8/20/2019 Estocastico-Lista02

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Mestrado Profissional - EESP - FGV

Lista de Exercícios 02

Cálculo Estocástico

Prof: Alexandre de Oliveira

1. (4.0 pontos) Lançando uma moeda repetidas vezes, considere que a probabilidade de cara (H)

seja p  e de coroa (T) seja  q . Seja X j  = 1 se o j-ésimo lançamento resulta em H e  X j  = −1 em T.Considere o processo estocástico  M 0, M 1, M 2,...  com  M 0   = 0   denominado de passeio aleatório

não-normalizado, ou seja,

M n =n∑

j=1

X j , n ≥ 1.

a. Determine a medida de probabilidade para que este processo estocástico seja Martingal.

b. Para um   σ >   0   e   n  ≥   0, mostre que o processo estocástico para a variável aleatóriaS n  =  e

σM n é Submartingal.

c. Considere uma função convexa ϕ(σ) tal que:

S n

ϕ(σ)n  =  En

  S n+1

ϕ(σ)n+1

Determine ϕ(σ) de forma a termos um processo Martingal.

d. Mostre que, para um n ≥ 0  qualquer:

S n  =  eσM n

  2

eσ + e−σ

n

determina um processo estocástico  S 0, S 1, S 2,...  Martingal.

2. (2.0 pontos) Considere que a taxa de juros r  segue um processo estocástico, com velocidade de

reversão à média  a, definido pela seguinte equação diferencial estocástica:

dr =  a(r0 − r)dt + rσdz

onde  a,  r0  e  σ  são constantes positivas e  dz  é um processo de Wiener.

Considere que um título que paga  $1  no vencimento  T  tenha seu preço definido por:

B(t) = e−r(T −t)

Obtenha o processo estocástico seguido por este título.

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3. (4.0 pontos) Considere o modelo de Black-Scholes para uma call e uma put europeias, sobre

uma ação sem dividendos com preço  S t  em  t, dados por:

C t  =  S tN (d1)−Ke−r(T −t)N (d2)P t =  K e

−r(T −t)N (−d2)− S tN (−d1)

d1 = ln(S t

K  ) + (r +   σ

2

2 )(T  − t)

σ√ 

T  − td2 =  d1 − σ

√ T  − t

onde  N (x) representa a distribuição normal acumulada padronizada.

a. Obtenha N ′(x).

b. Mostre que SN ′(d1) = K e−r(T −t)N ′(d2).

c. Obtenha   ∂d1∂S t

e   ∂d2∂S t

.

d. A partir deste item, considerando sempre a call, mostre que seu Delta é

∆ =  ∂C t

∂S t= N (d1).

e. Mostre que seu Gama é

Γ =  ∂ 2C t

∂ 2S t=

  N ′(d1)

S tσ√ 

T  −

t.

f. Mostre que seu Theta é

Θ =  ∂C t

∂t  = −rKe−r(T −t)N (d2)− S tN ′(d1)

  σ

2√ 

T  − t

g. Mostre que seu Vega é

Υ =  ∂C t

∂σ  = S tN 

′(d1)√ 

T  − t

h. Mostre que a probabilidade da call ser exercida, no mundo neutro ao risco, é  N (d2).