variables encada intervalo de muestro, y con una dependencia entre ellas que permita que varíen ciclo aciclo. Este tipo de variables se notan como p1[k],...,pr[k], en cada intervalo. Los corchetessirven para indicarnos que estas cantidades son discretas.

La discretización del modelo conmutado en kT+T, obtenido a partir del puntoanterior calculado en el intervalo de tiempo kT ≤ t < kT+T, se especifica en la siguienteecuación,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ),,...,,,...,,(1 212111 kkpkpkpkxkxkxkx nnφ=+[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ),,...,,,...,,(1 212122 kkpkpkpkxkxkxkx nnφ=+

.

. (158)

.[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ),,...,,,...,,(1 2121 kkpkpkpkxkxkxkx nnnx φ=+

siendo φ, la función discreta equivalente a la función f en el modelo conmutado.Para calcular el modelo discreto para los circuitos que se llevan a estudio, primero

buscamos la forma discreta de la ecuación de cada estado. Partiendo de la ecuación de unatopología en el modelo conmutado y expresada en la ecuación (111). Esta ecuación seexpresa en la forma de una ecuación diferencial,

BtAxtx =− )()(& (159)

y se multiplica cada término por Ate− ,

AtAt eBetAxtx −− ⋅=⋅− ))()(( & (160)

como se puede ver, la expresión AtetAxtx −⋅− ))()(( & , es la derivada de la función )(txe At− ,por tanto, podemos decir que,

Betxedtd AtAt −− =))(( (161)

si se integra la expresión anterior entre un tiempo inicial t0 y t, se obtiene que,

∫ ⋅=− −−−t

t

AAtAt dBetxetxe o

0

)()( 0 ττ (162)


44

multiplicando cada término por eAt y reorganizando los términos, se obtiene la siguientesolución.

∫ ⋅+= −−t

t

tAttA dBetxetx0

0 )(0

)( )()( ττ (163)

Se define la matriz de transición de estado, φ(t), como,

Atet =)(φ (164)

sustituyendo en la expresión (163) obtenida anteriormente, vemos que la ecuación tome lasiguiente forma,

∫ ⋅⋅−+⋅−=t

t

dBttxtttx0

)()()()( 00 ττφφ (165)

integrando esta expresión, se obtiene que,

BIttAtxtttx ⋅−−⋅+⋅−= − ))(()()()( 01

00 φφ . (166)

Si se define la matriz Ψ(t), como

BIttAt ⋅−−⋅= − ))(()( 01 φψ (167)

y se sustituye en la expresión anterior, la ecuación de una topología del circuito queda dela siguiente forma,

)()()()( 000 tttxtttx −+⋅−= ψφ (168)

Por tanto, podemos decir que esta es la expresión del estado de cualquiera de lasdos topologías, donde se sustituirán las matrices A y B correspondientes a cadaconvertidor. Para obtener el modelo completo, englobando las dos topologías en un mismoperiodo, debemos introducir el concepto de conmutación síncrona, “S-Switching”, y deconmutación asíncrona, “A-Switching”.

Un convertidor conmuta de forma síncrona cuando la conmutación tiene lugar eninstantes tn múltiplos enteros del periodo de conmutación, tn=nT. Y un convertidorconmuta de forma asíncrona cuando la conmutación tiene lugar en instantes tn que no sonmúltiplos del periodo de conmutación, tn≠nT.


45

Como se puede ver en la siguiente figura, se muestra un ejemplo para cada uno de lostipos de conmutación.

Figura 29. Ejemplo de los dos tipos de conmutación que se pueden encontrar en los convertidores DC-DC para elmodelo discreto.

Para acabar de definir el modelo discreto, se supone que el convertidor conmuta deforma síncrona, con un instante de conmutación, tn, fijo y definido en el intervalonT<tn<(n+1)T, tal como se muestra en la figura 29.

Teniendo en cuenta la aplicación estroboscópica para construir dicha función, paraobtener un valor xn+1, se calculará a partir de una función dependiente de xn, llamada P(x),tal como se describe a continuación.

22: RRP a )(1 nnn xPxx =+a para n=1,2,... (169)

Por tanto, se busca el modelo discreto en el intervalo de tiempo [nT, (n+1)T]. En elsubintervalo [nT, nT+ tn], correspondiente a la primera topología, el sistema estarágobernado por la siguiente ecuación en el instante inicial del estado,

)()()()( 11 nTtnTxnTttx −+⋅−= ψφ . (170)

En el instante final de este mismo estado, correspondiente al instante de tiempotn+nT, viene gobernado por la siguiente ecuación y que también corresponderá al instanteinicial de la siguiente topología,

)()()()( 11 nnn tnTxttnTx ψφ +⋅=+ . (171)

En este mismo instante de tiempo, el circuito conmuta de topología, y el estado vienedeterminado por la siguiente ecuación,

))(()())(()( 22 nnn tnTttnTxtnTttx +−++⋅+−= ψφ . (172)


46

Y en la misma topología, el estado final será,

))()())())1(( 22 nnn tTtnTxtTTnx −++⋅−=+ ψφ . (173)

Por definición en el mapa estroboscópico, la función que relaciona x((n+1)T)=xn+1

con x(nT)=xn tiene la siguiente forma.⇒=+ )(1 nn xPx

))())()()(())( 21121 nnnnn tTtnTxttTx −++⋅⋅−=⇒ + ψψφφ (174)

Por tanto, esta es la ecuación que define el modelo discreto. Para obtenerlo, habrá quesustituir las matrices A y B, según el convertidor y la topología correspondiente.


47

5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD.

En este apartado, se exponen los criterios utilizados para el estudio de la estabilidadpara los dos modelos tratados, tanto el modelo promediado, como el modelo discreto-

5.1 Criterios de Estabilidad para el Modelo Promediado.

Para el estudio de la estabilidad a partir de este modelo, el primer paso es el cálculodel punto de equilibrio del sistema, aplicando lo explicado en apartados anteriores. Estepunto cumplirá tanto la condición de la curva característica como la condición deconmutación.

La equivalencia local entre un sistema no lineal y su linealización alrededor del puntode equilibrio es una propiedad importante de los sistemas no lineales que nos permiteanalizar la estabilidad en estos puntos. Como, por la definición del punto de equilibrio, lafunción en el punto es 0,

0)( 0 =Xf promediada (175)

la expansión de su serie de Taylor alrededor del punto se puede expresar de la siguientemanera,

+∆∂

∂= x

x

fxf

X

promediadapromediada

0

)( términos de orden elevado (176)

donde x=X0+∆x. El sistema lineal, se podrá aproximar a su derivada parcial en X0 si ∆x eslo suficientemente pequeño para excluir los términos de orden elevado. La matrizconstante del sistema equivalente se llama matriz jacobiana y sus coeficientes son lasderivadas parciales de la función promediada respecto a las variables de estado.

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

00

00

__

__

X

ipromediada

X

ipromediada

X

vpromediada

X

vpromediada

i

f

v

f

i

f

v

f

J (177)

La estabilidad la determina la parte real de los autovalores de la matriz Jacobiana. Yaque el modelo promediado es continuo en el tiempo, para que la dinámica sea estable, losautovalores de esta matriz deberán tener la parte real negativa. Como ya es conocido, losautovalores de una matriz, son las soluciones del polinomio característico de dicha matriz,por tanto si se supone la matriz Jacobiana de la siguiente forma,

=

dcba

J (178)


48

diagonalizando la matriz,

−

−=

λλ

dcba

J (179)

calculando el determinante de dicha matriz, se obtiene el siguiente polinomiocaracterístico,

bcaddaPbcdaP −++−=⇒−−−= λλλλλλ )()())(()( 2 (180)

identificando los términos del polinomio, éste se puede expresar como,

0)()()( 2 =+−= JDetJTraP λλλ . (181)

Por tanto, se puede decir que el valor de los autovalores, depende de la traza y deldeterminante de la matriz jacobiana, ya que estos se pueden definir como,

2)(4)()( 2

2,1

JDetJTraJTra −±=λ . (182)

Es fácil ver a partir de la forma del polinomio característico, expresado en (181), quetendremos dos posibles tipos de inestabilidad. La provocada cuando la traza de la matrizjacobiana es igual a 0, y cuando el determinante de la misma es 0. Cuando la traza es 0, elpolinomio tiene la siguiente forma,

0)()( 2 =+= JDetP λλ (183)

y los autovalores correspondientes serán imaginarios puros,

λ=±j⋅Det(J) (184)

esto provoca que el sistema se encuentre en una frontera entre la estabilidad y lainestabilidad, ya que un cambio en la traza, tomando valores positivos, implica que elautovalor tome como parte real un valor positivo y volviendo al sistema inestable. En estetipo de inestabilidad, se puede dar el caso que se produzca la bifurcación de Hopf. Cuandoel sistema está en este tipo de inestabilidad, tiene un comportamiento oscilatorio, alsobrepasarla, la forma de onda se vuelve totalmente inestable, actuando en una zona nodeseada.

En el caso cuando el determinante de la matriz Jacobiana se hace 0, el polinomiocaracterístico tiene la siguiente forma,

0)()( 2 =−= λλλ JTraP (185)

siendo los autovalores,

)(

0

2

1

JTra==

λλ

(186)


49

provocando que la dinámica del sistema se encuentre en la frontera de funcionamientoestable y que cualquier cambio en esta dinámica produzca una inestabilidad. A este tipo debifurcación es conocida como bifurcación de Saddle Node. Este tipo de bifurcación,provoca que una de las soluciones sea estable o inestable según el signo de la traza, y lasegunda solución provoca que la dinámica salte a otra topología, manteniéndose fija.

5.1.1 Cálculo del Punto de Equilibrio en el Convertidor Buck.

Para el cálculo del punto de equilibrio para este convertidor, primero exponemos lasecuaciones relacionadas con el mismo. Sabiendo que las ecuaciones de las variables deestado en el modelo promediado, aplicando la definición de punto de equilibrio, tienen lasiguiente forma,

IVQ

+⋅−=1

0 (187)

UIQ

Vs

+⋅−−=1

0 (188)

la ecuación del control PWM en dicho punto viene definida por la siguiente expresión,mostrada en la ecuación (28),

D

R

VtiztvV

tu)()(

21

)(⋅−−

+=

y la expresión de la curva característica, (153),

QV

I =

aislando la expresión del duty cycle de la ecuación (188), se puede igualar a la obtenidacomo la expresión del control, (28),

IQ

VUs

⋅+=1

(189)

D

R

s VIzVV

IQ

V⋅−−

+=⋅+211

(190)

despejando la corriente en el punto de equilibrio de la expresión de la curva característica,y sustituyéndola en la ecuación anterior, se encuentra la expresión correspondiente a latensión del condensador.

Qz

QQV

V

VV

V

S

DD

RD

++⋅

+

+=

1

2 (191)


50

Realizando el mismo procedimiento, pero teniendo en cuenta que la expresión de lacurva característica también se puede expresar de la siguiente forma,

QIV ⋅= (192)

se obtiene que la ecuación del punto de equilibrio correspondiente a la corriente de labobina es,

+

⋅++

+

=

Qz

QQV

V

Q

VV

I

S

DD

RD

1

2

(193)

5.1.2 Cálculo de la Matriz Jacobiana en el Convertidor Buck.

Para el cálculo de esta matriz, utilizamos el concepto expuesto en la ecuación (177) ,

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

00

00

__

__

X

ipromediada

X

ipromediada

X

vpromediada

X

vpromediada

i

f

v

f

i

f

v

f

J

de esta forma, teniendo en cuenta que la función fpromediada de la matriz J son las dosfunciones del modelo promediado, expresadas anteriormente en forma matricial,

IVQ

f vpromediada +⋅−=1

_ (194)

D

R

Sipromediada V

IzVVI

QVf

⋅−−++−−=

211

_ . (195)

Una vez expuestas las dos funciones promediadas, se procede a realizar las derivadasparciales de las mismas respecto de las variables de estado.

Qv

f

X

vpromediada 1

0

_ −=∂

∂(196)

10

_ =∂

∂

X

vpromediada

i

f(197)

DX

ipromediada

Vv

f 11

0

_ −−=∂

∂(198)


51

DSX

ipromediada

Vz

Qi

f−−=

∂

∂ 1

0

_ (199)

Tras haber calculada las derivadas parciales correspondientes, la matriz Jacobiana enel convertidor buck tiene la siguiente forma,

−−−−

−=

DSD Vz

QV

QJ 111

11

(200)

5.1.3 Cálculo del Punto de Equilibrio en el Convertidor Boost.

Para el cálculo del punto de equilibrio en este convertidor, se utiliza el mismoprocedimiento que con el convertidor buck. En primer lugar, se exponen las ecuaciones delmodelo promediado aplicando la definición del punto de equilibrio,

IVQ

UI +⋅−⋅−=1

0 (201)

11

0 +−−⋅= IQ

VUVS

(202)

se despeja la variable que caracteriza el control de la (201),

11

+⋅⋅

−= VIQ

U (203)

igualando la ecuación que describe el control PWM a la ecuación anterior,

D

R

VIzVV

VIQ

⋅−−+=+⋅

⋅−

21

11

(204)

reorganizando los términos dejando aislada la variable V se obtiene que,

( ))(222

IQVVIzVIQ

VD

RD

⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

= (205)

si se sustituye la expresión de la curva característica, obtenida en la ecuación (157), por)(tv , la ecuación queda en función de una sola variable de estado.

( ))(222

)1(IQV

VIzVIQQI

IQD

RD

s ⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

=−⋅⋅ (206)


52

elevando los dos términos al cuadrado,

)2(

24

222

222

22

2

IQIQVV

IzIzVIzVVVVV

IQ

QIQIQQ

DD

RDRRDD

S

S

⋅+⋅⋅⋅−

⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅++⋅−⋅⋅

=⋅−⋅⋅

reorganizando los términos e igualando la ecuación a 0, se obtiene una ecuación cúbica, ala que se llamará ecuación (207), donde habrán tres posibles soluciones del punto deequilibrio, aunque no tienen porque ser todas válidos.

( ) ( )

SDS

DDR

D

SDSRSDS

QVIQV

QVVV

Q

IQQQVQQzVQQzVIQzQQ

⋅−⋅

+⋅⋅+

+⋅+

+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅

222

2232

22

22

Se tomarán como soluciones válidas de la corriente promediada de la bobina en elpunto de equilibrio, los valores que no sean complejos. Para el cálculo de la tensiónpromediada del condensador, se sustituirán los valores válidos de la corriente en laecuación de la curva característica especificada en la expresión (157), obteniendo así elpunto de equilibrio para las dos variables de estado para el convertidor boost.

5.1.4 Cálculo de la Matriz Jacobiana en el Convertidor Boost.

Para obtener la matriz jacobiana del modelo promediado en el convertidor boost, seutilizan los mismos conceptos que en el convertidor buck y descritos en la ecuación (177),por tanto, las funciones promediadas tanto para la tensión como para la corriente son,

IVQV

IzVVIf

D

Rvpromediada +⋅−

⋅−−+⋅−=

121

_ (207)

11)

21

_ +−−

⋅−−+⋅= I

QV

VIzVV

VfSD

Ripromediada . (208)

desarrollando cada una de las ecuaciones, se obtiene que,

IVQV

tIzV

VIV

VIIf

DDD

Rvpromediada +⋅−

⋅+

⋅+

⋅−−=

1)(2

2

_ (209)

11

2

2

_ +−−⋅⋅

−−⋅

+= IQ

VV

IzVVV

VVVV

fSDDD

Ripromediada . (210)


53

El siguiente paso es realizar las derivadas parciales de cada una de las funcionesantes descritas respecto de cada una de las variables de estado.

QVI

v

f

DX

vpromediada 1

0

_ −=∂

∂(211)

DDD

R

X

vpromediada

VIz

VV

VV

i

f ⋅⋅++−+=

∂

∂ 221

0

_ (212)

212

0

_ −⋅

−⋅

−=∂

∂

DDD

R

X

ipromediada

VIz

VV

VV

v

f(213)

SDX

ipromediada

QVzV

i

f 1

0

_ −⋅

−=∂

∂(214)

Una vez calculadas las derivadas parciales correspondientes, se expresa la matrizjacobiana en el convertidor boost de la siguiente forma,

−⋅

−−⋅

−⋅

−

⋅⋅++−+−

=

SDDDD

R

DDD

R

D

QVzV

VIz

VV

VV

VIz

VV

VV

QVI

J1

212

2211

(215)

5.2 Criterios de Estabilidad para el Modelo Discreto.

5.2.1 Definición de Mapa de un Intervalo.

Considerando un intervalo real llamado I y una función f que transforma un punto dedicho intervalo en otro punto de ese mismo intervalo, lo cual se escribe IIf →: , deforma que los iterados del mapa )(1 nn xfx =+ , a partir de un punto inicialcualquiera Ix ∈0 , están dentro del mismo intervalo I. Dicho mapa es un mapa delintervalo.

5.2.2 Definición de Órbita y de Gráfico.

Considerando un mapa )(xfx a , la órbita correspondiente al valor inicial de dichomapa se escribe de la siguiente forma:

)))...((()),((),(, 0000 xfffxffxfx o bien

)...(),(),(, 03

02

00 xfxfxfx o bien (216)...,,, 3210 xxxx .


54

Se puede definir gráfico del mapa como la representación gráfica de la función f(x).Por tanto, también se puede definir por gráfico de la segunda iteración como larepresentación gráfica de la función ))(()(2 xffxf = . De forma general, el gráfico de laenésima iteración será la representación gráfica de la función:

))((...((()( xfffffxfn

n

44 344 21= (217)

Así, el conjunto de funciones f(x),f2(x), f3(x)... fn(x) permite calcular la órbita de unpunto cualquiera.

5.2.3 Tipos de Órbitas.

Como se ha visto, cuando se itera un mapa del intervalo, la órbita resultantePuede ser de uno de los siguientes tipos.

5.2.3.1 Punto Fijo.

Una órbita será de tipo punto fijo cuando sólo conste de un punto. Las iteracionessiempre llevan al mismo punto. En la siguiente figura se muestra este tipo de órbita.

Figura 30. Órbita de punto fijo.

Para el cálculo de los puntos fijos, se hallan los puntos de corte del gráfico del mapacon la recta de 45º. De este modo, los puntos fijos del mapa )(1 nn xfx =+ , son lasecuaciones de x=f(x).


55

5.2.3.2 Órbita p-periódica.

Se define a una órbita p-periódica o de periodo p, si después de p iteraciones laórbita vuelve al punto inicial. Por tanto, una órbita p-periódica sólo consta de p puntos. Lospuntos p-periódicos son los puntos fijos de la p-ésima iteración del mapa.

Así, para el cálculo de este tipo de órbitas, se hallarán los puntos de intersección entrela recta de 45º y el gráfico de la p-ésima iteración. Por tanto los puntos p-periódicos delmapa )(1 nn xfx =+ , son las soluciones de la ecuación )(xfx p= .

Como se puede ver, en la siguiente figura se muestra un ejemplo de este tipo deórbita.

Figura 31. Órbita p-periódica.

También se puede deducir que un punto fijo es también un punto periódico trivial decualquier orden.

5.2.3.3 Órbita de Punto Fijo con Preperíodo.

Se considera una órbita de punto fijo con preperíodo cuando para llegar a un puntofijo se necesitan m iteraciones previas. Para obtener los puntos fijos con preperíodo m sedebe de hallar la intersección del gráfico de la m-ésima iteración del mapa con el gráficode la (m+1)-ésima iteración. Si el mapa es )(1 nn xfx =+ , estos puntos se encuentran

resolviendo ( ) ( )xfxf mm 1+= .

Figura 32. Órbita de punto fijo con preperiodo.


56

5.2.3.4 Órbita Periódica con Preperíodo.

Definiendo m como preperiodo y p como periodo, se puede afirmar que una órbitaperiódica con preperiodo si tras m iteraciones llega a ser una órbita p-periódica.

Figura 33. Órbita p-periodica con preperiodo.

Para el cálculo de los puntos de este tipo de órbita, se busca la intersección delgráfico de la m-ésima iteración del mapa con el gráfico de la (m+p)-ésima iteración, lomismo que, ( ) ( )xfxf pmm += .

5.2.3.5 Punto Asintóticamente Fijo.

Se define un punto asintóticamente fijo si las sucesivas iteraciones lo van acercandomás y más a un punto fijo. Como se muestra en la figura:

Figura 34. Órbita de punto asintóticamente fijo.

5.2.3.6 Órbita Asintóticamente p-periódica.

Una órbita es asintóticamente p-periódica si las sucesivas iteraciones se acercan másy más a una órbita preperiódica. Como se muestra en la siguiente figura:

Figura 35. Órbita asintóticamente p-periódica asintóticamente fijo.


57

5.2.3.7 Órbita Aperiódica.

Por último, se define una órbita aperiódica cuando no es ninguna de las órbitascomentada anteriormente. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de órbitaaperiódica.

Figura 36. Órbita aperiódica.

5.2.4 Estabilidad de un Punto Fijo: Multiplicador.

La órbita correspondiente a un punto inicial próximo a un punto fijo puede acercarseal punto fijo o alerjarse de él. Para saber lo que ocurre en los alrededores de un punto fijodebe estudiarse la estabilidad en ese punto.

Su estabilidad viene determinada por su multiplicador. El multiplicador de un puntofijo es el valor de la derivada de la función del mapa en ese punto fijo. De esta forma, elmultiplicador, λ, de su punto fijo xpf es:

( )pjxxdx

xdf

=

=λ (218)

Cada uno de los puntos fijos de una órbita de periodo p, xpf (i=1,2,...,p), tiene unmismo multiplicador que se calcula evaluando la derivada de la p-ésima iteración del mapaen cualquiera de los puntos de la órbita o aplicando la regla de la cadena, evaluando elproducto de la función en cada uno de los puntos de la órbita.

