IEGO FERNANDES PIRES

Um estudo sobre bases de Schauder em espaos

de Banach e aplicaes do princpio de seleo de

Bessaga-Pelczynski.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA

FACULDADE DE MATEMTICA

2013

i

ii

IEGO FERNANDES PIRES

Um estudo sobre bases de Schauder em espaos

de Banach e aplicaes do princpio de seleo de

Bessaga-Pelczynski.

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

Graduao em Matemtica da Universidade Federal de

Uberlndia, como parte dos requisitos para obteno do

ttulo de MESTRE EM MATEMTICA.

rea de Concentrao: Matemtica.

Linha de Pesquisa: Anlise Funcional.

Orientador: Prof. Dr. Vincius Vieira Fvaro.

iii

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) Sistema de Bibliotecas da UFU , MG, Brasil

P667e 2013

Pires, Iego Fernandes,1986- Um estudo sobre bases de Schauder em espaos de Banach e aplicaes do princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski / Iego Fernandes Pires. - 2013. 61 f. : il. Orientador: Vincius Vieira Fvaro. Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Uberlndia, Programa de Ps-Graduao em Matemtica. Inclui bibliografia. 1. Matemtica - Teses. 2. Anlise funcional - Teses. 3. Banach, Espaos de - Teses. I. Fvaro, Vincius Vieira. II. Universidade Fe-deral de Uberlndia. Programa de Ps-Graduao em Matemtica. III.Ttulo. CDU: 51

iv

vDedicatria

Dedico este trabalho a toda minha famlia, especialmente ao meu pai Ginair Francisco Pires,

minha me Ctia Deus Fernandes, s minhas irms Ila Fernanda e Ingrid Nayara, e, a minha

esposa Keina, pelo incentivo, compreenso e todo o apoio.

vi

Agradecimentos

Primeiramente agradeo a Deus por ter me abenoado em mais uma conquista.

Agradeo a minha esposa Keina, por acreditar em mim e nunca me deixar desanimar.

Aos meus pais Ginair e Ctia, por no medirem esforos para eu chegar at aqui.

s minhas irms Ila e Nayara, por estarem sempre a meu lado.

Ao professor Vincius Vieira Favro, pela pacincia e compreenso na orientao desse trabalho.

professora Marcela Luciano Vilela de Souza e ao professor Ariosvaldo Marques Jatob, por

terem aceito o convite para fazerem parte da banca de defesa deste trabalho.

Aos professores do programa de Ps-Graduao em Matemtica da UFU.

Aos colegas do curso de mestrado: Bruno, Rafael, Letcia e Otoniel.

Ao meu primo Mrio Sergio e aos amigos Rafael Fernandes, Joo Victor e Thiago Alves.

CAPES pelo apoio nanceiro.

vii

PIRES, I. F. Um estudo sobre bases de Schauder em espaos de Banach e aplicaes do princpio

de seleo de Bessaga-Pelczynski. 2013. Dissertao de Mestrado, Universidade Federal de

Uberlndia, Uberlndia-MG.

Resumo

Neste trabalho faremos um estudo detalhado da teoria bsica de bases de Schauder em es-

paos de Banach. Mais precisamente, estudaremos os principais resultados envolvendo bases

de Schauder (incondicionais), sequncias bsicas (incondicionais) e provaremos um importante

resultado da teoria de espaos de Banach, o princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski. Es-

tudaremos tambm algumas aplicaes deste princpio tais como a existncia de sequncias

bsicas em espaos de Banach e o Teorema de Pitt para operadores compactos entre espaos

de sequncias.

Palavras-chave: Espaos de Banach, Bases de Schauder, sequncias bsicas, o problema da

base incondicional, princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski e Teorema de Pitt.

viii

PIRES, I. F. A study about Schauder`s basis in Banach spaces and applications of the Bessaga-

Pelczynski selection principle. 2013. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlndia,

Uberlndia-MG.

Abstract

In this work, we will study the basic theory of Schauder basis of Banach spaces. More precisely,

we will study the main results involving (unconditionally) Schauder basis, (unconditionally)

basic sequences and we will prove an important result of the Banach space theory, the Bessaga-

Pelczynski selection principle. We will also study some applications of this principle such that

the existence of basic sequences in Banach spaces and the Pitt's Theorem for compact operators

between sequence spaces.

Keywords : Banach spaces, Schauder basis, basic sequences, the unconditional basis problem,

Bessaga-Pelczynski selection principle and Pitt's Theorem.

SUMRIO

Resumo vii

Abstract viii

Introduo 1

1 Resultados Clssicos de Anlise Funcional 3

2 Bases de Schauder em espaos de Banach 9

2.1 Sries em espaos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Bases em espaos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Sequncias bsicas em Espaos de Banach 27

3.1 Bases e sequncias bsicas incondicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Dois problemas importantes envolvendo sequncias bsicas em espaos de Banach 37

3.2.1 O problema da base incondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2 O Princpio de Seleo de Bessaga-Pelczynski . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Aplicaes do princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski 48

4.1 Existncia de sequncias bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 O Teorema de Pitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ix

Introduo

A rea do conhecimento na qual essa dissertao se insere a Anlise Funcional, mais precisa-

mente na teoria de espaos de Banach. Em Anlise Funcional, um conceito bastante importante

e usual o de base de Schauder. Bases de Schauder so muito teis para se entender o com-

portamento e a estrutura dos espaos de Banach. Dizemos que uma sequncia (xn)n=1 base

de Schauder de um espao de Banach E se cada x E pode ser escrito de maneira nica comouma srie do tipo

n=1

anxn, onde an so escalares no corpo. Como veremos neste trabalho,

fcil provar que todo espao de Banach com base de Schauder separvel. Entretanto, a

pergunta de que todo espao de Banach separvel tem base de Schauder permaneceu em aberto

por vrios anos. A resposta a esse problema veio com Eno em 1973, em sua negativa.

A busca de condies para que um espao de Banach tenha base de Schauder foi objeto de

pesquisa de diversos matemticos e um problema importante e que tem resposta armativa

que todo espao de Banach tem um subespao com base de Schauder. A soluo desse problema

utiliza um resultado extremamente importante que conhecido como o princpio de seleo de

Bessaga-Pelczynski. Esse resultado importante no s devido a sua aplicao para a soluo

desse problema, mas tambm em diversos outros problemas. Nesta dissertao, mostraremos

com detalhes a demonstrao deste princpio de seleo, mostraremos tambm detalhadamente

a demonstrao de que todo espao de Banach tem um subespao com base de Schauder. Alm

disso, faremos uma outra aplicao interessante do princpio de seleo de Bessaga-Pelczysnki,

que a demonstrao do Teorema de Pitt (essas aplicaes sero feitas no captulo 4).

O Teorema de Pitt tem diversas aplicaes e ele caracteriza operadores compactos entre es-

paos de sequncias somveis. Este teorema usado, por exemplo, na obteno de operadores,

denidos entre espaos de sequncias somveis, que atingem a norma e problemas de lineabi-

lidade envolvendo tais operadores (veja por exemplo [14] para os problemas de lineabilidade e

operadores que atingem a norma e [12] como referncia para resultados sobre operadores que

atingem a norma).

Nesta dissertao, faremos tambm um estudo sobre bases de Schauder incondicionais, isto

1

2, bases em que a convergncia da representao de cada elemento, em termos da base, incon-

dicional. Tais bases so muito teis na teoria dos espaos de Banach, entretanto no verdade

nem que espaos de Banach possuem algum subespao com base de Schauder incondicional.

Este problema conhecido como o problema da base incondicional (trataremos desse problema

com mais detalhes no captulo 3). Entretanto, daremos uma caracterizao para que uma base

de Schauder seja base de Schauder incondicional de algum subespao.

Este trabalho est dividido da seguinte maneira:

(i) No captulo 1, daremos os principais conceitos e notaes que usaremos ao longo do trabalho

e faremos uma reviso dos principais resultados de Anlise Funcional necessrios.

(ii) No captulo 2, devotaremos uma seo ao estudo de sries em espaos de Banach e depois

introduziremos as bases de Schauder juntamente com os resultados bsicos pertinentes

alm de vrios exemplos importantes.

(iii) No captulo 3, faremos um estudo sobre sequncias bsicas (incondicionais) em espaos de

Banach, isto , bases de Schauder (incondicionais) de um subespao. Alm disso, aborda-

remos os problemas de existncia de sequncias bsicas e sequncias bsicas incondicionais.

Neste captulo tambm provaremos o princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski.

(iv) Finalmente, no captulo 4, faremos as duas aplicaes do princpio de seleo que nos

referimos anteriormente, alm de dar os pr-requisitos necessrios para elas.

Iego Fernandes Pires Uberlndia-MG, 31 de Julho de 2013.

CAPTULO 1

Resultados Clssicos de Anlise Funcional

O objetivo deste captulo introduzir algumas denies, notaes e alguns resultados de

Anlise Funcional que sero utilizados nos demais captulos.

Durante todo o texto, K denotar o corpo R dos nmeros reais ou o corpo C dos complexos.

Denio 1.0.1. Seja E um espao vetorial sobre K. Uma norma em E uma funo : E R tal que

(N1) x 0 para todo x E e x = 0 x = 0.

(N2) ax = |a|x para todo a K e x E.

(N3) x+ y x+ y para quaisquer x, y E.

Denio 1.0.2. Um espao normado um espao vetorial E munido de uma norma . Epor sua vez um espao mtrico com a mtrica induzida pela norma, isto , a mtrica d dada

por

d(x, y) = x y com x, y E.A bola unitria fechada do espao normado E o conjunto

BE = {x E : x 1} .

