ExperimentoEstátuas e dominós

Objetivos da unidadeApresentar as noções de condição necessária, condição suficiente 1. e condição necessária e suficiente;Identificar padrões.2.

O experimento

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

Números e fuNções

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Governo FederalSecretaria de Educação a Distância

O experimento

SinopseNeste experimento, os alunos tentarão resolver um problema envolvendo o calçamento de uma praça com dominós, de acordo com algumas instru ções. Na atividade, eles encontrarão exemplos de condições necessárias, condições suficientes e uma condição necessária e suficiente.

ConteúdoConjuntos, Lógica e Números: Noções de Lógica.

ObjetivosApresentar as noções de condição necessária, condição suficiente e 1. condição necessária e suficiente;Identificar padrões.2.

DuraçãoUma aula dupla

Estátuas e dominós

Estátuas e dominós O Experimento 2 / 10

Introdução

Em Matemática, dado um problema ou um teorema, normalmente averiguamos quais são as condições para que o problema seja resolvido ou o teorema seja demonstrado. Por isso, entender o que é uma condição necessária, uma condição suficiente e uma condição necessária e suficiente é essencial. Neste experimento, os alunos terão a oportunidade de estudar essas importantes noções ao tentar resolver um divertido problema de lógica: “Como calçar a praça de um mercado com dominós, considerando a existência de duas estátuas?”.

Material necessário

Folha de papel A4 ( � ou folha de caderno);Lápis; �

Borracha. �

Apresentação do problema

Os comerciantes de uma vila chamada Pequenópolis querem que a praça do mercado seja reformada. Ela é calçada com 36 grandes lajes de pedras quadradas, arranjadas num quadrado 6 × 6, como a figura abaixo:

fig. 1

As lajes originais estão começando a rachar e, por isso, eles querem que o calça-mento seja refeito. No entanto, há duas consi derações que devem ser feitas antes do início da obra:Os comerciantes querem, por alguma razão �

estética ou estrutural, que o novo pavimento seja construído com lajes em formato de dominó (retângulo formado por duas lajes quadradas).

Há duas estátuas na praça, cada uma �

ocupando a área exata de uma das lajes quadradas originais.

Com isso, um dos problemas que os engenheiros responsáveis pela obra deverão solucionar é o seguinte:

Considerando a posição das duas estátuas, é possível calçar a praça do mercado com as lajes em formato de dominó, sem quebrar uma ou mais lajes?

fig. 2

Preparação

Divida a classe em trios e entregue-lhes uma cópia da Folha do Aluno. Fazendo a leitura da folha, explique que cada grupo deverá atuar como a equipe de engenheiros responsáveis pela obra da praça, consi-derando as condições impostas em cada umas das seguintes etapas.

Quando o calçamento é possível?

Nesta etapa, os alunos deverão descobrir se é possível calçar a praça sem saber a posição das duas estátuas. Para isso, peça para que cada um dos integrantes dos grupos crie em seu caderno três praças distintas, isto é, três disposições diferentes para o par de estátuas na praça. Sugira que o desenho dos quadrados da praça seja xadrez (figura 3), pois facilitará o estudo do problema.

etapa

Depois, propomos a seguinte questão na Folha do Aluno:

Em quais das situações criadas é possível calçar a praça do mercado com as lajes em formato de dominó?

Como cada integrante do trio deverá criar três posições diferentes para as estátuas, cada grupo estudará o problema colocando-as em, no mínimo, 9 posições. Com isso queremos que os alunos tenham uma quantidade razoável de situações para observar o que faz com que seja possível o calçamento.

fig. 3

Questão para os alunos

A quantidade de casos !criados pelos alunos deve ser de no mínimo nove para não prejudicar a análise.

Regra para o calçamento

Nesta etapa, é pedido que os alunos descu-bram se é possível o calçamento da praça com base nas seguintes informações:Uma das estátuas se encontra na seguinte �

posição:

A outra estátua não está nas bordas da praça. �

Além disso, as estátuas:Não são vizinhas; �

Não estão na mesma linha; �

Não estão na mesma coluna; �

Não estão na mesma diagonal. �

Excluindo os casos listados acima, as únicas posições que restaram para a segunda estátua são as seguintes:

etapa

fig. 4

Através de tentativas é provável que os alunos concluam que, dentre as seis possibilidades para o lugar da outra estátua, o calçamento da praça apenas será possível quando ela estiver em um dos quadrados coloridos (vermelho). Segue abaixo um exemplo de solução para cada uma das posições da segunda estátua:

fig. 5

fig. 6

fig. 7

fig. 8

fig. 9

O que fizemos até agora foram apenas exemplos e, através deles, pedimos que os alunos tentem encontrar a regra geral, para qualquer posição das estátuas, que descreve as condições para que o calçamento da praça quadrada com as lajes em formato de dominó seja possível. A regra é a seguinte:

Para ser possível calçar a praça do mercado com as lajes em formato de dominó, a única condição que deve ser observada é que as estátuas estejam em quadrados de cores diferentes da representação em xadrez da dita praça.

