Estimasi Parameter Copula Dan Aplikasinya Pada Klimatologi

1

Irwan Syahrir (1309 201 001)

Dosen Pembimbing: Dr. Ismaini Zaini, M.Si Dr.rer.pol. Heri Kuswanto, M.Si

Latar belakang

2

1. PENDAHULUAN

Analisis Statistik Distribusi Normal

- Masalah lebih mudah dan sederhana - Mudah perhitungan estimasi

Analisis hubungan antara 2 (dua)

variabel

pengukuran dependensi antara variabel

Pearson

Korelasi

Asumsi

-Spearman - Kendall

Kasus distribusi tidak normal

3

Latar belakang (lanjutan)

Pendekatan “Copula” Mengapa?

- Mampu mengatasi dependensi variabel yang berdistribusi tak normal - Informasi struktur dependen lebih banyak - Lebih fleksibel : distribusi marginal dari variabel dependen dapat

dibedakan atau bahkan dapat mengetahui distribusi variabel yang tidak diketahui. (Schölzel ,2008)

Kasus Multivariat kompleks

Penelitian - Biostatistic - Risk management

- insurance/actuaria - Climatology/meteorology, etc

Ketidaknormalan diabaikan dalam perhitungan korelasi

Struktur dependensi Struktur probabilitas fungsi densitas

4

Latar belakang (lanjutan)

 hidrology : Favre et al. (2004) dan Genest et al. (2007).

 Keuangan dan asuransi : Cherubini et al. (2004) dan Mcneil et al. (2005)

 Ekonometrika dan time series: Patton (2002;2009).

 Klimatologi : Schölzel (2008).

Schölzel (2008), menjelaskan pola distribusi dan fungsi densitas dari variabel random multivariat pada data temperatur, curah hujan dan kecepatan angin.

Penelitian dengan pendekatan Copula :

Sklar (1959)

Theorema Sklar’s Suatu cara untuk menjelaskan struktur dependensi vektor random

Estimasi copula menyatakan bahwa setiap distribusi marginal harus dihitung dan dimasukkan ke dalam estimasi distribusi multivariat

Copula

5

Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). (Choroś et al. ,2010)

Estimasi Parameter Copula

Pendekatan model parametrik, semiparametrik dan non parametrik

(Charpentier et.al.,2006)

Kasus Klimatologi

Copula Archimedean

Gumbel Clayton

Aplikasi Geoscience (Embrechts et al.,2001)

6

• Tujuan Penelitian

1. Menentukan estimasi parameter copula archimedean 2. Mengaplikasikan pada data klimatologi

 Manfaat Penelitian

1. Memperkenalkan metode alternatif yaitu pendekatan copula khususnya keluarga archimedean, yang dapat diaplikasikan pada data iklim yang distribusinya tidak normal.

• Batasan Masalah

1. Estimasi parameter copula dg pendekatan Kendall’s Tau 2. Parameter Copula gumbel dan Clayton 3. Variabel yang dilibatkan hanya dibatasi 2 (dua) variabel atau

bivariat, yaitu data kecepatan angin rata-rata dengan tekanan udara diatas permukaan air laut dan kecepatan angin dengan temperatur udara

7

2. Teori Copula

1 ,.....,

mX X F F

dengan domain

Suatu m dimensi vektor random X dengan fungsi distribusi kumulatif marginal (Marginal Cumulative Distribution Function)

Variabel random multivariat

Asumsi

1 ( ) 0XF −∞ =

joint distribusi dari vektor random dapat ditulis sebagai fungsi dari distribusi marginalnya.

1 ( ) 1XF ∞ =

1 1 ( ) ( ( ),...., ( )

mX X X X m F x C F x F x=

ℜ Theorema Sklar’s (1959)

fungsi yang menghubungkan margin univariat menjadi distribusi multivariat, dimana fungsi tersebut merupakan fungsi distribusi bersama dari variabel random uniform standar normal. (Nelsen ,1999)

copula

fungsi distribusi bersama dari transformasi variabel random

( ) jj X j

U F X= j=1,…,m

1

1 1 1 0 0

( ,..., ) ... ( ,..., ) ... muu

X m X m mC u u c u u du u= ∫ ∫Distribusi fungsi copula

1 1 ( ) ( ( ),...., ( )

mX X X X m F x C F x F x=

[ ] [ ] [ ]: 0,1 ... 0,1 0,1XC x x →

Uj memiliki distribusi marginal yg uniform. Jika distribusi marginalnya kontinu, maka fungsi copula adalah unik (nelsen,2006)

8

( ) jj X j

u F x=

setiap probabilitas densitas bersama dapat dituliskan sebagai hasil dari probabilitas densitas marginal dan densitas copula.

