ESTIMASI - Informatics Department · PDF fileestimasi (penaksiran) Jika parameter populasi...
Transcript of ESTIMASI - Informatics Department · PDF fileestimasi (penaksiran) Jika parameter populasi...
ESTIMASI
Salah satu aspek untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dengan memakai sampel yang diambil dari populasi tersebut menggunakan estimasi (penaksiran)
Jika parameter populasi disimbolkan dengan θ maka θ yang tidak diketahui harganya ditaksir oleh harga
yang dinamakan dengan estimator (penaksir) θ̂
Ciri-ciri estimator / penaksir yang baik1. Tak bias, jika rata-rata semua harga akan
sama dengan θ, E( )= θ2. Efisien, jika memiliki varians yang minimun3. Konsisten, jika θ yang dihitung berdasarkan
sampel acak berukuran n semakin besar n menyebabkan mendekati θθ̂
θ̂θ̂
θ̂
menyebabkan mendekati θθ
θθ̂n
lim=
∞→
Contoh :
1. rata-rata dari distribusi sampling rata-rata maka rata-rata sampel penaksir tak bias
µµx
=x
2. rata-rata dari dist sampling rata-rata, dan juga tetapi
sedemikian hingga dist rata-rata memiliki varians lebih kecil dari dist median sehingga rata-rata sampel sebagai penaksir yang efisien
µµ Med =n
σσ =s
n
σ 1.2533σMed=
µµx
=
sampel sebagai penaksir yang efisien
CARA MENAKSIR
1. Interval Estimations (Interval taksiran)
dari penelitian dan perhitungan-perhitungan harga statistik suatu sampel, bisa dihitung suatu interval dimana dengan peluang tertentu, harga parameter yang hendak ditaksir terletak dalam interval tersebut (A < θ < B)(A < θ < B)
2. Point Estimations (titik taksiran)
harga parameter hanya ditaksir dengan satu harga yakni harga sitatistik sampelnya θθ̂ =
Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisin kepercayaan dengan 0 < γ < 1
Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan γ maka sebuah sampel acak diambil, lalu hitung nilai-nilai statistik yang diperlukan
P(A < θ < B) = γ
A θ B
P(A < θ < B) = γ
dengan A dan B fungsi dari statistik, yang berarti peluangnya adalah γ bahwa interval yang sifatnya acak yang terbentang dari A ke B akan berisikan θatau 100 γ % percaya bahwa parameter θakan berada dalam interval A dan B
I. MENAKSIR RATA-RATA, µ
• Titik taksiran untuk µ
populasi dengan parameter rata-rata µ akan ditaksir, diambil sampel yang dihitung nilai statistik . Titik taksiran untuk µ adalah
• Interval taksiran untuk µ
x x
a) Simpangan baku diketahui, populasi normalmaka 100γ % interval kepercayaan untuk µ
adalah
)1.(..........n
σzxµ
n
σzx
γγ21
21 +<<−
b) Simpangan baku tidak diketahui, populasi normal maka 100γ % interval kepercayaan untuk µ adalah
dengan tp = niali t dari daftar dist t, p = ½ (1 + γ)dk = derajat kebebasan = n – 1
Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :
)2.(..........n
stxµ
n
stx pp +<<−
Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :
1N
nN
n
stxµ
1N
nN
n
sx
1N
nN
n
σzxµ
1N
nN
n
σzx
pp
γγ
:menjadi )2(
:menjadi (1)
21
21
−−+<<
−−−
−−+<<
−−−
t
Contoh :1. Ukuran berat dari sebuah sampel acak yang terdiri
dari 200 bola-bola yang dihasilkan oleh sebuah mesin tertentu selama satu minggu menunjukkan rerata sebesar 0.824 kg dan simpangan baku 0.042 kg tentukan batas interval bila 95% bagi berat rata-rata semua bola !