Agora, para justificar esta regra, mostra-remos um algoritmo que nos permite calçar qualquer praça quadrada. Para isso, devemos imaginar o calçado da praça xadrez e fazer o seguinte desenho:

Regra para calçar uma praça quadrada 6 × 6

fig. 10

Se imaginarmos que as linhas desenhadas sejam muros, percebemos que uma linha de dominós pode ser posta em circuitos contínuos, eventualmente iniciados, inter-rompidos ou finalizados nas estátuas.

As estátuas assentando-se em quadrados de cores diferentes, independentemente de suas posições, faz com que cada circuito tenha um número par de quadrados, de modo que a cadeia de dominós pode enchê-la completamente.

fig. 11

fig. 12

Logo que os grupos terminarem de responder às questões da Etapa 2 da Folha do Aluno, peça para que eles digam as regras gerais que chegaram. Caso exista alguma que não seja compatível, tente contrapô-la em conjunto com a classe mostrando um contraexemplo. Com base na discussão promovida, obtenha a regra geral seguindo o raciocínio descrito a seguir e, depois, para poder explicar os conceitos de condição necessária, condição suficiente e condição necessária e suficiente, apresente os exemplos dados e discuta com os alunos.

Condição Necessária Se uma condição deve ser respeitada para que uma afirmação seja verdadeira dizemos que ela é uma condição necessária. No experimento, temos o seguinte exemplo de condição necessária para que o calça-mento da praça seja possível:

fig. 13

Há uma outra maneira �

de abordar a solução deste problema com os alunos. Veja o Guia do Professor!

Vale lembrar que um !problema ou teorema tem algumas hipóteses assumidas. Neste caso de que a praça tenha dimensões 6 × 6 e de que as lajotas seja retangulares.

“A praça deve ser formada por um número par de quadrados” é uma condição necessária, pois, quando calçamos a praça com dominós, a quantidade de quadrados cobertos será par, já que cada dominó é composto por duas lajes quadradas.

Condição SuficienteSe basta que respeitemos uma condição para que uma afirmação seja verdadeira, dizemos que essa é uma condição suficiente. No expe-rimento, temos que:“As estátuas estarem uma ao lado da outra” 1. é uma condição suficiente para que o calça-mento seja possível em uma praça 6 × 6, pois elas ocuparão o espaço exato de um dominó e todo o restante poderá ser coberto como um quadriculado sem obstáculo nenhum.

“As estátuas estarem na mesma diagonal” é 2. condição suficiente para que o calçamento não seja possível em uma praça 6 × 6, pois elas sempre estarão em quadrados de cores iguais e isso fará com que a praça tenha

fig. 14

um número diferente de quadrados de cada cor, o que contraria uma condição necessária para que a praça seja calçada, pois cada do mi nó sempre cobre um quadrado de cada cor.

Condição Necessária e Suficiente A condição necessária “número par de quadrados” é um exemplo de condição que é necessária, mas não é suficiente. Também a condição “as estátuas estarem uma ao lado da outra” em uma praça é um exemplo de condição que é suficiente mas não é necessária, pois existem configurações que permitem o calçamento sem que as estátuas sejam vizinhas:

fig. 15

Agora, observemos a regra que enunciamos na Etapa 2:

Para ser possível calçar a praça do mercado, a condição que devemos observar é se as estátuas estão em quadrados de cores diferentes.

Note que esta é uma condição necessária, pois, se as estátuas não estiverem em quadrados de cores diferentes, teríamos 18 quadrados de uma cor e 16 de outra. Como os dominós cobrem sempre um quadrado de cada cor, restariam dois da mesma cor que não poderiam ser cobertos. Por outro lado, ela é suficiente para que a praça seja coberta, pois como exibimos na Etapa 2 há um método que permite cobrir a praça caso essa condição seja satisfeita. Com isso, mostramos que essa regra é uma condição necessária e, ao mesmo

Regra para calçar uma praça quadrada 6 × 6

fig. 16

tempo, uma condição suficiente, ou seja, trata-se de uma condição necessária e suficiente. Temos consciência de que essas definições, provavelmente devido ao seu caráter fundamental dentro da lógica, são muito sutis e podem parecer confusas para alunos de Ensino Médio (e mesmo para os de Ensino Superior), porém, acreditamos que os exemplos construídos sobre este problema podem viabilizar uma discussão sobre elas em sala de aula. Para finalizar podemos afirmar que este experimento não é necessário nem suficiente para que os alunos aprendam noções básicas de lógica para a matemática, mas pode ajudá-los com estes conceitos.

Ficha técnica

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Governo FederalSecretaria de Educação a Distância

AutorLeonardo Barichello

Coordenação de redaçãoRita Santos Guimarães

RedaçãoThaisa Aluani

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos do Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira