ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK MULTINOMIAL ...
Transcript of ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK MULTINOMIAL ...
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
BHISTOK JAYA BOY MARTAHAN SITINJAK
160803079
S1-MATEMATIKA
DEPARTEMENMATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2021
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
BHISTOK JAYA BOY MARTAHAN SITINJAK
160803079
S1-MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2021
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERNYATAAN ORISINALITAS
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 11 Februari 2021
Bhistok Jaya Boy Martahan Sitinjak
160803079
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
i
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ii
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
ABSTRAK
Skripsi ini membahas penaksiran parameter pada regresi logistik multinomial.
Regresi logistik multinomial atau disebut juga model logit politomus adalah model
regresi yang digunakan untuk menyelesaikan kasus regresi dengan variabel terikat
berbentuk multinomial (lebih dari dua kategori) dengan satu atau lebih variabel
bebas. Pada regresi logistik multinomial estimasi parameter yang digunakan adalah
estimasi maksimum likelihood ( maximum likelihood estimation). Transformasi
logit dilakukan untuk mendapat model regresi logistik multinomial. Uji parameter
yang digunakan adalah uji simultan atau secara keseluruhan variabel dan uji parsial
atau secara sebagian.
Kata Kunci : Estimasi Maksimum Likelihood, Regresi Logistik Multinomial
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
iii
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL MENGGUNAKAN
MAKSIMUM LIKELIHOOD
ABSTRACT
This thesis discusses parameter estimation in multinomial logistic regression.
Multinomial logistic regression or also called polytomial logit model is a
regression model used to solve regression cases with the dependent variable in the
form of multinomial (more than two categories) with one or more independent
variables. In multinomial logistic regression, the parameter estimation used is the
maximum likelihood estimation. Logit transformation was performed to obtain a
multinomial logistic regression model. The parameter test used is the simultaneous
test or the whole variable and partial or partial test.
Keywords: Maximum Likelihood Estimation, Multinomial Logistic Regression
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
iv
PENGHARGAAN
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan
judul โEstimasi Parameter Regresi Logistik Multinomial Menggunakan
Maksimum Likelihoodโ.
Dalam penyusunan skripsi ini tidak terlepas dukungan dari berbagai pihak.
Penulis secra khusus mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada
semua pihak yang telah membantu. Penulis banyak menerima bimbingan, petunjuk
dan bantuan serta dorongan dari berbagai pihak baik yang bersifat moral maupun
material. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Bapak Dr. Muryanto Amin, S.Sos, M.Si selaku Rektor Universitas Sumatera
Utara (USU) beserta jajarannya.
2. Bapak Prof. Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara (FMIPA USU)
beserta jajarannya.
3. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku
Ketua dan Sekertaris Departemen Matematika FMIPA USU.
4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dosen Pembimbing dan Pembimbing
Akademik penulis, yang telah memberikan arahan, saran dan motivasi
kepada penulis serta telah meluangkan waktu dalam pengerjaan skripsi ini.
5. Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si dan Ibu Dr. Dra. Rahmawati Pane, M.Si selaku
Dosen Pembanding yang telah memberikan arahan, kritik dan saran yang
membangun kepada penulis dalam pengerjaan skripsi ini.
6. Ayahanda Polmer Sitinjak dan Ibunda Suharni Sinaga yang telah
memberikan dukungan baik secara material dan moral serta Saudara
penulis, Adhit Sitinjak dan Gamaliel Sitinjak yang telah memberikan
semangat, motivasi, nasihat dan doa kepada penulis.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
v
7. Orang-orang yang saya kasihi teman semasa SMA dan kuliah Miranda
Simbolon, BPH HMM Periode 2019/2020 dan semua rekan-rekan
Mahasiswa/i angkatan 2016 yang telah memotivasi dan memberikan
semangat kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa dalam proses penulisan skripsi ini masih jauh dari
kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Oleh karena itu, penulis
mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi penyempurnaan skripsi ini.
Akhir kata, penulis mengucapkan terimakasih dan semoga penelitian ini dapat
bermanfaat.
Medan, 11 Februari 2021
Penulis,
Bhistok Jaya Boy M Sitinjak
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PENGESAHAN SKRIPSI i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
PENGHARGAAN iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR LAMPIRAN ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Batasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Manfaat Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Regresi 5
2.1.1 Model Regresi Linear 6
2.1.2
Model Regresi Non Linear 7
2.2 Regresi Logistik 8
2.3 Regresi Logistik Multinomial 8
2.3.1 Estimasi Parameter 10
2.4 Pengujian Parameter 13
2.4.1 Pengujian Parameter dengan Uji Simultan
(Uji G)
13
2.4.2 Pengujian Parameter dengan Uji Wald
(Uji Parsial)
14
2.5 Uji Kebaikan Model 14
2.6 Koefisien Determinasi 15
2.7 Odd Ratio 16
BAB 3 METODE PENELITIAN
3.1 Studi Literatur 18
3.2 Metode Pengumpulan Data 18
3.3 Metode Pengolahan Data 19
3.4 Kerangka Penelitian 20
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Regresi Logistik Multinomial 21
4.2 Transformasi Logit pada Model Regresi Multinomial 23
4.3 Metode Maksimum Likelihood 24
4.3.1 Iterasi Pertama 27
4.3.2 Iterasi Kedua 29
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
vii
4.3.3 Iterasi Ketiga 31
4.4 Uji Parameter 33
4.4.1 Uji Simultan 35
4.4.2 Uji Parsial 35
4.5 Uji Kebaikan Model (gooodness of fit) 37
4.6 Koefisien Determinasi 37
4.7 Pemodelan Regresi Logistik Multinomial 38
4.8 Interpretasi Model 39
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 42
5.2 Saran 42
DAFTAR PUSTAKA 43
LAMPIRAN 45
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
viii
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel Judul Halaman
3.1 Variabel dependen 18
3.2 Variabel independen 19
4.1 Hasil Penduga Parameter 34
4.2 Uji Simultan 35
4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel 35
4.4 Hasil Uji Parsial untuk variabel yang berpengaruh 36
4.5 Hasil Uji Kebaikan Model 37
4.6 Hasil Koefisien Determinasi 38
4.7 Uji Koefisien Determinasi untuk variabel yang berpengaruh 38
4.8 Hasil Uji Odds Ratio 40
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran Judul Halaman
1 Metode Newton Raphson 45
2 Data Pasien Penyakit Diabetes Mellitus 54
3 Output SPSS untuk Pendugaan Parameter 59
4 Output SPSS untuk Uji Simultan 60
5 Output SPSS untuk Uji Parsial (Wald) 61
6 Output SPSS untuk Uji Kebaikan Model 62
7 Output SPSS untuk Uji Koefisien Determinasi 63
8 Output SPSS untuk Uji Odd Ratio 64
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Statistika adalah ilmu pengetahuan yang membahas tentang cara-cara
pengumpulan fakta, pengolahan serta analisis pembuatan keputusan dan
penarikan kesimpulan yang cukup beralasan berdasarkan fakta dan pengolahan
data yang dilakukan. Salah satu analisis pada statistika adalah analisi regresi.
Analisis regresi adalah salah satu penelitian terapan kuantitatif yang
memberikan keleluasaan kepada peneliti untuk menyusun model hubungan
atau pengaruh beberapa variabel independen terhadap variabel dependent.
Analisis regresi digunakan untuk mempelajari hubungan antara dua
variabel atau lebih, dengan maksud bahwa dari hubungan tersebut dapat
memperkirakan besarnya dampak kuantitatif yang terjadi dari perubahan suatu
kejadian terhadap kejadian lainnya. Berdasarkan pola hubungannya analisis
regresi dibagi menjadi 2 yaitu analisis regresi linear dan analisi regresi non-
linear.
Pada model regresi linear diasumsikan bahwa peluang variabel
independen X dalam contoh acak bersifat tetap dan bukan nilai peubah acak
dan peluang variabel dependen Y merupakan peluang acak kontinu yang
diasumsikan saling bebas dan menyebar normal. Adakalanya peluang variabel
dependen berupa peluang dikotomi. Peluang dikotomi adalah peluang
indikator yang terdiri atas data biner, bernilai 1 atau 0. Data tersebut
dibangkitkan dari pemetaan numerik dari satu tindakan atau percobaan yang
menghasilkan hanya dua kemungkinan kejadian.
Data yang mengandung peluang respon biner tidak dapat dianalisis regresi
linear biasa, karena penduga parameter pada regresi linear mengguakan metode
kuadrat terkecil yang mengasumsikan data menyebar normal dengan ragam
homogen. Asumsi-asumsi ini tidak dipenuhi oleh data biner, jika asumsi-
asumsi ini diabaikan maka model yang diperoleh tidak sesuai dengan keadaan
sebenarnya. Oleh karena itu model yang tepat untuk menyelidiki hubungan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2
antara peluang respon biner dengan peluang penjelasnya adalah menggunakan
analisis regresi logistik.
Regresi logistik adalah salah satu bentuk regresi non-linear yang
mempunyai variabel dependen yang diskrit dan mempunyai sebaran binomial,
sedangkan variable independennya dapat terdiri dari variabel yang continu,
diskrit, dikotomus, ataupun gabungannya. Regresi logistik terbagi menjadi dua
yaitu regresi logistik biner dan logistik multinomial.
Regresi logistik biner adalah suatu analisis regresi yang digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara variabel independen dengan sekumpulan
variabel dependen, dimana variabel dependen bersifat biner atau dikotomus.
Variabel dikotomus adalah variabel yang hanya mempunyai dua kemungkinan
nilai, misalnya sukses dan gagal. Sedangkan variabel independen sering
disebut juga dengan covariate. Hasil pengukuran suatu variabel seringkali
mempunyai ciri berupa dua atau lebih kemungkinan nilai yang dikenal sebagai
variabel kategorik. Variabel kategorik yang tidak memiliki urutan disebut
sebagai variabel nominal sedangkan yang memiliki urutan disebut variabel
ordinal. Kedua jenis variabel ini, baik nominal maupun ordinal sering disebut
juga sebagai variabel multinomial. Regresi logistik multinomial, yang tidak
mempertimbangkan sifat ordinal data, juga dapat diterapkan untuk meneliti
sebuah variabel ordinal maupun memanfaatkan sifat ordinal data dapat
meningkatkan keserderhanaan dan kekuatan model (Agresti, 2002). Model
regresi logistik multinomial efektif digunakan pada variabel terikat yang terdiri
atas banyak kategori (Zulfikri, 2014).
Regresi logistik dan regresi linear mempunyai tujuan yang sama yaitu
menyelidiki variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen.
Keduanya mengestimasi parameter model yang diharapkan. Analisis regresi
menggunakan variabel dependen kontinu, sedangkan analisi regresi logistik
menggunakan variabel dependen kategorik.
Metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi parameter model
regresi logistik, yaitu metode moment, noniterative weighted least square
methods, dan maximum likelihood methods. Metode momen adalah metode
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
3
tertua yang paling lama digunakan. Metode ini memiliki prosedur yang paling
mudah dalam memperoleh estimator atau penduga dari satu atau lebih
parameter populasi dan dasar metode momen yaitu mendapatkan estimasi
parameter populasi dengan menyamakan momen-momen populasi dengan
momen-momen sample. Metode noniterative weighted least square methods
dapat digunakan dalam kasus multivariable, meskipun penerapan pendekatan
noniterative weighted least square methods dibatasi oleh perkiran ๐(๐ฅ) bukan
nol atau 1 untuk sebagian besar nilai X dalam kumpulan data. . Dengan jumlah
variabel independen yang besar, atau bahkan beberapa variable kontinu,
kondisi ini yang tidak akan bertahan.
Salah satu metode yang lebih umum dan digunakan pada sebagian besar
paket program komputer adalah Maximum likelihood . Maximum likelihood
merupakan dasar pendekatan dalam menaksirkan parameter pada model regresi
logistik. Pada dasarnya metode maksimum likelihood memberikan nilai
taksiran parameter dengan memaksimalkan fungsi likelihood. Untuk itu
digunakan uji dan hipotesis statistik untuk menentukan apakah variabel
independen dalam model signifikan atau berpengaruh secara nyata terhadap
variabel dependen.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di latar belakang didapati terdapat beberapa metode
untuk menaksir parameter regresi logistik multinomial yaitu, metode moment,
noniterative weighted least square methods, dan maximum likelihood. Metode
moment umum digunakan untuk menaksir parameter pada analisi regresi,
tetapi tidak dapat digunakan dalam kasus multivariable. Sedangkan metode
noniterative weighted least square methods dapat digunakan dalam kasus
multivariable, tetapi metode tersebut memiliki batasan dalam pengumpulan
data. Oleh karena itu, metode estimasi parameter yang cocok untuk menaksir
parameter adalah metode maksimum likelihood karena dapat digunakan pada
data multivariabel dan tidak memiliki batasan dalam pengumpulan data.
1.3 Batasan Masalah
Agar penelitian yang dilakukan dapat menghasilkan penelitian yang fokus
dan akurat, maka diberikan batasan masalah dalam penelitian ini yaitu :
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
4
1. Model regresi logistik yang akan diestimasi adalah model regresi
logistik multinomial.
2. Metode maksimum likelihood digunakan sebagai metode untuk
mengestimasi model regresi logistik multinomial.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengestimasi parameter regresi logistik
multinomial dengan menggunakan estimasi maksimum likelihood.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Bagi penulis mengetahui tentang proses dan hasil dari menentukan
model regresi logistik multinomial dengan penaksiran parameter
menggunakan metode maksimum likelihood.
2. Bagi pembaca dapat memberikan pengetahuan dan gambaran mengenai
langkah serta hasil dari model regresi logistik multinomial dengan
penaksiran parameter menggunakan metode maksimum likelihood.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan disampaikan teori dan konsep yang berkaitan dengan
pemodelan regresi logistik multinomial dan penduga parameter dengan metode
maksimum likelihood. Akan diuraikan tata cara uji parameter, uji kebaikan
model dan odd ratio untuk mendapatkan model logit terbaik. Semua materi
yang dijelaskan berguna untuk mengolah data regresi logistik multinomial.
2.1 Analisis Regresi
Analisis regresi merupakan alat analisis statistik yang mempelajari pola
dan mengukur hubungan antara dua atau lebih variabel. Tujuannya adalah
untuk membuat perkiraan (prediksi) yang dapat dipercaya untuk nilai suatu
variabel dependen, jika nilai variabel independen yang berhubungan
dengannya diketahui.
Dalam analisis regresi, suatu persamaan regresi digunakan untuk
menggambarkan pola atau fungsi hubungan yang terdapat antar variabel.
Variabel yang akan diestimasi nilainya disebut variabel dependen dan biasanya
di plot pada sumbu tegak (sumbu ๐), sedangkan variabel yang diasumsikan
memberikan pengaruh terhadap variasi variabel dependen disebut variabel
independen dan biasanya di plot pada sumbu datar (sumbu ๐). Variabel
independen dinotasikan denganm๐1, ๐2, โฆ , ๐๐(k โฅ 1) sedangkan variabel
dependen dinotasikan dengan ๐. Hubungan fungsional antara kedua variabel
tersebut akan dituliskan dalam persamaan matematik (persamaan regresi) yang
akan bergantung pada parameter-parameter.
Berdasarkan pola hubungannya, analisis regresi terbagi menjadi dua,
yaitu regresi linear dan regresi non linear. Hal ini bergantung pada data
variabel ๐ dan ๐ yang ditebarkan pada scatter plot. Jika data tersebut
membentuk sebuah garis lurus, maka disebut regresi linear, sedangkan jika
data yang ditebarkan tidak mengikuti garis lurus tetapi mengikuti suatu bentuk
kurva tertentu, maka disebut regresi non linear.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
6
2.1.1 Model Regresi Linear
Regresi linear terbagi menjadi dua, yaitu regresi linear sederhana dan
regresi linear berganda. Regresi linear sederhana digunakan untuk mengamati
pengaruh satu variabel independen terhadap variabel dependen. Regresi linear
berganda mengamati pengaruh beberapa (minimal dua) variabel independen
terhadap variabel dependen. Secara matematis, regresi linear berganda
dengan ๐ variabel independen (๐) dan satu variabel dependen (๐) dapat
dituliskan dalam persamaan berikut:
๐๐ = ๐ฝ0 + ๐ฝ1๐๐1 + ๐ฝ2๐๐2 + โฏ + ๐ฝ๐๐๐๐ + ํ๐; i = 1,2, โฆ, n (2.2)
di mana:
๐๐ = variabel dependen (Y) ke-i yang dapat diamati
๐๐๐ = variabel independen ๐๐ ke-i yang dapat diamati (j = 1,2, โฆ, k)
๐ฝ๐ = parameter-parameter yang tidak diketahui dari model
ํ๐ = galat (error term) dalam pengamatan i (diasumsikan berdistribusi normal
dengan rata-rata nol dan varians ๐2 )
Bila dirinci untuk setiap pengamatan:
๐1 = ๐ฝ0+๐ฝ1๐11+๐ฝ2๐12+โฏ+๐ฝ๐๐1๐+ํ1
๐2 = ๐ฝ0+๐ฝ1๐21+๐ฝ2๐22+โฏ+๐ฝ๐๐2๐+ํ2
โฎ โฎ โฎ โฎ โฏ โฎ โฎ
๐๐ = ๐ฝ0+๐ฝ1๐๐1+๐ฝ2๐๐2+โฏ+๐ฝ๐๐๐๐+ํ๐
Dengan cara matriks dapat distulis sebagai berikut:
[
๐1๐2
โฎ๐๐
] = [
1 ๐11 ๐12 โฏ ๐1๐
1 ๐21 ๐22 โฏ ๐2๐
โฎ1
โฎ๐๐1
โฎ๐๐2
โฏโฏ
โฎ๐๐๐
] +
[ ๐ฝ0
๐ฝ1
๐ฝ2
โฎ๐ฝ๐]
+[
ํ1ํ2
โฎํ๐
]
Jika Y, X, ฮฒ, dan ฮต didefinisikan sebagai notasi matriks masing-masing
dalam urutan ๐ ร1, ๐ ร (๐ + 1), (๐ + 1) ร 1, dan ๐ ร1. Maka, persamaan
(2.2) dapat disederhanakan menjadi:
Y = Xฮฒ + ฮต (2.3)
di mana ฮต adalah sisa (error) berdistribusi normal yang saling bebas
dengan ekspektasi E(ฮต) = 0 dan dispersi (kovarians) Cov(ฮต) = ๐2I,
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
7
dengan I adalah matriks identitas ๐ ร ๐ dan X biasanya ditetapkan
sebagai matriks desai model.
Asumsikan bahwa persamaan (2.3) adalah model yang tetap. Prinsip
dari metode kuadrat terkecil (ordinary least square) adalah menentukan
(mengestimasi) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ yang meminimumkan jumlah kuadrat error ํ๐ ฮต, di
mana ๐ melambangkan matriks transpose. Jumlah kuadrat dapat ditulis
sebagai fungsi dari ฮฒ, dalam persamaan berikut:
S(ฮฒ) = (๐ โ ๐๐)๐(๐ โ ๐๐) (2.4)
S(ฮฒ) adalah bilangan asli non negative dari fungsi kuadratik,
sehingga dapat dipastikan terdapat nilai minimum berhingga dari S(ฮฒ).
Solusi untuk ฮฒ, yang dinotasikan dengan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ diminimalkan oleh S(ฮฒ)
sebagai hasil dari solusi persamaan normal. Solusi tersebut adalah
estimator kuadrat terkecil dari ฮฒ dalam persamaan berikut:
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = (๐๐๐)โ๐(๐๐๐) (2.5)
2.1.2 Model Regresi Non Linear
Model regresi linear memberikan kerangka kerja yang luas dan fleksibel
sesuai dengan kebutuhan banyak analisis, namun model ini tidak sesuai untuk
semua situasi. Hubungan antara variabel dependen dan variabel independen
dapat berupa persamaan diferensial atau solusi untuk persamaan diferensial.
Hal ini akan mengarah pada bentuk non linear.
Menurut Montgomery et al. (1992) model regresi non linear dalam
parameter adalah suatu model yang apabila didiferensialkan hasilnya masih
merupakan fungsi dalam parameter tersebut. Macam-macam model regresi
non linear diantaranya adalah model parabola kuadratik, model parabola
kubik, model eksponen, model geometrik, model gompertz, model hiperbola,
dan model logistik. Model regresi non linear dalam parameter ๐ dapat
dituliskan sebagai berikut:
๐ฆ๐ = f(๐ฅ๐, ๐) + ํ๐ , i = 1, 2, โฆ , n. (2.6)
di mana :
๐ฆ๐ = variabel terikat ke- i
๐ฅ๐ = variabel bebas ke- i
๐ = parameter yang tidak diketahui
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
8
ํ๐ = error, dimana ํ ~N(0, ๐2)
2.2 Regresi Logistik
Regresi logistik adalah bagaimana satu variabel yaitu variabel
dependen dipengaruhi oleh satu atau lebih variabel lain yaitu variabel
independen dengan tujuan untuk memprediksi nilai rata-rata variabel
dependen yang didasarkan pada nilai variabel independen (Widarjono, 2010).
Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000), tujuan melakukan analisis data
menggunakan regresi logistik adalah untuk mendapatkan model terbaik dan
sederhana, tetapi model tersebut sejalan dengan tinjauan dari ilmu biologi
untuk menjelaskan hubungan antara hasil variabel dependen dengan variabel
independen.
2.3 Regresi Logistik Multinomial
Regresi logistik multinomial (nominal dan ordinal) merupakan salah
satu pendekatan pemodelan yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan
hubungan beberapa variabel independen dengan suatu variabel dependen
multinomial(polytomous).
Data berskala nominal merupakan data dengan angka yang diberikan
kepada objek mempunyai arti sebagai label dan tidak menunjukkan tingkatan
apapun. Sedangkan data ordinal merupakan data yang menunjukkan suatu
tingkatan pada variabel dependennya. Apabila terdapat k yang berarti
banyaknya kategori pada variabel independen maka model logistik yang
terbentuk sebanyak k - 1. Menurut Agresti (1990), model umum regresi
logistik multinomial untuk p banyaknya variabel dependen yang dinyatakan
dalam vektor ๐ฅ๐ seta probabilitas kategori independen ke-k sebagai berikut:
๐๐(๐ฅ๐) = ๐(๐ฆ = ๐|๐ฅ๐) =exp(๐๐(๐ฅ๐))
โ exp (๐๐(๐ฅ๐))๐โ1๐=0
(2.7)
Jika ada urutan pada kategori dependen (respon ordinal) maka model
yang digunakan regresi logistik ordinal. Misalkan z adalah variabel kontinu
yang dapat dipotong-potong dengan titik-titik ๐ถ1 , โฆ , ๐ถ๐โ1 untuk
mendefinisikan j kategori ordinal yang masing-masing dengan peluang
๐1, โฆ , ๐๐ dimana โ ๐๐ = 1๐๐=1 . Ada beberapa model yang dapat digunakan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
9
untuk regresi logistik ordinal ini, antara lain model logit kumulatif,
proportionalodds, adjacent categories logit, dan continuation ratio logit.
Cumulative odds untuk kategori ke-j adalah
๐(๐ง โค ๐ถ๐)
๐(๐ง > ๐ถ๐)=
๐ฅ1 + โฏ+ ๐ฅ๐
๐ฅ๐ + 1 + โฏ + ๐ฅ๐
Sehingga model kumulatif logit adalah
log (๐ฅ1+โฏ+๐ฅ๐
๐ฅ๐+1+โฏ+๐ฅ๐) = ๐ฅ๐
๐๐ฝ๐ (2.8)
Jika penduga linier ๐ฅ๐๐๐ฝ๐ pada persamaan (2.8) memiliki intercept ๐ฝ0๐
untuk kategori ke-j tetapi variabel kovariat tidak tergantung pada j, maka
digunakan model proportional odds, yaitu
log (๐ฅ1+โฏ+๐ฅ๐
๐ฅ๐+1+โฏ+๐ฅ๐) = ๐ฝ0๐ + ๐ฝ1๐ฅ1 + โฏ+ ๐ฝ๐โ1๐ฅ๐โ1 (2.9)
Alternatif lainnya dari model kumulatif odd adalah rasio dari peluang
sukses untuk kategori yang bersebelaha, yaitu
๐1
๐2 ,
๐2
๐3 , โฆ ,
๐๐โ1
๐๐
Sehingga model adjacent logit menjadi
log (๐๐
๐๐+1) = ๐ฅ๐
๐๐ฝ๐ (2.10)
Model rasio peluang lainnya adalah
๐1
๐2
,๐1 + ๐๐2
๐3
, โฆ ,๐๐ + โฏ+ ๐๐โ1
๐๐
Atau
๐1
๐2 + โฏ+ ๐๐ ,
๐๐2
๐3 + โฏ + ๐๐ , โฆ ,
๐๐โ1
๐๐
Sehingga model logit rasio menjadi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
10
log๐๐
๐๐+1+โฏ+๐๐=๐ฅ๐
๐๐ฝ๐ (2.11)
2.3.1 Estimasi Parameter
Metode estimasi yang mengarah pada metode least squares dalam
model regresi linear disebut maximum likelihood estimation (Hosmer dan
Lemeshow, 1989). Metode tersebut mengestimasi parameter ฮฒ dengan cara
memaksimumkan dengan mensyaratkan data harus mengikuti distribusi
tertentu. Pada regresi logistik, setiap pengamatan dapat ditentukan fungsi
likelihood-nya.
Jika ๐ฅ๐ dan ๐ฆ๐ adalah variabel independen dan variabel dependen yang
saling independensi, i = 1,2, โฆ, n maka fungsi probabilitas untuk setiap
pasangan (๐ฅ๐, ๐ฆ๐) adalah sebagai berikut:
๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ๐)๐ฆ๐(1 โ ๐(๐ฅ๐))
1โ๐ฆ๐; ๐ฆ๐ = 0,1 (2.12 )
dengan:
๐(๐ฅ๐) =๐
(โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐๐=0 )
1 + ๐(โ ๐ฝ๐๐ฅ๐
๐๐=0
) (2.13)
di mana ketika j = 0 maka nilai ๐ฅ๐๐ = ๐ฅ๐0 = 1. Setiap pasangan pengamatan
diasumsikan bebas sehingga fungsi likelihood-nya merupakan gabungan dari
fungsi distribusi masing-masing pasangan , sebagai berikut:
๐(๐ฝ) = โ ๐(๐ฅ๐) = โ ๐(๐ฅ๐)๐ฆ๐(1 โ ๐(๐ฅ๐))
1โ๐ฆ๐
๐
๐=1
๐
๐=1
(2.14)
Berdasarkan persamaan (2.14) akan dicari log likelihood untuk
mempermudah proses perhitungan selanjutnya, karena akan mencapai
maksimum pada ๐ฝ yang sama. Persamaan tersebut dapat diubah menjadi:
๐ฟ(๐ฝ) = ln ๐(๐ฝ)
= ln โ ๐(๐ฅ๐)๐ฆ๐(1 โ ๐(๐ฅ๐))
1โ๐ฆ๐
๐
๐=1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
11
= โ ln๐(๐ฅ๐)๐ฆ๐(1 โ ๐(๐ฅ๐))
๐๐โ๐ฆ๐
๐
๐=1
= โ ln [(๐(๐ฅ๐)
1 โ ๐(๐ฅ๐))
๐ฆ๐
(1 โ ๐(๐ฅ๐))๐๐
]
๐
๐=1
= โ [๐ฆ๐ln (๐(๐ฅ๐)
1 โ ๐(๐ฅ๐)) + ๐๐ ln(1 โ ๐(๐ฅ๐))]
๐
๐=1
Dengan melakukan substitusi persamaan (2.14) diperoleh:
๐ฟ(๐ฝ) = [๐ฆ๐ โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐ + ๐๐ ln1
1 + ๐โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐
๐๐=0
๐
๐=0
]
= [๐ฆ๐ โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐ + ๐๐ ln (1 + ๐โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐
๐๐=0 )
โ1๐
๐=0
]
= [๐ฆ๐ โ๐ฝ๐๐ฅ๐๐
๐
๐=0
โ ๐๐ ln (1 + ๐โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐
๐๐=0 )]
sehingga,
๐ฟ(๐ฝ) = โ[โ๐ฆ๐๐ฅ๐๐
๐
๐=1
]๐ฝ๐ โ โ ๐๐ ln [1 + ๐โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐
๐๐=0 ] (2.15)
๐
๐=1
๐
๐=0
Persamaan (2.15) dideferensialkan terhadap ฮฒ untuk memperoleh nilai
estimator ๏ฟฝฬ๏ฟฝ0, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ1, โฆ , ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ yang memaksimumkan ๐ฟ(๐ฝ).
๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ๐= โ โ
๐
๐๐ฝ๐
(๐ฅ๐๐๐ฆ๐๐ฝ๐) โ โ ๐๐
๐
๐๐ฝ๐
๐
๐=1
๐
๐=0
๐
๐=0
[ln (1 + ๐โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐
๐๐=0 )]
= โ โ ๐ฅ๐๐๐ฆ๐ + โ๐๐ (โ ๐ฅ๐๐๐
โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐๐๐=0๐
๐=0
1 + ๐โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐
๐๐=0
)
๐
๐=1
๐
๐=1
๐
๐=0
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
12
= โโ ๐ฅ๐๐๐ฆ๐ + โ โ ๐๐๐ฅ๐๐ (๐
(โ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐๐=0 )
1 + ๐(โ ๐ฝ๐๐ฅ๐
๐๐=0
))
๐
๐=0
๐
๐=1
๐
๐=1
๐
๐=0
Menurut definisi model regresi logistik pada persamaan 2.13, maka
persamaa yang didapat sebagai berikut:
๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ๐= โ ๐ฆ๐๐ฅ๐๐ โ โ ๐๐๐ฅ๐๐๐(๐ฅ๐)
๐
๐=1
(2.16)
๐
๐=1
Selanjutnya persamaan (2.16) disamakan dengan nol, namun sering kali
diperoleh hasil yang eksplisit, sehingga dilakukan metode numerik untuk
memperoleh estimasi parameternya, yaitu metode iterasi Newton Raphson untuk
memaksimumkan fungsi likelihood. Metode Newton Raphson adalah metode
iterasi untuk menyelesaikan persamaan non linear (Agresti, 2007). Langkah-
langkah iterasi Newton Raphson diberikan sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(0). Taksiran yang
digunakan sama seperti pada regresi linear pada persamaan (2.5)
dengan
๐ = [
1 ๐ฅ11๐ฅ12 โฏ ๐ฅ1๐
1 ๐ฅ21๐ฅ22 โฏ ๐ฅ2๐
โฎ1
โฎ๐ฅ๐1
โฎ๐ฅ๐2
โฏ
โฏ
โฎ๐ฅ๐๐
]; Y = [
๐ฆ1
๐ฆ2
โฎ๐ฆ
๐
]
2. Membentuk vector gradien
๐(๐ก)(๐(๐ก)) = (๐๐(๐ฝ)
๐๐ฝ0), (
๐๐(๐ฝ)
๐๐ฝ1), โฆ , (
๐๐(๐ฝ)
๐๐ฝ๐)
Dengan p adalah banyaknya variabel independen.