Penyelesaian : Penyelesaian : n = 200 s = 0.042 Berarti simpangan baku σ tidak diketahui, diasumsikan
normal maka dengan 95% interval kepercayaan adalah ……… (silahkan coba dihitung)
824.0=x
2. Suatu biro riset ingin mengestimasi rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu dari ibu-ibu rumah tangga. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 100 ibu rumah tangga telah dipilih dari populasi ibu rumah tangga. Dari ke-100 tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp 190.600 dengan simpangan baku Rp 10.600. Hitung 98% interval kepercayaan untuk pengeluaran rata-rata untuk pembelian bahan makanan per minggu dari semua ibu-ibu rumah tangga (silahkan coba, sebagai latihan)
II. MENAKSIR PROPORSI, Ppopulasi binom berukuran N dimaka terdapat
proporsi P untuk peristiwa A � Titik taksiran untuk P
titik taksiran untuk P adalah dg x banyaknya peristiwa A
� Interval taksiran untuk P
n
xp̂ =
� Interval taksiran untuk P 100γ% interval kepercayaan P adalah
dengan q = 1 – p n
xp̂ =
n
pqzp̂P
n
pqzp̂
γγ21
21 +<<−
Contoh : Sebuah sampel acak yang terdiri 100 penggarap
sawah, 60 orang penggarap di atas ternyata juga merupakan pemilik sawah yang bersangkutan. Tentukan 90% interval kepercayaan guna penaksiran proporsi penggarap yang juga pemilik sawah
Penyelesaian :n = 100 dan x = 60 maka = 0.6 dan q = …..
n
xp̂ =
z1/2 γ = z(1/2)0.9 = 1.64n
Sehingga 90% interval kepercayaan adalah
…….< P < ……..
Dengan demikian 90% interval kepercayaan, proporsi populasi berkisar diantara …………….
III. MENAKSIR SELISIH RATA-RATA, µ1 – µ2
Titik taksiran untuk (µ1 – µ2) adalah a) σσσσ1 = σσσσ2 populasi normal dengan σσσσ1 = σσσσ2 = σσσσInterval taksiran :
Jika besarnya σ = σ = σ tidak diketahui
( ) ( )21
γ2121
21γ
21n
1
n
1σzxxµµ
n
1
n
1σzxx
21
21 ++−<−<+−−
( )21 xx −
Jika besarnya σ1 = σ2 = σ tidak diketahui
( ) ( )
2
)1()1(
n
1
n
1stxxµµ
n
1
n
1stxx
21
222
211
21p2121
21p21
−+−+−
=
++−<−<+−−
nn
snsns
p = ½ (1 + γ)
dk = n1 + n2 - 2
b) σσσσ1 ≠ σσσσ2
Dilakukan pendekatan dengan memisalkan s1 = σ1 dan s2 = σ2 , interval taksiran :
( ) ( )21
γ2121
21γ
21n
1
n
1σzxxµµ
n
1
n
1σzxx
21
21 ++−<−<+−−
c) Observasi Berpasangan c) Observasi Berpasangan
Variabel acak X dan variabel acak Y diambil sampel berukuran sama n1 = n2 = n tiap data sampel dari kedua variabel acak saling dipasangkan. Misal x1 dengan y1, x2dengan y2 dan seterusnya sehingga diperoleh beda rata-rata µB = µx – µy dan selisih tiap pasangan B1 = x1 – y1 , B2 = x2 – y2 dan seterusnya
Interval taksiran :
( )BBns
n
BB
:dengan
n
stBµ
n
stB
2
i2i
i
BpB
Bp
−=
=
+<<−
∑ ∑
∑p = ½ (1 + γ)
dk = n + n - 2( )1)n(n
BBns ii
B −−
= ∑ ∑ dk = n1 + n2 - 2
� Contoh :Ada 2 cara pengukuran untuk mengukur kelembaban
suatu zat : Cara I dilakukan 50 kali dengan rata-rata 60.2 dan
varians 24.7Cara II dilakukan 60 kali dengan rata-rata 70.4 dan
varians 37.2varians 37.2Tentukan 95% interval kepercayaan mengenai
perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu
Penyelesaian :
53.3126050
2.37)160(7.24)150(2
)1()1(
21
222
2112
=−+
−+−=
−+−+−
=nn
snsnsgab
p = ½ (1 + γ) =…..