( ) ( )∏−

= ==

=

=

1

0

p

i xxxx

p

pfpfdx

xdfdx

xdfλ (219)

Según sea el valor del autovalor, se puede decir que el punto fijo es:

1<λ Estable o Atractivo Atrae por ambos lados

1=λ Neutral o Indiferente Atrae por un lado y repele por elotro

1>λ Inestable o Repulsivo Repele por ambos lados

0=λ superestable o Súperatractivo Atrae mucho por ambos lados


58

5.2.5 Mapa Lineal Bidimensional.

5.2.5.1 Mapa Lineal 2D.

Un sistema dinámico discreto lineal bidimensional, o mapa lineal 2D, se escribe ensu forma general de la siguiente manera:

nnn

nnn

yaxay

yaxax

22211

12111

+=+=

+

+ (220)

La matriz del sistema anterior es:

=

2221

1211

aaaa

A (221)

y se escribe de la forma:

⋅

=

+

+

n

n

n

n

yx

aaaa

yx

2221

1211

1

1 (222)

La ecuación característica del sistema es:

02221

1211 =−

−λ

λaa

aa, es decir, (223)

( ) ( ) 02112221122112 =⋅−⋅+⋅+− aaaaaa λλ (224)

Los autovalores son las soluciones, 1λ y 2λ , de la ecuación característica. Elautovector V1 correspondiente al autovalor λ1, es la dirección definida por:

( )yxVyx

aaaa

,0 112221

12111 ⇒=

⋅

−

−λ

λ(225)

El autovector V2 correspondiente al autovalor λ2, es la dirección definida por:

( )yxVyx

aaaa

,0 222221

12211 ⇒=

⋅

−

−λ

λ(226)


59

5.2.5.2 Forma de Suma y Producto de Autovalores.

Haciendo el cambio ux = , vyaxa =+ 1211 se llega a la forma de suma y de productoautovalores.

( ) .21211

1

nnn

nn

vuv

vu

λλλλ ++−==

+

+ (227)

5.2.5.3 Forma de Ecuación en Diferencias de Segundo Grado.

Una ecuación en diferencias de segundo orden tiene la forma

( )11 , −+ = nnn xxfx (228)

y es el modelo de una máquina con memoria: el próximo, xn+1, es función del actual, xn, ydel anterior, xn-1, que debe recordarse. Si introducimos la variable, una ecuación dediferencias de segundo orden es equivalente al sistema dinámico 2D

( )nnn yxfx ,1 =+ ,

nn xy =+1 . (229)

A partir de la expresión en forma de suma y producto de autovalores, el mapa lineal2D se puede expresar como una ecuación en diferencias de segundo orden:

( ) ( ) ( ) nnnnnn uaaaauaauuuu 22112112122112211212 −++=⇒−+= ++++ λλλλ (230)

5.2.5.4 Punto Fijo.

Los puntos fijos ( )pfpf yx , del mapa lineal 2D se obtiene de la siguiente forma:

,

,

2221

1211

pfpfpf

pfpfpf

yaxay

yaxax

+=

+=(231)

y resolviendo

( )( ) .01

,01

2221

1211

=−+

=+−

pfpf

pfpf

yaxa

yaxa(232)

y

( )( ) 0

11

2221

1211 ≠−

−aa

aa, (233)

es decir, si no tenemos ningún autovalor igual a la unidad, sólo hay un punto fijo, que es elorigen de coordenadas. Cuando hay algún autovalor igual a 1, se tiene un caso degeneradocon muchos puntos fijos.


60

5.2.6 Mapa no Lineal Bidimensional.

5.2.6.1 Mapa no Lineal de dos dimensiones.

Un sistema dinámico discreto bidimensional no lineal, o mapa no lineal de dosdimensiones, se escribe en forma general

( )nnn yxfx ,1 =+

( )nnn yxgy ,1 =+ (234)

Hemos visto que un sistema lineal de dos dimensiones tiene un único punto fijo quees origen. En los sistemas no lineales de dos dimensiones tiene varios puntos fijos que seobtienen resolviendo el sistema de ecuaciones no lineales siguiente:

( )pfpfpf yxfx ,=

( )pfpfpf yxfy ,= (235)

Si se quiere estudiar un punto fijo del sistema anterior, primero se tendría quelinealizarlo en las proximidades de ese punto fijo, por tanto si

( ) ( ) npfnpfn yyfxxfx ∂∂+∂∂=+ //1

( ) ( ) npfnpfn yygxxgy ∂∂+∂∂=+ //1 (236)

que es sistema lineal cuya matriz

( ) ( )( ) ( )

∂∂∂∂∂∂∂∂

pfpf

pfpf

ygxgyfxf

////

(237)

y se conoce por el jacobiano del mapa en el punto fijo.Por tanto, se puede decir que el sistema linealizado se parece al original sólo en las

proximidades del punto fijo, y sólo si éste es un punto hiperbólico. Los autovalores de lamatriz jacobiana, al igual que en el modelo promediado, son los que nos indican laestabilidad del sistema. Si estos se encuentran dentro del círculo unidad el sistema seráestable. En caso contrario, el sistema será inestable.

5.2.6.2 Cálculo del Jacobiano a partir del Modelo Discreto.

Tal como se ha descrito el modelo discreto en apartados anteriores, se ha consideradoque el instante de cambio tn es fijo y por tanto se trata de un sistema en bucle abierto al nohaber una realimentación de entrada. Los circuitos que se llevan a estudio, como se haespecificado antes, son en bucle cerrado, provocando que el control actúe sobre el instantede cambio entre topologías. En primer lugar se describe el cálculo del Jacobiano para ladinámica del sistema en bucle abierto, y luego, se tratará para la dinámica del sistema enbucle cerrado.

En bucle abierto, el cálculo de la matriz jacobiana se obtiene a partir de

nn

n

xP

xx

J∂∂

=∂

∂= +1 (238)


61

obteniéndose el siguiente resultado,

)()( 12 nn ttTJ φφ ⋅−= . (239)

En este caso, se puede decir que el sistema es estable ya que, si se tiene en cuentaque las matrices φ1 y φ2 son dependientes de las matrices A1 y A2 y, los autovalores de éstascaen en el semiplano izquierdo, se puede decir que, los autovalores de la matrices φ1 y φ2

caen dentro del círculo unidad, cumpliéndose así la condición de estabilidad para sistemasdiscretos.

Cuando se trata de un sistema dinámico que funciona en bucle cerrado, el tiempo deconmutación es la solución de una función que describe la condición de conmutación entretopologías. Dicha función se describe a partir de la comparación de la tensión de unafunción rampa y de una tensión de control, tal como se ha explicado en el control PWM, yse escribe de la siguiente forma,

)()(),( nconnrnn tnTvtnTvtxg +−+= , (240)

sustituyendo la tensión de control por su expresión, (2), discretizada y con sus variables sinnormalizar, la expresión anterior queda de la siguiente forma,

))()((()(),( refnlincvnrnn VtnTiktnTvkatnTvtxg −+⋅++⋅⋅−+= , (241)

definiendo un vector fila K, en el cual se engloban las constantes del control,

[ ]iv kkK = , (242)

y sustituyendo las variables de estado por su vector correspondiente, se obtiene,

[ ]refnnrnn VtnTxKatnTvtxg ++⋅⋅−+= )()(),( . (243)

El vector de las variables de estado, se puede sustituir por la expresión del estadodiscreto correspondiente a la topología en la cual está trabajando el sistema en el tiemponT+tn, por tanto,

[ ]refnnnrnn VtnTxtKatnTvtxg ++⋅⋅⋅−+= ))()()(()(),( 11 ψφ . (244)

teniendo en cuenta la periodicidad de la rampa, se puede expresar la función g(xn, tn) comosigue,

[ ]refnnnrnn VtnTxtKatvtxg ++⋅⋅⋅−= ))()()(()(),( 11 ψφ . (245)

Cuando la función que describe la condición de conmutación impuesta por el controlse hace 0, se obtiene el valor de tn en el cual se produce el cambio entre topologías. Comose puede ver, esta función no se puede resolver analíticamente, teniéndose que emplearotro tipo de herramientas para su cálculo.


62

Si rescribimos el mapa estroboscópico para el caso que el sistema trabaja en buclecerrado, este queda formado por el modelo discreto descrito en la ecuación (174), y lafunción que gobierna el cambio entre topologías, descrita anteriormente,

))())()()(())( 21121 nnnnn tTtnTxttTx −−+⋅⋅−=+ ψψφφ

[ ] 0))()()(()(),( 11 =++⋅⋅⋅−= refnnnrnn VtnTxtKatvtxg ψφ .

En este caso, en el cálculo de la matriz jacobiana, se debe tener en cuenta que eltiempo de conmutación no es fijo, produciendo el siguiente cambio en la expresión,

n

n

nnn

n

xt

tP

xP

xx

J∂∂

⋅∂∂

+∂∂

=∂

∂= +1 . (246)

Omitiendo en la escritura la dependencia de φi y ψi en tn y T, y realizando el cálculode cada derivada parcial por separado, la derivada parcial de la función que describe elmodelo discreto respecto de xn es la expuesta en la ecuación (239),

12 φφ ⋅=∂∂

nxP

.

Para el cálculo de la derivada parcial de la función que describe la derivada parcial dela función P, antes descrita, respecto del tiempo de conmutación, tn, se puede expresarcomo,

nnnn

nnn tttx

tttP

∂∂

+∂∂

⋅+⋅∂∂

+⋅∂∂

⋅+⋅∂∂

=∂∂ 21

2121

212 )(

ψψφψ

φφφφ

φ, (247)

realizando cada una de las derivadas parciales correspondientes, se obtiene que,

))()(( 21121112 BxABxAtP

nnn

−+⋅⋅−+⋅⋅⋅=∂∂

ψφφφ . (248)

Definiendo las siguientes variables,

11)( ψφ +⋅=+= nnm xtnTxx , (249)

11 BxAx nn +⋅=+& , (250)

+− ⋅= nm xx 1φ& , (251)

22 BxAx mm +⋅=+& , (252)


63

y sustituyéndolas en la expresión de la derivada parcial anterior, se ve que,

).(

))((

2

2212

+−

+

−⋅=

=+⋅−⋅⋅=∂∂

mm

mnn

xx

BxAxtP

&&

&

φ

φφ(253)

Finalmente, para el cálculo de la derivada parcial del tiempo de conmutación respectode xn, se aplica el teorema de la función implícita, tal como se escribe a continuación,

nnn

n

xg

tg

xt

∂∂

⋅

∂∂

−=∂∂

−1

. (254)

Por tanto, la derivada parcial de la función del control respecto del tiempo deconmutación, es tal como sigue,

)(11nr

nn

nn

tvt

Kaxt

Katg &−

∂∂

⋅⋅+⋅∂∂

⋅⋅=∂∂ ψφ

, (255)

operando las respectivas derivadas,

)()( 111 nrnn

tvBxAKatg &−+⋅⋅⋅⋅=

∂∂

φ , (256)

e identificando cada uno de los términos por las variables especificadas en las ecuaciones(251) y (252), la derivada queda como sigue,

)( nrmn

tvxKatg && −⋅⋅=

∂∂ − . (257)

Por último, la derivada parcial de la función del control respecto de xn, es la más fácilde obtener, teniendo la siguiente forma,

1φ⋅⋅=∂∂

Kaxg

n

. (258)

Por tanto, una vez obtenidas cada un de las derivadas respectivas de la ecuación de ladefinición del jacobiano, (238), aplicando cada uno de los resultados obtenidos, éste sepuede expresar,

111

21212 )()(

))()((φφ ⋅

−+⋅⋅

⋅−+⋅−−⋅=

nrm

m

tvBxAKKBBxAA

IJ&

(259)


64

La estabilidad, en este caso, se determina, al igual que en el modelo promediado, através de los autovalores del jacobiano. Si Los autovalores se encuentran fuera del círculounidad, el sistema será inestable, y cuando estén dentro, el sistema será estable. Por tanto,si se tiene en cuenta que la matriz del jacobiano, se puede expresar de igual manera quecon el modelo promediado, (179), se puede decir que la estabilidad del sistema se puedeestudiar a partir de la traza y del determinante del jacobiano, ya que a partir de ellas sepueden calcular los autovalores de la matriz. De esta forma, pudiéndose expresar elpolinomio característico en función de la traza y del determinante de la matriz, tal como seindica en la ecuación, (182),

0)()()( 2 =+−= JDetJTraP λλλ ,

se pueden encontrar los siguientes tipos de inestabilidades.

• Inestabilidad de Flip. Uno de los autovalores cruza con el círculo unidad por el punto(-1,0). En este caso, se cumple que el polinomio característico,

0)()(1)( =++= JDetJTraP λ . (260)

• Inestabilidad de Saddle Node. Uno de los autovalores cruza con el círculo unidad porel punto (1,0). En este caso, se cumple que el polinomio característico,

0)()(1)( =+−= JDetJTraP λ . (261)

• Inestabilidad de Hopf. Un par de autovalores cruza el círculo unidad siendocomplejos conjugados. En este caso, se cumplen dos condiciones. La primera paraque los autovalores sean complejos,

)()(2 JDetJTra = , (262)

y la segunda para que salgan del círculo unidad,

.1)(42

)(2

=⋅− JDetJTra

(263)

En los siguientes apartados se describen como pueden ser estos autovalores y lasórbitas que describen cada uno de ellos.


65

5.2.6.3 Autovalores reales y diferentes.

En el caso que los autovalores del jacobiano sean reales y diferentes, nos podemosencontrar en los siguientes casos:

a) Si los dos autovalores tienen valores absolutos menores que la unidad, el punto fijoes un nodo atractivo. El nodo es de una rama si los dos autovalores son positivos, yes de dos ramas en los demás casos. El punto fijo es estable.

b) Si uno de los autovalores tiene valor absoluto menor que la unidad pero el otrotiene valor absoluto mayor, el punto fijo es un puerto. El puerto es de una rama silos dos autovalores son positivos, y es de dos ramas en los demás casos. El puntofijo es inestable.

c) Si los dos autovalores tienen un valor absoluto mayor que la unidad, el punto fijo esun nodo repulsivo. El nodo es de una rama si los dos autovalores son positivos, y esde dos ramas en los demás casos. El punto fijo es inestable.

d) Si uno de los autovalores tiene un valor absoluto igual a la unidad, se tiene un casodegenerado.

En la siguiente figura se ilustra los diferentes tipos de punto fijo que nos puedenaparecer.

Figura 37. Tipos de puntos fijos.


66

5.2.6.4 Autovalores reales e iguales.

Los tipos de puntos fijos que se pueden encontrar cuando los autovalores de la matrizjacobiana son reales e iguales, son los siguientes:

a) Si el valor absoluto de los autovalores es menor que la unidad, el origen es un nodoatractivo impropio de una rama, si los valores son positivos, o de dos ramas, si losautovalores son negativos. El punto fijo es estable, y el nodo impropio sólo tieneuna variedad, la estable.

b) Si el valor absoluto de los autovalores es mayor que la unida, el punto fijo es unnodo repulsivo impropio de una rama, si los autovalores son positivos, o un nodorepulsivo impropio de dos ramas, si los autovalores son negativos. El punto fijo esinestable, y el nodo impropio tiene sólo una variedad, la inestable.

c) Si el valor absoluto de los autovalores es igual a la unidad se tiene un casodegenerado.

d) Un nodo estrellado es el mapa de autovalores reales iguales nn uu λ=+1 ,

nn vv λ=+1 .

Figura 38. Tipos de puntos fijos (origen) en el mapa lineal 2D nn uu λ=+1 y nnn vuv λ+=+1

5.2.6.5 Autovalores complejos.

En el caso que los autovalores de la matriz sean complejos, teniendo en cuenta que mes el módulo del autovalor, y ϕ es la fase correspondiente, El punto fijo se denominaelíptico si m=1, e hiperbólico si m≠1. El foco y los centros son dextrógiros si 0<ϕ , ylevógiros si 0>ϕ . Con lo dicho, podemos tener estos casos:

a) Si m>1 se tiene un foco repulsivo. El punto fijo es inestable.

b) Si m<1 se tiene un foco atractivo. El punto fijo es estable.


67

c) Si m=1 se tiene un centro. Si ϕπ /2 es racional, o sea qp //2 =ϕπ , la órbita esperiódica de periodo p, y consiste en p puntos situados sobre una circunferencia. Si

ϕπ /2 es irracional, la órbita consiste en infinitos puntos que cubren densamentetoda la circunferencia. El punto fijo es elíptico.

Figura 39. Puntos fijos en el mapa lineal 2D

5.2.6.6 Estabilidad del Mapa 2D según la Posición de sus Autovalores.

Tal como se ha especificado en apartados anteriores, si dos autovalores caen dentrodel círculo unidad, el sistema es estable (nodo atractivo, nodo atractivo impropio, focoatractivo). Si algún autovalor cae fuera del círculo unidad, el sistema es inestable (nodorepulsivo, nodo repulsivo impropio, puerto, foco repulsivo). Si los autovalores están sobrela circunferencia unidad y no son reales, el sistema es indiferente (centro).

Como se ve en la siguiente figura, se muestra los diferentes tipos de puntos fijos y laposición de los autovalores.

Figura 40. Mapa lineal 2D. Tipo de punto fijo y posición de los autovalores.


68

5.2.7 Definición de Bifurcación.

Si se considera un mapa unidimensional dependiente de un parámetro ( )xfx ,µa ,determinados valores de dicho parámetro, si un punto fijo cambia su estabilidad por la deotro, se desdobla en dos, aparece, desaparece, o bien si varios puntos se desdoblan cadauno de ellos en dos, aparecen o desaparecen. Si se considera en el mapa no lineal 2Ddependiente de un parámetro

( )( )µ

µ,,

,,

1

1

nnn

nnn

yxgy

yxfx

==

+

+ (264)

y se supone que se ha calculado sus puntos fijos y los autovalores del sistema linealizadoen cada uno de ellos. Cuando se varía el parámetro del mapa, puede ocurrir que seproduzcan bifurcaciones consistentes en cambios de la cantidad de puntos fijos, cambiosde la calidad de los mismos, o de ambos a la vez. Un punto fijo sufre una bifurcacióncuando deja de ser hiperbólico, esto sucede cuando sus autovalores toman por valor (+1) o(–1) o cuando sus autovalores son complejos conjugados de módulo igual a 1.

Se conoce como diagrama de bifurcación a un grupo que da la posición de los puntosfijos en función del parámetro y que, normalmente, muestran muchas bifurcaciones.Cuando se estudia la bifurcación que ocurre para un determinado valor del parámetro,decimos que se dibuja el croquis de bifurcación. En este, se dibuja la zona de la posicióndel punto fijo estable con línea continua, y con una línea discontinua la posición del puntoinestable.

5.2.8 Teoría de las Bifurcaciones.

Según esta teoría, cuando λ≠1 el punto fijo es hiperbólico, y cuando λ=1 el punto fijoes no hiperbólico. Según lo visto en apartados anteriores, una bifurcación tiene lugarcuando el punto es no hiperbólico.

Sabiendo esto, describiremos los tipos de bifurcaciones y las condiciones para que seproduzcan.


69

5.2.9 Tipos de Bifurcaciones.

5.2.9.1 Bifurcación Transcrítica.

Es aquella bifurcación en la cual dos puntos fijos intercambian su estabilidad. Sucedecuando los autovalores son reales, uno de ellos está situado en el eje de coordenadas y elotro tiene un valor en módulo superior a uno. Así, podemos afirmar que nos encontramosante este tipo de bifurcación si, en una familia de mapas ( )nn xfx ,1 µ=+ , dependiente de un

parámetro µ, donde f es de clase rC (r≥2) o sea, donde ( )( )xf r existe y es continua, que

tiene un punto fijo no hiperbólico ( ) ( )00 ,, xx µµ = , este es, ( )000 , xfx µ= , 100 ,

=

∂∂

xxf

µ

,

si se cumple que:

i) ,000 ,

=

∂∂

x

f

µµ(265)

ii) ,000 ,

2

≠

∂⋅∂

∂

xx

f

µµ

(266)

iii) 000 ,

2

2

≠

∂∂

xxf

µ

. (267)

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de este tipo de bifurcación.

Figura 41. Croquis de una bifurcación transcrítica en el mapa logístico ( )nnn xxx −=+ 11 µ


70

5.2.9.2 Bifurcación Tangente.

Este tipo de bifurcación, es aquella en la que, según la variación de un parámetro, dospuntos fijos, uno estable y el otro inestable, se acerca el uno al otro, colisionan en un puntocrítico y desaparecen. En este tipo de órbita los autovalores también son reales pero unoesta dentro del círculo unidad y el otro toma por valor 1.

Podemos encontrarnos con dos tipos, bifurcación tangente simple y bifurcacióntangente multiple. El primero se produce cuando el gráfico de la primera iteración ( )xf ,µes tangente a la recta de 45º en un punto. El segundo, cuando el gráfico de la p-ésimaiteración ( )xf p ,µ es tangente a la recta de 45º en p puntos.