1 1 1 ( ) ( )... ( ). ( ,..., )

mX x X m X m f x f x f x c u u=

Fungsi distribusi multivariat dengan marginal uniform standar

Fungsi copula

9

Teorema Sklar’s

Keluarga Copula

Copula Students t

Fungsi densitas copula normal :

10

a. Copula Ellip

b. Copula Archimedian

( ) ( ) ( )

1 2

1 1 , , 1 2

1 2 1 1 1 2

( ), ( ) ( , )

( ) ( ) X X u uc u u

u u ρ

ρ

ϕ

ϕ ϕ

− −

− −

Φ Φ =

Φ Φ

Copula ellip Copula normal

( )1 11 2 1 2( , ) ( ), ( )C u u u uρ ρ − −= Φ Φ ΦFungsi copula normal :

1 2

2 2 , , 1 2 1 2 1 222

1 1( , ) exp [ 2 ] 2(1 )2 1

X X x x x x x xρϕ ρρπ ρ  

= − + − −−  

dimana

Fungsi distribusi kumulatif bivariat standar normal dengan korelasi ρ (sklar,1959)

1

2

Karakteristik Copula student’s t

11

Copula Students t

Dalam kasus bivariat copula t dapat dituliskan sebagai berikut:

1 1 1( ) ( )

1 2 2

2 2 2 2 1 1 2 2

1 22

2 2( , , , ) (1 )

2

2 x 1 (1 )

v v dt u t ut v

v

v

C u u v v v

x x x x dx dx v

ρ π ρ

ρ ρ

− −

−∞ −∞

+ −

+ Γ   =

 Γ −   

 − + + − 

∫ ∫ 1

v

v

t t

−

dimana ρ adalah koefisien korelasi, ν adalah jumlah derajat bebas.

Contoh pdf dari t-Copula dengan ρ=0,865

dan v = ∞, 5, 2.5 (dari kiri ke kanan).

Copula Archimedian

(i) Clayton (ii) Frank (iii) Gumbel

1 X 1 1C ( ,..., ) ( ( ) ... ( ))m mu u u uφ φ φ

−= + +Fungsi copula archimedian

fungsi disebut fungsi generator dari copula (Nelsen ,2006)

( ) 1 (Clayton)

1( ) log (Frank) 1

( ) ( log ) (Gumbel)

C

F

F

G

C

u

F

G

u u

eu e

u u

θ

θ

θ

θ

φ

φ

φ

−= −

 − =  −  = −

φ

12

1 X 1 2 1 2C ( , ) ( ( ) ( ))u u u uφ φ φ

−= +

Kasus bivariat

3. Estimasi Copula

13

Estimasi parameter copula dapat diperoleh dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) (Mikosch ,2006). Dengan mendeskripsikan parameter yang diberikan copula dan distribusi marginal, estimasi ML diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log likelihood.

1 2 1 1 2 2 1

( , ,..., ) ( ( ), ( ),..., ( ) ( ) d

d d d i i i

f x x x c F x F x F x f x =

= ∏

1 2 1 2

1 2

( , ,..., )( , ,..., ) ,...,

d d

d

C u u uc u u u u u u

∂ =

∂ ∂ ∂ densitas dari

d-dimensi copula 1 2( , ,..., ; )dC u u u θ

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2ln ( , ; , ) ln ( ( ; ), ( ; ); ) ln ( ; ) ln ( ; )f x x c F x F x f x f xθ ρ θ θ ρ θ θ= + +

model fungsi likelihood Copula

Menurut Genest dan rivest (1993) untuk mengkonstruksi estimasi parameter COPULA dapat menggunakan observasi nilai Kendall’s tau

1

0

( )1 4 ( ) u du u

φτ φ

= + ′∫

4. Estimasi Parameter Copula Archimedean

Cφ Fungsi generator Copula Archimedean

- Cuaca (weather) - Iklim (climate) besaran unsur fisika atmosfer

unsur cuaca atau unsur iklim

- penerimaan radiasi matahari

- suhu udara - kelembaban udara - tekanan udara - Kecepatan angin

- arah angin - penutupan awan - presipitasi (embun, hujan, salju) - evaporasi.

Cuaca keadaan udara pada saat tertentu dan di wilayah tertentu yang relatif sempit dan pada jangka waktu yang singkat.

Iklim keadaan cuaca rata-rata dalam waktu satu tahun yang dilakukan dalam waktu yang lama dan meliputi wilayah yang luas.

Pengertian Cuaca dan Iklim

15

 Tekanan udara adalah suatu gaya yang timbul akibat adanya berat dari lapisan udara. Besarnya tekanan udara di setiap tempat pada suatu saat berubah-ubah. Makin tinggi suatu tempat dari permukaan laut, makin rendah tekanan udaranya. Besarnya tekanan udara diukur dengan barometer dan dinyatakan dengan milibar (mbar).

 Angin adalah udara yang bergerak dari daerah bertekanan udara tinggi ke daerah bertekanan udara rendah. Kecepatan angin dapat diukur dengan suatu alat yang disebut Anemometer

 Temperatur Udara adalah tingkat atau derajat panas dari kegiatan molekul dalam atmosfer yang dinyatakan dengan skala Celcius, Fahrenheit, atau skala Reamur.

16

Dari pengertian diatas dapat diketahui bahwa antara tekanan udara,kecepatan angin dan temperatur udara saling berhubungan. Perbedaan tekanan udara di suatu daerah akan me