dk = n1 + n2 – 2 =…..1 2
Sehingga tp =……
Batas-batas interval taksiran adalah
( )
( )60
1
50
131.531.9842.604.70
n
1
n
1stxx
21p21
+±−
+±−
Sehingga diperoleh : ….. < µ1 – µ2 < ……Dengan demikian 95% percaya bahwa selisih rata-
rata pengukuran kedua cara itu akan berada pada interval ………………..
2
22
1
11 ˆˆ
n
xp
n
xp ==
IV. MENAKSIR SELISIH PROPORSI, P 1 – P2
Misal
Interval taksiran untuk interval kepercayaan 100γ% selisih (P1 – P2) adalah
1
11
1
11γ2121
1
11
1
11γ21 n
qp
n
qpz)p̂p̂(PP
n
qp
n
qpz)p̂p̂(
21
21 ++−<−<+−−
Dengan q1 = 1 – p1 q2 = 1 – p2
Contoh Sampel acak dari 100 kendaraan masing-masing
yang telah dipilih dari populasi terdiri dari kendaraan di dua kota A dan kota B. di kota A, 80 buah ternyata sudah melunasi pajak kendaraan, sedangkan di kota B hanya 66 buah. Buat interval keprcayaan 95% untuk menaksir harga perbedaan proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota
Penyelesaian :n1 = n2 = 100 �γ = 0.95 � z1/2 γ = 1.96interval taksiran untuk interval kerpercayaan 95%
adalah ………. < P1 – P2 < ………
......ˆ......ˆ 21 == pp
V. MENAKSIR SIMPANGAN BAKU, σσσσJika populasi berdistribusi normal dengan varians
σ2 maka interval taksiran 100γ% untuk σ2
adalah
( ) ( )2
γ1
22
2γ1
2
21
21 χ
1)s(nσ
χ
1)s(n
−+
−<<−
Contoh
Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan bakuσ . Dihasilkan harga statistik s2 = 7.8 dengan koefisien kepercayaan 0.95 dan dk = 29 maka diperoleh
14.1495.416
8.729
7.45
8.729
0.167.45
22
2025.0
2975.0
<<⇔•<<•
==
σσ
χχ
Dapat disimpulkan 95% percaya bahwa simpangan baku σ akan berada dalam interval 2.23 dan 3.75
θ̂
VI. MENENTUKAN UKURAN SAMPEL
Perbedaan antara θ dan , b = | θ - | untuk koefisien kepercayaan γ dan berdistribusi normal dengan simpangan baku σ diketahui, ukuran sampel n ditentukan oleh :
θ̂
2zσ
2
γ
b
zσn 2
1
≥
xMenaksir rata-rata µ oleh dengan b = |µ - |x
Jika yang ditaksir itu proporsi P oleh adalah : |p̂ - P| bdan
n
xp̂ ==
2
γ
b
zP)P(1n 2
1
−≥
Apabila P(1 – P) tidak diketahui dianggap P(1 – P) = 0.25Apabila P(1 – P) tidak diketahui dianggap P(1 – P) = 0.25
Contoh :
Misal Depdiknas perlu mengetahui ada berapa % kira-kira anak SD yang bercita-cita jadi guru. Koefisien kepercayaan 0.95 dengan kekeliruan menaksir tidak lebih dari 2%. Berapa anak SD yang perlu dIiteliti?
Penyelesaian : Dianggap P(1 – P) = 0.25 (tidak diketahui P)b = 2% = 0.02 z(1/2)0.95 = 1.96
b
zP)P(1n
2
2
γ21
−≥
2401n0.02
1.960.25n
2
≥
≥
Sampel itu paling sedikit harus terdiri dari 2401 anak SD