Figura 42. Croquis de una bifurcación tangente simple

El gráfico de una mapa unimodal sólo puede tener un punto crítico, y sólo puede sertangente a la recta de 45º en un punto: por ello, un mapa unimodal sólo puede tener unabifurcación tangente simple 1-periódica. El gráfico de la segunda iteración de n mapaunimodal puede tener 3 puntos críticos pero, como es fácil ver gráficamente, no es posibleun bifurcación tangente 2-periódica. El gráfico de la tercera iteración de un mapa unimodalpuede tener 7 puntos críticos , como también es fácil ver gráficamente, sólo puede teneruna tangencia de orden tres con la recta de 45º: sólo es posible una bifurcación tangente 3-periódica. Pero el número de bifurcaciones tangente p-periódicas crece con p. Así, porejemplo, el gráfico de la sexta iteración puede tener 63 puntos críticos y presentar variastangencias múltiples de orden seis.

Para el cálculo de este tipo de bifurcaciones, podemos decir que si tenemos una familiade mapas ( )nn xfx ,1 µ=+ dependiente de un parámetro µ, donde f es de clase ( )2≥rC r o

sea, donde ( ) ( )xf r existe y es continua, que tiene un punto fijo no hiperbólico

( ) ( )00 ,, xx µµ = , esto es, ( )000 , xfx µ= , 100 ,

=

∂∂

xxf

µ

, presenta una bifurcación tangente

en ese punto fijo si:

i) ,000 ,

≠

∂∂

x

f

µµ(269)

ii) 000 ,

2

2

≠

∂∂

xxf

µ

. (270)


71

5.2.9.3 Bifurcación Horca.

En este tipo de bifurcación, el punto fijo estable se convierte en inestable a la vez quese desdobla en dos puntos fijos estables, a este tipo lo llamaremos bifurcación horcasupercrítica. Este tipo de órbita es parecido al anterior pero con la diferencia que, uno delos autovalores toma por valor –1.Si un punto fijo inestable, se convierte en un punto fijoestable y a su vez se desdobla en dos puntos fijos inestables, tomará por nombrebifurcación horca subcrítica. Esto se puede ver en la siguiente figura:

Figura 43. Croquis de una bifurcación tipo horca

Para el cálculo de las bifurcaciones horca, se puede decir que si tenemos una familiade mapas ( )nn xfx ,1 µ=+ dependiente de un parámetro µ, donde f es de clase ( )3≥rC r o

sea, donde ( ) ( )xf r existe y es continua, que tiene un punto fijo no hiperbólico

( ) ( )00 ,, xx µµ = , esto es, ( )000 , xfx µ= , 100 ,

=

∂∂

xxf

µ

, presenta una bifurcación horca en

ese punto fijo si:

i) ,000 ,

=

∂∂

x

f

µµ(270)

ii) ,000 ,

2

≠

∂⋅∂

∂

xx

f

µµ

(271)

iii) ,000 ,

2

2

≠

∂∂

xxf

µ

(272)

iv) 000 ,

3

3

≠

∂∂

xxf

µ

. (273)


72

5.2.9.4 Bifurcación Horca en la Cascada de doblamiento de Periodo.

Esta variación de bifurcación se debe a que ocurren una infinidad de bifurcacioneshorca y en cada una de ellas se dobla el periodo de la órbita. Este fenómeno empieza conuna bifurcación horca, en la cual, su punto fijo estable de la primera iteración del mapa

( )xf ,µ se vuelve inestable al tiempo que se desdobla en dos puntos fijos estables de lasegunda iteración del mapa ( )xf ,2 µ , o sea, un punto fijo se convierte en una órbita 2-periódica. Después, los dos puntos fijos estables de la segunda iteración del mapa ( )xf ,2 µse vuelven inestables al tiempo que se desdoblan en cuatro puntos fijos estables de lacuarta iteración del mapa ( )xf ,4 µ , o sea, la órbita 2.periódica pasa a ser 4-periódica. Esteproceso continua al seguir variando el parámetro en cuestión. Así, los ( ),...2,1,02 =ii

puntos fijos estables de la órbita de periodo p=2i de la p-iteración del mapa ( )xf p ,µ sevuelven inestables al tiempo que aparecen 2i+1 puntos fijos estables de la órbita de periodo2p=2i+1 de la 2p-iteración del mapa ( )xf p ,2 µ , es decir, la órbita p-periódica se convierteen una 2p-periódica.

Figura 44. Croquis de una bifurcación tipo horca con desdoblamiento de periodo.

5.2.9.5 Bifurcación de Autovalores Complejos Conjugados.

Si se considera el mapa lineal 2D que depende de un parámetro del sistema,

( )µ,,1 nnn yxfx =+

( )µ,,1 nnn yxgy =+ (274)

y calculamos sus puntos fijos. Supongamos que para un determinado valor del parámetroantes propuesto, los autovalores del sistema linealizado en uno de los puntos fijos soncomplejos conjugados del tipo

iβαλλ ±=, (275)

con módulos próximos a la unidad, pudiéndose escribir,

1≅λ , 1≅λ , ieϕλ = , ieϕλ = , πϕ <<0 (276)


73

Cuando variamos dicho parámetro, los autovalores cruzan la circunferencia unidad.El sistema no se comporta como en el caso lineal, donde el punto fijo pasa de focoatractivo a repulsivo a través de un centro, sino que se comporta de una formacaracterística que depende del cociente ϕπ /2 ⋅ . Si este cociente es racional, se puedeescribir qp //2 =⋅ ϕπ , y el punto fijo presenta una bifurcación de resonancia p:q.

Si p=3 ó 4, el punto fijo presenta una bifurcación de resonancia fuerte. Si 5≥p , o siϕπ /2 ⋅ es irracional, el punto fijo presenta una bifurcación de Hopf.Por tanto, podemos resumir que si:

i) Para determinado valor del parámetro, valor de bifurcación, la matriz del sistematiene autovalores complejos conjugados λ y λ situados sobre la circunferenciaunidad, de forma que no coinciden con ninguna raíz de la misma p 1 para p=1, 2,3, y 4.

ii) Los autovalores cruzan la circunferencia unidad de dentro a fuera cuando seaumenta el valor del parámetro.

Entonces, cuando el parámetro toma valores ligeramente superiores al de bifurcaciónse origina, en las proximidades del punto fijo y centrado en él, una curva invariante cerraday atractiva.

Por tanto podremos decir, que nos encontramos ante una bifurcación tipo Hopfcuando un punto fijo estable con autovalores complejos conjugados, aumentado elparámetro de variación, los autovalores del mismo cruzan el círculo unidad, volviéndoseeste mismo punto fijo en inestable.


74

6 BÚSQUEDA DE LA FRONTERA DE LA REGIÓN ESTABLE ENEL CONVERTIDOR BUCK MEDIANTE LA SIMULACIÓN DELSISTEMA.

La finalidad de este apartado, es tratar el convertidor buck con el modelo promediadoy con el modelo discreto, y buscar la frontera de la región estable teniendo en cuenta laslimitaciones del circuito y del tipo de bifurcaciones que se pueden encontrar.

.6.1 Estudio de la Frontera a partir del Modelo Promediado del Circuito.

Para realizar este estudio, primero se especifica el valor de las variables, tanto delcircuito como del control, que se utilizan.

Vin 24 VVref 11.3 VR 22 ΩL 0.02 HC 47 µFRs 0 ΩVu 8.2 VVl 3.8 VA 8.4kv 1ki 0T 400 µs

Tabla 1. Variables del circuito utilizadas para el convertidor Buck en este estudio.

El siguiente paso es, exponer la expresión de la matriz del jacobiano para esteconvertidor, escrita ya en la ecuación (201).

−−−−

−=

DSD Vz

QV

QJ 111

11

.

Como se puede ver en la expresión anterior, el jacobiano no depende de la situacióndel punto de equilibrio que se encuentre el sistema. Como se ha especificado en anterioresapartados, para el estudio de la estabilidad en este convertidor, se debe evaluar tanto eldeterminante como la traza del jacobiano.

+−−=

Ds Vz

QQJTraza

11)( (277)


75

Sabiendo que para que el sistema sea inestable según la traza, ésta debe ser 0, sepuede ver que ésta no puede tomar nunca este valor y por tanto no provocará que elcircuito sea inestable, ya que Q y Vd no pueden ser valores negativos ni anularse, porqueen un sentido físico no es posible. Y la variable z es 0 para el caso que tratamos, al noutilizar la realimentación de corriente del control. La variable Qs será 0 si consideramos labobina del circuito ideal. Si no fuera este el caso, siempre tomaría valores positivos, ya queuna resistencia negativa no existe.

Para que la traza se hiciera 0, se debería utilizar tanto la realimentación de corrientecomo de tensión, y como se ha especificado antes, no es este el caso.

En el caso que se busque una frontera utilizando el determinante del jacobiano, éstedebe ser 0 para que el sistema sea inestable y provoque la desaparición del punto deequilibrio. Teniendo en cuenta que la expresión del determinante es la siguiente,

DDs VVQz

QQJDet

11

1)( ++

⋅+

⋅= (278)

El único caso, en el cual el determinante del jacobiano será 0, será cuando z seanegativa, ya que todos los demás parámetros del circuito son positivos. Este caso no sepuede dar ya que dicha constante ha de ser positiva para que el control desempeñe sufunción.

Por tanto, para el convertidor DC-DC del tipo buck, y para las variables utilizadas,tanto del circuito como del control PWM, no se puede encontrar una frontera de la regiónestable de funcionamiento utilizando el modelo de promediado, y se descarta la búsquedade bifurcaciones del tipo Saddle Node y del tipo Hopf por este motivo.

6.2 Estudio de la Frontera a partir del Modelo Discreto del Circuito.

Con este modelo se han obtenido diferentes fronteras de la región de estabilidad. Portanto, el método que se utiliza para este estudio, será realizar un barrido de una variable delsistema para calcular el valor de una segunda variable, para el cual el sistema se situará enla frontera de la región de estabilidad. Este procedimiento se realizará para tres valores deuna tercera variable del sistema, y así, obtener una familia de fronteras. Los resultadosobtenidos se corroboraran con una aplicación informática en MS-DOS que simula elcomportamiento del circuito.

El tipo de bifurcación que se encuentra a partir este tipo de modelo, es la bifurcaciónde Flip o de doblamiento de periodo, antes especificada.


76

6.2.1 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de R y Vin parafamilias de kv.

En la siguiente búsqueda, se realiza un barrido de la resistencia de carga del circuito,calculando a su vez el valor de la tensión de entrada donde se encuentra la frontera. Estaoperación se realiza para tres valores de la constante de tensión del control, para así,obtener una familia de fronteras.

Los valores que se fijan, tanto del circuito como del control son los siguientes:

Vref 11.3 VL 0.02 HC 47 µFRs 0.1 ΩVu 8.2 VVl 3.8 Va 8.4ki 0T 400 µs

Tabla 2. Variables del circuito que se fijan para realizar el estudio.

En este caso, la variable la cual se realiza el barrido, es la resistencia de carga. Elintervalo de la misma es desde 22 Ω hasta 40 Ω con un incremento de un ohmio. Lasfamilias de fronteras obtenidas, están en función del parámetro de realimentación detensión del control, kv. De esta forma, se calcularán tres familias de fronteras para unintervalo de esta variable entre 0,9 y 1,1 con un incremento de 0,1. Finalmente, lasvariables calculada para cada frontera y para cada familia es la tensión de entrada delconvertidor, Vin.

En la siguiente figura, se muestra la familia de fronteras en función de los parámetrosantes descritos.

Figura 45. Familia de fronteras para una familia de valores de kv, variando R y calculando Vin


77

Los resultados de los puntos donde se encuentra la frontera que nos proporciona elprograma son los que se muestran en la siguiente tabla:

kv=0.9 kv=1 kv=1.1R(Ω) Vin(V) Vin(V) Vin(V)

22 27.2541 24.5287 22.298823 27.2072 24.4864 22.260424 27.1657 24.4491 22.226525 27.1290 24.4161 22.196426 27.0962 24.3866 22. 169627 27.0669 24.3602 22.145728 27.0406 24.3366 22.124229 27.0169 24.3152 22.104830 26.9955 24.2959 22.087231 26.9760 24.2784 22.071332 26.9583 24.2625 22.056833 26.9421 24.2479 22.043634 26.9273 24.2346 22.031435 26.9137 24.2224 22.020336 26.9012 24.2111 22.010137 26.8897 24.2007 22.000738 26.8791 24.1912 21.992039 26.8692 24.1823 21.983940 26.8601 24.1741 21.9764

Tabla 3. Valores correspondientes a la frontera con variaciones de R y calculando Vin para tres valores concretos de kv.

Como se puede ver en los resultados obtenidos, a medida que se aumenta el valor dela carga, menos tensión de entrada puede tener el circuito, aunque la variación de estatensión es muy pequeña. Las diferencias más significativas se aprecian al variar laconstante de la realimentación de tensión. A medida que su valor disminuye, más tensiónde entrada aguanta el circuito. Por tanto, para el diseño de este convertidor, si se le da unvalor pequeño a esta constante provoca que afecten menos al circuito las posiblesfluctuaciones de la tensión de entrada que pueda ocurrir.

El siguiente paso en este estudio, es corroborar que las fronteras obtenidas, y susrespectivos valores, son correctas. Por tanto, se realiza esta comprobación para cadafrontera escogiendo un punto de la misma y se mira como actúa el sistema para valoressuperiores e inferiores al mismo. Si hay un cambio en la dinámica del sistema se podráasegurar que existe una frontera en ese punto. Para cada una de las familias, se escogecomo punto de estudio un valor de R=30Ω, y su correspondiente valor Vin.


78

6.2.1.1 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de Familia kv=0.9.

Se realiza el estudio de la primera de las fronteras, cuando la constante derealimentación de tensión, kv, es 0.9. En este caso la frontera tiene la siguiente forma.

Figura 46. Frontera variando R y calculando Vin para kv=0,9

Al realizar una acotación más precisa, se puede ver como la variación de la tensiónde entrada el aumentar la resistencia de carga es muy pequeña. En la siguiente figura, semuestra la posición de los autovalores en el círculo unidad,

Figura 47. Posición de los autovalores en el circulo unidad para el estudio realizado.

Círculo unidad


79

Como se puede ver, uno de los autovalores toma por valor –1, cumpliendo lacondición para que se produzca la bifurcación de Flip, tal como se ha descrito en apartadosanteriores.

En la siguiente tabla se muestran cada uno de los valores de los autovalores deljacobiano para las variaciones realizadas.

kv=0.9R(Ω) λ1 λ2

22 -0.6778 -123 -0.6893 -124 -0.7000 -125 -0.7100 -126 -0.7194 -127 -0.7282 -128 -0.7364 -129 -0.7442 -130 -0.7515 -131 -0.7584 -132 -0.7649 -133 -0.7711 -134 -0.7770 -135 -0.7826 -136 -0.7879 -137 -0.7929 -138 -0.7977 -139 -0.8023 -140 -0.8067 -1

Tabla 4. Valores correspondientes a los autovalores del Jacobiano en la frontera para las variaciones realizadas.

A partir de los resultados obtenidos para los autovalores del jacobiano, se puededecir que para el barrido de parámetros utilizados, en los valores de la tensión de entradacalculados se puede encontrar una frontera de la estabilidad del tipo Flip o doblamiento deperiodo.

El siguiente paso, es ver el comportamiento del circuito para el valor calculado de Vin

en la frontera de la estabilidad y así evaluarlo. Así, teniendo en cuenta que la tensión deentrada, para R=30Ω, es de 26.9955 V. Como en la aplicación utilizada para obtener ladinámica del sistema, los parámetros de entrada para la simulación son normalizados, en lasiguiente tabla se muestran los valores de dicha normalización.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4945VD 0.0216z 0

Tabla 5. Parámetros normalizados para realizar la simulación.


80

Una vez obtenidos dichos parámetros y tras la simulación, la trayectoria del sistemaen la frontera es la siguiente.

Figura 48. Órbita del sistema en la frontera de la estabilidad para el barrido de parámetros utilizados.

En la dinámica se puede ver que la órbita del sistema se dirige hacia el ciclo límite,pero en ella se puede apreciar como describe un doblamiento del periodo, siendo el sistemainestable. Este hecho es lógico, ya que el sistema se encuentra en la frontera. La variaciónde la tensión de entrada tanto por encima como por debajo, mostrará que región seencuentra en la estabilidad y viceversa.

El comportamiento temporal en el estado estacionario en dicha frontera es el que semuestra a continuación.

Figura 49. Comportamiento del circuito en el dominio temporal en la frontera de la estabilidad.

il

vcontrol

vrampa


81

La gráfica nos muestra como, en el dominio temporal, se produce un doblamiento deperiodo de la corriente de la bobina. Por tanto, se escogerá un valor de la tensión deentrada superior e inferior al obtenido a partir de la simulación, y se estudiará elcomportamiento del sistema para poder ver los efectos de este tipo de bifurcación.

Se escoge un valor relativamente superior a la tensión de entrada, Vin=27.5 V, paraque los efectos que se produzcan en el sistema sean más pronunciados. En este caso, losparámetros normalizados son.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4854VD 0.0212z 0


En este caso, la trayectoria de la dinámica del sistema, para este nuevo valor de latensión de entrada, es el siguiente.

Figura 50. Órbita del sistema para un valor de Vin superior al calculado en la frontera de la estabilidad.

Dicha trayectoria converge hacia el punto fijo, pero como se verá en la siguientefigura, se produce un desdoblamiento del periodo de la tensión del control respecto de larampa. El punto fijo tiene forma de puerto ya que, aunque uno de los autovalores tienemódulo inferior a la unidad, el módulo del segundo autovalor es mayor que la unidad. Enla corriente de la bobina, se puede distinguir este efecto, aún más pronunciado que en lafrontera de la región de la estabilidad.


82

De esta forma, viendo la forma de onda de la rampa, la tensión del control y de lacorriente de la bobina en el estado estacionario, se puede apreciar lo antes descrito.

Figura 51. Comportamiento del circuito en el dominio temporal para un valor de Vin superior al calculado.

Por tanto, se puede decir que para valores de la tensión de entrada superiores alcalculado, el comportamiento del circuito es inestable.

Realizamos la misma operación para un valor de la tensión de entrada inferior alcalculado. El valor escogido es 26 V, y los valores de los parámetros normalizados paradicho valor se refleja en la siguiente tabla.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.5134VD 0.0224z 0


En las siguientes figuras, se podrá ver tanto en la órbita del sistema, como en lasformas de onda en el dominio temporal, que para dichos valores de la tensión de entrada, elsistema tiene un comportamiento estable.

il

vcontrol

vrampa


83

La trayectoria que describe la órbita del sistema para los valores antes expuestos, esla siguiente.

Figura 52. Órbita del sistema para un valor de Vin inferior al calculado en la frontera de la estabilidad.

Como se puede ver, no se muestra el inicio de la trayectoria en el punto (0,0),condiciones iniciales nulas, debido a que el transitorio del sistema es más largo que en loscasos anteriores. En este caso el punto fijo es un nodo atractivo al ser el módulo de susautovalores menor que la unidad.

El comportamiento del circuito, en el dominio temporal, es el que se muestra acontinuación.

Figura 53. Comportamiento del circuito en el dominio temporal para un valor de Vin inferior al calculado.

Finalmente, se puede decir que para valores inferiores de la tensión de entrada alcalculado, el sistema es estable, y por tanto, se dan por válidos los resultados obtenidosmediante la simulación.

il

vcontrol

vrampa


84

6.2.1.2 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de Familia kv=1.

Se realiza la misma operación para la segunda frontera obtenida, con el parámetro derealimentación del circuito igual a 1. La frontera en este caso es la siguiente.

Figura 54. Frontera variando R y calculando Vin para kv=1

Al igual como se ha descrito cuando kv=0.9, la función describe una exponencialdecreciente, pero con valores de la tensión de entrada inferiores a los obtenidos en elestudio anterior. La posición de los autovalores en la frontera estudiada es la siguiente.


Círculo unidad


85

En la siguiente tabla se muestran cada uno de los autovalores del jacobiano para estecaso.

kv=1R(Ω) λ1 λ2

22 -0.6778 -123 -0.6893 -124 -0.7000 -125 -0.7100 -126 -0.7194 -127 -0.7282 -128 -0.7364 -129 -0.7442 -130 -0.7515 -131 -0.7584 -132 -0.7649 -133 -0.7711 -134 -0.7770 -135 -0.7826 -136 -0.7879 -137 -0.7929 -138 -0.7977 -139 -0.8023 -140 -0.8067 -1


Los autovalores coinciden con los obtenidos anteriormente, ya que en el cálculo deljacobiano, el parámetro de la realimentación de tensión, no influye directamente, sino quelo es en el tiempo de conmutación del sistema. El valor de λ2 es –1 indicándonos que labifurcación que se produce es del tipo Flip.

Ya que se ha escogido el mismo valor de la resistencia para cada una de las fronterascalculadas, su correspondiente valor de la tensión de entrada es 24.2959 V. Para mostrarcada una de las formas de onda, tanto de la órbita como en el dominio temporal, primero secalculan cada uno de los parámetros normalizados para este valor de Vin, siendo.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4945VD 0.0216z 0



86

En las siguientes figuras, se muestra la trayectoria de la órbita del sistema y lasformas de onda de la rampa, de la tensión de control y de la corriente en la bobina,obteniéndose unos resultados similares a los del estudio anterior.



il

vcontrol

vrampa


87

Para corroborar los resultados obtenidos, y ver el comportamiento del sistema encada lado de la frontera, se escoge como valor superior, una tensión de entrada de 24.5 V,y una valor inferior de 23.5 V. Los parámetros normalizados en el caso que la tensión deentrada sea superior, son los siguientes.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4904VD 0.0214z 0


La trayectoria de la órbita para este valor de Vin, es la siguiente,


En este caso, el sistema tarda más tiempo a converger en el punto fijo. Éste secomporta como un puerto debido a que el módulo de uno de los autovalores es superior ala unidad, siendo el sistema inestable.