Denio 1.0.3. Dizemos que um espao normado E um espao de Banach se E for completo.

Denio 1.0.4. Se K um espao mtrico compacto, denotamos o espao vetorial de todas

as funes contnuas denidas no compacto K a valores em R por espao C(K), o qual torna-seum espao de Banach com a norma

f = sup {|f(x)| : x K} .

3

4Um caso que estamos particularmente interessado quando K o intervalo compacto [a, b].

Nesse caso, denotamos C(K) por C[a, b].

Denio 1.0.5. Denotamos

c0 = {(an)n=1 : an K para todo n N e an 0}

o qual se torna um espao de Banach com a norma

(an)n=1 = sup {|an| : n N} .

Denio 1.0.6. Seja 1 p < +. O espao vetorial das sequncias absolutamente p-somveis dado por

`p =

{(an)

n=1 : an K para todo n N e

n=1

|an|p

5Proposio 1.0.11. Sejam E e F espaos normados.

(a) A expresso

T = supxBE

T (x)

dene uma norma no espao L(E,F ).

(b) T (x) Tx para todos T L(E,F ) e x E.

(c) Se F for Banach, ento L(E,F ) um espao Banach.

Demonstrao: Veja [3, Proposio 2.1.4]

Corolrio 1.0.12. O dual E de qualquer espao normado E um espao de Banach.

Denio 1.0.13. Dizemos que os espaos normados E e F so isomorfos se existe um

operador linear contnuo e bijetor T : E F cujo operador inverso T1 : F E tambm contnuo. Neste caso, dizemos que T um isomorsmo. E se x = T (x) para x E eT (x) F dizemos que T um isomorsmo isomtrico.

Teorema 1.0.14. Todo espao normado separvel isometricamente isomorfo a algum

subespao de C[0, 1].

Demonstrao: Veja [3, Teorema 6.5.5].

Proposio 1.0.15. Seja 1 p

6Teorema 1.0.17 (Teorema de Banach-Steinhaus). Sejam E um espao de Banach, F um

espao normado e (Ti)iI uma famlia de operadores em L(E,F ) tal que para cada x E existeCx > 0 tal que

supiITix < Cx.

Ento supiITi

7Denio 1.0.22. Dizemos que o espao normado E reexivo se o mergulho cannico

JE : E E for sobrejetor, ou seja, JE(E) = E .

Denio 1.0.23. Seja T L(E,F ) um operador linear contnuo entre espaos normados. Ooperador adjunto de T o operador T : F E dado por

T () (x) = (T (x)) para todos x E e F .

Proposio 1.0.24. Seja T L (E,F ). Ento T L (F , E ) e T = T. Mais ainda, seT isomorsmo (isomtrico), T tambm isomorsmo (isomtrico).

Demonstrao: Veja [3, Proposio 4.3.11].

Denio 1.0.25. A topologia fraca num espao normado E, ser denotada por (E,E ) e

quando a sequncia (xn)n=1 de E convergir para x E na topologia fraca, escreveremos xn w x.

Proposio 1.0.26. Sejam E e F espaos de Banach. Ento T : E F contnua se, esomente se, T fracamente contnua, isto , se T : (E, (E,E )) (F, (F, F )) for contnuo.

Demonstrao: Veja [3, Proposio 6.2.9].

Teorema 1.0.27. Um espao de Banach E reexivo se, e somente se, a bola unitria BE

compacta na topologia fraca.

Demonstrao: Veja [3, Teorema 6.4.5].

Denio 1.0.28. Sejam E e F espaos normados. Dizemos que o operador linear T : E F compacto se T (BE) compacto em F .

Denio 1.0.29. Sejam E e F espaos de Banach e T : E F linear. Dizemos que T completamente contnuo se xn

w x em E implicar que T (xn) T (x) em F .

Proposio 1.0.30. Sejam E e F espaos de Banach, E reexivo e T L (E,F ). Se T completamente contnuo, ento T compacto.

Demonstrao: Seja (zn)n=1 uma sequncia de vetores no nulos em E e dena a sequncia

(xn)n=1 em BE por

xn =znzn ,para todo n N. Como E reexivo, segue do Teorema 1.0.27 que BE fracamente compacta,o que implica a existncia de uma subsequncia (xnk)

k=1 de (xn)

n=1 tal que xnk

w x BE.Mas por hiptese xnk

w x em BE implica T (xnk) T (x) em F , logo T (BE) compacto.Portanto T compacto.

8Teorema 1.0.31. Sejam E e F espaos de Banach. Ento T : E F um operadorcompacto se, e somente se, T : F E compacto.

Demonstrao: Veja [3, Teorema 7.2.7]

Teorema 1.0.32 (Teorema de Ascoli). Seja K um espao mtrico compacto e A um subconjunto

de C(K) . Ento A compacto se, e somente se, as sequintes condies so satisfeitas:

(a) A equicontnuo, isto , para todo t0 K e > 0, existe > 0 tal que |f(t) f(t0)| < para todos t K com d(t, t0) < e f A,

(b) O conjunto {f(t); f A} limitado em K para todo t K.

Demonstrao: Veja [9, Teorema III.2.1].

CAPTULO 2

Bases de Schauder em espaos de Banach

Antes de iniciarmos o estudo das bases de Schauder, faremos um breve apanhado sobre

sries em espaos de Banach.

2.1 Sries em espaos de Banach

Denio 2.1.1. Seja (xn)n=1 uma sequncia em um espao normado E. Dizemos que (xn)

n=1

:

somvel se a srien=1

xn convergente.

absolutamente somvel sen=1

xn 0, existe

n0 N tal que

mj=n

xj

< , sempre que m > n n0. claro que toda sequncia incondicionalmente somvel tambm somvel. Dirichlet provou

em 1873 que, em R, os conceitos de somabilidade absoluta e incondicional so equivalentes. Emespaos de Banach, tal equivalncia no verdadeira. Vejamos um exemplo.

9

10

Exemplo 2.1.2. Seja (en)n=1 a sequncia cannica de vetores unitrios, isto ,

en = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .),

onde o 1 aparece apenas na n-sima coordenada de en. Vamos provar que, em c0, a sequncia

(xn)n=1, onde xn =

enn, incondicionalmente somvel, mas no absolutamente somvel.

claro que (xn)n=1 no absolutamente somvel, pois

n=1

xn =n=1

1

n

a qual divergente.

Vejamos agora que (xn)n=1 incondicionalmente somvel. Seja : N N uma bijeoqualquer. Chamando sn =

nj=1

x(j) e considerando > 0, tome N N tal que 1N

< .

Como bijeo, para cada k {1, , N} existe nk tal que (nk) = k. Tomando n0 =max{n1, . . . , nN} e A = {1, . . . , n} {n1, . . . , nN}, segue que para n n0,

sn =nj=1

x(j) = x(1)+ +x(n) = x(n1)+ +x(nN )+jA

x(j) = x1+ +xN +jA

x(j).

Assim, para todo n n0 sn ( 1n)n=1

1N + 1

0 dado, existe n0 N tal que

Sm Sn =

mj=1

x(j) nj=1

x(j)

=

mj=n+1

x(j)

m

j=n+1

x(j) <

sempre que m > n > n0.

Assim (Sn)n=1 =

(nj=1

x(j)

)n=1

uma sequncia de Cauchy no espao de Banach E, logo

convergente. Portanto (xn)n=1 incondicionalmente somvel.

Reciprocamente seja (xn)n=1 uma sequncia de Cauchy no espao normado E. Assim para

= 12> 0, dado k N existe n(k)0 N tal que xn xm < 2k, para todos m,n > n(k)0 .Com isso, para cada k N, podemos obter nk N;nk > n(k)0 e assim temos n1 < n2 < 0, existe n N tal que, quando M um subconjunto nito de N comminM > n, temos que

nM

xn

< .(c) (xn)

n=1 subsrie somvel, ou seja, a srie

n=1

xkn convergente para qualquer sequncia

estritamente crescente de inteiros positivos (kn)n=1.

(d) (xn)n=1 sinal somvel, ou seja, a srie

n=1

nxn convergente quaisquer que sejam

n {1, 1}, n N.

(e)O operador T : ` E dado por T ((n)n=1) =n=1

nxn contnuo.

Demonstrao: A prova de que o item (e) equivalente aos demais no ser feita aqui, mas

pode ser encontrada em [4, p. 12]. Vejamos as demais implicaes.

12

(a) (b): Seja (xn)n=1 incondicionalmente somvel e suponha que (b) falso, ou seja,existe > 0 tal que para todo m N existe M N nito tal que

nM

xn

sempre queminM > m . Assim, para m = 1, tome M1 N nito tal que minM1 > 1 e

nM1

xn

.Para m = 2 tome M2 N nito tal que minM2 > maxM1 + 1 e

nM2

xn

. Procedendodesta forma, para n N tome Mn N nito tal que minMn > maxMn1+1 e

nMn

xn

.Denotando por |Mn| o nmero de elementos de Mn, dena uma bijeo : N N queleva cada inteiro do intervalo [minMn,minMn + |Mn|) em Mn. Note que possvel denirtal bijeo pois o nmero de inteiros do intervalo [minMn,minMn + |Mn|) igual |Mn| e osintervalos so dois a dois disjuntos, o que tambm ocorre com os Mn.

Considere a sequncia (Sn)n=1 denida por Sn =

nk=1

x(k), para todo n N, e vamos provarque ela no de Cauchy. Para cada m N, podemos escolher algum dosMn, com minMn > me

nMn

xn

. Tomando p = minMn 1 e q = minMn + |Mn| 1, temos q p + 1 > m eassim

Sq Sp =

qk=1

x(k) p

k=1

x(k)

=

qk=p+1

x(k)

= kMn

xk

.Com isso (Sn)

n=1 no de Cauchy, logo divergente pois E um espao de Banach. Ento(

x(n))n=1no somvel, o que uma contradio.