3. Membentuk Matriks Hessian H
๐ป(๐ก)(๐ฝ(๐ก)) =
[ ๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ02
๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ0๐๐ฝ1
โฆ๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ0๐๐ฝ๐
๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ0๐๐ฝ1
๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ12
โฆ๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ1๐๐ฝ๐โฆ
๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ0๐๐ฝ๐
โฆ๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ1๐๐ฝ๐
โฆโฆ
โฆ๐2๐๐๐ฟ(๐ฝ)
๐๐ฝ๐2 ]
4. Memasukan nilai ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(0) ke dalam elemen vector g dan matriks H
sehingga diperoleh vektor ๐(๐ก)(๐ฝ(๐ก)) dan matriks ๐ป(๐ก)(๐ฝ(๐ก))
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
13
5. Iterasi dimulai dari t = 0 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
๐ฝ(๐ก+1) = ๐ฝ(๐ก)โ(๐ป(๐ก)(๐ฝ(๐ก)))โ1
๐(๐ก)(๐ฝ(๐ก))
Nilai ๐ฝ(๐ก) merupakan sekumpulan estimator parameter yang konvergen
pada iterasi ke-t.
6. Apabila belum diperoleh estimator parameter yang konvergen, maka
kembali pada langkah sebelumnya hingga iterasi ke t = t + 1. Iterasi
akan berhenti jika |๐ฝ(๐ก+1) โ ๐ฝ(๐ก)| < ํ . Hasil estimasi yang diperoleh
adalah ๐ฝ(๐ก+1) pada iterasi terakhir.
2.4 Pengujian Parameter
Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000) pengujian terhadap
parameter model dilakukan sebagai upaya memeriksa peranan variabel
bebas terhadap model. Uji yang dilakukan ada dua yaitu:
2.4.1 Pengujian Parameter dengan Uji Simultan atau Uji G
Statistik uji G yaitu uji yang digunakan untuk menguji peranan
variabel bebas dalam model secara bersama-sama. Adapun pengujian
hipotesis yang dilakukan adalah:
๐ป0: ๐ฝ๐ = 0
๐ป1: ๐ฝ๐ โ 0 , ๐ = 1,2, . . , ๐
Digunakan uji statistik G, yaitu
๐บ =๐ท(๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐)
๐ท(๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐)
= โ2 ln [๐0
๐๐]
๐บ = โ2ln(๐0) โ (โ2 ln(๐๐))
dengan ๐0 adalah likelihood tanpa variabel independen dan ๐๐ adalah
likelihood dengan variabel independen.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
14
Jika hipotesis nol benar, statistik uji G akan berdistribusi Chi-Square
dengan derajat bebas k, dengan k adalah banyaknya variabel independen
dalam model. Dengan demikian kriteria penolakan ๐ป0 adalah ๐บ > ๐๐,โบ2
Untuk mengetahui ๐ฝ๐ mana yang berpengaruh signifikan, dapat
dilakukan uji parameter ๐ฝ๐ secara parsial dengan Uji Wald.
2.4.2 Pengujian Parameter dengan Uji Wald (Uji Parsial)
Pengujian variabel dilakukan satu per satu menggunakan statistik
Uji Wald (Hosmer dan Lemeshow, 2000). Hipotesis yang akan diuji adalah
sebagai beriut:
๐ป0: ๐ฝ๐ = 0
๐ป1: ๐ฝ๐ โ 0 , ๐ = 1, 2, 3,โฆ , ๐
Statistik uji:
๐ = [๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐
๐๐ธ(๐ฝ๏ฟฝฬ๏ฟฝ)]2
; ๐ = 1, 2,โฆ , ๐ (2.12)
Dengan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ adalah penduga dari ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ dan ๐๐ธ(๐ฝ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) adalah standart error
dari ๐ฝ๐ (penduga galat baku dari ๐ฝ๐). W diasumsikan mengikuti distribusi
Chi-Square dengan derajat bebas 1. Menurut Utomo (2009) ๐ป0 akan ditolak
jika nilai ๐ > ๐(1;โบ)2 atau (p โ value) < โบ. Jika ๐ป0 ditolak maka dapat
disimpulkan bahwa ๐ฝ๐ signifikan. Dengan kata lain, variael independen X
secara parsial berpengaruh signifikan terhadap variabel dependen.
2.5 Uji kebaikan Model
Uji kebaikan model (goodness of fit) penting dilakukan untuk
mengetahui apakah model yang diperoleh sesuai atau tidak. Statistik uji
yang digunakan adalah Pearson dengan hipotesis:
๐ป0: model regresi logistik sesuai (tidak ada perbedaan yang nyata
antara hasil observasi dengan prediksi model)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
15
๐ป1: model regresi logistik tidak sesuai (ada perbedaan yang nyata
antara hasil observasi dengan prediksi model)
Statistik uji yang digunakan adalah statisik uji Pearson dengan
rumus:
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = โ(๐๐ โ ๐๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐)
2
๐๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐(1 โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐) (2.13)
๐
๐=1
di mana,
๐๐ : jumlah kejadian yang diamati di kelompok- k
๐๐ : jumlah observasi kelompok di kelompok- k
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ : rata-rata kejadian kelompok- k
Statistik uji ๏ฟฝฬ๏ฟฝ berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas g. ๐ป0
diterima apabila nilai (๐ โ ๐ฃ๐๐๐ข๐) > โบ atau nilai ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โค ๐2 (Hosmer dan
Lemeshow, 2000).
2.6 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi (R-Square) adalah ukuran yang menunjukkan
seberapa besar viariasi dalam data kadar gula darah penderita diabetes
mellitus dapat dijelaskan oleh model regresi yang dibangun. Koefisien
seterminasi merujuk kepada kemampuan dari variabel independen dalam
menerangkan variabel dependennya. Besarnya nilai koefisien determinasi
pada model regresi logistik ditunjukkan oleh nilai Mc Fadden,
CoxanandSnell, dan Nagelkerke R-Square.
Pengujian koefisien determinasi dilakukan untuk melihat seberapa
besar variabel-variabel independen mempengaruhi nilai variabel dependen.
Suatu model dikatakan baik bila koefisien Nagelkerke lebih dari 70% yang
artinya bahwa variabel independen yang dibuat model mempengaruhi 70%
terhadap variabel dependen.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
16
๐ ๐๐น2 = 1 โ [
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ต
๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ด]
Dengan ๐ ๐๐น2 merupakan koefisien determinasi McFadden. Berikut
adalah rumus untuk mencari koefisien determinasi Cox and Snell.
๐ ๐ถ๐2 = 1 โ exp [โ
2
๐[๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐(๐๐๐๐๐ ๐ต) โ ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐(๐๐๐๐๐ ๐ด)]]
Dengan ๐ ๐ถ๐2 merupakan koefisien determinasi Cox and Snell.
๐ ๐๐ด๐2 = 1 โ exp [โ
2
๐ x ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐(๐๐๐๐๐ ๐ด)]
๐ ๐2 = [
๐ ๐ถ๐2
๐ ๐๐ด๐2 ]
Dengan ๐ ๐2 merupakan koefisien determinasi Nagelkerke.
2.7 Odd Ratio
Menurut (Hosmer dan Lemeshow, 2000) rasio kecenderungan
adalah ukuran yang memperkirakan berapa besar kecenderungan variabel-
variabel independen terhadap variabel dependen. Odd Ratio berfungsi untuk
menginterpretasikan hubungan antara variabel independen dan variabel
dependen. Jika OR = 1 menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara
variabel independen dan variabel dependen. Jika OR > 1 menunjukkan
bahwa nilai peluang sukses lebih tinggi dari nilai yang dijadikan
pembanding. Sedangkan jika nilai OR < 1, maka peluang sukses lebih kecil
dari nilai yang dijadikan pembanding. Sebagai contoh model regresi logistik
multinomial dengan variabel dependen (Y) yang dari tiga kategori 1, 2 dan
3 dan dua variabel independen (X) yaitu ๐1 dan ๐2. Jika variabel
independen ๐1 berskala kategori yang terdiri dari dua kategori, yaitu 0 dan
1, sedangkan variabel terikat ๐2 kontinu, maka rumus Odd Ratio variabel
๐1 pada fungsi logit 1 adalah
๐ =๐(๐ = 1|๐ฅ =,๐2)/๐(๐=๐|๐ฅ=1,๐2)
๐(๐ = 1|๐ฅ = 0, ๐2)/๐(๐=๐|๐ฅ=0,๐2)= exp[๐ฝ1] (2.14)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
17
Untuk ๐ = 0 berarti bahwa ๐ฅ = 1 memiliki kecenderungan yang
sama dengan ๐ฅ = 0 untuk menghasilkan ๐ = 1. Jika 1 < ๐ < โ berarti
๐ฅ = 1 memiliki kecenderungan lebih besar ๐ kali dibandingkan ๐ฅ = 0
untuk menghasilkan ๐ = 1 dan sebaliknya untuk 0 < ๐ < 1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan disampaikan studi literatur, metode pengumpulan
data, metode pengolahan data dan kerangkan penelitian mengenai โEstimasi
Parameter Regresi Logistik Multinomial Menggunakan Metode Maksimum
Likelihoodโ.
3.1 Studi Literatur
Penelitian ini bersifat literatur dan melakukan studi kepustakaan
untuk mengkaji dan menelaah berbagai buku, jurnal, karya ilmiah, laporan
dan berbagai tulisan lainnya yang berkaitan dengan pokok permasalahan
yang dibahas dalam penelitian ini.
3.2 Metode Pengumpulan Data
Data yang digunakan pada penulisan skripsi ini adalah diperoleh dari
peneliatian Universitas Standford tentang penyakit Diabetes Mellitus tahun
2004 (https://web.stanford.edu/~hastie/Papers/LARS/diabetes.data). Pada
skripsi ini data dikelompokkan sesuai dengan kategori yang ditentukan
dengan mengambil sampel sebanyak 100 pasien. Faktor usia, jenis kelamin,
indeks massa tubuh, tekanan darah, dan 5 ukuran serum darah merupakan
variabel independen dari variabel dependenkadar gula darah penyakit
diabete mellitus. Tabel 3.1 menunjukkan variabel independen dan variabel
dependen.
Tabel 3.1 Variabel dependen
Variabel Nama Variabel Kode Keterangan
Dependen
Kadar Gula Darah Y 1 = Rendah (<100 mg/dl)
2 = Normal (100-140
mg/dl)
3 = Tinggi (>140 mg/dl)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
19
Tabel 3.2 Variabel independen
Independen Usia ๐1 Skala Rasio
Jenis Kelamin ๐2 1 = Laki-laki
2 = Perempuan
Indeks Massa
Tubuh
๐3 1 = Kurus (<18,5 kg)
2 = Ideal (18,5 โ 24,9 kg)
3 = Gemuk (>24,9 kg)
Tekanan Darah ๐4 1 = Rendah (<100 mmHg)
2 = Normal (100-120
mmHg)
3 = Tinggi (>120 mmHg)
Tingkat Kolesterol ๐5 Skala Rasio
Low Density
Lipoprotein
๐6 Skala Rasio
High Density
Lipoprotein
๐7 Skala Rasio
Thyrocalcitonin
Hormone
๐8 Skala Rasio
Loss Trigliserida ๐9 Skala Rasio
3.3 Metode Pengolahan Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang
diambil dari penelitian sebelumnya. Banyaknya pengamatan yang
digunakan 100 pasien, Y = Kadar Gula Darah, ๐1 = Usia, ๐2 = Jenis
Kelamin, ๐3 = Indeks Massa Tubuh, ๐4 = Tekanan Darah, ๐5 = Tingkat
Kolestrol, ๐6 = Low Density Lipoprotein, ๐7 = High Density Lipoprotein,
๐8 = Thyrocalcitonin Hormone, ๐9 = Loss Trigliserida yang merupakan
regresi logistik multinomial.