88

En el dominio temporal, las formas de onda del sistema en estado estacionario, sonlas siguientes.


Como se puede ver en la gráfica, el comportamiento del sistema es característico de labifurcación Flip.

Por el contrario, si se simula el comportamiento de sistema para un valor de tensiónde entrada inferior al obtenido como frontera, 23.5, se puede ver como el funcionamientodel circuito se encuentra en la región estable. En este caso, los parámetros normalizadospara este valor de la tensión de entrada son,

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.5112VD 0.0223z 0


il

vcontrol

vrampa


89

De esta forma, la órbita, para este valor de Vin, es la siguiente.


En la siguiente figura, se muestra como para los valores descritos del circuito, elsistema tiene un comportamiento estable.


Por tanto, se puede decir que los resultados obtenidos a través de la simulación, paraeste valor concreto de kv, existe una frontera entre la región estable y la región inestable.

il

vcontrol

vrampa


90

6.2.1.3 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de Familia kv=1.1.

Para finalizar este apartado, se realiza la última comprobación para kv=1.1. Tal comose ha hecho para los valores anteriores, primero se muestra la frontera correspondiente paraeste valor.

Figura 62. Frontera variando R y calculando Vin para kv=1.1

Los autovalores correspondientes a este barrido y para este valor concreto de larealimentación de tensión, se muestran en la siguiente figura.

4


Círculo unidad


91

En la siguiente tabla se muestran cada uno de los autovalores del jacobiano para estecaso.

kv=1.1R(Ω) λ1 λ2

22 -0.6778 -123 -0.6893 -124 -0.7000 -125 -0.7100 -126 -0.7194 -127 -0.7282 -128 -0.7364 -129 -0.7442 -130 -0.7515 -131 -0.7584 -132 -0.7649 -133 -0.7711 -134 -0.7770 -135 -0.7826 -136 -0.7879 -137 -0.7929 -138 -0.7977 -139 -0.8023 -140 -0.8067 -1


Como en los casos anteriores, uno de los autovalores tiene como valor –1, dando aconocer de esta forma que el tipo de inestabilidad que se producirá, es del tipo Flip. Pararealizar la comprobación de la frontera para kv=1.1, el valor correspondiente de la tensiónde entrada, al valor de la resistencia de carga, 30Ω, es 22.0872 V.

Para realizar la simulación del sistema, tal como se ha hecho con el estudio de lasfronteras anteriores, se debe normalizar los parámetros del circuito. Dichos parámetrosnormalizados en la frontera son,

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4945VD 0.0216z 0

Tabla 13 Parámetros normalizados para realizar la simulación.


92

En este punto, la trayectoria de la órbita del sistema es la que se muestra acontinuación.


Y las formas de onda de la rampa, la tensión de control y la corriente en la bobina es,


Como se puede ver, para el valor de frontera calculado, se empieza a apreciar el tipode inestabilidad por bifurcación de doblamiento de periodo.

Para ver si existe una frontera en la tensión de entrada calculada, se escoge un valorsuperior y otro inferior de la misma, y se analiza el comportamiento del sistema en cadapunto.

El valor superior de la tensión de entrada escogido, es 22,2 V. A medida que seaumenta el valor de la realimentación de tensión, éste debe ser más próximo a la fronteradebido que el sistema pasa muy rápido de la bifurcación Flip a un comportamiento caótico.

il

vcontrol

vrampa


93

Los parámetros normalizados para realizar la simulación en el punto acordado son,

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4920VD 0.0215z 0


Y la órbita en el valor escogido es la siguiente.


Como se puede ver, el punto fijo del sistema se comporta como un puerto, al igualque en los casos anteriores, debido a que uno de los módulos de los autovalores es mayorque uno, provocando que el sistema sea inestable.


94

En el dominio temporal, se puede ver como se produce un desdoblamiento delperiodo de la forma de onda de la tensión de control y la corriente en la bobina, en elestado estacionario, provocando un comportamiento no deseado. Este efecto se puedeapreciar en la siguiente figura.


Para analizar el comportamiento del sistema para valores de la tensión de entradainferiores al obtenido, se fija Vin=21.5 V. Como consecuencia de aumentar la constante derealimentación de la tensión de salida, se produce una reducción de la duración deltransitorio del sistema, tal como se verá en la figura del comportamiento del dominiotemporal. Los parámetros normalizados para realizar la simulación en este caso, son lossiguientes.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.5080VD 0.0221z 0


il

vcontrol

vrampa


95

Una vez simulado el sistema con los parámetros descritos anteriormente, la órbita porel sistema para valores de la tensión de entrada inferiores al obtenido como frontera es.


Un aumento de la constante de realimentación de la tensión del control, produce unareducción considerable del transitorio del sistema. Debido a que el módulo de losautovalores del jacobiano son inferiores a la unidad, el sistema es estable, asegurando asíque, el valor de la tensión de entrada calculado a partir de la simulación en Matlab parauna Kv=1.1 es un punto de la frontera de la región estable.

En el dominio temporal, el sistema se comporta de la siguiente forma.


il

vcontrol

vrampa


96

Como conclusión de este apartado, se puede decir que cada uno de los valoresobtenidos de la tensión de entrada son puntos de la frontera que limita la región estable dela inestable, para diferentes valores de la resistencia de carga del circuito. También sepuede decir que, a medida que se aumenta dicha resistencia, el sistema podrá aguantarmenores variaciones de la tensión de entrada. La constante de realimentación de tensióndel control es un parámetro importante del diseño, ya que al tomar valores elevados,disminuye el transitorio en la región estable y, produce que el sistema entre en uncomportamiento caótico tan pronto entra en la región de inestabilidad.


97

6.2.2 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de R y Vin parafamilias de Vref.

En este caso, se vuelve a realizar un barrido de la resistencia de carga del circuito,calculando a su vez el valor de la tensión de entrada donde se encuentra la frontera, pero eltercer parámetro a variar para encontrar la familia de las fronteras es la tensión dereferencia del control.

Los valores de los parámetros del circuito que se mantienen fijos son los siguientes.

L 0.02 HC 47 µFRs 0.1 ΩVu 8.2 VVl 3.8 Va 8.4kv 1ki 0T 400 µs

Tabla 15 . Parámetros del circuito que se mantienen fijos para realizar el estudio.

Los parámetros que se varían y los intervalos de variación son los mismos que en elestudio anterior, con la salvedad que el parámetro utilizado para obtener una familia decurvas, Vref, toma valores entre 11 V y 12 V con un incremento de 0,5 V.

En la siguiente figura, se muestra la familia de fronteras en función de los parámetrosantes descritos.

Figura 70. Familia de fronteras para una familia de valores de Vref, variando R y calculando Vin


98

El hecho de variar la tensión de referencia, produce el mismo efecto que con laconstante de realimentación de tensión. Pero se puede ver que al aumentar dicha tensión,también aumenta la constante de tiempo de la función que describe la frontera.

Los puntos obtenidos para cada una de las fronteras, son los siguientes.

Vref=11 V Vref =11.5 V Vref =12VR(Ω) Vin(V) Vin(V) Vin(V)

22 24.4673 24.5579 24.583623 24.4278 24.5136 24.533524 24.3929 24.4745 24.489125 24.3621 24.4398 24.449626 24.3347 24.4088 24.414227 24.3102 24.3811 24.382528 24.2882 24.3562 24.353929 24.2684 24.3337 24.328030 24.2506 24.3133 24.304531 24.2344 24.2948 24.283132 24.2197 24.2779 24.263533 24.2063 24.2625 24.245634 24.1940 24.2484 24.229135 24.1828 24.2354 24.214036 24.1725 24.2235 24.200037 24.1630 24.2125 24.187138 24.1543 24.2023 24.175139 24.1462 24.1929 24.164040 24.1387 24.1841 24.1536

Tabla 16. Valores correspondientes a la frontera por variación de R y cálculo de Vin, para tres valores concretos deVref.

Como se puede ver en la figura anterior, el resultado obtenido es muy parecido alcaso anterior. Un aumento de la resistencia de carga, provoca que la tensión de entrada delcircuito disminuya, aunque esta variación es poco significativa. Por tanto, se puede decirque si en el convertidor, funcionando a valores de Vin cercanos a los expuestos, se produceun aumento de la resistencia de la carga, entrará en la región de inestabilidad, provocandoun comportamiento no deseado del sistema. Al disminuir la tensión de referencia acentúamás este hecho. Otro caso que se manifiesta en la gráfica anterior, es que al pasar un valordeterminado de la tensión de referencia, alrededor de 11,5 V, se produce el mismo efectoque con una Vref inferior, al aumentar la resistencia de carga.

El siguiente paso en este estudio, es corroborar los resultados conseguidos para cadauna de las fronteras y ver si sus respectivos valores son correctos. Por tanto, se realiza estacomprobación para cada frontera escogiendo un punto de la misma y mirando como actúael sistema para valores superiores e inferiores al mismo. Si hay un cambio en la dinámicadel sistema se podrá asegurar que existe una frontera en ese punto, y los resultados soncorrectos. Para cada una de las familias, se escoge como punto de estudio el mismo valorque con el estudio del apartado anterior, R=30Ω y su correspondiente valor Vin.


99

6.2.2.1 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de Familia Vref=11V.

La primera de las fronteras que se comprueba, es la correspondiente a una tensión dereferencia de 11V. Los valores obtenidos de Vin para cada valor del barrido de R, son losque se muestran en la figura.

Figura 71. Frontera correspondiente a un valor de familia Vref=11V

En la siguiente figura, se muestra los autovalores correspondientes a cada uno de lospuntos calculados.


Círculo unidad


100

Uno de los autovalores del jacobiano, toma por valor –1, provocando que el tipo debifurcación conseguida sea la de Flip. Esto nos da una prueba que la funcióncorrespondiente a la búsqueda de esta bifurcación en la simulación es válida t asegura queen cada punto calculado, existe dicha frontera. Los autovalores correspondientes son losmostrados en la siguiente tabla.

Vref=11VR(Ω) λ1 λ2

22 -0.6778 -123 -0.6893 -124 -0.7000 -125 -0.7100 -126 -0.7194 -127 -0.7282 -128 -0.7364 -129 -0.7442 -130 -0.7515 -131 -0.7584 -132 -0.7649 -133 -0.7711 -134 -0.7770 -135 -0.7826 -136 -0.7879 -137 -0.7929 -138 -0.7977 -139 -0.8023 -140 -0.8067 -1


Los resultados expuestos en la tabla corroboran la posición de los autovalores en elcírculo unidad y el tipo de bifurcación que se produce. El siguiente paso será mostrar elcomportamiento de la órbita del sistema y las formas de onda en el dominio temporal. Paraobtenerlas, el programa utilizado para esta simulación, necesita que sean introducidos losparámetros normalizados del circuito, por tanto, dichos parámetros para R=30Ω, Vref=11Vy el valor calculado de la tensión de entrada correspondiente a los parámetros anteriores,24.2506V, son los que se muestran en la siguiente tabla.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4831VD 0.0216z 0



101

A partir de estos parámetros, se puede ver que la trayectoria que describe el sistemaen este valor concreto de la frontera es,

Figura 73. Órbita del sistema en la frontera de la estabilidad.

No se muestra el inicio de la trayectoria de la órbita, tomando condiciones inicialesnulas, ya que se dirige hacia el punto fijo tras varios periodos de funcionamiento. En lasiguiente figura, se muestra como en el unto de la frontera, se produce la inestabilidad deFlip, doblándose la tensión del control del circuito.


il

vcontrol

vrampa


102

Para realizar la comprobación de que los puntos obtenidos forman parte de unafrontera, se escoge como valor superior al mismo, Vin=24.75V, siendo los parámetronormalizados para realizar la simulación los expuestos en la tabla siguiente.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4733VD 0.0212z 0


La trayectoria de la órbita para valores superiores de la tensión de entrada alcalculado, es la siguiente.


La trayectoria converge en el punto fijo, tal como se ve en la figura, tras variosciclos de funcionamiento. Esto quiere decir que el transitorio del sistema tiene unaduración corta larga. El punto fijo del sistema se comporta como un puerto, ya que elmódulo de uno de los autovalores es mayor que uno, siendo el sistema inestable para Vin

mayor al valor obtenido mediante la simulación.


103

En el dominio temporal, el sistema se comporta como sigue.


Como se puede ver, el efecto del doblamiento de la señal es más pronunciado alaumentar la señal de entrada, siendo este un indicio de que el valor obtenido es un punto dela frontera.

Evaluamos un punto que sea inferior al calculado para verificar finalmente que lafrontera es cierta. El valor escogido es 23.5 V, y sus correspondientes parámetrosnormalizados son.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4985VD 0.0223z 0


il

vcontrol

vrampa


104

Para estos valores del sistema, la trayectoria de la órbita es la siguiente.


Para estos valores del circuito, el punto fijo se comporta como un nodo atractivodebido a que el módulo de sus autovalores es menor que la unidad, y provocando laestabilidad del circuito.

En el dominio temporal,


il

vcontrol

vrampa


105

El sistema es estable, y además el transitorio del sistema es mayor para valores de latensión de entrada superiores al de la frontera.

Tras las simulaciones anteriores, y viendo que para valores superiores al obtenido, elsistema es inestable, y para valores inferiores, el sistema es estable, se puede asegurar quelos valores de la tensión de entrada calculados mediante la simulación en Matlab formanparte de una frontera de la región estable.

6.2.2.2 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de FamiliaVref=11.5V.

En este apartado, se realiza la comprobación de la segunda de las fronterascalculadas, para Vref=11.5V. Los pasos a seguir serán los mismos que con las fronterasverificadas anteriormente. En la siguiente figura, se muestra dicha frontera, viendo comodescribe la forma de una exponencial de creciente, al igual que las anteriores.

Figura 79. Frontera correspondiente a un valor de familia Vref=11.5V


106

La posición de los autovalores en el círculo unidad, en este caso, es,


Y sus respectivos valores,

Vref=11.5 VR(Ω) λ1 λ2

22 -0.6778 -123 -1 -0.689324 -1 -0.700025 -1 -0.710026 -1 -0.719427 -1 -0.728228 -1 -0.736429 -1 -0.744230 -1 -0.751531 -1 -0.758432 -1 -0.764933 -1 -0.771134 -1 -0.777035 -1 -0.782636 -1 -0.787937 -1 -0.792938 -1 -0.797739 -1 -0.802340 -1 -0.8067


Círculo unidad


107

Como se puede ver, hay un cambio de valor en los autovalores del jacobiano,intercambiándose los valores de λ1 a λ2, y viceversa. Aunque se haya producido estecambio, siguen cumpliendo la condición para que se produzca la bifurcación de Flip.

Tal como se ha hecho con el anterior valor de la tensión de referencia, el valorescogido de la resistencia de carga para realizar la verificación de los resultados obtenidos,es R=30Ω, y su valor correspondiente de la tensión de entrada es, Vin=24.3133V. En lassiguientes figuras, se muestra tanto el comportamiento de la órbita como del dominiotemporal en el estado estacionario. Para realizar la simulación correspondiente, losparámetros normalizados son.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.5024VD 0.0215z 0


La trayectoria de la órbita en la frontera es,


Tal como se muestra en la siguiente gráfica, en este punto empiezan a verse indiciosde los efectos dela bifurcación Flip.


108

Y en el dominio temporal,


Para realizar la comprobación de los puntos de esta frontera, se escogen comovalores de Vin, 25 V, como valor superior, y 23.5 V, como valor inferior. En el caso que elvalor de la tensión de entrada sea superior al calculado, los parámetros normalizadosnecesarios para realizar la simulación son los siguientes.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.4886VD 0.0210z 0


il

vcontrol

vrampa


109

La trayectoria que describe la órbita para este valor de Vin, es la siguiente.


Al igual que en los casos anteriores, el punto fijo del sistema se comporta como unpuerto, ya que el módulo de los autovalores es mayor a la unidad. El resultado es lógicoporque en la frontera el módulo de uno de los autovalores es igual a la unidad.

Comparando el comportamiento en el dominio temporal obtenido para este valorconcreto de Vref, y el obtenido en el caso anterior, se puede apreciar que la duración deltransitorio es bastante parecido aunque se aumente dicha tensión. Este dato no es relevantepara el diseño, ya que el sistema es inestable en estos puntos.


il

vcontrol

vrampa


110

Para el valor de la tensión de entrada inferiores al obtenido como frontera, losparámetros normalizados que le corresponden son,

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.5198VD 0.0223z 0


Una vez realizada la simulación, la órbita del sistema tiene la siguiente forma.


Como se puede ver, el punto fijo se comporta como un nodo atractivo al ser elmódulo de los autovalores inferior a la unidad. Por tanto, se puede decir que el sistema esestable, y , que en los valores obtenidos mediante la simulación existe una frontera paraeste valor concreto de la tensión de referencia del control.


111

En el dominio temporal,


De forma contraria al caso inestable, se produce un aumento de la duración delrégimen transitorio al aumenta la tensión de referencia. También es apreciable en la figuracomo el comportamiento del sistema es estable.

6.2.2.3 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de Familia Vref=12V.

En este apartado se realiza la última de las comprobaciones de la simulación delsistema, para encontrar fronteras de la región estable, para barridos de R, calculando Vin, ytres valores de Vref. En este caso, la frontera tiene la siguiente forma.

Figura 87. Frontera correspondiente a un valor de familia Vref=12 V

il

vcontrol

vrampa


112

Comparando esta última frontera con las anteriores, se puede ver como los efectosproducidos al aumentar la resistencia de carga influyen cada vez menos al aumenta latensión de referencia. Este hecho es importante, ya que no por aumentar la Vref del control,no se dispondrá de más región estable.

En la siguiente figura, se muestra como se sitúan los autovalores en el círculo unidaden este caso.


Este es el primer indicio que los resultados obtenidos son correctos, ya que losautovalores están situados conforme se define la bifurcación de Flip.

Círculo unidad


113

Los valores para cada una de las variaciones son,

Vref=12 VR(Ω) λ1 λ2

22 -1 -0.677823 -1 -0.689324 -1 -0.700025 -1 -0.710026 -1 -0.719427 -1 -0.728228 -1 -0.736429 -1 -0.744230 -1 -0.751531 -1 -0.758432 -1 -0.764933 -1 -0.771134 -1 -0.777035 -1 -0.782636 -1 -0.787937 -1 -0.792938 -1 -0.797739 -1 -0.802340 -1 -0.8067


A partir de cierto valor de la tensión de referencia, se produce un cambio de todos losvalores de λ1 y λ2, pero sin ninguna repercusión para nuestro estudio, ya que siguecumpliendo la condición de inestabilidad por Flip.

El valor correspondiente de Vin, en la frontera es 24.3045 V, y los parámetrosnormalizados correspondientes para realizar la simulación del sistema, tanto para la órbitacomo para el dominio temporal, son los siguientes.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.5231VD 0.0216z 0



114

En la siguiente figura, se muestra el comportamiento de la trayectoria de la órbita enel punto de la frontera calculado.


Y en el dominio temporal,


il

vcontrol vrampa


115

El valor superior escogido de la tensión de entrada, para realizar la comprobación dela existencia de la frontera, es 25 V, y los parámetros normalizados asociados son lossiguientes.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.5086VD 0.0210z 0


La trayectoria de la órbita en este caso es la siguiente.


Al igual que en los estudios anteriores, el punto fijo del sistema se comporta como unpuerto, cuando las tensiones de entrada superan el valor de la frontera. Esto es debido aque uno de los módulos de los autovalores del jacobiano es de módulo mayor a la unidad.


116

En el dominio temporal, tal como cabía esperar, se produce un doblamiento delperiodo de la tensión del control, y de la corriente en la bobina. Esto es producido por losefectos de la bifurcación Flip.


Por último, se escoge como valor inferior a la tensión de entrada, 23.5 V. De estaforma, si el comportamiento del circuito es estable para este valor, se puede decir que losvalores obtenidos de la frontera para una tensión de referencia de 12V, es cierto. Losvalores normalizados para realizar la simulación del sistema son los siguientes.

Q 1.4543Qs 206.2842VR 0.5410VD 0.0223z 0


il

vcontrol

vrampa


117

La trayectoria de la órbita que describe el punto fijo, es la siguiente.


El sistema es estable, ya que, el módulo de los autovalores es menor a la unidad,comportándose el punto fijo como un nodo atractor.

Como se puede ver, el hecho de que los autovalores del jacobiano, hayanintercambiado su valor, produce que cuando el sistema es estable, para estos valores de latensión de referencia, el transitorio sea menor.


il

vcontrol

vrampa


118

7 BÚSQUEDA DE LA FRONTERA DE LA REGIÓN ESTABLE ENEL CONVERTIDOR BOOST MEDIANTE LA SIMULACIÓNDEL SISTEMA.

En este apartado, se trata el comportamiento del convertidor boost a partir de sumodelo promediado, y buscar la frontera de la región estable teniendo en cuenta lasposibles limitaciones de dicho circuito y del tipo de inestabilidades que se pueden ocurrir.Al utilizar el modelo promediado del circuito, y ante la dificultad de obtener las ecuacionesnecesarias para el cálculo del punto de equilibrio del sistema, se normalizan las variables yparámetros del circuito para reducir el número dicho número de parámetros y, a su vez, lasexpresiones que se utilizan para el cálculo del punto de equilibrio.

Las variaciones de los parámetros del circuito y los resultados obtenidos mediante lasimulación son normalizados. Al mantener la mayoría de los parámetros fijos, se puedeconocer la variable correspondiente sin normalizar.

El procedimiento utilizado en la simulación es parecido al tratado en el convertidorbuck. Teniendo en cuenta las condiciones necesarias para que el sistema trabaje en lafrontera de la región estable, se varia uno de los parámetros para calcular un segundo quefuerza a que el sistema se encuentre en la frontera. Esta simulación se realiza para tresvariaciones de un tercer parámetro para obtener así, una familia de fronteras.

Tal como se ha explicado en apartados anteriores, a partir de este modelo, se puedeobtener dos tipos de bifurcaciones, la de Hopf, a partir de la traza del jacobiano, y la deSaddle Node, a partir del determinante de dicha matriz. Se procederá al estudio de lafrontera en cada caso, comprobando si los valores obtenidos son ciertos. Dado el caso, sepodrá asegurar que existe una frontera para los parámetros calculados.

La comprobación de cada valor obtenido, se obtendrá a partir del comportamiento delsistema para un valor superior y otro inferior. Si hay un cambio de la dinámica del sistema,existirá una frontera en ese punto.


119

7.1 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de VR y z, parafamilias de Q, mediante la Traza del Jacobiano.

En la siguiente búsqueda, se realiza un barrido del parámetro normalizado VR, quemanteniendo los demás parámetros fijos corresponde a la tensión de referencia, calculandoa su vez el valor del parámetro normalizado z, correspondiente a la constante derealimentación de tensión donde se encuentra la frontera. Esta operación se realiza paratres valores de la resistencia de carga del circuito, relacionado con el parámetro del factorde calidad del circuito, Q, para así, obtener una familia de fronteras.

Los valores de los parámetro sin normalizar que se fijan, tanto del circuito como delcontrol son los siguientes:

Vin 5 VL 0.02 HC 47 µFRs 0.1 ΩVu 1 VVl 0 Va 1ki 0.2966ki -0.1T 200 µs


Y los correspondientes que se mantienen fijos son,

Q 1.4543Qs 11.2367VD 0.0223

Tabla 30. Parámetros del circuito normalizados que se fijan para realizar el estudio.

En este caso, la variable que se realiza el barrido, es la tensión de referencia delcontrol, Vref. El intervalo de la misma es desde 12 V hasta 30 V con un incremento de unvoltio. El programa normaliza los parámetros del circuito realizando el barridocorrespondiente a VR. Las familias de fronteras obtenidas, están en función del parámetrodel factor de calidad, Q, correspondiente a la resistencia de carga del circuito, R. De estaforma, se calcularán tres familias de fronteras para un intervalo de esta variable para quelos respectivos valores de R sean entre 22Ω y 34Ω con un incremento de 6Ω. Finalmente,las variables calculadas para cada frontera es el parámetro z.


120

En las siguientes figuras, se muestran las familias de fronteras en función de losparámetros, tanto sin normalizar como normalizados, antes descritos.

Figura 95. Frontera del boost mediante la traza, para los parámetros normalizados antes descritos

Los resultados de los puntos donde se encuentra la frontera que nos proporciona elprograma son los que se muestran en la siguiente tabla:

Q=6.5263 Q=8.8061 Q=10.0860VR z z z

1.0490 0.0605 0.0379 0.02291.1083 0.0709 0.0465 0.03031.1676 0.0812 0.0550 0.03771.2270 0.0914 0.0635 0.04501.2863 0.1014 0.0718 0.05221.3456 0.1115 0.0802 0.05931.4049 0.1214 0.0884 0.06641.4642 0.1312 0.0966 0.07341.5236 0.1410 0.1047 0.08041.5829 0.1507 0.1127 0.08731.6426 0.1603 0.1207 0.09411.7015 0.1698 0.1287 0.10091.7608 0.1792 0.1365 0.10771.8202 0.1886 0.1444 0.11441.8795 0.1979 0.1522 0.12111.9388 0.2071 0.1599 0.12771.9981 0.2163 0.1676 0.13432.0574 0.2254 0.1752 0.14092.1168 0.2344 0.1828 0.1474

Tabla 31. Valores correspondientes a la frontera para los parámetros normalizados.


121

Como se puede ver de los resultados obtenidos, para valores bajos del parámetronormalizado correspondiente a la tensión de referencia, el valor de z aumenta en funcióndel factor de calidad. También es apreciable que a medida que Q aumenta, la pendiente dela frontera es más pronunciada. Al realizar la búsqueda de la frontera mediante la traza dela matriz del jacobiano, tal como se ha explicado en apartados anteriores, produce que eltipo de inestabilidad que se pueda encontrar sea la de tipo Hopf. De esta forma, escogiendounos parámetros del circuito acertados, se puede evitar que el sistema entre en este tipo debifurcación.

El siguiente paso es comprobar que los resultados obtenidos son correctos. Para ello,se escogerá, para cada una de las fronteras obtenidas, un valor superior y otro inferior auno de los parámetros calculados. Si se produce un cambio en la dinámica del sistema, sepodrá decir que en ese punto existe una frontera de la región estable para los parámetrosdel circuito escogidos. El parámetro del barrido, escogido para realizar este estudio, paracada una de las fronteras obtenidas, es VR=1.5236.

7.1.1 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de Familia Q=6.5263.

En este apartado, se pretende comprobar que los resultados obtenidos, mediante lasimulación, de la frontera de la región estable y para el parámetro que determina la familiade fronteras, Q=6.5263, son correctos. En la siguiente figura, se muestran las fronteras,para los parámetros normalizados y sin normalizar, para este valor de familia concreto.

Figura 96. Frontera correspondiente a un valor de familia Q=6.5263 con los parámetros normalizados


122

En la siguiente figura, se muestra la curva característica con los puntos de equilibriocorrespondientes a cada uno de los valores de la frontera.

Figura 97. Curva característica del sistema para un valor de familia Q=6.5263.

En este caso, las bandas de conmutación no son un conjunto de líneas paralelasdebido a que para cada iteración, hay una variación de los parámetros z, VR y VD,provocando que para cada punto de equilibrio se vayan moviendo. Todos los puntos deequilibrio calculados mediante la simulación, se encuentran encima de la curvacaracterística y, además, entre sus bandas de conmutación correspondientes, demostrandoque su valor es correcto y que puede haber conmutación entre topologías.


123

Los autovalores del jacobiano para la frontera de conmutación, son los que muestranen la siguiente figura.

Figura 98. Autovalores del jacobiano en la frontera para un valor de familia Q=6.5263.

Y su valor numérico.

Q=6.5263VR λ1 λ2

1.0490 + 1.4485i - 1.4485i1.1083 + 1.4358i - 1.4358i1.1676 + 1.4242i - 1.4242i1.2270 + 1.4135i - 1.4135i1.2863 + 1.4036i - 1.4036i1.3456 + 1.3946i - 1.3946i1.4049 + 1.3864i - 1.3864i1.4642 + 1.3789i - 1.3789i1.5236 + 1.3721i - 1.3721i1.5829 + 1.3658i - 1.3658i1.6426 + 1.3602i - 1.3602i1.7015 + 1.3551i - 1.3551i1.7608 + 1.3505i - 1.3505i1.8202 + 1.3464i - 1.3464i1.8795 + 1.3427i - 1.3427i1.9388 + 1.3394i - 1.3394i1.9981 + 1.3365i - 1.3365i2.0574 + 1.3340i - 1.3340i2.1168 + 1.3317i - 1.3317i

Tabla 32. Valores correspondientes a los autovalores del jacobiano en la frontera para las variaciones realizadas.

Im(lam)

Re(lam)


124

Los autovalores en la frontera son imaginarios puros, cumpliendo la condición paraque se produzca la bifurcación de Hopf en tiempo continuo.

Tal como se ha especificado antes, el valor escogido del barrido VR es 1.5236, y suvalor correspondiente de z es 0.1410. Para realizar la última comprobación se escoge unvalor de dicha constante, tanto superior como inferior. Si se produce un cambio en ladinámica del sistema, podremos decir que existe una frontera de la región estable en esepunto.

Para realizar la simulación, se deben introducir los parámetros normalizados delcircuito, los cuales se pueden ver en la siguiente tabla.

Q 6.5263Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743z 0.1410


En la siguiente figura, se muestra la trayectoria de la órbita para este valor de lafrontera.

Figura 99. Trayectoria de la órbita en la frontera para un valor de familia Q=6.5263.

En la frontera de conmutación, se puede ver que la trayectoria de la órbita, aunque suinicio sea cerca del punto de equilibrio, su comportamiento es asintóticamente estable yaque sus autovalores son imaginarios puros, y su comportamiento será oscilatoriopermanente.


125

Como se puede ver en la siguiente figura, el sistema conmuta de un estado a otro,

Figura 100. Conmutación entre la tensión de la rampa y la tensión de control.

Pero en la siguiente figura, se puede ver como la corriente tiene un comportamientooscilatorio permanente, considerándose el sistema todavía estable

Figura 101. Comportamiento de la corriente en la bobina en la frontera.

vcontrol

vrampa

il


126

El siguiente paso es analizar el comportamiento para valores superiores de laconstante de realimentación de tensión. El parámetro escogido de kv es 0.0310. Este valorse obtiene de desnormalizar z manteniendo los demás parámetros fijos. Y los parámetrosnormalizados correspondientes para realizar la simulación son.

Q 6.5263Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743z 0.0957


El comportamiento de la órbita para este valor es el siguiente.

Figura 102. Trayectoria de la órbita para valores menores de z en la frontera para un valor de familia Q=6.5263

La trayectoria de la órbita no converge debido a que el punto de equilibro secomporta como un foco repulsivo. A medida que se aleja del punto, se va acercando al 0hasta que entra en modo de conducción discontinua, produciendo una órbita constantealrededor del punto pero inestable.


127

Este efecto se puede apreciar en la figura del dominio temporal de la corrientenormalizada de la bobina.

Figura 103. Comportamiento de la corriente normalizada de la bobina para valores menores de z en la frontera.

Se puede ver que, en estado estacionario, como la corriente se hace 0 al final delperiodo, hecho característico del modo de conducción discontinuo. Por tanto podemosdecir que, para valores menores de z, y en consecuencia, mayores de la constante kv, elsistema es inestable.

Realizamos la misma operación para valores inferiores de kv al calculado. El valorescogido es 0.0110, y los correspondientes parámetros normalizados para realizar lasimulación son.

Q 6.5263Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743z 0.2697


il


128

Viendo la trayectoria dela órbita, se podrá saber si el sistema es estable, si convergeen el punto de equilibrio. Por tanto,

Figura 104. Trayectoria de la órbita para valores mayores de z en la frontera para un valor de familia Q=6.5263.

La órbita del sistema es estable debido a su convergencia, ya que el punto deequilibrio se comporta como un foco atractivo. Comparando esta órbita con la obtenida enla frontera, se puede ver que al aumentar z, disminuye también el transitorio del sistema.

Este efecto se puede apreciar mejor en el dominio temporal.

Figura 105. Comportamiento del circuito en el dominio temporal para valores mayores de z en la frontera.

La conmutación del sistema, en estado estacionario, de una topología a otra, nosasegura su estabilidad. Por tanto, se puede afirmar que los valores obtenidos de la fronterade la región estable en este caso, son correctos porque existe un cambio en la dinámica delsistema en valores superiores e inferiores.

il

vcontrol

vrampa


129

7.1.2 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de Familia Q=8.3061

En este apartado, se pretende comprobar que los resultados obtenidos de la segundafrontera de la región estable para el parámetro que determina la familia de fronteras,Q=8.3061. En la siguiente figura, se muestran las fronteras, para los parámetrosnormalizados y sin normalizar, para este valor de familia concreto.

Figura 106. Frontera correspondiente a un valor de familia Q=8.3061 con los parámetros normalizados

En la siguiente figura, se muestra la curva característica con los puntos de equilibriocorrespondientes a este caso.



130

Se produce el mismo efecto que en el caso anterior debida a la variación de losparámetros z, VR y VD. Al ser dichos parámetros mayores se puede ver que las bandas deconmutación son más verticales que para un parámetro de familia Q=8.3061. El cálculo delos punto de equilibro son correctos porque se encuentran encima de la curva característicay dentro de la banda de conmutación.

Los autovalores del jacobiano para la frontera, son los que muestran en la siguientefigura.

Figura 108. Autovalores del jacobiano en la frontera para un valor de familia Q=8.3061.

Im(lam)

Re(lam)


131


Q=8.3061VR λ1 λ2


Tabla 36. Valores correspondientes a los autovalores del jacobiano en la frontera para las variaciones realizadas.

Los autovalores en la frontera son imaginarios puros, cumpliendo la condición paraque se produzca la bifurcación de Hopf en tiempo continuo, pero no asegura que seproduzca este tipo de bifurcación, ya que este hecho solo asegura un cambio en laestabilidad del sistema.

El valor escogido del barrido de VR es 1.5236, y su valor correspondiente de laconstante de realimentación de tensión, obtenido de desnormalizar z=0.1047 es 0.0283.Para realizar la última comprobación se escoge un valor superior e inferior. Si se produceun cambio en la dinámica del sistema para dichos valores, podremos decir que existe unafrontera de la región estable en ese punto.


Q 8.3061Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743z 0.1047



132



Al igual que en el apartado anterior, en la frontera de conmutación, la trayectoria dela órbita es propia de un comportamiento asintóticamente estable, ya que los autovaloresdel jacobiano son imaginarios puros. El comportamiento de la tensión de la rampa y latensión de control en el dominio temporal es el que se muestra a continuación.

Figura 110. Conmutación entre la tensión de la rampa y la tensión de control.

vcontrol

vrampa


133

El sistema en este punto todavía conmuta de una configuración a otra,considerándose estable. Pero el comportamiento de la corriente normalizada de la bobinaes oscilatorio, siendo no deseado.

Figura 111. Comportamiento de la corriente en la bobina en la frontera.

El siguiente paso es analizar el comportamiento para valores inferiores de z, quecorresponde, a aumentar la constante de realimentación de tensión. kv. En este caso es0.0380. Los parámetros normalizados correspondientes para realizar la simulación son.

Q 8.3061Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743z 0.0775


il


134

El comportamiento de la órbita para este valor es el siguiente.

Figura 112. Trayectoria de la órbita para valores menores de z para un valor de familia Q=8.3061

Como se puede ver, la trayectoria de la órbita se aleja del punto de equilibrio hastaque entra en modo de conducción discontinuo, teniendo un comportamiento inestable. Estoquiere decir que el punto de equilibrio se comporta como un foco repulsivo.

En la figura donde se muestra el comportamiento de la corriente de la bobinanormalizada en el estado estacionario.

Figura 113. Comportamiento de la corriente normalizada en la bobina para valores menores de z.

il


135

De esta forma, para valores de z menores al calculado, la tensión de control no secruza con la rampa, produciendo que el circuito no conmute y esté trabajando siempre enuna topología. Por tanto se puede decir que para este análisis que el sistema es inestable.

Realizamos la misma operación para valores superiores de z al calculado. El valorescogido es para obtener el valor de z de kv 0.0183, y los correspondientes parámetrosnormalizados para realizar la simulación son.

Q 8.3061Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743z 0.1621


Viendo la trayectoria dela órbita, se podrá saber si el sistema es estable, si convergeen el punto de equilibrio. Por tanto,

Figura 114. Trayectoria de la órbita para valores mayores de z calculados en la frontera

La convergencia de la órbita en el punto de equilibrio implica que el sistema seaestable y que dicho punto se comporte como un nodo atractivo. En este caso, al disminuirel valor de kv se produce, a su vez, una disminución de la duración del transitorio.


136

Este efecto se puede apreciar mejor en el dominio temporal.

Figura 115. Comportamiento del circuito en el dominio temporal para valores mayores de z al calculado en la frontera.

Como se puede ver en la escala de tiempo y comparándolas para el mismo caso en elapartado anterior, el aumento del factor de calidad, da un margen mayor de la constante zal realizar el diseño. La conmutación del sistema de una topología a otra, nos asegura suestabilidad. Por tanto, al igual que para Q=6.5263, al producirse un cambio de la dinámicadel sistema, de inestable a estable, se puede afirmar que los valores obtenidos de la fronterason correctos.

il

vcontrol

vrampa


137

7.1.3 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de FamiliaQ=10.0860.

Se realiza la comprobación de la última de las fronteras obtenidas para los parámetrosescogidos. En este caso, el parámetro de familia escogido es Q=10.086 y la forma de lafrontera, para parámetros normalizados es la siguiente.

Figura 116. Frontera correspondiente a un valor de familia Q=10.086

La curva característica con sus respectivos puntos de equilibrio para este últimoanálisis se muestra a continuación.



138

El hecho de aumentar el factor de calidad, y como consecuencia de ello, disminuir laconstante z, produce que en las bandas de conmutación aumente su verticalidad. Al variarlos parámetros normalizados z, VR y VD en la simulación provoca que dichas bandas sedesplacen hacia la derecha de la curva característica.

Uno de los indicios que asegura que el cálculo de los valores mediante la simulaciónson correctos, es que los puntos de equilibrio para cada variación pertenecen a la curvacaracterística.

La posición de los autovalores del jacobiano en los ejes de coordenadas se muestranen la siguiente figura.

Figura 118. Autovalores del jacobiano en la frontera para un valor de familia Q=10.086

Im(lam)

Re(lam)


139


Q=10.086VR λ1 λ2



Los autovalores en la frontera son complejos conjugados, cumpliéndose que se puedaencontrar una frontera de la región estable y que sea posible que se dé la bifurcación deHopf.

Se realiza el mismo valor del parámetro normalizado VR, obteniendo para este caso,un valor de z de 0.0804, que se corresponde a un valor de la constante de la realimentaciónde tensión del control de 0.0369. Para realizar la última comprobación de este apartado, seescoge un valor superior e inferior de dicho parámetro. Las condiciones para saber si existeuna frontera de la región estable son las mismas que en los dos apartados anteriores.


Q 10.0860Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743z 0.0804



140



Al igual que en el apartado anterior, en la frontera de conmutación, la trayectoriadescribe un comportamiento oscilatorio al ser los autovalores del jacobiano imaginariospuros. En este valor de la frontera, el sistema todavía es estable, aunque sucomportamiento no es el deseado.

En la siguiente figura, se muestra la conmutación entre la rampa y la tensión decontrol.

Figura 120. Cruce de la rampa con la tensión de control en este caso.

vcontrol

vrampa


141

Como se puede ver, el sistema todavía es estable ya que existe conmutación entre lasdos topologías. Pero como en los casos anteriores, la corriente normalizada de la bobinatiene un comportamiento oscilatorio.

Figura 121. Comportamiento de la corriente normalizada en la frontera calculada.

Para buscar un cambio en la dinámica del sistema, se escoge un valor de kv=0.0469,para el posterior cálculo de z. En la siguiente tabla se muestran los parámetrosnormalizados necesarios para realizar la simulación.

Q 10.0860Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743z 0.0633


il


142

El comportamiento de la órbita para valor inferior de z es el siguiente.

Figura 122. Trayectoria de la órbita para valores menores de z para un valor de familia Q=10.086

Al igual que en el caso anterior, la trayectoria de la órbita se aleja del punto deequilibrio hasta que la corriente en la bobina se hace 0, entrando en modo de conduccióndiscontinuo. Por tanto, se puede decir que el sistema inestable. Esto es producido porqueel punto de equilibrio se comporta como un foco repulsivo, al estar los autovalores deljacobiano en el semiplano derecho del eje imaginario.

En la siguiente figura, visualizando la corriente normalizada en la bobina, se puedeapreciar los efectos antes comentados.

Figura 123. Comportamiento de la corriente normalizada en la bobina circuito para valores menores de z.

il


143

Comparando la figura anterior en cada caso, se puede ver que al aumentar el factor decalidad, Q, se produce una disminución de la corriente. De esta forma, para valores de zmenores al calculado, el sistema será inestable, al ser 0 dicha corriente al final del periodode la onda.

Realizamos la misma operación para valores superiores de z al calculado. El valorescogido de kv, para su posterior es 0.0269. Los parámetros normalizados necesarios pararealizar la simulación son los siguientes.

Q 10.0860Qs 11.2367VR 1.5236VD 0.6743Z 0.1103


El comportamiento de la órbita del sistema para este valor de z.

Figura 124. Trayectoria de la órbita para valores mayores de z

El sistema es estable, ya que la trayectoria de la órbita converge en el punto deequilibrio, al ser éste un foco atractivo.


144

Y en el dominio temporal, se puede observar que,

Figura 125. Comportamiento del circuito en el dominio temporal para mayores de z.

el posible margen que se pueda tener de z, y a su vez de kv, se ve incrementado debido alaumento de Q. Al igual que en los estudios anteriores, se observa como conmuta el sistemaentre los dos estados del mismo, pudiendo decir que es estable.

Se puede afirmar que para cada uno de los valores obtenidos existe una frontera de laregión estable, ya que hay un cambio de la dinámica del sistema en este punto.

il

vcontrol

vrampa


145

7.2 Búsqueda de la Frontera de la Región Estable dependiente de VR y z, parafamilias de Q, mediante el Determinante del Jacobiano.

En este apartado, se realiza la búsqueda de la región estable mediante el determinantedel jacobiano. Para ello, se realiza el mismo barrido, tanto de VR como de Q, hecho para labúsqueda de la frontera mediante la traza, pero buscando el valor correspondiente de laconstante z que hace que dicho determinante sea 0. Tal como se ha explicado antes, el tipode bifurcación que se puede encontrar utilizando este método, es el de Saddle Node. Semantienen los mismos parámetros fijos que en el apartado anterior, por tanto.