(b) (a): Sejam : N N uma bijeo qualquer e Sn =nk=1

x(k). Dado > 0 tome

n de acordo com (b). Ento existe m N sucientemente grande tal que {1, . . . , n} {(1), . . . , (m)}. Para p, q N com q p+1 m temos que (p+1), (q) > m e portanto

Sq Sp =

qk=p+1

x(k)

=jM0

xj

< ,

onde M0 = {(p+ 1), . . . , (q)}. Portanto (Sn)n=1 uma sequncia de Cauchy e segue o resul-tado.

(b) (c): Dado > 0, por hiptese existem n N e M N nito tal quenM

xn

n. Considerando (kn)

n=1 uma sequncia estritamente crescente de

inteiros positivos temos kn n para todo n N e para p, q N tais que q p+ 1 > n temos

13

kq q > n e kp+1 p+ 1 > n. Denindo ento a sequncia Sn =nj=1

xkj segue que

Sq Sp =

qj=1

xkj pj=1

xkj

=

qj=p+1

xkj

= xkp+1 + + xkq=

nM0

xkn

< .onde M0 = {kp+1, . . . , kq}. Logo (Sn)n=1 uma sequncia de Cauchy. Portanto a sequncia(xkn)

n=1 somvel.

(c) (d): Seja Sn =nj=1

jxj com j {1, 1}, para todo n N. Considerando os con-

juntos N+ = {n N; n = 1} e N = {n N; n = 1} ordenados de maneira crescente, segueda hiptese de (xn)

n=1 ser subsrie somvel que as sries

nN+

xn enN

xn so convergentes.

Logo as sequncias (An) e (Bn) so de Cauchy, onde An =nj=1jN+

xj e Bn =nj=1jN

xj, para todo

n N. Assim, para cada > 0, existe n+ N tal que

Aq Ap =

q

j=p+1jN+

xj

p > n+ e existe n N tal que

Bq Bp =

q

j=p+1jN

xj

p > n . Por m, tomando n = max {n+ , n } temos

Sq Sp =

qj=p+1

jxj

= p+1xp+1 + . . .+ qxq=

q

j=p+1jN+

xj q

j=p+1jN

xj

qj=p+1jN+

xj

+

qj=p+1jN

xj

p > n. Logo (Sn) de Cauchy, implicando assim que a srien=1

nxn

convergente.

14

(d) (b): Por hiptese (xn)n=1 uma sequncia sinal somvel. Suponhamos que (b) sejafalso. Ento existem > 0 e uma sequncia (Mk)

k=1 de subconjuntos nitos de N tais que

minMk+1 > maxMk e

nMk

xn

, para todo k N.Dena a seguinte funo

n =

1, se n k=1

Mk

1, caso contrrio.

Considere a sequncia denida por Sn =nj=1

(1 + j)xj e para cada m N, tome k N tal quem < minMk. Assim, para p = minMk e q = maxMk segue que p, q > m, mas

Sq Sp =

maxMkj=minMk+1

(1 + j)xj

=nMk

2xn

2.Ento (Sn)

n=1 no uma sequencia de Cauchy, logo diverge, pois E espao de Banach. Com

isso,

n=1

xn oun=1

nxn divergente (ou ambas), o que um absurdo.

Corolrio 2.1.5. Se (xn)n=1 uma sequncia incondicionalmente somvel em um espao de

Banach E, ento para qualquer bijeo : N N verdade quen=1

xn =n=1

x(n).

Demonstrao: Como (xn)n=1 uma sequncia incondicionalmente somvel, segue do Teo-

rema 2.1.4(b) que para > 0, existe n N tal que, se M N nito com minM > n,ento

nM

xn

< 2 . Tome q N sucientemente grande de tal forma que {1, . . . , n} {(1), . . . , (n), . . . , (q)} e denaM0 = {1, . . . , q}{(1), . . . , (q)} eM1 = {(1), . . . , (q)}{1, . . . , q}.Assim,

qn=1

xn q

n=1

x(n)

=nM0

xn nM1

xn

nM0

xn

+nM1

xn

0 dado, existe n0 N tal que (xn)n=1 < sempre que n n0. Assim, para n n0,

nj=1

xjej x=

nj=1

xjej (xj)j=1= (0, 0, , 0, xn+1, xn+2, ) = sup

jn+1|xj| < .

Logo

n=1

xnen = x e da (en)n=1 base de Schauder de c0. De maneira anloga prova-se que

(en)n=1 base de Schauder de `p, 1 p 0, segue

da convergncia de

n=1

anxn que existe n0 N tal que

n=n0+1

anxn

< 2 . Claramente{k

n=1

qnxn; qn Q, k N} enumervel. Seja M = max{x1, . . . , xn0} > 0. Da densi-

dade de Q em R segue que, para cada n = 1, . . . , n0, existe qn Q tal que |an qn| < 2n0M.

Assim, xn0n=1

qnxn

n0n=1

|an qn| xn+

n=n0+1

anxn

0 dado, existe > 0 tal que

se t1, t2 [0, 1], |t1 t2| < ento |f (t1) f (t2) | < 2 .

Considere m N tal que 12m

< 2e tome n0 N sucientemente grande de modo que f e pn0coincidam no conjunto D =

{0, 1, 1

2, 14, 34, 18, 38, 58, . . . ,

2m 12m

}. Com isso, se t [0, 1], ento

18

existe k {1, . . . , 2m 1} tal que |t k2m| < . Logo, se k 6= 2m, segue que

|f(t) pn(t)| f(t) f ( k2m

)+ f ( k2m) pn(t)

n0. Se k = 2mo resultado segue de maneira similar. Portanto, limn pn

f = 0, ou seja, vlida a representao f =n=0

anxn.

Vejamos agora que tal representao nica. Considere uma sequncia de escalares (bn)n=1

tal que f =n=0

bnxn. Comon=0

anxn(t) = f(t) =n=0

bnxn(t), para todo t [0, 1], temos quen=0

(an bn)xn(t) = 0 para todo t [0, 1]. Para t = 0, temos a0 b0 =n=0

(an bn)xn(0) = 0,

implicando assim que a0 = b0. Com isson=1

(an bn)xn(t) = 0 e, para t = 1, temos

a1 b1 =n=1

(an bn)xn(1) = 0 que implica a1 = b1. Assimn=2

(an bn)xn(t) = 0 e apli-cando t = 1

2obtemos a2 = b2. Procedendo com este raciocnio para os demais valores de

t = 0, 1, 12, 14, 34, 18, 38, 58, . . . , obtm-se an = bn para todo n N.

Nosso prximo objetivo mostrar que os funcionais coecientes de uma base de Schauder

so contnuos. Para isso precisaremos da seguinte denio e do seguinte lema.

Denio 2.2.7. Dada uma base de Schauder (xn)n=1 do espao de Banach E, denotaremos

por VE o espao vetorial formado pela sequncia de escalares (an)n=1 tais que a srien=1

anxn

convergente em E.

Lema 2.2.8. Seja E um espao de Banach com base de Schauder (xn)n=1. Ento a funo

E : VE R; E ((an)n=1) = supnN

nj=1

ajxj

19

uma norma em VE e (VE, E) um espao de Banach. Alm disso o operador

TE : VE E;TE ((an)n=1) =n=1

anxn

um isomorsmo.

Demonstrao: Por simplicidade usaremos a notao (an)n=1 = (an) e vamos provar que

uma norma:

(i) Se E ((an)) = 0 ento supnN

nj=1

ajxj

= 0. Logo dado n N temos 0 anxn nj=1

ajxj

= 0. Da anxn = 0 e como xn 6= 0 segue que an = 0. Como n N arbitrrio segueque (an) nula. Por outro lado, claro que se (an) nula, ento E ((an)) = 0.

(ii) Para K temos queE ((an)) = sup

nN

nj=1

ajxj

= || supnN

nj=1

ajxj

= ||E ((an))(iii) Para todo (an), (bn) VE temos

E ((an) + (bn)) = supnN

nj=1

(aj + bj)xj

sup

nN

nj=1

ajxj

+ supnN

nj=1

bjxj

= E ((an)) + E ((bn)) .

Vejamos agora que VE um espao de Banach. Seja (yn)n=1 = ((ank)k=1)n=1 uma sequncia deCauchy em VE, onde yn = (ank)k=1, para cada n N. Assim,

|akn ajn|xn = (akn ajn)xn =

ni=1

(aki aji )xi n1i=1

(aki aji )xi

ni=1

(aki aji )xi+

n1i=1

(aki aji )xi

supn

ni=1

(aki aji )xi+ supn

n1i=1

(aki aji )xi

= 2E (yk yj)

e assim |akn ajn| 2E(yk yj)xn , para cada n N. Como (yj)

j=1 de Cauchy em VE, para

> 0 dado, existe j N tal que se k, j j temos E(yk yj) < xn2

. Logo, para

k, j j segue que |akn ajn| 2E(yk yj)xn < , concluindo assim que (a

kn)k=1 de Cauchy

em K, logo convergente. Para cada n N, digamos que akn an quando k . Denindo

20

y = (an)n=1 , vejamos que y VE e que (yj)j=1 converge para y em VE. Novamente pelofato de (yn)

n=1 ser de Cauchy, segue que existe n N tal que E(yk yj) n, temosm

i=n+1

(ai ani )xi

mi=1

(ai ani )xi+

ni=1

(ai ani )xi 4 + 4 = 2 .Como yn = (a

nk )k=1 VE, existe n0 N tal que

mi=n

ani xi

< 2 , sempre que m > n n0.Logo, para m > n n0, segue que

mi=1

aixi ni=1

aixi

=

mi=n+1

aixi

=

mi=n+1

(ai + ani ani )xi

mi=n+1

(ai ani )xi+

m

i=n+1

ani xi

0 se, e somente se, sup

nNxn 0, segue que

xk KinfnNxn, para todo k N. Da denio de supremo segue que sup

nNxn K

infnNxn

0. Da densidade de D, existe y Dtal que z y <

1 + supnNPn . Alm disso, segue do que vimos acima que existe n0 N

tal que para n n0, temos Pn(y) = y. Logo, para todo n n0, verdade que

Pn(z) z = Pn(z) Pn(y) + Pn(y) y + y z Pn(z) Pn(y)+ Pn(y) y+ y z= Pn(z y)+ z y Pnz y+ z y= (Pn+ 1) z y

(supjNPj+ 1

)z y

< .

