ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECONOLOGIAANTONIO JOSE DE SUCRE
EXTENSIÓN BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE RELACIONES
INDUSTRIALES
Integrantes:
Terán Dexcy
Abarca Lisbeth
Alonso Ronny
Pinto Yancare
Profesor: Jesús Estrada
Asignatura: Estadística Aplicada
ENERO, 2013
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
Este es el encargado de estudiar como estimar, es decir pronosticar, un
parámetro de la población, generalmente la media, la varianza (en consecuencia la
desviación típica) y la proporción, a partir de una muestra de tamaño n. Pero a
diferencia de la estimación puntual donde tal estimación la efectuábamos dando un
valor concreto, en esta ocasión el planteamiento es otro. Lo que se hace es dar un
intervalo donde se afirma o pronostica que en su interior se encontrará el parámetro a
estimar, con una probabilidad de acertar previamente fijada y que trataremos que sea la
mayor posible, es decir próxima a 1.
En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los
cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad
de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir
de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La
probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de
confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de
significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación
mediante tal intervalo.
El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma
que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de
confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más
precisa, aumentan sus posibilidades de error.
Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario
conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el
parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de
confianza con la desigualdad de Chebyshev.
En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un
parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una
expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de
distribución de probabilidad de θ.
Ejemplos
Intervalo de confianza para la media de una población
De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de
elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede
demostrar que la media de todas las medias muéstrales coincide con la media
poblacional:2
Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,3 la
distribución de medias muéstrales es, prácticamente, una distribución normal (o
gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:
. Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se
sigue que:
En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro
del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo
hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado
(véase el uso de las tablas en una distribución normal).
Se desea obtener una expresión tal que
En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de
confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media
muestral ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de
confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará (debido a que es
el error que se cometerá, un término opuesto).
Para ello se necesita calcular el punto —o, mejor dicho, su versión
estandarizada o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" .
Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente
imagen:
Dicho punto es el número tal que:
Y en la versión estandarizada se cumple que:
Así:
Haciendo operaciones es posible despejar para obtener el intervalo:
De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:
Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el
producto del valor crítico por el error estándar .
Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30)4
, donde s es la desviación típica de una muestra.
Aproximaciones para el valor para los niveles de confianza estándar son 1,96 para
y 2,576 para .
Intervalo de confianza para una proporción
El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una
proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-
α)·100% es:
En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del
Límite y la aproximación de una binomial por una normal
Elementos de un intervalo de confianza
A la hora de plantearnos la obtención de un intervalo de confianza hemos de
adoptar una serie de decisiones previas.
La primera y más importante es la elección del parámetro poblacional del cual
deseamos obtener la estimación. Generalmente esta elección está relacionada con el tipo
de distribución que asumimos para la variable estudiada. De manera usual el
parámetro poblacional se corresponde con alguno de los parámetros de las
distribuciones, por ejemplo, si deseamos un intervalo de confianza para la probabilidad
de un suceso trabajaríamos con el parámetro p de la distribución Binomial. En algún
caso, sin embargo, podemos estar interesados en la obtención de un intervalo de
confianza para algún parámetro, por ejemplo la media poblacional, sin hacer ninguna
suposición sobre la distribución de la variable. Estaríamos dentro de la denominada
estimación no paramétrica.
Una segunda elección es el nivel de confianza con el que deseamos trabajar. No
es una elección sin importancia, puesto que del nivel de confianza dependerá la
precisión de la estimación que obtengamos, es decir, la anchura del intervalo. A mayor
nivel de confianza exigido, mayor será el radio del intervalo y por tanto menor la
precisión en la estimación. Generalmente se trabaja con niveles de confianza del orden
del 90 % o 95 %.
Ejemplo1. Intervalo de confianza para la media con conocida
Se ha obtenido una muestra de 25 alumnos de una Universidad para estimar La
calificación media de los expedientes de los alumnos.
Se sabe por otros cursos que la desviación típica de las puntuaciones en dicha
Universidad es de 2.01puntos.
La media de la muestra fue de 4.9.
1. Intervalo de confianza al 90%.
2. Intervalo de confianza al 99%.
Solución ejemplo1.
1. Intervalo de confianza al 90%.Usamos la formula:
Los cuantiles de orden 0.05 y 0.95, que encierran en el centro de la distribución
normal un área igual a 0.9 se muestran en el grafico siguiente:
Por último, sustituyendo los datos en la fórmula del intervalo, tenemos:
2. Intervalo de confianza al 99%.
3.
De modo similar obtenemos los cuantiles de orden 0.005y0.995 que describen en
el modelo normal una confianza del 99%.
Por último, sustituyéndolos datos en la fórmula del intervalo, tenemos:
Ejemplo2. Intervalo de confianza para la proporción
Se ha obtenido una muestra al azar de 150 vendedores de una Editorial para estimarla
proporción de vendedores en la Editorial que no alcanza un límite de ventas mínimo
establecido por la dirección.
De entre los seleccionados, 50 no han conseguido llegar al límite de ventas mínimo
establecido.
1. Intervalo de confianza para la proporción de trabajadores en la Editorial que no
alcanza el límite al 80%.
2. Intervalo de confianza para la proporción de trabajadores en la Editorial que no
alcanza el límite al 99%.
3. Interprete los intervalos obtenidos.
Solución
1. Intervalo de confianza para la proporción al 80%. Usamos la formula:
La proporción de la muestra es . Los cuantiles de orden 0.1 y
0.9 para el nivel de confianza dado son-1.28y1.28, respectivamente.
Sustituyendo en la expresión del intervalo:
REFERENCIAS
Rius Díaz, Francisca (octubre de 1997). «8.2. Estimación confidencial». Bioestadística.
Métodos y aplicaciones. Málaga: Universidad de Málaga. ISBN 84-7496-653-1.
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node100.htm.
Sotomayor Velasco, Gabriel; Wisniewski, Piotr Marian (2001). «10.2. Intervalos de
confianza para medias». Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Cengage
Learning Editores. p. 230. ISBN 970686136X. http://books.google.es/books?
id=0VYkub0HvJwC.
Rius Díaz, Francisca (octubre de 1997). «8.6.2. Intervalo para una proporción».
Bioestadística. Métodos y aplicaciones. Málaga: Universidad de Málaga. ISBN 84-7496-
653-1. http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node108.htm.