Langkah kerja yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Pengumpulan literatur yang berasal dari buku dan jurnal
yang menunjang sumber ilmiah untuk penelitain. Tinjauan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
20
literatur yang digunakan terbagi menjadi dua yaitu aspek
statistik dan aspek non- statistik.
2. Menentukan variabel dependen dan variabel independen
yang akan digunakan.
3. Mengestimasi parameter model regresi logistik multinomial
dengan bantuan Software SPSS 22.0
4. Melakukan Uji Simultan dan Uji Parsial
5. Melakukan Uji kebaikan model regresi logistik multinomial
dilakukan untuk menguji layak atau tidaknya model yang
dihasilkan.
6. Melakukan Uji Odd rasio untuk mengetahui resiko
kecenderungan suatu kategori terhadap kategorinya
7. Melakukan pemodelan regresi logistik multinomial
8. Kesimpulan dan Saran
3.4 Kerangka Penelitian
Studi Literatur
li Menentukan Variabel Dependen dan variabel Independen
Estimasi Parameter
Uji Simultan dan Uji Parsial
Pemodelan peluang persamaan regresi logistik multinomial
Uji Simultan dan Uji Parsial
Uji kebaikan model regresi logistik
multinomial
Uji Odd Rasio
Kesimpulan dan saran
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan disampaikan hasil beserta pembahasan
penyelesaian dari โEstimasi Parameter Regresi Logistik Multinomial
Menggunakan Metode Maksimum Likelihoodโ. Pembahasan meliputi
penjelasana regresi logistik multinomial, pendugaan parameter, uji
parameter, hingga pemodelannya dengan pendekatan refresi logistik
multinomial.
4.1 Regresi Logistik Multinomial
Model regresi logistik multinomial adalah model regresi logistik
dengan variabel independen lebih dari satu (Hosmer nad Lemeshow, 1989).
Untuk model regresi dengan variabel dependen berskala ordinal tiga
kategori digunakan kategori variabel hasil Y dikoding 1, 2, dan 3. Variabel
Y terparameterisasi menjadi tiga fungsi logit. Pengembangan model logit
multinomial dapat dijelaskan sebagai berikut.
Misalkan variabel dependen terdiri dari tiga kategori:
๐1 : Probabilitas memilih kejadian 1.
๐2 : Probabilitas memilih kejadian 2.
๐3 : Probabilitas memilih kejadian 3.
Diberikan sejumlah p variabel independen yang dinyatakan dengan
vektor x = (๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐) dan diasumsikan masing-masing variabel
tersebut berskala interval maupun berskala rasio, maka model regresi
multinomial dinyatakan sebagai :
๐(๐ฅ๐) = ๐๐(๐ฅ๐)
1+๐๐(๐ฅ๐) , i = 1, 2, โฆ , n;
dengan
๐(๐ฅ๐) = ๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
22
Atau model dapat ditulis sebagai:
๐(๐ฅ๐) = ๐
(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
(4.1)
di mana,
๐(๐ฅ๐) = peluang saat variabel independen bernilai i pada data penelitian
e = eksponen
๐ฝ0 = konstanta
๐ฝ1, ๐ฝ2, โฆ , ๐ฝ๐ = koefisien parameter variabel independen
๐ฅ๐1, ๐ฅ๐2, โฆ , ๐ฅ๐๐ = variabel independen ke-ij, i = 1, 2, โฆ , n, j = 1, 2, โฆ , n.
Dengan demikian maka apabila variabel dependennya berupa 3
kategori yang diberi kode 1, 2, dan 3, maka persamaannya adalah sebagai
berikut:
1. P(Y =1|x) = ๐1(x)=
exp (๐ฝ10+ ๐ฝ11๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ1๐๐ฅ๐)
1+exp(๐ฝ10+ ๐ฝ11๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐)+exp (๐ฝ20+ ๐ฝ21๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ2๐๐ฅ๐)
(4.2)
2. P(Y=2|x)=๐2(x)=
exp (๐ฝ20+ ๐ฝ21๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ2๐๐ฅ๐)
1+exp(๐ฝ10+ ๐ฝ11๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐)+exp (๐ฝ20+ ๐ฝ21๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ2๐๐ฅ๐)
3. P(Y=3|x)=๐3(x)=
exp (๐ฝ30+ ๐ฝ31๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ3๐๐ฅ๐)
1+exp(๐ฝ10+ ๐ฝ11๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐)+exp (๐ฝ20+ ๐ฝ21๐ฅ1+โฏ+ ๐ฝ2๐๐ฅ๐)
Dari persamaan (4.2) dapat diketahui bahwa variabel dependen
dengan tiga kategori akan membentuk dua persamaan logit. Dari tiga
kategori akan ditentukan salah satu kategori dari variabel dependen
digunakan sebagai pembanding. Model regresi logistik dengan tiga
variabel dependen memiliki fungsi logit sebagai berikut:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
23
๐1(x) = ln[๐1(๐ฅ)
๐3(๐ฅ)]
= ๐ฝ10 + ๐ฝ11๐ฅ1 + ๐ฝ12๐ฅ2 + โฆ + ๐ฝ1๐๐ฅ๐
= x๐ฝ1 (4.3)
๐2(x) = ln[๐2(๐ฅ)
๐3(๐ฅ)]
= ๐ฝ20 + ๐ฝ21๐ฅ1 + ๐ฝ22๐ฅ2+ โฆ + ๐ฝ2๐๐ฅ๐
= x๐ฝ2 (4.4)
(Hosmer dan Lemeshow, 2000)
4.2 Transformasi Logit pada Model Regresi Multinomial
Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000) pada model regresi logistik
multinomial, untuk menghubungkan suatu fungsi nonlinear dengan fungsi
linear sehingga memudahkan dalam mengestimasi parameter ๐ฝ, diperlukan
transformasi logit ln[๐(๐ฅ๐)
1โ๐(๐ฅ๐)]
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa:
ln[๐(๐ฅ๐)
1โ๐(๐ฅ๐)] = ๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + ๐ฝ2๐ฅ๐2 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐
Bukti:
๐(๐ฅ๐) = ๐
(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
dan
1 - ๐(๐ฅ๐) = 1 - ๐
(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
=1+๐
(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
โ๐
(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
24
= 1
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
sehingga didapatkan
๐(๐ฅ๐)
1โ๐(๐ฅ๐) =
๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
รท1
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
= ๐
(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
ร (1 + ๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐))
= ๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
ln[๐(๐ฅ๐)
1โ๐(๐ฅ๐)] = ln ๐(๐ฝ0+ ๐ฝ1๐ฅ๐1+ ๐ฝ2๐ฅ๐2+โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
= ๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + ๐ฝ2๐ฅ๐2 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐ (4.5)
Terbukti.
Jadi persamaan logit pada model regresi logistik multinomial adalah
g(๐ฅ๐) = ๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + ๐ฝ2๐ฅ๐2 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐ (4.6)
4.3 Maksimum Likelihood Estimasi
Misalkan terdapat sampel terdiri n observasi bebas yang
berpasangan yaitu (๐ฅ๐,๐ฆ๐), i =1, 2, 3, โฆ, n. Dengan model regresi logistik
multinomial adalah ๐(๐ฅ๐) = ๐๐(๐ฅ๐)
1+๐๐(๐ฅ๐) dan fungsi kepadatan adalah f(๐ฆ๐;
๐(๐ฅ๐)) = (๐(๐ฅ๐))๐ฆ๐
.[1 โ ๐(๐ฅ๐)]1โ๐ฆ๐, i = 1, 2, 3, โฆ , n dengan ๐ฆ๐ = 0, 1.