Portanto, limn

Pn(z) = z, para todo z E e, alm disso,

z = limn

Pn(z) = limn

nj=1

xj(z)xj =n=1

xn(z)xn.

Note ainda que a representao z =n=1

xn(z)xn nica, pois se z =n=1

bnxn ento

n=1

(xn(z) bn)xn = 0. Logo, para cada j N, temos

xj(z) bj =n=1

(xn(z) bn)xj(xn) = xj( n=1

(xn(z) bn)xn)= xj(0) = 0

e, consequentemente, xj(z) = bj, para todo j N.

Corolrio 2.2.23. Se (xn, xn)n=1 um sistema biortogonal no espao de Banach E e

supnNPn

26

Demonstrao: Considere o subespao fechado de E dado por F = [xn;n N]. Claramente(xn, x

n)n=1 um sistema biortogonal de F com (Pn|F )n=1 sendo as projees cannicas associ-adas a (xn, x

n)n=1 em F . Alm disso,

supnNPn|F sup

nNPn

CAPTULO 3

Sequncias bsicas em Espaos de Banach

Vimos no captulo anterior que todo espao de Banach com base de Schauder separvel.

Um problema que permaneceu em aberto por vrios anos se a recproca deste resultado

verdadeira. Este problema, alm do interesse por se tratar de um problema importante da

Anlise Funcional, tambm cou conhecido por uma histria curiosa. Nos anos de 1930 e 1940,

Banach e outros matemticos tinham o hbito de se reunirem em um bar (o Scottish Caf)

para, dentre outras coisas, discutirem matemtica. Eles usavam um livro cedido pela esposa

de Banach e que cava no bar (o qual cou conhecido como Scottish Book) para escreverem

problemas interessantes de matemtica (principalmente de Anlise Funcional e Topologia) e

suas solues. Geralmente, aos problemas propostos mas no resolvidos, eram oferecidos pr-

mios, tais como uma garrafa de vinho ou de conhaque. Mas o problema de nmero 153 do livro,

que justamente a pergunta sobre a validade da recproca acima, foi proposto por Mazur, em

1936 e oferecido um ganso vivo para quem solucionasse o problema.

Em um artigo de 1973, P. Eno mostrou que a recproca falsa, ou seja, existem espaos

de Banach separveis que no possuem base de Schauder. De fato, Eno provou mais do que

isso, ele construiu um espao de Banach reexivo e separvel que no tem a propriedade da

aproximao e no possui base de Schauder, respondendo tambm negativamente questo de

que todo espao de Banach tem a propriedade da aproximao. A demonstrao de Eno utiliza

propriedades de simetria em espaos de dimenso alta e tcnicas avanadas de combinatria,

assuntos esses que fogem do escopo deste trabalho. Para um leitor interessado, sugerimos a

leitura do trabalho original de Eno, em [6].

Quanto a premiao, Eno viajou a Varsvia e recebeu o ganso das mos do prprio Mazur,

o qual foi feito em um jantar naquele mesmo dia.

Voltando matemtica, um resultado mais fraco, porm bastante importante, verdadeiro:

Todo espao de Banach de dimenso innita contm um subespao de dimenso innita com

base de Schauder.

27

28

Neste captulo, o principal resultado a ser provado o princpio de seleo de Bessaga-

Pelczynski e, como uma das aplicaes do princpio de seleo, provaremos o resultado enunciado

acima. Faremos tambm, neste captulo, um estudo sobre bases incondicionais e sequncias

bsicas incondicionais. Comeamos com o conceito de sequncia bsica.

Denio 3.0.24. Uma sequncia (xn)n=1 em E dita sequncia bsica quando (xn)

n=1 base

de Schauder de span {xn;n N}, onde span A denota o espao gerado por A.

Note que o Corolrio 2.2.23 pode ser reescrito da seguinte forma:

"Se (xn, xn)n=1 um sistema biortogonal no espao de Banach E e sup

nNPn < , ento

(xn)n=1 uma sequncia bsica em E."

O resultado a seguir nos d uma caracterizao til na deciso de que uma sequncia num

espao de Banach ou no bsica.

Teorema 3.0.25. (Critrio de Banach-Grunblum) Seja E um espao de Banach e (xn)n=1 uma

sequncia de vetores no-nulos em E. Ento (xn)n=1 uma sequncia bsica se, e somente se,

existe M > 0 tal que se n m, entomj=1

ajxj

M

nj=1

ajxj

,para qualquer sequncia de escalares (an)

n=1.

Demonstrao: Para a implicao direta, suponha que (xn)n=1 uma sequncia bsica em E.

Assim, (xn)n=1 base de Schauder de span {xn;n N}. Considerando (xn)n=1 como a sequn-cia dos funcionais coecientes de (xn)

n=1, segue que (xn, x

n)n=1 um sistema biortogonal em

span {xn;n N}. Logo, segue do Teorema 2.2.22(b) que a sequncia (Pn(x))n=1 converge emspan {xn;n N}, qualquer que seja x span {xn;n N}, onde (Pn)n=1 so as projees can-nicas de ((xn, x

n))n=1. Pelo mesmo resultado (agora usando (d)) segue queM := sup

nNPn

29

Agora vejamos a recproca. Seja F = span {xn;n N}. Devemos mostrar que (xn)n=1 basede Schauder de F = span {xn;n N} E (aqui estamos considerando F e F com a normainduzida de E). Vejamos primeiro que {xn;n N} linearmente independente. Para isso,sejam n N e uma sequncia (ai)i=1 de escalares qualquer com

ni=1

aixi = 0. Para m = 1 vale

0 a1x1 M

nj=1

ajxj

= 0e, consequentemente, a1 = 0, pois x1 6= 0. Para m = 2 segue que

0 a2x2 = a1x1 + a2x2 M

nj=1

ajxj

= 0,donde obtm-se a2 = 0. Continuando com esse procedimento at m = n obtm-se an = =a1 = 0. Portanto {xn;n N} linearmente independente.Agora vejamos que cada x span {xn;n N} escrito de maneira nica como x =

n=1

anxn.

Considere, para cada n N, o funcional linear xn : F K e a transformao linear Tn dadospor:

xn

(kj=1

ajxj

)= an e Tn

(kj=1

ajxj

)=

nj=1

ajxj,

se n k e

xn

(kj=1

ajxj

)= 0 e Tn

(kj=1

ajxj

)=

nj=1

ajxj,

se n > k, onde ak+1 = = an = 0.

Assim, segue da hiptese que se n k, entoTn

(kj=1

ajxj

) =

nj=1

ajxj

M

kj=1

ajxj

.e se n > k, ento Tn

(kj=1

ajxj

) =

kj=1

ajxj

.Pelas duas relaes acima, concluimos que

Tn = supx1

Tn(x) supx1

max{Mx, x} = max{M, 1}.

Chamando C = max{M, 1}, segue que Tn C, ou seja, cada Tn contnua.

30

Note que se n k, ento para todo x F, x =ni=1

aixi, temos

|xn(x)|xn = |an|xn =

ni=1

aixi n1i=1

aixi

ni=1

aixi

+n1i=1

aixi

2M

ni=1

aixi

= 2Mx.

Logo

|xn(x)| 2M

xnx,

garantindo assim que xn tambm contnua. E como os contradomnios K de xn e F de Tnso espaos de Banach e F denso em F , da Proposio 1.0.20 segue que, para cada n existem

nicas extenses lineares e contnuas fn e Rn de xn e Tn, respectivamente, tais que xn = fne Tn = Rn.Agora fcil ver que, como

Tn(z) =ni=1

xi (z)xi,

para todo z F , ento segue da unicidade das extenses que

Rn(x) =ni=1

fi(x)xi,

para todo x F .E agora dados x F e > 0, como F denso em F , existe y =

mi=1

ajxj span {xn;n N}tal que

x y < 1 + Tn .

Assim, para todo n > m, temos

xRn(x) = x y + y Rn(y) +Rn(y)Rn(x) x y+ y Rn(y)+ Rn(y)Rn(x) x y+ y y+ Rnx y (1 + Rn)x y< (1 + Rn)

1 + Tn= (1 + Tn)

1 + Tn = ,

e, portanto,

x = limn

Rn(x) = limn

ni=1

fi(x)xi =i=1

fi(x)xi. (3.1)

31

Resta agora vericar que a representao de x acima nica. Para isto, suciente mostrar

que

i=1

aixi ai = 0,

para todo i N. Para > 0, segue que existe n0 N tal quenj=1

ajxj

< ,para todo n n0. Pela desigualdade da hiptese conlumos que

mj=1

ajxj

M,para todo m N. Assim,

|am|xm =

mj=1

ajxj m1j=1

ajxj

< 2M,para todo m N. Como > 0 foi escolhido arbitrariamente, segue que am = 0 para todom N.