Vin 5 VL 0.02 HC 47 µFRs 0.1 ΩVu 1 VVl 0 Va 1ki -0.1T 200 µs


Y los correspondientes que se mantienen fijos son,

Q 1.4543Qs 11.2367VD 0.0223

Tabla 45. Parámetros del circuito normalizados que se fijan para realizar el estudio.

Además de utilizar los mismos parámetros, tanto para el barrido como para laobtención de las tres fronteras, también se toman los mismos valores de cada uno, para lacomprobación de los resultados. El barrido de VR se obtiene a partir de la normalizaciónpara la tensión de referencia desde 12 V hasta 38 V con un incremento de un voltio, y elparámetro de familia Q, de la resistencia de carga del circuito, R, entre 22Ω y 34Ω con unincremento de 6Ω.. Finalmente, la variable calculada para cada frontera y para cada familiaes la constante normalizada z, que es inversamente proporcional a kv.


146

En las siguientes figuras, se muestran las familias de fronteras en función de losparámetros, tanto sin normalizar como normalizados, forzando que el determinante deljacobiano sea 0.

Figura 126. Frontera del Boost mediante la traza, para los parámetros normalizados antes descritos

En la siguiente tabla, se muestran los valores de los parámetros normalizadoscorrespondientes a los resultados obtenidos mediante la simulación

Q=6.5263 Q=8.8061 Q=10.0860VR z z z

1.0490 -1.5083 -1.9440 -2.37971.1083 -1.4336 -1.8501 -2.26661.1676 -1.3638 -1.7624 -2.16111.2270 -1.2985 -1.6805 -2.06261.2863 -1.2373 -1.6039 -1.97051.3456 -1.1798 -1.5320 -1.88421.4049 -1.1259 -1.4645 -1.80321.4642 -1.0750 -1.4011 -1.72721.5236 -1.0271 -1.3413 -1.65561.5829 -0.9818 -1.2850 -1.58821.6426 -0.9389 -1.2317 -1.52451.7015 -0.8983 -1.1813 -1.46431.7608 -0.8598 -1.1336 -1.40741.8202 -0.8232 -1.0883 -1.35341.8795 -0.7883 -1.0452 -1.30211.9388 -0.7551 -1.0042 -1.25341.9981 -0.7234 -0.9652 -1.20702.0574 -0.6930 -0.9279 -1.16282.1168 -0.6640 -0.8923 -1.1206

Tabla 46. Valores correspondientes a la frontera para los parámetros normalizados


147

Como se puede ver de los resultados obtenidos, a medida que se aumenta VR, el valorrelativo a la frontera se hace más negativo, teniendo un margen mayor para el diseño. Alincrementarse Q, y a su vez R, los valores de la frontera se acercan más hacia el 0disponiendo de un margen menor. Al realizar la búsqueda de la frontera mediante eldeterminante de la matriz del jacobiano, tal como se ha explicado en apartados anteriores,produce que el tipo de bifurcación que se pueda encontrar sea el de tipo Saddle Node.

El siguiente paso en este estudio, será comprobar que los resultados obtenidos paracada una de las fronteras son correctos. Para ello, se seguirá la misma pauta que en losapartados anteriores, escogiendo un valor del parámetro normalizado que se ha realizado elbarrido, VR=1.5263, y se evaluará en dicho punto tanto para valores superiores como paravalores inferiores del valor de la frontera en cada familia. Si se produce en cambio en ladinámica correspondiente a los valores antes citados, se podrá decir que existe una fronteraen ese valor, y los resultados obtenidos son correctos.


Siguiendo las pautas anteriores, se procede a realizar la comprobación de la primerafrontera calculada a partir del determinante para Q=6.5263. En la siguiente figura, semuestran las fronteras, para los parámetros normalizados y sin normalizar, para este valorde familia concreto.



148

En la siguiente figura, se muestra la curva característica con los puntos de equilibriocorrespondientes a cada uno de los valores de la frontera.

Figura 128. Curva característica del sistema para un valor de familia Q=6.5263

La banda de conmutación tiene la pendiente opuesta a las obtenidas mediante la trazadebido a que el parámetro normalizado z es negativo. Se puede ver también que varíasegún su punto de equilibrio ya que se produce la variación de los parámetros z, VR y VD.Se puede apreciar que uno de los bordes de la banda, el correspondiente a la tensióninferior de la rampa, es casi tangente al punto de equilibrio. Esto puede provocar que unaposible variación de uno de los parámetros de los que depende dicha banda, la hagadesplazar. Si el desplazamiento hace que ésta no se cruce con la curva característica, elpunto de equilibrio desaparecerá, y el sistema no conmutará, haciéndolo inestable.


149

Los autovalores del jacobiano para la frontera de conmutación, son los que muestranen la siguiente figura.

Figura 129. Autovalores del Jacobiano en la frontera para un valor de familia Q=6.5263


Q=6.5263VR λ1 λ2

1.0490 0 5.72571.1083 0 5.71631.1676 0 5.71231.2270 0 5.71321.2863 0 5.71881.3456 0 5.72871.4049 0 5.74261.4642 0 5.76021.5236 0 5.78131.5829 0 5.80561.6426 0 5.83291.7015 0 5.86291.7608 0 5.89551.8202 0 5.93041.8795 0 5.96761.9388 0 6.00771.9981 0 6.04772.0574 0 6.09042.1168 0 6.1346


Im(lam)

Re(lam)


150

Tal como se muestra en la tabla, uno de los autovalores cumple la condición para queexista la bifurcación de Saddle Node, pero el otro autovalor es positivo, esto indica que elsistema es inestable cuando ocurre este fenómeno. Por tanto, este hecho finaliza esteanálisis debido que no se puede encontrar una frontera que delimite la región defuncionamiento estable del inestable para los parámetros escogidos.


En este apartado, se realiza la comprobación de los resultados obtenidos de lasegunda frontera para el parámetro que determina la familia de fronteras, Q=8.3061. En lasiguiente figura, se muestran dichas fronteras, para los parámetros normalizados y sinnormalizar, para este valor de familia concreto.



151

En la siguiente figura, se muestra la curva característica con los puntos de equilibriocorrespondientes a este caso.


En este caso, se produce el mismo efecto que en la variación anterior, debido al valornegativo de z, y a las variaciones para cada punto de equilibrio de los parámetros z, VR yVD. También se puede apreciar que, la banda de conmutación es casi tangente a la curvacaracterística produciéndose el mismo efecto que para el valor de la resistencia de cargaanterior.

Los autovalores del jacobiano para la frontera, son los que muestran en la siguientefigura.

Figura 132. Autovalores del Jacobiano en la frontera para un valor de familia Q=8.3061.

Im(lam)

Re(lam)


152


Q=8.3061VR λ1 λ2

1.0490 0 7.72571.1083 0 6.96701.1676 0 6.93431.2270 0 6.90691.2863 0 6.88421.3456 0 6.86591.4049 0 6.85171.4642 0 6.84121.5236 0 6.83411.5829 0 6.83021.6426 0 6.82911.7015 0 6.83081.7608 0 6.83501.8202 0 6.84141.8795 0 6.84991.9388 0 6.86041.9981 0 6.87272.0574 0 6.88662.1168 0 6.9020


Como se puede ver, para este valor del factor de calidad, ocurre el mismo fenómenoque en el caso anterior. Uno de los autovalores es nulo, cumpliendo la condición para quese dé la bifurcación de Saddle Node, pero el segundo autovalor es positivo, cumpliendo lacondición de inestabilidad para tiempo continuo. Por tanto se puede decir que no se hacalculado una frontera entre la región estable e inestable sino que es una frontera entre untipo de inestabilidad y otro.


153

7.2.3 Comprobación de la Frontera Obtenida para el Parámetro de Familia Q=10.0860

Se realiza la comprobación de la última de las fronteras obtenidas para los parámetrosescogidos. En este caso, el parámetro de familia escogido es Q=10.0860 y la forma de lafrontera, tanto para parámetros sin normalizar como normalizados es la siguiente.


La curva característica con sus respectivos puntos de equilibrio para este últimoanálisis se muestra a continuación.



154

Al igual que en los casos anteriores, el cambio de pendiente de la banda deconmutación de calcular la frontera por la traza, a hacerlo por el determinante es debido aque z, es negativo. La banda de conmutación varía según su respectivo punto de equilibrioya que para calculo hay una variación de los parámetros normalizados z, VR y VD. El hechode aumentar el factor de calidad, no ha influenciado a que uno de los bordes de la bandasea casi tangente a la curva característica, provocando a que la más mínima variación delos parámetros de los que depende, provoque su desplazamiento, peligrando de esta forma,que se cruce con la curva.

La posición de los autovalores del jacobiano en los ejes de coordenadas se muestranen la siguiente figura.

Figura 136. Autovalores del Jacobiano en la frontera para un valor de familia Q=10.0860.

Im(lam)

Re(lam)


155


Q=10.0860VR λ1 λ2

1.0490 0 8.35521.1083 0 8.29351.1676 0 8.23781.2270 0 8.18781.2863 0 8.14291.3456 0 8.10261.4049 0 8.06661.4642 0 8.03441.5236 0 8.00571.5829 0 7.98031.6426 0 7.95771.7015 0 7.93791.7608 0 7.92041.8202 0 7.90521.8795 0 7.89211.9388 0 7.88081.9981 0 7.87122.0574 0 7.86322.1168 0 7.8567


Como se puede ver en la tabla, aunque uno de los autovalores sea nulo, y cumpla lacondición para que se dé la bifurcación de Saddle Node, el segundo autovalor es positivo.Por tanto, el sistema es inestable para los parámetros escogidos y se puede decir que no seha encontrado una frontera entre la región estable e inestable.


156

8 CONCLUSIONES.

En este proyecto, se ha realizado la búsqueda de fronteras de la región estable,mediante la simulación en Matlab, para los convertidores DC DC del tipo buck y boost conun control PWM. Ésta puede ser una herramienta muy útil para su diseño, ya que se puedenacotar los valores de sus parámetros, tanto del circuito como del control, para que estoscircuitos trabajen en la región estable.

Como se ha comentado anteriormente, el convertidor buck es un circuito reductor detensión, y el convertidor boost, es un circuito amplificador de tensión. Tanto uno comootro tienen dos estados diferenciados que dependen del estado del transistor que losforman. El control PWM se encarga de la conmutación entre estos dos estados comparandouna tensión de una onda repetitiva, con una tensión de control. El hecho de tener dichocontrol, y trabajar en bucle cerrado, provoca que el circuito sea inestable para ciertosvalores de sus parámetros.

Para realizar la simulación de estos circuitos, primero se ha realizado sumodelización. Se han podido conocer tres tipos de modelos, el modelo conmutado, elmodelo promediado, y el modelo discreto. El modelo promediado, se obtiene promediandoel modelo conmutado dentro de un ciclo de conmutación para un periodo de conmutaciónfijo. El modelo discreto se obtiene realizando un muestreo periódico del modeloconmutado para cada periodo de la rampa.

Se han obtenido los tres modelos para cada uno de los convertidores, viendo que elmodelo promediado del convertidor buck no da la información necesaria para poderencontrar fronteras de la región estable, de esta forma, se ha utilizado el modelo discretollevar a cabo el cometido de este proyecto. En el caso del convertidor boost, a partir de sumodelo promediado, se ha visto que es posible encontrar fronteras en función de susparámetros, pero, debido al largo número de los mismos, se ha realizado su normalizaciónde los mismos para reducir su número, y facilitar el cálculo de los puntos de equilibrio.

A partir del modelo promediado, se ha podido introducir los conceptos de banda deconmutación y de la curva característica del circuito, muy útiles en su conjunto para poderver su comportamiento. La banda de conmutación permite ver despreciar puntos deequilibrio que no estén entre sus bordes, porque si es así, el sistema no conmutará,trabajando siempre en un mismo estado. Ésta banda debe cruzarse con la curvacaracterística,. Ya que si no es así, es un indicio de no-conmutación del sistema. A partir dela curva característica se puede conocer si el punto de equilibrio del sistema que se hacalculado es correcto o no, ya que, si éste no pertenece a dicha curva, el valor no escorrecto.

Tanto para el modelo promediado como para el modelo discreto, se puede conocer laestabilidad del sistema a partir de los autovalores del jacobiano del mismo. En el caso detiempo continuo, modelo promediado, éstos deben estar en el semiplano izquierdo del ejereal. Por tanto, se puede forzar al sistema para que sus autovalores se encuentren en el ejeimaginario. Una forma es que uno de los autovalores sea 0 y el otro negativo, obteniéndosedicho efecto igualando el determinante del jacobiano a 0, y otra que sean imaginariospuros, igualando la traza del jacobiano a 0.

En el caso de tiempo discreto, para que el sistema sea estable, los autovalores deljacobiano deben estar dentro del círculo unidad. Por tanto se fuerza a que dichosautovalores sean de módulo uno. Existen tres maneras de que se dé este caso, siendo unode los autovalores –1, otro cuando es 1, y por último, cuando son complejos conjugados demódulo igual a 1. En estos casos, las bifurcaciones que se pueden encontrar son la de Flip,Saddle Node y Hopf respectivamente.


157

Una vez conocidas las formas de inestabilidad que puede llegar el sistema, se buscala frontera para el convertidor buck, realizando un barrido de la resistencia de carga ycalculando el valor de la tensión de entrada correspondiente. Este proceso se repite paratres valores de la constante de realimentación de tensión para obtener una familia defronteras. Tras realizar la comprobación de los resultados, analizando la dinámica delsistema para puntos superiores e inferiores al obtenido, se ha podido ver que para valoresinferiores de la tensión de entrada, el sistema es estable. En la frontera se puede ver que latensión de entrada varía muy poco al aumentar la resistencia de carga. También se puedever que al aumentar la constante de realimentación de tensión se tiene menor margen dedicha tensión. En este caso, la bifurcación obtenida es la de Flip, ya que uno de losautovalores del jacobiano toma por valor –1. Este tipo de bifurcación produce undoblamiento del periodo de la tensión de control respecto de la rampa.

La última frontera para el convertidor buck, se obtiene realizando el barrido para elmismo parámetro y los mismos valores que en la anterior. El valor de frontera calculadosigue siendo la tensión de entrada, pero se utiliza la tensión de referencia para obtener unafamilia de curvas. Tras la verificación de los resultados, la región estable corresponde avalores inferiores de la tensión de entrada. En este caso, a medida que se aumenta laresistencia de carga, disminuye la tensión de entrada, provocando que el margen que sepueda tener a R grandes sea menor frente a variaciones de la tensión de entrada y se puedaproducir la bifurcación de Flip.

Para el convertidor boost, se ha tratado con parámetros normalizados para simplificarel cálculo de los puntos de equilibrio del sistema, por tanto, manteniendo todos losparámetros del circuito fijos menos la tensión de referencia, y se realiza un barrido de lamisma calculando el parámetro normalizado correspondiente, se puede tratar como lavariación de un parámetro sin normalizar. La frontera se ha calculado para valores de z,considerando, que tanto la constante de realimentación de tensión como la de corriente,pueden ser sus respectivas variables sin normalizar. El parámetro escogido para encontraruna familia ha sido el factor de calidad del circuito.

Este proceso se ha hecho para obtener fronteras mediante la traza y mediante eldeterminante del jacobiano. Respecto a la traza, el comportamiento del circuito en lafrontera es oscilatorio, ya que los autovalores son imaginarios puros. Al disminuir elparámetro calculado, el sistema es inestable y entra en conducción discontinua, siendo 0 lacorriente normalizada en la bobina al final del periodo. Al aumentar VR, se produce unaumento considerable de z. Este efecto se pronuncia al aumentar el factor de calidad delsistema.

En el caso de buscar inestabilidades mediante el determinante, se puede decir que nose ha obtenido resultados donde se produzca un cambio de la dinámica del sistema ya que,para los valores escogidos, la dinámica siempre es inestable, al ser uno de los autovalorespositivos.

En conclusión, el objetivo principal del proyecto que era encontrar fronteras de laregión estable para los convertidores buck y boost con control PWM ha quedado cumplido.Además, se ha conseguido utilizando para ello diversas de las variantes de estudio de lasque se han hecho uso durante la carrera, aplicando tanto conocimientos como herramientassoftware y también se ha podido profundizar en el análisis de modelos de sistemas, en elestudio de la estabilidad y en el de los convertidores de potencia. Todos estos procesos hancompletado el círculo de estudio sobre los convertidores DC DC buck y boost.


158

9 ANEXOS.

En los anexos, se describen cada uno de los programas realizados y sus respectivasfunciones. En el primer anexo se comenta el programa diseñado para calcular la búsquedade la frontera a partir del modelo discreto en el convertidor buck, y en el segundo secomenta el programa diseñado para calcular la búsqueda de la frontera a partir del modelopromediado en el convertidor boost.

9.1 Anexo A.

La primera de las funciones utilizadas es la función phi, y es la encargada de calcularla matriz phi, aplicando la ecuación (168) para obtener el modelo discreto.

% Función que calcula la matriz phi

function y=phi(A,t)y=expm(A*t);

La función psi calcula la segunda matriz necesaria para obtener el modelo discretodel convertidor, identificándola de la ecuación (170).

% Función que calcula la matriz psi

function y=psi(A,t)y=((inv(A))*(expm(A*t)-eye(2)));

La frontera_flip se encarga el valor de la frontera que cumpla la condición para quese produzca la bifurcación de Flip, y el tiempo de conmutación del sistema.

Los parámetros de entrada son las condiciones iniciales para la función fsolve, unvector con los parámetros del circuito sin normalizar y el índice de dicho vector quecorresponde al parámetro que se quiere calcular la frontera. Los parámetros de salida son elvalor de la frontera y el tiempo de conmutación del sistema.

function [f]=frontera_flip(sol,param,caso)

Se inicializa el parámetro a buscar a su condición inicial.

param(caso)=sol(1);

Se inicializa la variable tn la condición inicial de tiempo.

tn=sol(2);


159

Se definen las matrices A y B en cada topología para el convertidor Buck. Son lascalculadas en las ecuaciones (47), (48), (58) y (59) respectivamente.

A1=[-1/(param(2)*param(6)) 1/param(6); -1/param(5) -param(12)/param(5)];A2=[-1/(param(2)*param(6)) 1/param(6); -1/param(5) -param(12)/param(5)];B1=[0;0];B2=[0;param(1)/param(5)];

Se definen las matrices phi y psi para cada configuración. Sus parámetros de entradason la matriz A correspondiente a la topología para que se calcule y la duración de dichatopología.

phi1=phi(A1,tn);psi1=psi(A1,tn)*B1;phi2=phi(A2,param(4)-tn);psi2=psi(A2,param(4)-tn)*B2;

Se calcula la variable xm definida en la expresión (253).

xm=inv(eye(2)-phi1*phi2)*(phi1*psi2+psi1);

Se define un vector fila con las constantes del control.

K=[param(9) param(10)];

Se calcula la variable m correspondiente a la rampa en tiempo discreto.

m=(param(8)-param(7))/param(4);

Se calcula el valor de la rampa para el instante de conmutación.

vrampa=(param(7)+(param(8)-param(7))*tn/param(4));

Se calcula el jacobiano descrito en la ecuación (263).

DP=phi2*(eye(2)-(((A1-A2)*xm+(B1-2))*K*param(11))/param(11)*K*(A1*xm+B1)-m))*phi1;

Se definen las expresiones que, igualadas a 0, calcularán, tanto el valor de la fronteracomo el instante de conmutación.

[f]=[det(DP+eye(2)); vrampa-(param(11)*(K*xm-param(3)))];


160

En el programa principal, se realiza la definición de las variables, el barrido de lasmismas, y la visualización de los resultados obtenidos. Para el cálculo de la frontera para elbarrido de un parámetro, se utiliza un bucle for, que se encarga de variar dicho parámetro,y a subes, se calcula el valor de otro parámetro del circuito, en el cual se encuentra lafrontera de la región estable.

El primer paso será cerrar el espacio de memoria que utiliza Matlab, y cerrar todaslas figuras que haya podido crear.

clear all;close all;

Se definen cada una de las opciones que utiliza la función fsolve.

OPTIONS(1)=0;%-Display parameter (Default:0). 1 displays some results.OPTIONS(2)=1e-6;%-Termination tolerance for X.(Default: 1e-4).OPTIONS(3)=1e-6;%-Termination tolerance on F.(Default: 1e-4).OPTIONS(4)=1e-6;%-Termination criterion on constraint violation.(Default: 1e-6)OPTIONS(5)=0;%-Algorithm: Strategy: Not always used.OPTIONS(6)=0;%-Algorithm: Optimizer: Not always used.OPTIONS(7)=0;%-Algorithm: Line Search Algorithm. (Default 0)OPTIONS(8)=0;%-Function value. (Lambda in goal attainment. )OPTIONS(9)=0;%-Set to 1 if you want to check user-supplied gradientsOPTIONS(10)=1;%-Number of Function and Constraint Evaluations.OPTIONS(11)=1;%-Number of Function Gradient Evaluations.OPTIONS(12)=1;%-Number of Constraint Evaluations.OPTIONS(13)=1;%-Number of equality constraints.OPTIONS(14)=200;%-Maximum number of function evaluations. %(Default is 100*number of variables)OPTIONS(15)=0;%-Used in goal attainment for special objectives.OPTIONS(16)=1e-6;%-Minimum change in variables for finite differencegradients.OPTIONS(17)=1e-6;%-Maximum change in variables for finite differencegradients.OPTIONS(18)=1;%-Step length. (Default 1 or less).

Se les da un valor a cada uno de los parámetros del circuito.

R=22; L=0.02; Rs=1e-1; C=47e-6; Vin=25.4736; Vref=11; Vl=3.8;Vu=8.2; kv=1; ki=0; a=8.4; T=400e-6;

Se define el vector param donde se almacenan todos los parámetros de dichocircuito.

param=[Vin,R,Vref,T,L,C,Vl,Vu,kv,ki,a,Rs];


161

La variable opcion_var toma por valor el índice del vector param correspondiente alparámetro para que se quiere hacer el barrido.

Las variables que podemos variar son:1) Vin2) R3) Vref4) T9) kvPara seleccionar uno de los cuatro debemos darle un valor entre 1 y 4, y 9 si se quiere

variar kv, a la variable opcion_var

opcion_var=2;

La variable valor_inicial_var, se utiliza para indicar el primer valor del barrido.

valor_inicial_var=22;

La variable valor_final_var, se utiliza para indicar el último valor del barrido.

valor_final_var=40;

La variable incremento, se utiliza para indicar el incremento del barrido.

incremento=1;

La variable opcion_var toma por valor el índice del vector param correspondiente alparámetro que se quiere calcular la frontera.

Las variables que podemos calcular son:1) Vin2) R3) Vref4) T9) kvPara seleccionar uno de los cuatro debemos darle un valor entre 1 y 4, y 9 si se quiere

calcular kv, a la variable opcion_cal.

opcion_cal=1;

t0 se utiliza para indicar el valor inicial de la búsqueda del tiempo de conmutación.

t0=T/2;

x0 se utiliza para indicar el valor inicial de la búsqueda del valor de la frontera.

x0=20;

Las variables que contienen las condiciones iniciales para fsolve, se almacenan en unvector llamado ci.

ci=[x0;t0];


162

imax servirá como índice para las variables que almacenan los resultados obtenidosmediante el cálculo.

imax=0;

Se inicia un bucle, en el cual se realiza el barrido a partir de los valores indicados envalor_inicial_var, como valor inicial, valor_final_var, como valor final, e incremento.

for variacion=valor_inicial_var:incremento:valor_final_var

Se incrementa imax para indicar el número de variación realizado.

imax=imax+1;

Se inicializa la variable escogida como parámetro a barrer, por su valorcorrespondiente al barrido en cada iteración.

param(opcion_var)=variacion;

Se almacena el valor correspondiente al barrido para su posterior representación en elvector valor_var.

valor_var(imax)=variacion;

Se llama a la función antes descrita, frontera_flip, donde se calculará el valor de lafrontera y su correspondiente tiempo de conmutación.

Los parámetros de entrada son la condiciones iniciales de la búsqueda, ci, un vectordonde se guardan los parámetros correspondientes al funcionamiento de fsolve, options, elvector con los parámetros del circuito, param, y el índice de dicho vector correspondiente ala variable que se quiere calcular, opcion_cal.

front_flip(:,imax)=fsolve('frontera_flip',ci,OPTIONS,[],param,opcion_cal);

Se inicializan las condiciones iniciales de la búsqueda para el siguiente valor delbarrido, con los valores obtenidos del cálculo. Esto se hace para que éste sea más fiable.

ci=front_flip(:,imax);

Se inicializan en el vector param a el valor correspondiente a la frontera para elposterior cálculo de los autovalores del jacobiano.

param(opcion_cal)=front_flip(1,imax);

Se definen las matrices A y B al igual que en la función frontera_flip.

A1=[-1/(param(2)*param(6)) 1/param(6); -1/param(5) -param(12)/param(5)];A2=[-1/(param(2)*param(6)) 1/param(6); -1/param(5) -param(12)/param(5)];B1=[0;0];B2=[0;param(1)/param(5)];


163

Se inicializan la variable tn al obtenido mediante fsolve para el posterior cálculo delos autovalores del jacobiano en la frontera.

tn=front_flip(2,imax);

Se calculan tanto las variables necesarias para obtener la matriz del jacobiano en lafrontera como el jacobiano, tal como se ha hecho en la función frontera_flip.

phi1=phi(A1,tn); psi1=psi(A1,tn)*B1; phi2=phi(A2,param(4)-tn); psi2=psi(A2,param(4)-tn)*B2; xm=inv(eye(2)-phi1*phi2)*(phi1*psi2+psi1); K=[param(9) param(10)]; m=(param(8)-param(7))/param(4);

DP=phi2*(eye(2)-(((A1-A2)*xm+(B1-B2))*K*param(11))/(param(11)*K*(A1*xm+B1)-m))*phi1;

La variable lamb almacena los valores correspondientes a los autovalores para cadauna de las iteraciones del barrido.

lamb(:,imax)=eig(DP);

end

En esta parte del código, se describe como se han visualizado los resultadosobtenidos, tanto de la frontera como de los autovalores del Jacobiano.

En la primera figura se muestra la frontera calculada.

figure(1)

Título de la figura

title('Frontera con parametros sin normalizar')

Se acotan los ejes para la visualización de los datos.

axis([22 40 24 24.7])


164

Se especifica que la variable escogida para el barrido en el eje x y la correspondientecalculada en el eje y.

hold onif opcion_var==1 xlabel('Vin')endif opcion_var==2 xlabel('R')endif opcion_var==3 xlabel('Vref')endif opcion_var==4 xlabel('T')endif opcion_var==9 xlabel('kv')endif opcion_cal==1 ylabel('Vin')endif opcion_cal==2 ylabel('R')endif opcion_cal==3 ylabel('Vref')endif opcion_cal==4 ylabel('T')endif opcion_cal==9 ylabel('kv')end

Este bucle saca por pantalla cada uno de los valores calculados de la frontera para suvalor correspondiente del barrido.

for jmax=1:1:imax plot(valor_var(jmax),front_flip(1,jmax),'k^','markersize',4);endhold off

En la siguiente figura se muestra la posición de los autovalores en el círculo unidad.

figure(2)


165

Se muestra por pantalla el círculo unidad.

xx=0:.01:1;yy=sqrt(1-xx.^2);plot(xx,yy,':')hold onplot(-xx,yy,':')hold onplot(xx,-yy,':')hold onplot(-xx,-yy,':')hold on

El eje x corresponde al valor real del autovalor, y el eje y al valor imaginario.

xlabel('Re(lam)')ylabel('Im(lam)')

El siguiente bucle muestra por pantalla los autovalores del jacobiano calculados paracada valor del barrido y su correspondiente valor de la frontera.

for jmax=1:1:imax plot(real(lamb(1,jmax)),imag(lamb(1,jmax)),'r.'); plot(real(lamb(2,jmax)),imag(lamb(2,jmax)),'b.');endhold off

9.2 Anexo B.

La primera de las funciones utilizadas es la llamada traza, y en ella se calcula lafrontera correspondiente al estudio de la estabilidad por la traza del jacobiano, descrita enel apartado 5.1 de la memoria del proyecto.

Las variables de entrada de la función son las condiciones iniciales para la búsqueda,el vector con los parámetros normalizados del sistema y el índice de dicho vectorcorrespondiente al parámetro normalizado que se quiere buscar.

Las variables de salida son, el valor correspondiente a la frontera, y la corriente en elpunto de equilibrio.

function out=traza(sol,param_norm,cal)

Se inicializa el parámetro correspondiente al cálculo de la frontera, al valor inicial dela búsqueda.

param_norm(cal)=sol(1);

Se inicializa el parámetro correspondiente al cálculo de la corriente en el punto deequilibrio, io, al valor inicial de la búsqueda.

io=sol(2);


166

Se definen los coeficientes de la ecuación cúbica para el cálculo de la corriente.Dichas expresiones se pueden identificar de la expresión (210)

a=((param_norm(5)^2)+(param_norm(1)/param_norm(2)))*param_norm(1);b=((param_norm(4)-2*param_norm(3))*param_norm(5)-param_norm(1)- 2*(param_norm(4)/param_norm(2)))*param_norm(1);c=((((param_norm(4)/2)-param_norm(3))^2)+2*param_norm(4))* param_norm(1)+(param_norm(4)^2)/param_norm(2);d=-(param_norm(4)^2);

Se calcula la tensión correspondiente al punto de equilibrio mediante la expresión dela curva característica, (161)

.v=(sqrt(io*param_norm(1)-(io^2)*param_norm(1)/param_norm(2)));

Se define la variable zcrit, y se calcula para facilitar el cálculo.

zcrit=io/v;

Se calcula la variable correspondiente al control, (206).

U=1-(v/(param_norm(1)*io));

Se calcula la matriz del Jacobiano, tal como se muestra en la ecuación (219).

J=[-(1/param_norm(1))+(io/param_norm(4)), 1-U+((param_norm(5)*io)/param_norm(4)); -1+U-(io/(zcrit*param_norm(4))), -((1/param_norm(2))+((param_norm(5)*io)/(zcrit*param_norm(4))))];

Se indican las variables de salida. Como se puede ver, los valores que calcule lafunción fsolve, serán los que 0, las funciones descritas abajo.

out=[trace(J); a*io^3+b*io^2+c*io+d];

La segunda de las funciones utilizadas es la llamada deter, y en ella se calcula lafrontera correspondiente al estudio de la estabilidad por el determinante del j acobiano,descrita en el apartado 5.1 de la memoria del proyecto.

Las variables de entrada de la función son las condiciones iniciales para la búsqueda,el vector con los parámetros normalizados del sistema y el índice de dicho vectorcorrespondiente al parámetro normalizado que se quiere buscar.

Las variables de salida son, el valor correspondiente a la frontera, y la corriente en elpunto de equilibrio.

function out=deter(sol,param_norm,cal)

Se inicializa tanto el parámetro para que se quiere encontrar la frontera, en su vectorcorrespondiente, como la corriente en el punto de equilibrio, para los valores de lascondiciones iniciales.

param_norm(cal)=sol(1);io=sol(2);


167

En las siguientes líneas de código, se especifican los coeficientes de la ecuacióncúbica para el cálculo de la corriente en el punto fijo, la expresión de la tensión en elmismo punto y el control utilizado, tal como se ha hecho en la función anterior. a=((param_norm(5)^2)+(param_norm(1)/param_norm(2)))*param_norm(1);b=((param_norm(4)-2*param_norm(3))*param_norm(5)-param_norm(1)- 2*(param_norm(4)/param_norm(2)))*param_norm(1);c=((((param_norm(4)/2)-param_norm(3))^2)+2*param_norm(4)) *param_norm(1)+(param_norm(4)^2)/param_norm(2);d=-(param_norm(4)^2);

v=(sqrt(io*param_norm(1)-(io^2)*param_norm(1)/param_norm(2)));zcrit=io/v;U=1-(v/(param_norm(1)*io));

Se calcula el jacobiano utilizando la misma expresión que en la función traza.

J=[-(1/param_norm(1))+(io/param_norm(4)), 1-U+((param_norm(5)*io)/param_norm(4)); -1+U-(io/(zcrit*param_norm(4))),- ((1/param_norm(2))+((param_norm(5)*io)/(zcrit*param_norm(4))))];

Se expresa la salida de la función. Dichas salidas serán los valores de las variablesque hacen que las expresiones descritas abajo sean 0.

out=[det(J); a*io^3+b*io^2+c*io+d];

En el programa principal, se realiza la definición de las variables, el barrido de lasmismas, y la visualización de los resultados obtenidos. Para el cálculo de la frontera para elbarrido de un parámetro, se utiliza un bucle for, que se encarga de variar dicho parámetro,y a subes, se calcula el valor de otro parámetro del circuito, en el cual se encuentra lafrontera de la región estable.

El primer paso será cerrar el espacio de memoria que utiliza Matlab, y cerrar todaslas figuras que haya podido crear.

clear all;close all;


168

Se definen cada una de las opciones que utiliza la función fsolve.

OPTIONS(1)=0;%-Display parameter (Default:0). 1 displays someresults.OPTIONS(2)=1e-6;%-Termination tolerance for X.(Default: 1e-4).OPTIONS(3)=1e-6;%-Termination tolerance on F.(Default: 1e-4).OPTIONS(4)=1e-6;%-Termination criterion on constraint violation.(Default: 1e-6)OPTIONS(5)=0;%-Algorithm: Strategy: Not always used.OPTIONS(6)=0;%-Algorithm: Optimizer: Not always used.OPTIONS(7)=0;%-Algorithm: Line Search Algorithm. (Default 0)OPTIONS(8)=0;%-Function value. (Lambda in goal attainment. )OPTIONS(9)=0;%-Set to 1 if you want to check user-supplied gradientsOPTIONS(10)=1;%-Number of Function and Constraint Evaluations.OPTIONS(11)=1;%-Number of Function Gradient Evaluations.OPTIONS(12)=1;%-Number of Constraint Evaluations.OPTIONS(13)=1;%-Number of equality constraints.OPTIONS(14)=200;%-Maximum number of function evaluations. %(Default is 100*number of variables)OPTIONS(15)=0;%-Used in goal attainment for special objectives.OPTIONS(16)=1e-6;%-Minimum change in variables for finite differencegradients.OPTIONS(17)=1e-6;%-Maximum change in variables for finite differencegradients.OPTIONS(18)=1;%-Step length. (Default 1 or less).

Se les da un valor a cada uno de los parámetros del circuito.

Rs=3e-1; R=34; L=50e-6; C=4.4e-6; Vref=19.5000; Vl=0; Vu=1; kv=0.2966;ki=.01; a=1; f=50e3; T=1/f; p=1;

Se define el vector param donde se almacenan todos los parámetros de dichocircuito.

param=[Vin,R,Vref,T,L,C,Vl,Vu,kv,ki,a,Rs];

Se normalizan los parámetros del circuito, tal como se describe en el apartado 3.2

Qs=sqrt(param(5)/param(6))/param(12);VR=(param(3)/param(1)*param(9))+((param(8)+param(7))/(2*param(11) *param(9)*param(1)));VD=(param(8)-param(7))/(param(11)*param(9)*param(1));z=(param(10)/param(9))/(sqrt(param(5)/param(6)));Q=param(2)/(sqrt(param(5)/param(6)));

Se define el vector param_norm donde se almacenan todos los parámetrosnormalizados de dicho circuito.

param_norm=[Q,Qs,VR,VD,z];

La variable opcion_frontera, se utiliza para pedir al usuario si se quiere encontrar unafrontera a través de la traza, del determinante o de los dos. Si opcion_frontera toma porvalor 1, calculará la frontera igualando la traza a 0. Si opcion_frontera toma por valor 2,calculará la frontera igualando el determinante a 0. Si opcion_frontera toma por valor 3,calculará la frontera utilizando los dos procedimientos anteriores.

opcion_frontera=3;


169

Se indica que parámetro sin normalizar del circuito se quiere obtener una frontera. Elíndice del vector quedara almacenado en la variable opcion_var.

Vin=1 Vu=8 R=2 kv=9 Vref=3 Ki=10 T=4 a=11 L=5 Rs=12 C=6 Vl=7

opcion_var=3;

Esta variable, valor_inicial_var, la utilizamos para introducir el valor inicial de lavariable no normalizada, partir del cual se desea hacer el barrido de parámetros.

valor_inicial_var=12;

Esta variable, valor_final_var, es el último valor del parámetro deseado que se haceel barrido

valor_final_var=30;

Indica el incremento deseado entre parámetros de variación

incremento_var=1;

Este variable indica el parámetro que se escoge para que se realice el calculo de lamisma para que haya un cambio en el comportamiento del circuito.

opcion_cal=9;

En este caso, se debe realizar la normalización de las variables de todo el circuito yademás, tener en cuenta que una de las variables cambiará de valor en cada iteración. Deesta forma, tendremos en cuenta las posibles variables que sean de interés para hacer unbarrido de valores, y calcularemos todos los valores de la variables normalizadascorrespondientes, y así, solo se necesitará actualizar el valor en cada iteración.

Valor inicial de la variable que se quiere encontrar para que se le pasa a fsolve.

valor_ini_busqueda=.1;

Valor inicial para el calculo de la corriente.

i0=Qs/4;

Se trata el caso que la variable del circuito que se quiera hacer el barrido sea Vin.

if opcion_var==1

Se inicializa un contador que servirá para saber la cantidad de iteraciones del barrido.

imax=0;


170

Se calculan todas las variables normalizadas que dependan del parámetro que se haescogido para realizar el barrido, teniendo en cuenta el numero de variaciones que se haescogido y los valores de la variable no normalizada, en cada iteración. En este caso secalcula VR y VD.

for variacion=valor_inicial_var:incremento_var:valor_final_var imax=imax+1;

Se almacenan los valores no normalizados del barrido en el vector var para podermostrar las fronteras con parámetros no normalizados.

var(imax)=variacion;

Se inicializa el valor correspondiente del parámetro que se quiere variar, al valor dela variación.

param(opcion_var)=variacion;var_norm1(imax)=(param(8)-param(7))/

(param(11)*param(9)*param(1));

var_norm2(imax)=(param(3)/param(1)*param(9))+((param(8)+param(7))/(2*param(11)*param(9)*param(1)));

endend

Si el parámetro escogido es R, se calculará la variable normalizada Q correspondientesiguiendo el procedimiento anterior.

if opcion_var==2 imax=0; for variacion=valor_inicial_var:incremento_var:valor_final_var imax=imax+1; var(imax)=variacion; param(opcion_var)=variacion; var_norm1(imax)=param(2)/(sqrt(param(5)/param(6))); endend

Para el caso que se escoja como variable de barrido Vref. En este caso, se calcula VR.

if opcion_var==3 imax=0; for variacion=valor_inicial_var:incremento_var:valor_final_var imax=imax+1; var(imax)=variacion;

param(opcion_var)=variacion; var_norm1(imax)=(param(3)/param(1)*param(9))+((param(8)+param(7))/(2*param(11)*param(1)*param(9)));

endend


171

Para el caso que se escoja como variable de barrido kv, se calcula z.

if opcion_var==9 imax=0; for variacion=valor_inicial_var:incremento_var:valor_final_var imax=imax+1; var(imax)=variacion; param(opcion_var)=variacion; var_norm1(imax)=(param(10)/param(9))/(sqrt(param(5)/param(6))); endend

Se normalizan las condiciones iniciales de la búsqueda sustituyendo para cada caso,el valor correspondiente del parámetro por el valor inicial de la búsqueda, almacenando elresultado en la variable x0.

if opcion_cal==1 param_norm_calculo=4; x0=(param(8)-param(7))/(param(11)*valor_ini_busqueda*param(9));endif opcion_cal==2 param_norm_calculo=1; x0=valor_ini_busqueda/(sqrt(param(5)/param(6)));endif opcion_cal==3 param_norm_calculo=3; x0=(valor_ini_busqueda/param(1)*param(9))+((param(8)+param(7))/ (2*param(11)*param(1)*param(9)));endif opcion_cal==9 param_norm_calculo=5; x0=(param(10)/valor_ini_busqueda)/(sqrt(param(5)/param(6)));end

En estos vectores columna se guardan los valores iniciales para la función fsolveteniendo en cuenta cualquier tipo de calculo que se quiera hacer, tanto para la traza comopara el determinante.

ci_traza=[x0;i0];ci_deter=[x0;i0];

En este bucle se realiza el barrido de parámetros antes escogido, recorriendo losvectores donde se han almacenado los valores de los parámetros normalizados.

for jmax=1:1:imax


172

En cada iteración, se debe asignar el valor correspondiente de la variable normalizadaque se realiza el barrido, por tanto, dependiendo de la que se haya escogido, se hará unaactualización u otra.

if opcion_var==1 param_norm(3)=var_norm2(jmax); param_norm(4)=var_norm1(jmax);endif opcion_var==2 param_norm(1)=var_norm1(jmax);endif opcion_var==3 param_norm(3)=var_norm1(jmax);endif opcion_var==9 param_norm(5)=var_norm1(jmax);end

Caso en que se quiere realizar un cálculo tanto de frontera como de la corrienteasociada a su punto de equilibrio a través de igualar la traza del jacobiano a 0

if opcion_frontera==1

Se llama a la función que calcula los valores de la frontera y de la corriente a travésde la traza.

frontera_traza(:,jmax)=fsolve('traza',ci_traza,OPTIONS,[],param_norm,param_norm_calculo);

Se inicializan las condiciones iniciales para el cálculo de la siguiente iteración, a losvalores calculados, ya que de esta forma, se acerca más al posible resultado.

ci_traza=frontera_traza(:,jmax);

Se desnormalizan los valores calculados de la frontera despejándolos de la ecuaciónutilizada para normalizarlos. Esta operación se realiza según la variable escogida para sercalculada.

if opcion_cal==1frontera_desnormalizada_traza(jmax)=(param(8)-param(7))/(frontera_traza(1,jmax)*param(11)*param(9));

endif opcion_cal==2

frontera_desnormalizada_traza(jmax)=frontera_traza(1,jmax)*(sqrt(param(5)/param(6)));

endif opcion_cal==3

if opcion_var==1frontera_desnormalizada_traza(jmax)=(frontera_traza(1,jmax)-((param(8)+param(7))/(2*param(11)*param(9)*var(jmax))))*var(jmax)*param(9);

elsefrontera_desnormalizada_traza(jmax)=(frontera_traza(1,jmax)-((param(8)+param(7))/(2*param(11)*param(1)*param(9)))) *param(1)*param(9);

end end


173

if opcion_cal==9frontera_desnormalizada_traza(jmax)=param(10)/(frontera_traza(1,jmax)*(sqrt(param(5)/param(6))));

end

Se inicializan, tanto el parámetro normalizado correspondiente a la frontera como lacorriente en el punto fijo, a los valores calculados.

param_norm(param_norm_calculo)=frontera_traza(1,jmax); i=frontera_traza(2,jmax); v=(sqrt(i*param_norm(1)-(i^2)*param_norm(1)/param_norm(2))); zcrit=i/v; U=1-(v/(param_norm(1)*i)); J=[-(1/param_norm(1))+(i/param_norm(4)), 1-U+((param_norm(5)*i)/param_norm(4)); -1+U-(i/(zcrit*param_norm(4))), -((1/param_norm(2))+((param_norm(5)*i)/ (zcrit*param_norm(4))))];

Los autovalores del jacobiano obtenidos mediante la traza son almacenados en lavariable lamb_traza.

lamb_traza(:,jmax)=eig(J);

end

Caso en que se quiere realizar un cálculo tanto de frontera como de la corrienteasociada a su punto de equilibrio a través de igualar el determinante del jacobiano a 0 . Serealizan las mismas operaciones que para la traza pero guardando los valores calculadosobtenidos mediante la función deter en la variable frontera_deter, y los respectivos valoresde la frontera sin normalizar, en la variable frontera_desnormalizada_deter .

if opcion_frontera==2 frontera_deter(:,jmax)= fsolve('deter',ci_deter,OPTIONS,[], param_norm,param_norm_calculo); ci_deter=frontera_deter(:,jmax);

if opcion_cal==1 frontera_desnormalizada_deter(jmax)=

(param(8)-param(7))/(frontera_deter(1,jmax)*param(11)*param(9));

end

if opcion_cal==2frontera_desnormalizada_deter(jmax)=frontera_deter(1,jmax)*

(sqrt(param(5)/param(6))); end


174

if opcion_cal==3 if opcion_var==1 frontera_desnormalizada_deter(jmax)=

(frontera_deter(1,jmax)-((param(8)+param(7))/ (2*param(11)*param(9)*var(jmax)))) *var(jmax)*param(9); else frontera_desnormalizada_deter(jmax)= (frontera_deter(1,jmax)-((param(8)+param(7))/ (2*param(11)*param(9)*param(1)))) *param(1)*param(9); end end

if opcion_cal==9 frontera_desnormalizada_deter(jmax)= param(10)/(frontera_deter(1,jmax) *(sqrt(param(5)/param(6))));

end

param_norm(param_norm_calculo)=frontera_deter(1,jmax); i=frontera_deter(2,jmax); v=(sqrt(i*param_norm(1)-(i^2)*param_norm(1)/param_norm(2))); zcrit=i/v; U=1-(v/(param_norm(1)*i)); J=[-(1/param_norm(1))+(i/param_norm(4)), 1-U+((param_norm(5)*i)/param_norm(4)); -1+U-(i/(zcrit*param_norm(4))),-((1/param_norm(2))+ ((param_norm(5)*i)/(zcrit*param_norm(4))))];

lamb_deter(:,jmax)=eig(J);

end

Caso en que se quiere realizar un cálculo tanto de frontera como de la corrienteasociada a su punto de equilibrio a través de los dos procedimientos anteriores. Se realizanlas mismas operaciones que en las dos condiciones anteriores, guardando los resultados ensus respectivas variables.

if opcion_frontera==3

frontera_traza(:,jmax)=fsolve('traza',ci_traza,OPTIONS,[], param_norm,param_norm_calculo); ci_traza=frontera_traza(:,jmax);

frontera_deter(:,jmax)=fsolve('deter',ci_deter,OPTIONS,[],param_norm,param_norm_calculo);

ci_deter=frontera_deter(:,jmax); if opcion_cal==1 frontera_desnormalizada_traza(jmax)=

(param(8)-param(7))/ (frontera_traza(1,jmax)*param(11)*param(9));

frontera_desnormalizada_deter(jmax)= (param(8)-param(7))/ (frontera_deter(1,jmax)*param(11)*param(9)); end


175

if opcion_cal==2 frontera_desnormalizada_traza(jmax)= frontera_traza(1,jmax)*(sqrt(param(5)/param(6)));

frontera_desnormalizada_deter(jmax)= frontera_deter(1,jmax)*(sqrt(param(5)/param(6))); end

if opcion_cal==3 if opcion_var==1 frontera_desnormalizada_traza(jmax)= (frontera_traza(1,jmax)-((param(8)+param(7))/ (2*param(11)*param(9)*var(jmax)))) *var(jmax)*param(9);

frontera_desnormalizada_deter(jmax)= (frontera_deter(1,jmax)-((param(8)+param(7))/

(2*param(11)*param(9)*var(jmax))))*var(jmax)*param(9); else frontera_desnormalizada_traza(jmax)= (frontera_traza(1,jmax)-((param(8)+param(7))/ (2*param(11)*param(9)*param(1)))) *param(1)*param(9);

frontera_desnormalizada_deter(jmax)= (frontera_deter(1,jmax)-((param(8)+param(7))/ (2*param(11)*param(9)*param(1))))*param(1)*param(9); end end if opcion_cal==9 frontera_desnormalizada_traza(jmax)= param(10)/(frontera_traza(1,jmax)* (sqrt(param(5)/param(6))));

frontera_desnormalizada_deter(jmax)= param(10)/(frontera_deter(1,jmax)* (sqrt(param(5)/param(6)))); end

param_norm(param_norm_calculo)=frontera_traza(1,jmax); i=frontera_traza(2,jmax);

v=(sqrt(i*param_norm(1)-(i^2)*param_norm(1)/param_norm(2))); zcrit=i/v; U=1-(v/(param_norm(1)*i)); J=[-(1/param_norm(1))+(i/param_norm(4)), 1-U+((param_norm(5)*i)/param_norm(4)); -1+U-(i/(zcrit*param_norm(4))),-((1/param_norm(2))+ ((param_norm(5)*i)/(zcrit*param_norm(4))))];

lamb_traza(:,jmax)=eig(J);

param_norm(param_norm_calculo)=frontera_deter(1,jmax); i=frontera_deter(2,jmax);

v=(sqrt(i*param_norm(1)-(i^2)*param_norm(1)/param_norm(2))); zcrit=i/v; U=1-(v/(param_norm(1)*i));


176

J=[-(1/param_norm(1))+(i/param_norm(4)), 1-U+((param_norm(5)*i)/param_norm(4)); -1+U-(i/(zcrit*param_norm(4))),-((1/param_norm(2))+ ((param_norm(5)*i)/(zcrit*param_norm(4))))];

lamb_deter(:,jmax)=eig(J);

endend

En las siguientes líneas de código, se especificará como se visualizan cada uno de losresultados.

Esta condición se utiliza para sacar por pantalla tanto las fronteras calculadas a travésde la traza como la curva característica del sistema.

if (opcion_frontera==1)|(opcion_frontera==3)

En la primera figura, se muestra la frontera para los parámetros del circuitonormalizados. Se acotan los ejes de coordenadas para poder distinguir mejor cada punto.También se especifica en cada eje, tanto la variables utilizada para realizar el barrido,como la utilizada para el cálculo. Una vez expresados los ejes, se dibuja en el eje x, lavariable normalizada correspondiente al barrido, var_norm1, y en el eje y, la variablenormalizada de la frontera, frontera_traza.

figure title('Frontera de parametros Normalizados calculada a traves de la traza') hold on axis([1 2.2 0.05 0.2]); if opcion_var==1 xlabel('VD') end if opcion_var==2 xlabel('Q') end if opcion_var==3 xlabel('VR') end if opcion_var==9 xlabel('z') end if opcion_cal==1 ylabel('VD') end if opcion_cal==2 ylabel('Q') end if opcion_cal==3 ylabel('VR') end if opcion_cal==9 ylabel('z') end for col=1:1:jmax plot(var_norm1(col),frontera_traza(1,col),'k^','markersize',4); end hold off


177

En la siguiente figura, se muestra la curva característica del sistema con los puntos deequilibrio calculados para cada valor de la frontera y las respectivas bandas deconmutación.

figure title('Curva caracteristica del sistema con parametros normalizados utilizando la funcion traza') hold on

Se calculan los valores máximos tanto de corriente como de tensión del circuito paravisualizar la curva

vmax=sqrt(param_norm(1)*param_norm(2))/2; imax=param_norm(2);

Se acotan los ejes x e y para que se pueda ver toda la curva.

axis([0 vmax 0 imax]);

Se realiza un barrido por los vectores utilizados para almacenar los resultadosobtenidos.

for col=1:1:jmax

Como según la variable escogida para el barrido como para la variable escogida parael cálculo, se tendrán diferentes curvas, se utilizan dos switch para contemplar cada caso.La curva característica se calcula según lo explicado en el apartado 4.2.3.3, y las bandas deconmutación son las expresadas en el apartado 3.2, por tanto, según el caso que se trate, setendrá que sustituir un parámetro u otro por su variable correspondiente, var_norm1, parael barrido como frontera_traza para el cálculo.

switch opcion_var case 1

switch opcion_cal case 2

Cuando se calcula la resistencia de carga, se trata de un caso especial, ya que setienen tantas curvas características como valores de frontera obtenidos, por tanto, se deberácalcular cada una de las tensiones de la curva, para así, poder representarlas todas.

v_frontera=sqrt(frontera_traza(2,col)*frontera_traza(1,col)-frontera_traza(2,col)^2*frontera_traza(1,col)/Qs);

plot(v_frontera,frontera_traza(2,col),'k*','markersize',4);

in=1/(frontera_traza(1,col)+1/Qs):0.01:Qs;

vn=sqrt(in.*frontera_traza(1,col)-in.^2*frontera_traza(1,col)/Qs);

plot(vn,in,'m:');


178

Se define cada una de las bandas de conmutación a partir de las los puntos iniciales yfinales de cada coordenada. La forma de cada punto se puede ver en el apartado 3.1.Dependiendo de la variable normalizada que se realice el barrido y de la que se calcule, sesustituirá en la expresión o no.

xx1=[VR+(var_norm1(col)/2),(VR+(var_norm1(col)/2))-sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[VR-(var_norm1(col)/2),

(VR-(var_norm1(col)/2))-sign(z)*z*Qs]; yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); case 3

v_frontera=sqrt(frontera_traza(2,col)*Q- frontera_traza(2,col)^2*Q/Qs);


in=1/(Q+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*Q-in.^2*Q/Qs); plot(vn,in,'m:');

xx1=[frontera_traza(1,col)+(var_norm1(col)/2),(frontera_traza(1,col)+(var_norm1(col)/2))-sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[frontera_traza(1,col)-(var_norm1(col)/2),

(frontera_traza(1,col)-(var_norm1(col)/2))-sign(z)*z*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); case 9

v_frontera=sqrt(frontera_traza(2,col)*Q-frontera_traza(2,col)^2*Q/Qs);



xx1=[VR+(var_norm1(col)/2),(VR+(var_norm1(col)/2))-sign(frontera_traza(1,col))*frontera_traza(1,col)*Qs];


(VR-(var_norm1(col)/2))-sign(frontera_traza(1,col))*frontera_traza(1,col)*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); end


179

case 2v_frontera=sqrt(frontera_traza(2,col)*var_norm1(col)-frontera_traza(2,col)^2*var_norm1(col)/Qs);


in=1/(var_norm1(col)+1/Qs):0.01:Qs;vn=sqrt(in.*var_norm1(col)-in.^2*var_norm1(col)/Qs);plot(vn,in,'m:');switch opcion_cal

case 1

xx1=[VR+(frontera_traza(1,col)/2),(VR+(frontera_traza(1,col)/2))-sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[VR-(frontera_traza(1,col)/2),

(VR-(frontera_traza(1,col)/2))-sign(z)*z*Qs];


xx1=[frontera_traza(1,col)+(VD/2),(frontera_traza(1,col)+(VD/2))-sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[frontera_traza(1,col)-(VD/2),

(frontera_traza(1,col)-(VD/2))-sign(z)*z*Qs];


xx1=[VR+(VD/2),(VR+(VD/2))-sign(frontera_traza(1,col))*frontera_traza(1,col)*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[VR-(VD/2),

(VR-(VD/2))-sign(frontera_traza(1,col))*frontera_traza(1,col)*Qs];



180

case 3 switch opcion_cal case 1 v_frontera=sqrt(frontera_traza(2,col)*Q

-frontera_traza(2,col)^2*Q/Qs);


in=1/(Q+1/Qs):0.01:Qs;vn=sqrt(in.*Q-in.^2*Q/Qs);plot(vn,in,'m:');xx1=[var_norm1(col)+(frontera_traza(1,col)/2),(var_norm1(col)+(frontera_traza(1,col)/2))-sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[var_norm1(col)-(frontera_traza(1,col)/2),

(var_norm1(col)-(frontera_traza(1,col)/2))-sign(z)*z*Qs];




in=1/(frontera_traza(1,col)+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*frontera_traza(1,col)-

in.^2*frontera_traza(1,col)/Qs);

plot(vn,in,'m:');

xx1=[var_norm1(col)+(VD/2),(var_norm1(col)+(VD/2))-sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[var_norm1(col)-(VD/2),

(var_norm1(col)-(VD/2))-sign(z)*z*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2);


181

case 9




xx1=[var_norm1(col)+(VD/2),(var_norm1(col)+(VD/2))-frontera_traza(1,col)*Qs];


(var_norm1(col)-(VD/2))-frontera_traza(1,col)*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); end case 9

switch opcion_cal case 1



in=1/(Q+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*Q-in.^2*Q/Qs); plot(vn,in,'m:'); xx1=[VR+(frontera_traza(1,col)/2),

(VR+(frontera_traza(1,col)/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[VR-(frontera_traza(1,col)/2),

(VR-(frontera_traza(1,col)/2))- sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];



182

case 2



in=1/(frontera_traza(1,col)+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*frontera_traza(1,col)-

in.^2*frontera_traza(1,col)/Qs);

plot(vn,in,'m:'); xx1=[VR+(VD/2),

(VR+(VD/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];


(VR-(VD/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];




in=1/(Q+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*Q-in.^2*Q/Qs); plot(vn,in,'m:'); xx1=[frontera_traza(1,col)+(VD/2),

(frontera_traza(1,col)+(VD/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[frontera_traza(1,col)-(VD/2),

(frontera_traza(1,col)-(VD/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); end endendhold off


183

En la siguiente figura se nuestra la posición de los autovalores en tiempo continuo.En este caso, se acota su posición respecto de los ejes, y se representan para cada una delas variaciones y cálculos realizados.

figuretitle('Autovalores del Jacobiano segun la traza')hold onaxis([-1 1 -1.5 1.5]);

for col=1:1:jmaxplot(real(lamb_traza(1,col)),imag(lamb_traza(1,col)),'r.');plot(real(lamb_traza(2,col)),imag(lamb_traza(2,col)),'b.');

endhold off

end

La siguiente condición sirve para los resultados obtenidos de la frontera mediante eldeterminante del jacobiano. El procedimiento seguido es el mismo que con la trazacambiando las respectivas variables de almacenamiento de los resultados.

if (opcion_frontera==2)|(opcion_frontera==3)

figuretitle('Frontera de parametros Normalizados calculada a traves de ladeterminante')

hold onaxis([1 2.2 -2.5 -0.6]);if opcion_var==1

xlabel('VD')endif opcion_var==2 xlabel('Q')endif opcion_var==3 xlabel('VR')endif opcion_var==9 xlabel('z')endif opcion_cal==1 ylabel('VD')endif opcion_cal==2 ylabel('Q')endif opcion_cal==3 ylabel('VR')endif opcion_cal==9 ylabel('z')endfor col=1:1:jmax plot(var_norm1(col),frontera_deter(1,col),'k^',

'markersize',4);endhold off


184

figuretitle('Curva caracteristica del sistema con parametros normalizadosutilizando la funcion deter')

hold onvmax=sqrt(param_norm(1)*param_norm(2))/2;imax=param_norm(2);axis([0 vmax 0 imax]);for col=1:1:jmax

switch opcion_var case 1

switch opcion_cal case 2 v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*

frontera_deter(1,col)-frontera_deter(2,col)^2* frontera_deter(1,col)/Qs);

plot(v_frontera,frontera_deter(2,col),'k*', 'markersize',4);

in=1/(frontera_deter(1,col)+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*frontera_deter(1,col)-

in.^2*frontera_deter(1,col)/Qs); plot(vn,in,'m:');

xx1=[VR+(var_norm1(col)/2), (VR+(var_norm1(col)/2))-sign(z)*z*Qs];


(VR-(var_norm1(col)/2))-sign(z)*z*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); case 3 v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*Q-

frontera_deter(2,col)^2*Q/Qs);



xx1=[frontera_deter(1,col)+ (var_norm1(col)/2), (frontera_deter(1,col)+(var_norm1(col)/2))- sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[frontera_deter(1,col)-(var_norm1(col)/2),

(frontera_deter(1,col)-(var_norm1(col)/2)) -sign(z)*z*Qs];



185

case 9 v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*Q-



in=1/(Q+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*Q-in.^2*Q/Qs); plot(vn,in,'m:'); xx1=[VR+(var_norm1(col)/2),

(VR+(var_norm1(col)/2))- sign(frontera_deter(1,col))* frontera_deter(1,col)*Qs];


(VR-(var_norm1(col)/2))- sign(frontera_deter(1,col))* frontera_deter(1,col)*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); end case 2

v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*var_norm1(col)-frontera_deter(2,col)^2*var_norm1(col)/Qs);

plot(v_frontera,frontera_deter(2,col),'k*','markersize',4);

in=1/(var_norm1(col)+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*var_norm1(col)-in.^2*var_norm1(col)/Qs); plot(vn,in,'m:'); switch opcion_cal case 1 xx1=[VR+(frontera_deter(1,col)/2),

(VR+(frontera_deter(1,col)/2))-sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[VR-(frontera_deter(1,col)/2),

VR-(frontera_deter(1,col)/2))-sign(z)*z*Qs];



186

case 3 xx1=[frontera_deter(1,col)+(VD/2),

(frontera_deter(1,col)+(VD/2))- sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[frontera_deter(1,col)-(VD/2),

(frontera_deter(1,col)-(VD/2))- sign(z)*z*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); case 9 xx1=[VR+(VD/2),

(VR+(VD/2))-sign(frontera_deter(1,col))*frontera_deter(1,col)*Qs];


xx2=[VR-(VD/2),(VR-(VD/2))-sign(frontera_deter(1,col))*frontera_deter(1,col)*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); end case 3 switch opcion_cal case 1 v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*Q-




xx1=[var_norm1(col)+(frontera_deter(1,col)/2),(var_norm1(col)+(frontera_deter(1,col)/2))-sign(z)*z*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[var_norm1(col)-

(frontera_deter(1,col)/2),(var_norm1(col)-(frontera_deter(1,col)/2))-sign(z)*z*Qs];



187

case 2

v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*frontera_deter(1,col)-frontera_deter(2,col)^2*frontera_deter(1,col)/Qs);


in=1/(frontera_deter(1,col)+1/Qs):0.01:Qs;

vn=sqrt(in.*frontera_deter(1,col)-in.^2*frontera_deter(1,col)/Qs);

plot(vn,in,'m:'); xx1=[var_norm1(col)+(VD/2),

(var_norm1(col)+(VD/2))-sign(z)*z*Qs];


(var_norm1(col)-(VD/2))-sign(z)*z*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); case 9 v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*Q-




xx1=[var_norm1(col)+(VD/2),(var_norm1(col)+(VD/2))-frontera_deter(1,col)*Qs];


(var_norm1(col)-(VD/2))-frontera_deter(1,col)*Qs];



188

case 9 switch opcion_cal case 1 v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*Q-



in=1/(Q+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*Q-in.^2*Q/Qs); plot(vn,in,'m:'); xx1=[VR+(frontera_deter(1,col)/2),

(VR+(frontera_deter(1,col)/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[VR-(frontera_deter(1,col)/2),

(VR-(frontera_deter(1,col)/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];


v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*frontera_deter(1,col)-frontera_deter(2,col)^2*frontera_deter(1,col)/Qs);


in=1/(frontera_deter(1,col)+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*frontera_deter(1,col)-

in.^2*frontera_deter(1,col)/Qs);

plot(vn,in,'m:'); xx1=[VR+(VD/2),

(VR+(VD/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];


(VR-(VD/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];



189

case 3 v_frontera=sqrt(frontera_deter(2,col)*Q-

frontera_deter(2,col)^2*Q/Qs); plot(v_frontera,frontera_deter(2,col),'k*',

'markersize',4); in=1/(Q+1/Qs):0.01:Qs; vn=sqrt(in.*Q-in.^2*Q/Qs); plot(vn,in,'m:');

xx1=[frontera_deter(1,col)+(VD/2),(frontera_deter(1,col)+(VD/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];

yy1=[0,Qs]; line(xx1,yy1); xx2=[frontera_deter(1,col)-(VD/2),

(frontera_deter(1,col)-(VD/2))-sign(var_norm1(col))*var_norm1(col)*Qs];

yy2=[0,Qs]; line(xx2,yy2); end end end hold off figure title('Autovalores del Jacobiano segun el determinante') hold on for col=1:1:jmax plot(real(lamb_deter(1,col)),imag(lamb_deter(1,col)),'r.'); plot(real(lamb_deter(2,col)),imag(lamb_deter(2,col)),'b.'); end hold off

end


190

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Estudio de la Frontera de la Estabilidad en los...

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