Maka dapat dibentuk fungsi likelihood sebagai berikut:
l(๐ฝ) = โ ๐[๐ฆ๐; ๐(๐ฅ๐)]๐๐=1
= ((๐(๐ฅ1))๐ฆ1[1 โ ๐(๐ฅ1)]
1โ๐ฆ1).((๐(๐ฅ2))๐ฆ2[1 โ ๐(๐ฅ2)]
1โ๐ฆ2) โฆ
((๐(๐ฅ๐))๐ฆ๐[1 โ ๐(๐ฅ๐)]
1โ๐ฆ๐)
= โ (๐(๐ฅ๐))๐ฆ๐
. [1 โ ๐(๐ฅ๐)]1โ๐ฆ๐๐
๐=1 ), i = 1, 2, โฆ , n (4.7)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
25
Dari persamaan (4.7) di atas untuk mempermudah dalam proses
perhitungan selanjutnya, maka dicari log likelihoodnya, karena akan
mencapai maksimum pada ๐ฝ yang sama. Jadi persamaan (4.7) diatas dapat
diubah menjadi:
l(๐ฝ) = ln l(๐ฝ)
= ln(((๐(๐ฅ1))๐ฆ1[1 โ ๐(๐ฅ1)]
1โ๐ฆ1).((๐(๐ฅ2))๐ฆ2[1 โ
๐(๐ฅ2)]1โ๐ฆ2) โฆ ((๐(๐ฅ๐))
๐ฆ๐[1 โ ๐(๐ฅ๐)]1โ๐ฆ๐))
= ln(๐(๐ฅ1))๐ฆ1
+ ln(1 โ ๐(๐ฅ1)1โ๐ฆ1 + โฆ + ln(๐(๐ฅ2))
๐ฆ2
+ ln(1 โ ๐(๐ฅ2)1โ๐ฆ2 + โฆ + (๐(๐ฅ๐))
๐ฆ๐ +
ln(1 โ ๐(๐ฅ๐)1โ๐ฆ๐
=โ ln(๐(๐ฅ๐))๐ฆ๐๐
๐ + โ ln๐๐ (1 โ ๐(๐ฅ๐)
1โ๐ฆ๐
= โ (๐๐ ๐ฆ๐ ln(๐(๐ฅ๐)) + โ (๐
๐ (1 โ ๐ฆ๐)ln(1 โ ๐(๐ฅ๐))
Dengan substitusi ๐(๐ฅ1) = ๐๐(๐ฅ๐)
1+๐๐(๐ฅ๐) , dimana g(๐ฅ๐) = ๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 +
โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐ diperoleh
l(๐ฝ) = โ (๐ฆ๐๐๐=1 ln [
๐๐(๐ฅ๐)
1+๐๐(๐ฅ๐)] + (1 โ ๐ฆ๐)ln [
1
1+๐๐(๐ฅ๐)])
๐(๐ฝ) = โ ๐ฆ๐(ln (๐๐ ๐๐(๐ฅ๐)) โ ๐ฆ๐ ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐)) + (1 โ
๐ฆ๐). (ln1 โ ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐))))
= โ (๐ฆ๐ln (๐๐ ๐๐(๐ฅ๐)) โ ๐ฆ๐ ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐)) + (1 โ
๐ฆ๐). (โ ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐))))
= โ (๐ฆ๐ln (๐๐ ๐๐(๐ฅ๐)) โ ๐ฆ๐ ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐)) โ
ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐)) + ๐ฆ๐ ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐)))
= โ (๐ฆ๐ln (๐๐ ๐๐(๐ฅ๐)) โ ln ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐)))
= โ (๐ฆ๐๐๐ (๐(๐ฅ๐)) โ ln ln(1 + ๐๐(๐ฅ๐)))
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
26
= โ (๐ฆ๐๐๐ (๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) โ ln (1 +
๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐))) (4.8)
Untuk memperoleh nilai estimator ๏ฟฝฬ๏ฟฝ0, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ1, โฆ , ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ yang
memaksimumkan l(๐ฝ), persamaan diatas dideferensialkan terhadap setiap
๐ฝ๐, ๐ = 0, 1, 2,โฆ , ๐ yaitu :
l(๐ฝ) = โ (๐๐ ๐ฝ0๐ฆ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1๐ฆ1 + โฏ+ ๐ฝ๐๐ฅ๐๐๐ฆ๐ โ ln(1 +
๐(๐ฝ0). ๐(๐ฝ1๐ฅ๐1) โฆ ๐(๐ฝ๐๐ฅ๐๐)))
๐๐(๐ฝ)
๐๐ฝ0=โ [๐ฆ๐ + 0 โ๐
๐=1
(1
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) x ๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) )]
= โ [๐ฆ๐ + 0 โ (๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) )]๐
๐=1
๐๐(๐ฝ)
๐๐ฝ1=โ [0 + ๐ฅ๐1๐ฆ๐ โ๐
๐=1
(1
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) x ๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐). ๐ฅ๐1 )]
=โ [๐ฅ๐1๐ฆ๐ + ๐ฅ๐1๐ฆ1 โ๐๐=1
(1
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) x ๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐). ๐ฅ๐1)]
๐๐(๐ฝ)
๐๐ฝ๐=โ [๐ฅ๐๐๐ฆ๐ + ๐ฅ๐1๐ฆ1 โ๐
๐=1
(1
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) x ๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐). ๐ฅ๐๐ )]
Karena j = 1, 2, โฆ , n maka didapatkan
๐๐(๐ฝ)
๐๐ฝ๐=โ [๐ฅ๐๐๐ฆ๐ + ๐ฅ๐1๐ฆ1 โ๐
๐=1
(1
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) x ๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐). ๐ฅ๐๐)]
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
27
= โ [๐ฅ๐๐๐ฆ๐ โ (๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) . ๐ฅ๐๐)]
๐๐=1 (4.9)
Sehingga diperoleh persamaan likelihood:
1. โ [๐ฆ๐ (๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) )]๐
๐=1 = 0 (4.10)
2. โ [๐ฅ๐๐๐ฆ๐ โ (๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐)
1+๐(๐ฝ0 + ๐ฝ1๐ฅ๐1 + โฆ + ๐ฝ๐๐ฅ๐๐) . ๐ฅ๐๐)]
๐๐=1 = 0 (4.11)
dengan j = 1, 2, โฆ , n
Estimasi parameter ฮฒ dari persamaan (2.12) diperoleh dengan
memaksimumkan ๐ฟ(๐ฝ). Yang perlu menjadi perhatian bahwa fungsi
logaritma bersifat monoton naik sehingga jika fungsi log-likelood mencapai
maksimum, maka fungsi likelihood juga akan mencapai maksimum (Hosmer
& Lemeshow, 2000). Namun sering sekali diperoleh hasil yang eksplisit,
sehingga dilakukan metode numerik untuk memperoleh estimasi
parameternya, yaitu metode iterasi Newton Raphson untuk memaksimumkan
fungsi likelihoodBerikut akan dilakukan perhitungan manual untuk
mengestimasi parameter menggunakan metode Newton Raphson dengan 3
kali iterasi menggunakan variabel respon kadar gula darah normal (๐) dan
variabel prediktor Tekanan Darah (๐4). Hasil perhitungan manual terdapat
pada Lampiran.
4.3.1 Iterasi Pertama
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
๐ฝ๐ก = ๐ฝ0 = [00]
2. Menghitung nilai ๐๐.
๐๐ =๐๐ฝ0+๐ฝ1๐๐
1 + ๐๐ฝ0+๐ฝ1๐๐
๐(๐=0) =๐(0)+(0)(0)
1 + ๐(0)+(0)(0)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
28
=๐(0)
1 + ๐(0)
= 0,5
๐(๐=1) =๐(0)+(0)(1)
1 + ๐(0)+(0)(1)
=๐(0)
1 + ๐(0)
= 0,5
3. Membentuk matriks turunan pertama ๐0(๐ฝ0).
๐ฟ๐ฟ
๐ฟ๐ฝ0
= โ(๐๐ โ ๐๐)
๐
๐=1
= โ2
๐ฟ๐ฟ
๐ฟ๐ฝ1= โ(๐๐ โ ๐๐)๐๐
๐
๐=1
= โ11
Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah:
๐0(๐ฝ0) = [โ2โ11
]
4. Membentuk matriks turunan kedua ๐ป0(๐ฝ0).
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ02 = โโ(๐๐(1 โ ๐๐))
๐
๐=1
= โ(25)
= โ25
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ0๐ฝ1
= โโ(๐๐(1 โ ๐๐))๐๐
๐
๐=1
= โ(35)
= โ35
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ1๐ฝ0= โโ(๐๐(1 โ ๐๐))๐๐
๐
๐=1
= โ(35)
= โ35
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
29
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ12 = โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))
๐
๐=1
(๐๐)2
= โ(57)
= โ57
Maka, matriks Hessian yang terbentuk adalah
๐ป0(๐ฝ0) = [โ25 โ35โ57 โ35
]
5. Membentuk invers dari matriks Hessian.
(๐ป0(๐ฝ0))โ1
= [0,0312 โ0,0312
โ0,0508 0,0223]
6. Perkalian invers matriks Hessian dan matriks turunan pertama.
(๐ป0(๐ฝ0))โ1
(๐0(๐ฝ0)) = [0,0312 โ0,0312
โ0,0508 0,0223] [
โ2โ11
]
= [0,2812
โ0,1437]
7. Iterasi dimulai dari ๐ก = 0 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
๐ฝ๐ก+1 = ๐ฝ๐ก โ (๐ป๐ก(๐ฝ๐ก))โ1
(๐๐ก(๐ฝ๐ก))
๐ฝ1 = ๐ฝ0 โ (๐ป0(๐ฝ0))โ1
(๐0(๐ฝ0))
= [00] โ [
0,2812โ0,1437
]
= [โ0,28120,1437
]
8. Nilai ๐ฝ1 digunakan sebagai nilai taksiran awal pada iterasi kedua.
4.3.2 Iterasi Kedua
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
๐ฝ๐ก = ๐ฝ1 = [โ0,28120,1437
]
2. Menghitung nilai ๐๐.
๐๐ =๐๐ฝ0+๐ฝ1๐๐
1 + ๐๐ฝ0+๐ฝ1๐๐
๐(๐=0) =๐(โ1,035461)+(1,30819)(0)
1 + ๐(โ1,035461)+(1,30819)(0)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
30
=๐(โ1,035461)
1 + ๐(โ1,035461)
= 0,4656
๐(๐=1) =๐(โ1,035461)+(1,30819)(1)
1 + ๐(โ1,035461)+(1,30819)(1)
=๐(0,272729)
1 + ๐(0,272729)
= 0,5015
3. Membentuk matriks turunan pertama ๐1(๐ฝ1).
๐ฟ๐ฟ
๐ฟ๐ฝ0
= โ(๐๐ โ ๐๐)
๐
๐=1
= โ0,0031
๐ฟ๐ฟ
๐ฟ๐ฝ1= โ(๐๐ โ ๐๐)๐๐
๐
๐=1
= โ9,3526
Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah
๐1(๐ฝ1) = [โ0,0031โ9,3526
]
4. Membentuk matriks turunan kedua ๐ป1(๐ฝ1).
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ02 = โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))
๐
๐=1
= โ(24,9189)
= โ24,9189
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ0๐ฝ1
= โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))๐๐
๐
๐=1
= โ34,9076
= โ34,9076
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ1๐ฝ0= โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))๐๐
๐
๐=1
= โ(34,9076)
= โ34,9076
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
31
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ12 = โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))
๐
๐=1
(๐๐)2
= โ(56,8738)
= โ56,8738
Maka, matriks Hessian yang terbentuk adalah
๐ป0(๐ฝ0) = [โ24,9189 โ34,9076โ56,8738 โ34,9076
]
5. Membentuk invers dari matriks Hessian.
(๐ป1(๐ฝ1))โ1
= [0,0312 โ0,0312
โ0,0509 0,0223]
6. Perkalian invers matriks Hessian dan matriks turunan pertama.
(๐ป1(๐ฝ1))โ1
(๐1(๐ฝ1)) = [0,0312 โ0,0312
โ0,0509 0,0223] [
โ0,0031โ9,3526
]
= [0,2925
โ0,2087]
7. Iterasi untuk ๐ก = 1 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
๐ฝ๐ก+1 = ๐ฝ๐ก โ (๐ป๐ก(๐ฝ๐ก))โ1
(๐๐ก(๐ฝ๐ก))
๐ฝ2 = ๐ฝ1 โ (๐ป1(๐ฝ1))โ1
(๐1(๐ฝ1))
= [โ0,28120,1437
] โ [0,2925
โ0,2087]
= [โ0,57380,3525
]
8. Nilai ๐ฝ2 digunakan sebagai nilai taksiran awal pada iterasi ketiga.
4.3.3 Iterasi Ketiga
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
๐ฝ๐ก = ๐ฝ2 = [โ0,57380,3525
]