Corolrio 3.0.26. A menor constante que satisfaz a desigualdade do critrio de Banach-

Grunblum a constante da base

K(xn)n=1 = supnNPn,

conforme introduzida na Denio 2.2.17. Alm disso, K(xn)n=1 1.

Demonstrao: Se M uma constante que satisfaz a desigualdade do critrio de Banach-

Grunblum e x =j=1

ajxj {xn;n N}, ento para m n temos

Pn (x) =Pn

( j=1

ajxj

) =

nj=1

ajxj

M

mj=1

ajxj

e da

Pn (x) M limm

mj=1

ajxj

Mj=1

ajxj

=M x .Logo Pn M, para todo n N e assim sup

nNPn M. A desigualdade K(xn)n=1 1 segueda Observao 2.2.13.

Uma questo natural se todo subconjunto linearmente independente e enumervel de um

espao de Banach uma sequncia bsica. O exemplo a seguir mostra que no.

32

Exemplo 3.0.27. Em `p, 1 p 0, existe n0 N tal que |xn 0| < sempre que n n0. Assim,para m > n n0 temos

sm sn =

mj=n+1

jxjej

= (0, . . . , 0, n+1xn+1, . . . , mxm, 0, 0 . . .)

= max{|xn+1|, . . . , |xm|} < .

Ou seja, (sn)n=1 uma sequncia de Cauchy no espao de Banach c0, logo convergente.

Assim (xnen)n=1 sinal somvel e pelo Teorema 2.1.4(d) podemos concluir que (en)

n=1 base

incondicional de c0.

Agora para (xn)n=1 `p dena Sn =

nj=1

jxjej, n N e n = 1. Comon=1

|xn|p converge,

ento dado > 0 existe n0 N tal que para todo m > n n0 temosmj=n

|xj|p < p. Da,

Sm Snpp =

mj=n+1

jxjej

p

p

= (0, . . . , 0, n+1xn+1, . . . , mxm, 0, 0 . . .)pp

=m

j=n+1

|xj|p < p,

para todo m > n n0. Portanto (Sn)n=1 uma sequncia de Cauchy no espao de Banach `p,logo converge. Assim (xnen)

n=1 sinal somvel e pelo Teorema 2.1.4(d) podemos concluir que

(en)n=1 base incondicional de `p.

Proposio 3.1.3. Seja T : E F um isomorsmo entre os espaos de Banach E e F .

33

(a) Se (xn)n=1 base de Schauder de E, ento (T (xn))

n=1 base de Schauder de F ;

(b) Se (xn)n=1 base incondicional de E, ento (T (xn))

n=1 base incondicional de F .

Demonstrao:

(a) Para y F , como T1(y) E, existem nicos escalares (an)n=1 tais que T1(y) =n=1

anxn e como T bijeo temos que y = T

( n=1

anxn

). Devido a T ser uma aplicao

linear e contnua, temos que

y = T

( n=1

anxn

)= T

(limn

nj=1

ajxj

)= lim

nT

(nj=1

ajxj

)=

= limn

nj=1

ajT (xj) =n=1

anT (xn).

Portanto, y =n=1

anT (xn) F. Vejamos que tal representao nica, o que nos levara concluir que T (xn)

n=1 base de Schauder de F . Para isso suponha que exista uma

sequncia de escalares (bn)n=1 tais que y =

n=1

bnT (xn). Um argumento anlogo ao que

foi feito, mostra que T1(y) =n=1

bnxn, e como (xn)n=1 base de Schauder de E, isso

contraria a unicidade dos escalares (an)n=1.

(b) Devemos vericar que

n=1

anT (xn) converge incondicionalmente. Para isso, considere

: N N uma bijeo qualquer e em F dena a sequncia sn =nj=1

ajT (x(j)). Como

n=1

anxn converge incondicionalmente em E, segue que para > 0, existe n0 N tal quese m > n n0, ento

mj=n+1

ajx(j)

< T .Assim,

sm sn =

mj=1

ajT (x(j))nj=1

ajT (x(j))

=

mj=n+1

ajT (x(j))

=

T(

mj=n+1

ajx(j)

) T

mj=n+1

ajx(j)

< ,sempre que m > n n0, e isto implica que (sn)n=1 de Cauchy no espao de Banach F .Portanto

n=1

anT (x(n)) convergente em F .

34

Denio 3.1.4. Uma sequncia (xn)n=1 em um espao de Banach E uma sequncia bsica

incondicional se ela for base incondicional de span {xn;n N}.O resultado a seguir uma importante caracterizao para sequncias bsicas incondicionais.

Este resultado nos traz uma lembrana do critrio de Banach-Grunblum que trata de sequncias

bsicas. Entretanto no critrio de Banach-Grunblum as desigualdades so feitas via somas

nitas e no resultado a seguir so feitas por meio de somas innitas.

Teorema 3.1.5. Seja (xn)n=1 uma sequncia no espao de Banach E. As seguintes armaes

so equivalentes:

(a) (xn)n=1 uma sequncia bsica incondicional;

(b) Existe uma constante L tal que, se

n=1

anxn converge, ento, para qualquer subconjunto

N N, temos nN

anxn

Ln=1

anxn

;(c) Existe uma constante K tal que se

n=1

anxn converge, ento para quaisquer sinais n = 1,temos

n=1

nanxn

Kn=1

anxn

.Demonstrao: (a)(b): Sejam n N e X = span {xn;n N}. Para N N denaPN : X E X por PN

( n=1

anxn

)=nN

anxn. Note que PN est bem denido, pois

a convergncia incondicional de

n=1

anxn juntamente com o Teorema 2.1.4 (c) implicam na

convergncia de

nN

anxn. Claramente PN linear e a continuidade seguir do Teorema do

Grco Fechado, bastando para isso mostrar que o grco

G(PN) =

{(x, PN(x)) ;x =

n=1

anxn X} fechado em X X. Seja ento ((zn, yn))n=1 uma sequncia convergente em Gr(PN), isto, existe (x, y) X X tal que (zn, yn) (x, y). Como ((zn, yn))n=1 Gr(PN), entoyn = PN(zn). Devemos mostrar que (x, y) Gr(PN), ou seja, y = PN(x).Para isso considere

zk =n=1

aknxn, x =n=1

anxn, yk = PN(zk) =nN

aknxn e y =n=1

bnxn.

35

Note que a continuidade dos funcionais coecientes xn garante que

limk

akn = limk

xn

( n=1

aknxn

)= xn

(limk

n=1

aknxn

)= xn

( n=1

anxn

)= an,

para todo n N. Ou seja,limk

akn = an,

para todo n N. Da mesma forma obtm-se

limk

akn = bn,

para todo n N e bn = 0 se n / N, pois nesse caso a sequncia nula converge para bn. Logo,an = bn, para todo n N e bn = 0 para todo n / N e, consequentemente,

PN(x) =nN

anxn =nN

bnxn = y.

Portanto, Gr(PN) fechado em X X, implicando assim que PN contnua.Agora, para cada x =

n=1

anxn X xo, como (anxn)n=1 incondicionalmente somvel,

segue do Teorema 2.1.4(e) que o operador T : ` X dado por T ((n)n=1) =n=1

nanxn

contnuo. Assim, existe Lx > 0 tal quen=1

nanxn

= T ((n)n=1) Lx(n)n=1.Para cada N N dena a sequncia (n)n=1 ` por n = 1, se n N, e n = 0, casocontrrio. Assim,

PN(x) =nN

anxn

=n=1

nanxn

Lx(n)n=1 = Lxe, portanto,

supNNPN(x) Lx.

Pelo Teorema da Banach-Steinhaus, existe L > 0 tal que

supNNPN L.

Portanto, para todo N N segue que

PN(x) Lx,

donde resulta nN

anxn

Ln=1

anxn

.

36

(b)(c) Sejam N N e n {1, 1}, para todo n N. Por hiptese, temosnN

anxn

Ln=1

anxn

0 tal que

mj=1

ajxj

M

nj=1

ajxj

, sempre que n m. SejaN N e dena n = 1, se n N , e n = 1, se n / N. Da

j=1

nanxn =nN

anxn n/N

anxn en=1

anxn =nN

anxn +n/N

anxn

e, consequentemente,

n=1

nanxn +n=1

anxn = 2nN

anxn.

Logo, nN

anxn

= 12n=1

nanxn +n=1

anxn

1

2

n=1

nanxn

+ 12n=1

anxn

K

2

n=1

anxn

+ 12n=1

anxn

=K + 1

2

n=1

anxn

.

37

Portanto, para M =k + 1

2, obtemos

nNanxn

Mn=1

anxn

,qualquer que seja N N.Assim, para m,n N, m > n, e considerando N = {1, . . . , n} e aj = 0 para j {m +

1,m+ 2, . . .}, temos nN

anxn

Mn=1

anxn

=M

mn=1

anxn

,ou seja,

nj=1

ajxj

M

mj=1

ajxj

.Agora o resultado segue do critrio de Banach-Grunblum.

3.2 Dois problemas importantes envolvendo sequncias b-

sicas em espaos de Banach

At o momento, estudamos caracterizaes para decidir se uma sequncia num espao

de Banach ou no sequncia bsica ou, se ou no sequncia bsica incondicional. Vimos

tambm que nem todo subconjunto linearmente independente e enumervel de um espao de

Banach uma sequncia bsica. Entretanto, duas perguntas fundamentais ainda esto sem

resposta:

1. Sempre existe sequncia bsica num dado espao de Banach?

2. Sempre existe sequncia bsica incondicional num dado espao de Banach?

Veremos que a resposta para a primeira pergunta sim e a resposta para a segunda no.

A prova de que todo espao de Banach de dimenso innita tem sequncia bsica ser feita

no prximo captulo, como aplicao do princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski. Antes

disso, faremos um breve estudo a respeito da segunda pergunta.

3.2.1 O problema da base incondicional

Conforme dissemos anteriormente, a pergunta 1 respondida de maneira positiva. Mais preci-

samente, o Teorema de Banach-Mazur diz que todo espao de Banach com dimenso innita

contm um subespao fechado com dimenso tambm innita que tem base de Schauder (este

resultado ser provado adiante). Assim, surge um questionamento natural, que conhecido

como o problema da base incondicional:

38

" verdade que todo espao de Banach com dimenso innita contm um subespao fechado

de dimenso innita que possui base incondicional?

A soluo desse problema foi dada em sua negativa, nos trabalhos de W. T. Gowers e B.

Maurey. Eles resolveram este problema, juntamente com a soluo de um outro importante

problema proposto por Banach em seu livro [1] de 1932, que conhecido como o problema do

espao homogneo. A soluo desses problemas garantiram a Gowers uma medalha Fields em

1998.

Em [2], G. Botelho e D. Pellegrino zeram um timo artigo de divulgao, contando um

pouco mais sobre os problemas da base incondicional e do espao homogneo.

Para um melhor entendimento da soluo desse problema, precisaremos de algumas deni-

es:

Denio 3.2.1. Dizemos que um espao de Banach E soma direta topolgica de E1 e E2 e

escrevemos E = E1 E2, se E1 e E2 so subespaos fechados de E tais que E1 E2 = {0} eE = E1 + E2.

No trabalho [13] de 1970, J. Lindenstrauss questionou se era possvel decompor qualquer

espao de Banach de dimenso innita como soma direta topolgica de dois subespaos de

dimenso innita. Em 1991, Gowers e Maurey construram, independentemente, espaos que

resolveram a questo proposta por Lindenstrauss. Como os espaos construdos por Gowers e

Maurey eram essencialmente os mesmos, eles publicaram, em 1993, o artigo [8] onde introduzi-

ram o conceito de espao hereditariamente indecomponvel e construram o primeiro exemplo

de espao hereditariamente indecomponvel , que cou conhecido por espao XGM (ou simples-

mente espao GM). Em particular, o espao GM alm de resolver o problema de Lindenstrauss,

tambm resolve o problema da base incondicional.

Denio 3.2.2. Um espao de Banach E de dimenso innita dito hereditariamente inde-

componvel se nenhum subespao de E soma direta topolgica de dois subespaos de dimenso

innita.

O primeiro exemplo dado de espao hereditariamente indecomponvel o espao GM. Sua

construo extremamente difcil e tcnica, alm de utilizar ferramentas que no so tratadas

nessa dissertao. Por isso, omitiremos a construo do espao GM e admitiremos apenas a

existncia de espaos hereditariamente indecomponveis.

Agora, com as ferramentas em mos, provar que os espaos hereditariamente indecompo-

nveis no possuem sequncia bsica incondicional simples. O trabalho rduo de criar as

ferramentas cou para Gowers e Maurey.

Teorema 3.2.3. Espaos de Banach hereditariamente indecomponveis no possuem subespaos

fechados e de dimenso innita com base incondicional.

39

Demonstrao: Sejam E um espao de Banach hereditariamente indecomponvel e F um

subespao fechado de dimenso innita. Suponhamos, por absurdo, que (xn)n=1 seja base

incondicional de F . Considere F1 e F2 subespaos fechados de F dados por

F1 = span{x1, x3, x5, . . .} e F2 = span{x2, x4, x6, . . .}.

Como {xn;n N} linearmente indenpendente, segue que {x1, x3, x5, . . .} e {x2, x4, x6, . . .}tambm so. Logo F1 e F2 so subespaos fechados (por denio) e de dimenso innita.

Vejamos que F = F1 + F2. Para x F , temos x =n=1

anxn, onde (an)n K, com estaconvergncia sendo incondicional. Como toda srie incondicionalmente convergente subsrie

convergente segue que

y =n=1

a2n1x2n1 e z =n=1

a2nx2n

so convergentes e y F1 e z F2. Alm disso,n=1

anxn =n=1

a2n1x2n1 +n=1

a2nx2n,

ou seja, x = y+z F1+F2. Logo, F F1+F2. De maneira similar, prova-se que F1+F2 F .Portanto, F = F1 + F2. Vejamos agora que F1 F2 = {0}. Seja

x =n=1

anxn F1 F2.

Pela unicidade de representao de x em relao a base (xn)n=1 e pelo fato de x F1, segueque a2n = 0, para todo n N. Da mesma forma, como x F2, segue que a2n1 = 0, para todon N. Logo, x = 0, ou seja, F1 F2 = {0}. Portanto, F = F1 F2 e isto um absurdo j queE hereditariamente indecomponvel.

3.2.2 O Princpio de Seleo de Bessaga-Pelczynski

O princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski, um resultado bastante importante da

Teoria dos espaos de Banach e, como j dissemos, provaremos a partir dele que todo espao de

Banach possui sequncia bsica. Como provaremos tambm outras aplicaes de tal princpio,

deixaremos todas essas aplicaes para o prximo captulo. Comearemos com os pr-requisitos

para a demonstrao do princpio de seleo.

Denio 3.2.4. Um subconjunto N do dual E de um espao de Banach E dito normante

para E se

x = sup{|(x)| : N, 1}para todo x E.

40

Observao 3.2.5. Todo conjunto N E normante para E separa os pontos de E, ou seja,para todos x, y E, x 6= y existe N tal que (x) 6= (y). De fato, como N normantepara E, segue que

x = sup{|(x)| : N, 1}para todo x E. Para y 6= x, segue que

0 6= x y = sup{|(x y)| : N, 1}.

Portanto, existe N tal que |(x y)| 6= 0, garantindo que (x) 6= (y).

Lema 3.2.6. Sejam N um conjunto normante para o espao de Banach E e a sequncia

(xn)n=1 E tal que inf xn > 0 e limn (xn) = 0, para todo N . Ento para cada

0 < < 1, cada inteiro positivo k e cada subespao de dimenso innita F de E, existe um

inteiro n k tal quey + axn (1 )ypara todos y F e a K.

Demonstrao: O resultado ser provado primeiramente com o enunciado valendo para veto-

res unitrios v F . Depois faremos o caso y F arbitrrio. Faamos por absurdo. Suponhaque no vale a tese, ou seja, existem 0 < < 1, k N e F subespao de dimenso nita de Etais que, para todo n k existem an K e vn F unitrio tais que

vn + anxn < (1 ) vn = 1 .

Assim, temos sequncias (vn)n=k F e (an)n=k K, satisfazendo a desigualdade acima, sempreque n k.Como F tem dimenso nita e (vn)

n=k limitada, segue que existe uma subsequncia(

vnj)j=1de (vn)

n=k tal que vnj v0 F e, claro, que v0 tambm unitrio. Note que, paratodo nj k, temos

|anj |xnj = anjxnj vnj + anjxnj+ vnj< (1 ) + 1 = 2 .

Logo,

|anj | 1 . Mas, para todo nj k, temos

1 > vnj + anjxnj = supBE

(vnj + anjxnj) 0 (vnj + anjxnj) .Logo

1 limj

0 (vnj + anjxnj) = (v0) > 1 o que um absurdo. Portanto, o resultado est provado para v F unitrio.Vejamos agora o caso arbitrrio de y F . Se y = 0 a desigualdade bvia. Agora, seja

y F, y 6= 0. Tomando v = yy (o qual unitrio) e a K, segue do caso j provado que

y + axny =

v + ayxn (1 ) v = 1 ,ou seja,

y + axn (1 ) y.

Para a demonstrao do prximo teorema precisamos de um resultado sobre produtos inni-

tos, o qual enunciamos na forma de lema.

Denio 3.2.7. Seja (an)n=1 uma sequncia de nmeros reais. Denimos o produto innito

n=1

an = a1 a2 a3 . . .

como sendo o limite da sequncia (pn)n=1 dos produtos parciais, isto ,

pn = a1 . . . an,

para cada n N.

Lema 3.2.8. Se (an)n=1 uma sequncia de nmeros reais, com 0 < an < 1, ento

n=1

(1 an) converge se, e somente se,n=1

an converge.

Demonstrao: Ver [10, Theorem 7, p. 96].

Teorema 3.2.9. Sejam E um espao de Banach, N E normante para E e (xn)n=1 umasequncia em E tal que inf xn > 0 e lim

n(xn) = 0, para todo N . Ento (xn)n=1 contmuma subsequncia bsica (xnk)

k=1 com xn1 = x1.

Demonstrao: Devido ao Lema 3.2.6 se tomarmos n1 = 1, F1 = span {xn1} e 1 > 0 temosque existe n2 > n1 tal que para a1xn1 F1 e a1, a2 K temos

a1xn1 + a2xn2 (1 1)a1xn1.

42

Procedendo indutivamente obtemos n1 < n2 < < nk tais que, para quaisquer a1, . . . , ak K,vale

a1xn1 + + akxnk (1 k1)a1xn1 + + ak1xnk1 .Ento tomando Fk = span {xn1 , . . . , xnk} e k > 0, temosa1xn1 + + ak+1xnk+1 (1 k) a1xn1 + + akxnk .Assim por diante, construmos uma subsequncia (xnk)

k=1, a qual vamos mostrar ser uma

sequncia bsica. De fato, para a1, . . . , ak+m K, onde k,m N, temosk+mj=1

ajxnj

(1 k+m1)k+m1j=1

ajxnj

(1 k+m1)(1 k+m2)k+m2j=1

ajxnj

(1 k+m1) (1 k)

kj=1

ajxnj

n=1

(1 k)

kj=1

ajxnj

.Portanto,

kj=1

ajxnj

Lk+mj=1

ajxnj

,onde

L =

( n=1

(1 k))1

,

e da, segue do critrio de Banach-Grunblum que a sequncia (xnk)k=1 bsica.

Agora, introduziremos o conceito de sequncia de blocos bsica e provaremos alguns resul-

tados envolvendo tal conceito, j que o mesmo aparecer no Princpio de Seleo de Bessaga-

Pelczysnki.

Denio 3.2.10. Seja (xn)n=1 uma base de Schauder de um espao de Banach E e (kn)

n=0 Numa sequncia estritamente crescente, com k0 = 0. Uma sequncia (yn)

n=1 E de vetoresno-nulos dita uma sequncia de blocos bsica relativa (xn)

n=1 , se

yn =kn

j=kn1+1

bjxj,

com cada bj K.

O prximo resultado essencialmente uma rpida consequncia do critrio de Banach-

Grunblum. Ele garante que toda sequncia de blocos bsica tambm uma sequncia bsica.

Proposio 3.2.11. Se (xn)n=1 base de Schauder do espao de Banach E e (yn)

n=1 uma

sequncia de blocos bsica relativa a (xn)n=1, ento (yn)

n=1 sequncia bsica em E e K(yn)n=1

K(xn)n=1.

43

Demonstrao: Digamos que (yn)n=1 dada por

yn =kn

j=kn1+1

bjxj,

onde bj K, para todo n N. Assim, para p, q Z+, segue do critrio de Banach-Grunblumque

pn=1

anyn

=

pn=1

an

knj=kn1+1

bjxj

=k1j=1

a1bjxj +

k2j=k1+1

a2bjxj + +kp

j=kp1+1

apbjxj

K(xn)n=1

k1j=1

a1bjxj + +kp

j=kp1+1

apbjxj + +kp+q

j=kp+q1+1

ap+qbjxj

= K(xn)n=1

p+qn=1

an

knj=kn1+1

bjxj

= K(xn)n=1p+qn=1

anyn

.Novamente aplicando o critrio de Banach-Grunblum, segue que (yn)

n=1 uma sequncia bsica

e, do Corolrio 3.0.26, segue que K(yn)n=1 K(xn)n=1 .

O prximo teorema devido a Bessaga e Pelczynski e tambm faz-se necessrio para a

demonstrao do princpio de seleo. Para a demonstrao deste teorema precisamos da

seguinte proposio.

Proposio 3.2.12. Sejam E um espao de Banach e T L(E,E), T < 1. Ento existe ainversa de I T , a qual contnua e dada por

(I T )1 =j=0

T j.

Aqui I denota a identidade em E, T 0 = I e T j = T T composto j-vezes, j N.

Demonstrao: Essa demonstrao simples e usual em Anlise Funcional, por isso no a

faremos. Para a prova veja [3, Proposio 7.1.3].

Teorema 3.2.13. Sejam (xn)n=1 uma sequncia bsica no espao de Banach E e (x

n)n=1 seus

funcionais coecientes. Se (yn)n=1 E tal que

n=1

xn yn xn < 1,

ento (yn)n=1 uma sequncia bsica equivalente a (xn)

n=1. Alm disso, se (xn)

n=1 base de

Schauder de E, ento (yn)n=1 tambm base de Schauder de E.

Demonstrao: Chame

=n=1

xn yn xn.

44

Dada a sequncia de escalares (an)n=1, como

ni=1

ai(xi yi) =

ni=1

xi

(nj=1

ajxj

)(xi yi)

ni=1

xi(

nj=1

ajxj

)(xi yi)

=

ni=1

xi(

nj=1

ajxj

) xi yi ni=1

xi

nj=1

ajxj

xi yi=

ni=1

xi yixi

nj=1

ajxj

=

ni=1

aixi

,ento

ni=1

aixi

ni=1

aiyi

ni=1

ai (xi yi)

ni=1

aixi

e dessa desigualdade segue que

(1 )

ni=1

aixi

ni=1

aiyi

(1 + )

ni=1

aixi

, (3.2)qualquer que seja n N. Como (xn)n=1 sequncia bsica, segue do critrio de Banach-Grunblum e da desigualdade acima que existem uma constante M 1 tal que, se m N em n, ento

ni=1

aiyi

(1 + )

ni=1

aixi

M (1 + )

mi=1

aixi

M (1 + )

1

mi=1

aiyi

.Novamente do critrio de Banach-Grunblum, segue que (yn)

n=1 uma sequncia bsica.

Agora, utilizando a desigualdade (3.2) juntamente com o critrio de Cauchy para sries, segue

diretamente que

n=1

xn converge se, e somente se,

n=1

anyn converge. Portanto, (xn)n=1

equivalente a (yn)n=1.

Finalmente vejamos que se (xn)n=1 base de Schauder de E, ento (yn)

n=1 tambm base de

Schauder de E. Dena o operador T : E E por

T (x) =n=1

xn(x)(xn yn),

para todo x E. Como E Banach, para garantir que T est bem denida, basta mostrarque para todo x E a srie

n=1

xn(x)(xnyn) converge absolutamente. Para x E, temos quen=1

xn(x)(xn yn)

n=1

xn x (xn yn) = x

45

Note que a desigualdade acima tambm garante que T contnua com T < 1. Entopela Proposio 3.2.12 segue que a aplicao (I T ) invertvel (em particular, isomorsmo).Por m,

(I T ) (xn) = I(xn) T (xn) = xn j=1

xj(xn)(xj yj)

= xn j=1

(xj(xn)xj xj(xn)yj

)= xn

j=1

xj(xn)xj +j=1

xj(xn)yj

= xn xn + yn = yn,

para todo n N. Portanto, segue da Proposio 3.1.3 que (yn)n=1 base de Schauder de E.

Agora temos todas as ferramentas necessrias para provar o princpio de seleo.

Teorema 3.2.14 (Princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski). Sejam (xn)n=1 uma base de

Schauder de um espao de Banach E e (xn)n=1 a sequncia de seus funcionais coecientes. Se

(yn)n=1 uma sequncia em E tal que

infnNyn > 0 e lim

nxi (yn) = 0,

para todo i N, ento (yn)n=1 contm uma subsequncia bsica equivalente a uma sequnciade blocos bsica relativa a (xn)

n=1.

Demonstrao: Primeiramente, note que como limn

xi (yn) = 0 para todo i N, ento

limn

xi (yn)xi = 0, para todo i N. Consequentemente limn

ki=1

xi (yn)xi = 0, qualquer que

seja k N. Considere = infnNyn > 0, n1 = 1 e escolha m1 N satisfazendo(4K(xn)n=1

)

i=m1+1

xi (yn1)xi

123e n2 > n1 satisfazendo (

4K(xn)n=1

)m1i=1

xi (yn2)xi

123 .Tome agora m2 > m1 e n3 > n2 tais que(

4K(xn)n=1

)

i=m2+1

xi (yn2)xi

124 e(4K(xn)n=1

)m2i=1

xi (yn3)xi

124 .Continuando com esse processo, obtemos sequncias crescentes (nk)

k=1 e (mk)

k=1 de nmeros

naturais satisfazendo(4K(xn)n=1

)

i=mk+1

xi (ynk)xi

12k+2 e(4K(xn)n=1

)mki=1

xi(ynk+1

)xi

12k+2 .

46

Assim, se para cada k N, denirmos

zk =

mk+1i=mk+1

xi (ynk+1)xi,

ento

ynk+1 =

mki=1

xi (ynk+1)xi + zk +

i=mk+1+1

xi (ynk+1)xi

e

ynk+1 mki=1

xi (ynk+1)xi

+ zk+

i=mk+1+1

xi (ynk+1)xi

.Logo,

zk ynk+1 mki=1

xi (ynk+1)xi

i=mk+1+1

xi (ynk+1)xi

4K(xn)n=12k+2

4K(xn)n=12k+3

K(xn)n=12

k+4 K(xn)n=12

k+5

2,

sendo que a penltima desigualdade segue do fato que K(xn)n=1 1.Assim, conclumos que zk 6= 0, para todo k N e, portanto, segue da denio que (zk)k=1 uma sequncia de blocos bsica relativa a (xn)

n=1. Alm disso, da Proposio 3.2.11, segue

que (zk)k=1 uma sequncia bsica.

Resta mostrar que as sequncias (yk)k=1 e (zk)

k=1 so equivalentes. Para isso consideremos

(zk)k=1 os funcionais coecientes de (zk)

k=1. Aplicando o Teorema 2.2.18 juntamente com a

Proposio 3.2.11, segue diretamente que

1 zkzk 2K(zk)k=1 2K(xn)n=1 ,

e como zk 2, segue que

zk 2K(xn)n=1zk

4K(xn)n=1

,

47

para todo k K. Assim,k=1

zkzk ynk+1 k=1

4K(xn)n=1

zk ynk+1

=k=1

4K(xn)n=1

mki=1

xi (ynk+1)xi +

i=mk+1+1

xi (ynk+1)xi

k=1

4K(xn)n=1

mki=1

xi (ynk+1)xi

+

i=mk+1+1

xi (ynk+1)xi

k=1

4K(xn)n=1

(

4K(xn)n=12k+2

+

4K(xn)n=12k+3

)=k=1

(1

2k+2+

1

2k+3

) 0 e yn w 0. Ento (yn)n=1 admite uma subsequncia bsica.

Demonstrao: Pela Proposio 1.0.9, temos que Y = span {yn;n N}, um subespaoseparvel de E e, pelo Teorema 1.0.14, temos que Y isometricamente isomorfo a algum

subespao de C[0, 1], ou seja, existe um isomorsmo isomtrico T : Y C[0, 1]. Do fato de Tser isometria, segue que

infnNT (yn) = inf

nNyn > 0. (3.3)Considere uma base de Schauder (xn)

n=1 em C[0, 1] (por exemplo, a base de Faber-Schauder

denida no Exemplo 2.2.6) e denote por (xn)n=1 a sequncia dos funcionais coecientes. Como

ynw 0, segue da Proposio 1.0.26 que T (yn) w 0. Portanto, para todo k N

limn

xk (T (yn)) = 0. (3.4)

Logo, segue do princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski que (T (yn))n=1 tem uma subsequn-

cia (T (ynk))k=1 que sequncia bsica. Como a inversa T

1de T tambm isomorsmo

isomtrico, segue da Proposio 3.1.3 que (ynk)k=1 =

(T1 (T (ynk))

)k=1 sequncia bsica.

CAPTULO 4

Aplicaes do princpio de seleo de

Bessaga-Pelczynski

4.1 Existncia de sequncias bsicas

Agora estamos aptos a responder a pergunta 1 do captulo anterior.

Teorema 4.1.1. Todo espao de Banach de dimenso innita contm um subespao de dimen-

so innita com base de Schauder.

Demonstrao: Pelo fato de E ter dimenso innita, segue que E contm um subconjunto A

enumervel e innito que linearmente independente. Assim spanA um subespao separvel

de E com dimenso innita. Logo, basta mostrar o teorema para subespaos separveis.

Partindo do mesmo argumento (via Teorema 1.0.14) usado na demonstrao do Corolrio

3.2.15, podemos supor, sem perda de generalidade, que E um subespao de dimenso innita

de C[0, 1]. Denote ento por (xn)n=1 uma base de Schauder de C[0, 1] e por (x

n)n=1 os seus

funcionais coecientes.

Para cada k N, dena

Nk = {x E;x1(x) = x2(x) = xk(x) = 0} .

claro que

Nk =kj=1

(ker(xj) E).Como kerxk = x

1k ({0}) fechado em C[0, 1] (pois a imagem inversa do conjunto fechado

{0}), segue que ker (xk) E fechado em E e, consequentemente, Nk tambm fechado emE, para cada k N. Claramente Nk subespao de E e, alm disso, imediato ver que Nk o ncleo do operador Tk : E Kk dado por Tk(x) = (x1(x), . . . , xk(x)). Como a imagem

48

49

TK(E) Kk tem dimenso menor ou igual a k, segue que o ncleo Nk de Tk tem dimensoininita, para todo k K.Da igualdade Nk =

kj=1

(ker(xj) E) claro queN1 N2 Nk .

Vejamos que a sequncia (Nk)k=1 nunca ca estacionria (constante a partir de algum ndice k).

Suponha, por absurdo, que (Nk)k=1 que estacionria. Ento existe n0 N tal que Nj = Nn0 ,para todo j n0 e vejamos que, nesse caso, Nn0 = {0}, o que um absurdo j que dimNn0 =.Seja x Nn0 , ento

x1(x) = = xn0(x) = 0.Como, para todo j n0, temos Nj = Nn0 , segue que x Nj e da xj(x) = 0 para todo j n0.Logo xj(x) = 0, para todo j N e segue da unicidade da representao x =

j=1

xj(x)xj, que

x = 0. Portanto a sequncia (Nk)k=1 nunca car estacionria e, consequentemente, existem

innitos ndices j1 < j2 < tais que as incluses

Nj1 Nj2 Nj3

so todas estritas. Por m, para cada k N, tome zk Njk Njk+1 e dena

yk =zkzk .

Assim, obtemos uma sequncia (yk)k=1 de vetores unitrios e distintos e tais que yk Njk

Njk+1 , para todo k N. Alm disso, para n, k N, com n k, temos jk jn n e, portanto,

yk Njk Njn Nn.

Logo xn(yk) = 0, para todo k n e fazendo k segue que xn(yk) 0, qualquer que sejan N. Como estamos nas hipteses do princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski, ento existeuma subsequncia bsica

(ykj)j=1de (yk)

k=1. Portanto

[ykj ; j N

] um subespao fechado de

E e com dimenso innita que possui base de Schauder.

4.2 O Teorema de Pitt

Nossa prxima aplicao do princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski o Teorema de Pitt

para operadores compactos entre espaos de sequncias somveis. Comeamos com alguns

pr-requisitos.

Denio 4.2.1. Dizemos que uma sequncia (yn)n=1, num espao de Banach E, uma sequn-

cia normalizada se yn = 1, para todo n N. Se, alm disso, (yn)n=1 for base de Schauder deE, dizemos que (yn)

n=1 uma base de Schauder normalizada.

50

Observao 4.2.2. Se o espao de Banach E possui base de Schauder, ento sempre possvel

obter uma base de Schauder normalizada. De fato, basta notar que se (xn)n=1 uma base de

Schauder de E e (an)n=1 uma sequncia de escalares no nulos, ento (anxn)

n=1 tambm base

de Schauder de E. Agora, basta tomar an =1

xn , para cada n N.

Proposio 4.2.3. Seja E igual a c0 ou `p, 1 p < +. Se (yn)n=1 uma sequncia deblocos bsica normalizada relativa a base de Schauder cannica (en)

n=1 de E. Ento

(i) (yn)n=1 equivalente a (en)

n=1;

(ii) span {yn} isometricamente isomorfo a E;

Demonstrao: Faamos o caso de `p, pois para c0 segue de maneira similar. Para cada

n N, sejayn =

kn+1j=kn+1

bjej.

Como (yn)n=1 normalizada ento

1 = ynpp =kn+1

j=kn+1

|bj|p,

para todo n N. Assim, para todo m N, ai K, i = 1, . . . ,m, temosmi=1

aiyi

p

p

=

mi=1

ai

kn+1j=kn+1

bjej

p

p

=

mi=1

kn+1j=kn+1

aibjej

p

p

=mi=1

kn+1j=kn+1

|ai|p|bj|p =mi=1

|ai|pkn+1

j=kn+1

|bj|p

=mi=1

|ai|p =

mi=1

aiei

p

p

.

Logo, segue diretamente da Denio 2.2.9 que (yn)n=1 e (en)

n=1 so equivalentes. Alm disso,

da igualdade acima das normas fcil ver que T : span {yn;n N} E, dada por

T

(mi=1

aiyi

)=

mi=1

aiei,

isomorsmo isomtrico.

Agora estamos aptos a demonstrar o Teorema de Pitt.

Teorema 4.2.4 (Pitt). Se 1 p < q < , ento todo operador linear contnuo T : `q `p( ou T : c0 `p) compacto.

Demonstrao: Se T = 0, o resultado trivial em ambos os casos. Faamos o caso T 6= 0.Suponha que T : `q `p no compacto. Como `q reexivo, segue da contra-recproca daProposio 1.0.30 que T no completamente contnuo, ou seja, existe (yn)

n=1 `q convergindo

51

fracamente para y em `q, mas tal que (T (yn))n=1 no converge para T (y). Tomando xn = yny,para cada n N, segue que xn w 0 mas T (xn) = T (yn) T (y) 9 0. Excluindo alguns dostermos da sequncia (xn)

n=1, se necessrio, segue que existe > 0 tal que T (xn) , paratodo n N. Como T 6= 0, ento T 6= 0 e da

0 < T (xn) Txn,

implicando assim que

inf xn T > 0.

Logo, segue do princpio de seleo de Bessaga-Pelczynski que a sequncia (xn)n=1 possui uma

subsequncia (xnk)k=1 que equivalente a uma sequncia de blocos bsica relativa a base de

Schauder (en)n=1 de `q. Sem perda de generalidade, podemos supor que (xnk)

k=1 normalizada

(veja Observao 4.2.2). Assim, segue da Proposio 4.2.3 que (xnk)k=1 equivalente a base

cannica (en)n=1 de `q.

Da mesma forma, prova-se que (T (xnk))k=1 equivalente a base cannica (en)

n=1 de `p.

Agora, seja (an)n=1 `q \ `p. Ento, fcil ver que

k=1

akxnk convergente em `q e da

T

( k=1

akxnk

)=k=1

akT (xnk) `p.

Logo

k=1

|ak|p < , ou seja, (an)n=1 `p, o que uma contradio j que (an)n=1 `q \ `p.Portanto, T : `q `p compacto.Agora vejamos que T : c0 `p compacto. O adjunto de T pode ser visto como um operadorT : `p `1, j que `p isometricamente isomorfo a `p e c0 isometricamente isomorfo a `1.Alm disso, segue da Proposio 1.0.24 que T contnuo. Assim, segue da parte que acabamos

de provar que T compacto. Portanto, pelo Teorema 1.0.31, temos que T compacto.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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ResumoAbstractIntroduoResultados Clssicos de Anlise FuncionalBases de Schauder em espaos de BanachSries em espaos de BanachBases em espaos de Banach

Sequncias bsicas em Espaos de BanachBases e sequncias bsicas incondicionaisDois problemas importantes envolvendo sequncias bsicas em espaos de BanachO problema da base incondicionalO Princpio de Seleo de Bessaga-Pelczynski

Aplicaes do princpio de seleo de Bessaga-PelczynskiExistncia de sequncias bsicasO Teorema de Pitt