2. Menghitung nilai ๐๐.
๐๐ =๐๐ฝ0+๐ฝ1๐๐
1 + ๐๐ฝ0+๐ฝ1๐๐
๐(๐=0) =๐(โ1,1435)+(1,41794)(0)
1 + ๐(โ1,1435)+(1,41794)(0)
=๐(โ1,1435)
1 + ๐(โ1,1435)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
32
= 0,4448
๐(๐=1) =๐(โ1,1435)+(1,41794)(1)
1 + ๐(โ1,1435)+(1,41794)(1)
=๐(0,27444)
1 + ๐(0,27444)
= 0,5327
3. Membentuk matriks turunan pertama ๐2(๐ฝ2).
๐ฟ๐ฟ
๐ฟ๐ฝ0= โ(๐๐ โ ๐๐)
๐
๐=1
= 0,0038
๐ฟ๐ฟ
๐ฟ๐ฝ1= โ(๐๐ โ ๐๐)๐๐
๐
๐=1
= โ10,9933
Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah
๐2(๐ฝ2) = [0,0038
โ10,9933]
4. Membentuk matriks turunan kedua ๐ป2(๐ฝ2).
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ02 = โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))
๐
๐=1
= โ(24,7150)
= โ24,7150
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ0๐ฝ1= โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))๐๐
๐
๐=1
= โ(34,5681)
= โ34,5681
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ1๐ฝ0= โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))๐๐
๐
๐=1
= โ(34,5681)
= โ34,5681
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
33
๐ฟ2๐ฟ
๐ฟ๐ฝ12 = โ โ(๐๐(1 โ ๐๐))
๐
๐=1
(๐๐)2
= โ(56,1617)
= โ56,1617
Maka, matriks Hessian yang terbentuk adalah
๐ป2(๐ฝ2) = [โ24,7151 โ34,5681โ56,1617 โ34,5681
]
5. Membentuk invers dari matriks Hessian.
(๐ป2(๐ฝ2))โ1
= [โ0,2996 0,19090,1909 โ0,1425
]
6. Perkalian invers matriks Hessian dan matriks turunan pertama.
(๐ป2(๐ฝ2))โ1
(๐2(๐ฝ2)) = [โ0,2996 0,19090,1909 โ0,1425
] [0,0038
โ10,9933]
= [โ0.00280,0027
]
7. Iterasi untuk ๐ก = 2 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
๐ฝ๐ก+1 = ๐ฝ๐ก โ (๐ป๐ก(๐ฝ๐ก))โ1
(๐๐ก(๐ฝ๐ก))
๐ฝ3 = ๐ฝ2 โ (๐ป2(๐ฝ2))โ1
(๐2(๐ฝ2))
= [โ0,57380,3525
] โ [โ0,00280,0027
]
= [โ0,92350,6026
]
8. Maka nilai estimasi parameter untuk ๐ฝ0 = โ0,9235 dan untuk ๐ฝ1 =
0,6026. Hasil tersebut telah sesuai dengan hasil pengolahan data
menggunakan SPSS 22.0 yang terdapat pada Lampiran.
4.4 Uji Parameter
Sebelum dilakukan uji parameter akan dilihat penduga parameter
menggunakan metode maximum likelihood. Hasil pendugaan parameter
disajikan dalam Tabel 4.1 berikut ini:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
34
Tabel 4.1 Hasil Penduga Parameter
๏ฟฝฬ๏ฟฝ Wald Sig
Rendah 0,369 0,011 0,917
Normal 4,049 1,268 0,260
Usia 0,045 7,050 0,008
Gender 0,091 0,032 0,857
IMT 2,243 19,964 0,000
BP 0,478 0,134 0,715
Tc -0,001 0,820 0,365
LDL -0,024 5,890 0,015
HDL -0,012 0,497 0,481
TCH 0,202 2,890 0,027
LTG 0,603 1,207 0,089
Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lmapiran, diketahui variabel
independen mana yang berpengaruh terhadap variabel dependen dilihat dari
nilai signifikansi kurang dari โบ = 0,05. Variabel independen yang
berpengaruh adalah Usia, Indeks Massa Tubuh (IMT), Low Density
Lipoprotein (LDL), dan jenis serum Thyrocalcitonin Hormone (TCH).
Menggunakan variabel dependen kategori ke tiga yaitu kategori kadar
gula darah tinggi sebagai pembanding di dapatkan model regresi
logistik sebagai berikut:
๐1(๐ฅ) = 0,369 + 0,045๐1 + 2,243๐3 โ 0,024๐6 + 0,202๐8
๐2(๐ฅ) = 4,049 + 0,045๐1 + 2,243๐3 โ 0,024๐6 + 0,202๐8
Selanjutnya akan dilakukan uji parameter menggunakan uji simultan
atau uji G untuk mengetahui apakah taksiran parameter yang diperoleh
berpengaruh secara signifikan terhadap model atau tidak, dan seberapa
besar pengaruh masing-masing parameter tersebut terhadap model.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
35
4.4.1 Uji Simultan
Untuk mengetahui apakah modelnya signifikan dan bisa dilanjutkan
untuk uji berikutnya maka perlu dilakukan uji simultan seperti pada Tabel
4.2 berikut:
Tabel 4.2 Hasil Uji Simultan
Model -2 Log Likelihood Chi-Square df Sig.
Intercept Only 183,119
Final 142,483 40,636 10 .000
Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lampiran, diketahui bahwa
nilai signifikansinya lebih kecil dari โบ= 0,05 sehingga dapat disimpulkan
bahwa model tersebut signifikan dan bisa dilakukan uji selanjutnya yaitu Uji
Parsial.
Hipotesis untuk Uji Simultan yaitu:
๐ป0 : Tidak ada satupun variabel independen yang secara statistik signifikan
mempengaruhi variabel dependen
๐ป1 : Minimal terdapat satu variabel independen yang secara statistik
signifikan mempengaruhi variabel dependen.
Tolak ๐ป0 : Jika nilai signifikansi lebih kecil dari โบ = 0,05 atau Chi Square
hitung lebih besar dari Chi Square tabel (db = k - 1)
4.4.2 Uji Parsial
Uji Parsial digunakan untuk mengetahui apakah ada pengaruh
masing-masing variabel independen terhadap variabel dependen.
Tabel 4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel
Variabel Chi-Square Sig Keterangan
Intersep 7,551 0,023 Tolak ๐ป0
Usia 10,889 0,004 Tolak ๐ป0
Jenis Kelamin 5,757 0,056 Terima ๐ป0
Indeks Massa Tubuh 21,270 0,000 Tolak ๐ป0
Tekanan Darah 4,252 0,119 Terima ๐ป0
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
36
Tabel 4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel
Variabel Chi-Square Sig Keterangan
Tingkat Kolestrol 2,471 0,291 Terima ๐ป0
LDL 0,346 0,041 Tolak ๐ป0
HDL 5,138 0,077 Terima ๐ป0
TCH 2,009 0,035 Tolak ๐ป0
LTG 4,382 0,112 Terima ๐ป0
NIlai likelihood ratio test dapat ditunjukkan oleh variabel
independen yang ada dalam model pada Tabel yang tersaji pada Lampiran,
dapat diketahui signifikansi untuk variabel usia, indeks massa tubuh, jenis
serum low density lipoprotein, dan jenis serum thyrocalcitonin hormone
kurang dari โบ = 0,05 yang berarti variabel tersebut lebih baik dalam
membentuk model dibandingkan dengan model yang hanya memasukan
konstanta.
Dari empat faktor yang berpengaruh dilakukan kembali uji parsial
dan didapatkan hasil sebagai berikut:
Tabel 4.4 Hasil Uji Parsial untuk variabel yang berpengaruh
Variabel Chi-Square Sig Keterangan
Intersep 6,245 0,044 Tolak ๐ป0
Usia 6,645 0,039 Tolak ๐ป0
Indeks Mssa
Tubuh
17,530 0,000 Tolak ๐ป0
LDL 6,006 0,022 Tolak ๐ป0
TCH 6,437 0,048 Tolak ๐ป0
Setelah dilakukan pengujian kembali pada variabel yang
berpengaruh, diketahui bahwa hasil yang diperoleh tidak jauh berbeda
dengan pengujian menggunakan seluruh variabel. Dari Tabel 4.3 dan Tabel
4.4 dapat diketahui bahwa tidak ada perbedaan pada uji parsial dengan
seluruh variabel dan uji parsial dengan hanya menggunakan variabel yang
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
37
berpengaruh sehingga tetap menggunakan seluruh variabel untuk model
terbaiknya.
Uji hipotesis untuk uji parsial adalah:
๐ป0 : Variabel independen ke- j secara statisik signifikan mempengaruhi
variabel dependen
๐ป1 : Variabel independen ke- j secara statistik tidak signifikan
mempengaruhi variabel dependen
Tolak ๐ป0:Jika nilai signifikansi untuk variabel ke- j lebih kecil dari (โบ =
0,05) atau Chi-Square hitung lebih besar dari Chi-Square tabel (๐๐ = ๐ โ
1)
4.5 Uji Kebaikan Model (goodness of fit)
Untuk mengetahui apakah keseluruhan variabel independen
memiliki pengaruh terhadap variabel dependen maka perlu dilakukan uji
kebaikan model (goodness of fit) dengan Uji Pearson dan hasilnya akan
ditampilkan pada Tabel 4.5 berikut ini:
Tabel 4.5 Hasil Uji Kebaikan Model
Chi-Square Df Sig
Pearson 175,386 188 0,736
Deviance 142,483 188 0,994
hipotesis yang diuji adalah:
๐ป0 : model layak digunakan atau model sesuai
๐ป1 : model tidak layak digunakan atau model tidak sesuai
Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lampiran, diketahui bahwa
nilai p-value dari Pearson sebesar 0,736 lebih besar dari โบ = 0,05 jadi ๐ป0
diterima dan model layak digunakan atau model sesuai
4.6 Koefisien Determinasi
Nilai koefisien determinasi dapat diketahui dari nilai Mc Fadden,
Cox and snell dan Nagelkerke seperti pada Tabel 4.6 berikut ini:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
38
Tabel 4.6 Hasil Koefisien Determinasi
Cox and Snell 0,330
Nagelkerke 0,393
Mc Fadden 0,219
Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lampiran, diketahui bahwa
nilai Cox and Snell sebesar 0,33, nilai Nagelkerke sebesar 0,393 dan nilai
Mc Fadden sebesar 0,219. Artinya variabel bebas nya mampu menjelaskan
variabel terikat sebesar 31,4%.
Faktor-faktor yang berpengaruh secara signifikan diuji kembali dan
didapatkan hasil seperti pada Tabel 4.7 berikut ini:
Tabel 4.7 Uji Koefisien Determinasi untuk Variabel yang Berpengaruh
Cox and Snell 0,251
Nagelkerke 0,299
Mc Fadden 0,157
Dari Tabel yang tersaji pada Lampiran, dapat diketahui bahwa nilai
Cox and Snell sebesar 0,251, nilai Nagelkerke sebesar 0,299 dan nilai Mc
Fadden sebesar 0,157. Artinya variabel bebas nya mampu menjelaskan
variabel terikat sebesar 23,5%
Berdasarkan Tabel 4.6 dan Tabel 4.7 diketahui bahwa nilai koefisien
determinasi menggunakan seluruh variabel lebih besar dari nilai koefisien
determinasi yang hanya menggunakan variabel yang berpengaruh.
4.7 Pemodelan Regresi Logistik Multinomial
Dapat dibentuk model logit terbaik regresi logistik multinomial pada
contoh kasus diabetes mellitus. Dari persamaan (4.3) dan (4.4) akan
didapatkan:
Logit 1
๐1(x) = ln[๐1(๐ฅ)
๐3(๐ฅ)]
๐1(๐ฅ) = 0,369 + 0,045๐1 + 2,243๐3 โ 0,024๐6 + 0,202๐8
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
39
Dengan Logit 1 merupakan log perbandingan antara peluang kadar
gula darah rendah terhadap kadar gula darah tinggi pada penyakit diabetes
mellitus.
Demikian pula fungsi logit 2:
Logit 2
๐2(x) = ln[๐2(๐ฅ)
๐3(๐ฅ)]
๐2(๐ฅ) = 4,049 + 0,045๐1 + 2,243๐3 โ 0,024๐6 + 0,202๐8
Dengan Logit 2 merupakan log perbandingan antara peluang kadar
gula darah normal terhadap kadar gula tinggi pada penyakit diabetes
mellitus.
Dari model di atas didapatkan interpretasi yaitu:
1. Setiap penambahan usia satu tahun, maka akan meningkatkan kadar
gula darah sebanyak 0,045 mmHg, apabila Indeks Massa Tubuh, Low
Density Lipoprotein, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.
2. Setiap penambahan berat badan satu kilogram, maka akan
meningkatkan kadar gula darah sebanyak 2,243 mmHg, apabila usia, Low
Density Lipoprotein, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.
3. Setiap penambahan Low Density Lipoprotein mmol/L, maka
meningkatkan kadar gula darah sebanyak 0,024 mmHg, apabila usia, Indeks
Massa Tubuh, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.
4. Setiap penambahan variabel Thyrocalcitonin Hormone satu mIU/L,
maka akan menigkatkan kadar gula darah sebanyak 0,202 mmHg, apabila
usia, Indeks Massa Tubuh, dan Low Density Lipoprotein tettap.
5. Jika usia, Indeks Massa Tubuh, Low Density Lipoprotein, dan
Thyrocalcitonin Hormone sama dengan 0, maka kadar gula darah rendah
sebesar 0,369 dan kadar gula darah normal sebesar 4,049.
4.8 Interpretasi Model
Apabila model telah diuji dan hasilnya modelnya baik serta
signifikansinya nyata maka data tersebut dapat diinterpretasikan dengan
menggunakan uji odds ratio seperti pada Tabel 4.8 berikut ini:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
40
Tabel 4.8 Hasil Uji Odds Ratio
Kadar Glukosa Variabel Sig Odds Ratio
Rendah Usia 0,007 0,869
IMT 0,029 9,585
LDL 0,038 1,014
TCH 0,018 4,420
Normal Usia 0,019 0,969
IMT 0,000 9,226
LDL 0,048 0,999
TCH 0,039 1,599
Berdasarkan tabel yang tersaji pada Lampiran, dapat diketahui :
1. Uji odd ratio untuk usia adalah semakin bertambahnya usia pada
penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita
diabetes mellitus lebih kecil 0,869 kali dibanding penderita kadar gula darah
tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka peluang
seseorang menderita diabetes mellitus lebih kecil 0,969 kali dibanding
penderita kadar gula darah tinggi.
2. Uji odd ratio untuk IMT adalah semakin bertambahnya berat badan
pada penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita
diabetes mellitus lebih besar 9,585 kali dibanding penderita kadar gula
darah tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka
peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih besar 9,226 kali
dibanding penderita kadar gula darah tinggi.
3. Uji odd ratio untuk LDL adalah semakin tinggi kadar LDL pada
penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita
diabetes mellitus lebih besar 1,014 kali dibanding penderita kadar gula
darah tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka
peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih kecil 0,999 kali
dibanding penderita kadar gula darah tinggi.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
41
4. Uji odd ratio untuk TCH adalah semakin tinggi kadar TCH pada
penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita
diabetes mellitus lebih besar 4,420 kali dibanding penderita kadar gula
darah tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka
peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih besar 1,599 klai
dibanding penderita kadar gula darah tinggi. Berdasarkan hasil uji odd ratio
diketahui besarpeluang seseorang dengan kadar gula darah rendah, normal
dan tinggi menderita diabetes mellitus.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan pada kasus kadar gula darah
pasien penyakit diabetes mellitus menggunakan regresi logistik multinomial
diperoleh kesimpulan bahwa dari 9 variabel independen yang diteliti, hanya
4 faktor saja yang signifikan mempengaruhi kadar gula darah pasien
penyakit diabetes mellitus. Model regresi logistik multinomial yang
didaptkan yaitu ๐1(๐ฅ) = 0,369 + 0,045๐1 + 2,243๐3 + 0,024๐6 +
0,202๐8 dan ๐2(๐ฅ) = 4,049 + 0,045๐1 + 2,243๐3 + 0,024๐6 +
0,202๐8. Faktor yang paling mempengaruhi kadar gula darah pasien
penyakit diabetes mellitus adalah usia (๐ฅ1), Indeks Massa Tubuh (IMT)
(๐ฅ3), Low Density Lipoprotein (LDL) (๐ฅ6), dan jenis serum Thyrocalcitonin
Hormone (TCH) (๐ฅ8).
5.2 Saran
Sebagai saran yang ditujukan kepada pembaca yang ingin
menyelesaikan estimasi parameter regresi logistik multinomial agar dapat
mengembangkan lebih luas lagi dengan menggunakan metode yang berbeda
dari penelitian yang penulis lakukan. Pada penelitian ini terbatas pada cara
mengestimasi parameter menggunakan metode maximum likelihood.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Daftar Pustaka
Agresti, Alan. 1990. Categorical Data Analysis, John Willey & Sons Inc.,
New York
Agresti, Alan. 2002, Categorical Data Analysis Second Edition, John Wiley
& Sons Inc., New York.
Agresti, Alan. 2007. An Introduction to Categorical Data Analysis. John
Wiley & Sonc Inc., New York
Bradley Efron, Trevor Hastie, Iain Johnstone and Robert Tibshirani. 2004.
Least Angle Regression. Statistics Department Stanford University.
Research Papers, Vol 32 No. 2. Pp-407-408.
Gudono. 2011. Analisis Data Multivariat. Yogyakarta: BPFE โ Yogyakarta.
Anggota IKAPI.
Gunardi. 1999. Metode Statistik. Yogyakarta: FMIPA Universitas Gadjah
Mada.
Hayati, Erna. 2014. Analisis Regresi Logistik untuk Mengetahui Faktor-
Faktor yang Mempengaruhi Frekuensi Kedatngan Pelanggan di Pusat
Perbelanjaan โXโ. Jurnal Ekbis, Vol 12 No. 3.
Hosmer, D. W., dan Lemeshow, S. 1989. Applied Logistic Regression. John
Wiley & Sons Inc., New York.
Hosmer, D.W., dan Lemeshow, S. 2000. Applied Logistic Regression. John
Wiley & Sons Inc., New York.
Kurniasari, Lia, Eni Sumarminingsih, dan Solimun. 2013. Pemodelan
Regresi Logistik Dan Regresi Probit Pada Variabel Bebas
Multinomial. Jurnal Matematika. Pp-309-310
Montgomery, Douglas, Elisabateh Peck, dan G. Geoffrey Vining. 1992.
Introduction to Linear Regreession Analysis. John Willey & Sons
Inc., New York
Powers, M.A. 2010. Metabolic Diseases: Advances in Research and
Treatment. Journal of the American Dietetic Association. USA
Sudjana. 1997. Metode Statistika. Bandung: PT. Tarsito Bandung.
Suharjo, Bambang. 2008. Analisis Regresi Terapan dengan SPSS.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
Supangat, Andi. 2007. Statistika: dalam Kajuan Deskriptif, inferensi, dan
nonparametrik. Jakarta: Kencana.
Usman, Husaini, dan Akbar, Purnomo Setiady. 2006. Pengantar Statistika.
Jakarta: Bumi Aksara.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
44
Widarjono, Agus. 2010. Amalisis Multivariat Terapan. Yogyakarta:
Sekolah Tinggi Ilmu Manajemen YKPN.
Zulkifli, Moch. Jeffry Maulana. 2014. Pendekatan Regresi Logistik
Multinomial Pada Klasifikasi Pemilihan Jurusan Siswa SMA Negeri
5 Malang. Jurnal Mahasiswa Statistik, Vol 2 No 5. Pp-349-352.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
LAMPIRAN
Lampiran 1. Metode Newton Raphson
Iterasi Pertama
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
46
Iterasi Pertama Lanjutan
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
47
Iterasi Pertama Lanjutan
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1
0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1
1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
-2 -11 25 35 35 57
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
48
Iterasi Kedua
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
49
Iterasi Kedua Lanjutan
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
50
Iterasi Kedua Lanjutan
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999
1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822
-0,00318 -9,35262 24,918931 34,907644 34,907644 56,87386
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
51
Iterasi Ketiga
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
52
Iterasi Ketiga Lanjutan
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
53
Iterasi Ketiga Lanjutan
Y X ๐ ๐ ๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐ณ
๐น๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐ท๐
๐น๐๐ณ
๐น๐ท๐๐
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708
1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964
0,003888 -10,9933 24,71505 34,56814 34,56814 56,16173
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
54
Lampiran 2. Data Pasien Penyakit Diabete Mellitus
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
55
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
56
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
57
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
58
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
59
Lampiran 3. Output SPSS untuk Pendugaan Parameter
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
60
Lampiran 4. Output SPSS untuk Uji Simultan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
61
Lampiran 5. Output SPSS untuk Uji Parsial (Wald)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
62
Lampiran 6. Output SPSS untuk Uji Kebaikan Model
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
63
Lampiran 7. Output SPSS untuk Uji Koefisien Determinasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
64
Lampiran 8. Output SPSS untuk Uji Odd Ratio
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA