Estensione del campo numerico

ESTENSIONE DEL CAMPO NUMERICO

Fabio Sammarini4 ottobre 2011

La conta

LE PRIME DUE CLASSI DELLA SCUOLA PRIMARIA SONO CRUCIALICRUCIALI PER IL PROSEGUIMENTO DELL’APPRENDIMENTO

Generalmente i bambini che in terza contano sulle dita sono quelli che in

prima sono …. “persi”persi” …..

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Il bambino che arriva in classe prima

….. generalmente ha anche frequentato la scuola dell’Infanzia …….

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ha comunque già avuto esperienze matematiche

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IL BAMBINO POSSIEDE GIÁ DUE CONCETTI

LA CONTA(tipo poesia)

SUBITIZING

•Conta con inizio di ragionamento (oltre il 20….) … problema di memoria sulle diverse decine (60 e 70 che si confondono)•Conta che si fonda unicamente sulla memoria (…. 12, 13, 14, 15, 17, 18, …..)

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LA CONTA è indispensabile per poi contare le quantità

LA CORRISPONDENZA e CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ (ma anche dello spazio, del volume…)

NON è INSEGNABILE, dipende dalla maturazione dell’individuo e quindi dalla “costruzione interna” di questo concetto

Ad un certo punto il bambino capisce che la grandezza, la posizione nello spazio, ecc…. NON SONO DETERMINANTI RISPETTO ALLA QUANTITÀ

ASPETTO ORDINALE E CARDINALE insieme perché mentre conto sto ordinando

Se la conta non c’è occorre costruirla ma ….. In senso progressivo ….. Non regressivo!

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SUBITIZING È un aspetto evidenziato da psicologi che lavorano con bambini di 3/5 anni

CONSISTE NELL’INDIVIDUARE PICCOLE QUANTITÀ SENZA NECESSARIAMENTE SAPER CONTARE

Alcuni bambini sperimentano quotidianamente alcune piccole quantità …………

Ad esempio: se siamo tre in famiglia, ogni giorno apparecchio per tre mettendo tre piatti, tre bicchieri, tre posate, ….

Quindi se vede

può sapere che sono TRE senza saperlesaperle contare

Questa competenza (SUBITIZING) precede precede la capacità di contare

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L’obiettivo di lavorare con i numeri entro il 20 non deve essere statico e vincolante ….

GIOCHI PER CONQUISTARE L’OBIETTIVO DELLA CONTA(contare per contare)•Conta i tuoi passi•Conta i miei passi (fatti a velocità diverse)•Conta i battiti della matita sul banco (con gli occhi chiusi): scrivi il numero sul foglio con il simbolo o con il disegno)•POI …… conta regressiva

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CONTEGGIO CON GRANDI COLLEZIONI(LA DECINA)

Contare grandi collezioni di oggetti (tappi, carte, pupazzetti, figurine …)

Lavoro a piccoli gruppiLavoro a piccoli gruppiConta tutti i i tappi così potrò segnare il totale

Ho contato con le mie dieci dita tutti i tappi, ma ora non riesco ad andare avanti.

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TABELLA PER REGISTRARE LE IPOTESI

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Quante castagne sono? … automobili, tazze, persone, piante,….. Quanti sassolini sono? … bicchieri, bambini, legnetti,…

Quantificare una collezione è una tra le più ricorrenti situazioni a cui siamo confrontati (non solo a scuola, ma nel corso di tutta la vita).

SITUAZIONE:scrivi sul foglio la quantità di oggetti appoggiati sui tavoli. RICORDA: non puoi toccare gli oggetti

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10

10

10

10

PROGRESSIVAMENTE …. Metto in evidenza dieci oggetti su ogni tavolo!SITUAZIONE:prova di nuovo ad indovinare la quantità! Confermi ancora quanto hai scritto prima?

Si procede in questo modo fino a quando gli allievi non confermano in modo definitivo le loro ipotesi

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Quante castagne sono? Usando la variabile “bicchiere” cosa cambia nell’attività? Che opportunità sono offerte all’allievo?

10

Possiamo considerare questa situazione come “fondamentale”?

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“Come possiamo accelerare la conta,..ed essere anche più sicuri?”“….formando dei gruppi.”

INDIVIDUATE LA QUANTITA’ NEL PIU’ BREVE TEMPO POSSIBILE E SPEGATE COME AVETE FATTO

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“Facciamo dei gruppi di 5 stelle.”

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“Facciamo dei gruppi di 10 stelle.”

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L’esigenza di raggruppare per 10 NON DEVE essere la prima da stimolare

Il bambino può anche raggruppare ….

Per 5 Per 2

Raggruppamenti più vicini alla realtà del bambino

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Raggruppo per 5

Ho 17 caramelle da dividere. Decido di darne 5 ciascuno. Quanti bambini posso accontentare?

Raggruppo per 2

Ogni bambino deve avere 2 caramelle. Siamo in 21. Quante caramelle devo acquistare?

La linea dei numeri

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ATTIVITÀ NEL MESOSPAZIO con la linea dei numeri

1

2

5

1

2

3

5

4

8

9

Blocco per non incorrere nell’errore di pensare i numeri come circolari

Numeri scritti in piccolo per costringere i bambini a muoversi per cercare il numero

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Attività in grandi spazi per“favorire la costruzione di rappresentazioni”“favorire la costruzione di rappresentazioni”

Giochi con i numeri fino a 20

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Gioco della corsa al 20

spirale

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Gioco dei legnetti o dei bicchieri come segnaposto 20

19181716151413121110987654321

20

10

LINEA DEI NUMERI

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• I numeri sono: o tutti COPERTIo tutti SCOPERTI

• La maestra pesca un numero• I bambini devono andare a COPRIRE (o

SCOPRIRE) il numero pescato.• L’insegnante riesce a rendersi conto di chi “va

a colpo sicuro”, di che “va avanti quando il numero è indietro”, ecc …..

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• In seguito posso dividere i bambini a coppie, usando tante linee e tanti sacchettini:

uno pesca (fa la maestra)l’altro corre e posiziona il numeropoi si scambiano

ULTERIORE SVILUPPO DELL’ATTIVITÀ•Tante linee, tante strade colorate ( anche da 15 a 32 ….., non necessariamente da 1 a …. )

•Classe divisa in squadre/coppie

•Vince la squadra/coppia che posiziona per prima il numero pescato dal compagno/maestra

Indovina il numero che ho pensato(Rappresentazione della retta numerica)

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12 15 18 19 25

Linea dei numeri con …. Le mollette

ASPETTO ORDINALE

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Fiori: mettere i petali necessari!

ASPETTO CARDINALE

12

8

5 15

26

3

10

Stime progressive - Penne

“1 kg di penne” Stima iniziale e aggiustamenti progressivi. Quale è stata la differenza tra la stima iniziale e il numero esatto?

100

1000

Scriviamo i numeri fino a 500

Osservazioni per l’insegnante:Questo materiale serve perun’attività collettiva legataall’estensione del camponumerico.• Si ritagliano i cartellini e poi gliallievi ne pescano uno alla volta e scrivono su una striscia i numeriindicati.• Quando tutte le strisce sono completate, si compone la “linea dei numeri”con la quale è possibile fare parecchie attività.

Pesca un cartellino e scrivi uno dopo l’altro i numeri su una striscia.

La banca dei numeri

ATTIVITÀ NUMERICHE FONDATE SUL VALORE POSIZIONALE DELLE CIFRE

Le attività proposte si appoggiano su una “scatola di numeri” chiamata Banca dei numeri che, a seconda dei livelli degli allievi, può essere composta da numeri entro il 100 oppure entro il 1 000

L’obiettivo prioritarioL’obiettivo prioritario nell’uso della Banca dei numeri (e di tutte le attività correlate) consiste nel mettere l’allievo in situazioni sempre più complesse nelle quali egli possa costantemente mantenere il controllo numerico della situazione.

Ce la fai a battere la clessidra?

Consegna:- Ritaglia tutti questi numeriseguendo bene le righe.- Costruisci i numeri da 1 a 20.- Ora cerca di farlo il piùvelocemente possibile dopoaver mescolato bene tutti icartellini.- Ce la fai a battere laclessidra? (2 minuti)

ESEMPI DI ATTIVITÀ

Questa attività può essere svolta oralmente (in un momento di lavoro individuale) o a partire dal testo.

Non è sempre vero che un allievo che sa scrivere correttamente dei numeri sappia poi costruirli con la Banca dei Banca dei numeri.numeri.in questo caso (quando non ci fosse padronanza del valore posizionale delle cifre) la prima attività dell’allievo può concernere in un lavoro di scoperta

COSTRUISCI IL NUMEROCOSTRUISCI IL NUMERO

- Come poi costruire il numero 367 utilizzando ciò che contiene questa scatola?

- Costruisci i seguenti numeri:

902 318385

39 88560806

712

- Dopo averli costruiti mettili in fila dal più grande al più piccolo.

- Costruisci un altro numero che possa stare tra questi due (es. 318 e 385).

- ecc. …

1. Usando la Banca dei numeri, costruisci questi tre numeri:

2. Dopo averli costruiti esegui la somma. “Annota sul tuo quaderno ciò che fai”

3. Ora scomponi i tuoi numeri e, utilizzando tutte le parti (tutti i cartellini), componi altri numeri.

ESEMPI DI ATTIVITÀ

Scomponi dei numeri per costruirne altri che Scomponi dei numeri per costruirne altri che sommati danno lo stesso risultato.sommati danno lo stesso risultato.

35 113

321

Oss: è questa una mediazione (da parte del docente) che favorisce la costruzione di algoritmi spontanei creando un collegamento diretto tra i momenti di calcolo mentale e di calcolo scritto

(Non c’è, in questo caso, nessun passaggio di decina o di centinaio.)

4. Adesso, calcola di nuovo la somma. (333+121+15=469)

5. Confronta il risultato con quello di prima. Come sono? …………Come mai trovi lo stesso risultato anche se i numeri sono diversi?

6. Cerca altre addizioni, utilizzando sempre tutti i cartellini.Scrivi tutto ciò che hai scoperto.

ESEMPI DI ATTIVITÀ

Scomponi dei numeri per costruirne altri che Scomponi dei numeri per costruirne altri che sommati danno lo stesso risultato.sommati danno lo stesso risultato.

Uso di variabili numeriche:Uso di variabili numeriche:

Le difficoltà di questo lavoro dipendono dalla quantità e dalle caratteristiche dei numeri. Il docente deve adattare il compito ai singoli allievi, proponendo progressivamente dei numeri sempre più complessi che contengano prima il passaggio di decina, poi quello di centinaia e, infine, entrambi

Giochi

IL GIOCO DEL 5

Il “Gioco del 5”, oltre a mirare alla padronanza nell’ordinare i primi dieci numeri, permette di sviluppare in modo importante la capacità di anticipazione e un “pensiero strategico”.

La costruzione del gioco per i bambini è semplicissima: - Gruppetti di quattro bambini (se si devono formare gruppi di tre si può giocare ugualmente). - Ogni allievo riceve dieci carte, non troppo grandi (le carte sono uguali per tutti gli allievi). - Ognuno, con un colore diverso, scrive su ogni carta, ben in grande, i numeri da 1 a 10.

Come si gioca?Tutte le carte vengono sparse sul tavolo, con i numeri rivolti in basso, e mescolate.Poi ogni allievo ne riprende dieci.Ognuno gira le sue carte, le ordina davanti a sé, raggruppando le carte dello stesso colore, ma in modo che siano ben visibili anche dagli altri giocatori.

Regole del gioco- Inizia il gioco chi ha il 5 nero (o del colore che si decide prima di girare le carte).- A turno, si aggiungono le altre carte, una alla volta, crescendo o decrescendo dal 5.- Ad ogni suo turno il giocatore può “attaccare” una sola carta.- Dice “passo” se non ha una carta giocabile.- Non si può “passare” quando si ha una carta che può essere giocata.- Vince (4 punti) chi per primo riesce a liberarsi di tutte le carte: 3 punti al secondo, 2 al terzo e 1 punto all’ultimo.

GIOCHI CON I GRANDI NUMERI


• 1 000 passi:1 000 passi:attività all’aperto, l’obiettivo è quello di scrivere tutti i numeri fino a 1000, ogni passo un numero.

Fasi:- scegliere una strada lunga (con poco traffico, un marciapiede).

- dividersi tra gli allievi della classe 1000 numeri (problema interessante da risolvere).

- con cosa scriviamo? (vantaggi/svantaggi)

- procedura: come facciamo?SCOPO: marcare un vissuto comune SCOPO: marcare un vissuto comune sul quale ritornare ed agganciare sul quale ritornare ed agganciare altre attività (misure, chilometro, altre attività (misure, chilometro, tempo,…)tempo,…)


• 1 000 nodi:1 000 nodi:esperienza simile a quella dei passi ma che si può svolgere in aula.

Fasi:- definire i vari pacchetti di numeri che ognuno dovrà costruire

- definire le regole: es. ad ogni spanna faccio un nodo, nei nodi che segnano le decine inserisco una perlina o un anello o un nastrino colorato.Nei nodi che segnano le centinaia inserisco un altro segno più vistoso

Nella distribuzione dei Nella distribuzione dei pacchetti non è necessario pacchetti non è necessario che ognuno abbia un tratto che ognuno abbia un tratto preciso.preciso.

MANGIANUMERI

MangianumeriLe attività proposte tramite queste schede si ricollegano a due temi fondamentali: - Valore posizionale delle cifre - Sottrazioni

MODELLO DI LEZIONE CHE INCLUDELA DIFFERENZIAZIONE

OBIETTIVI:

1. Differenziare tra livelli cognitivi dei bambini

2. Differenziare le possibilità di soluzione (ognuno ha il proprio stile cognitivo)

OBIETTIVI COGNITIVI sono legati:

• alla suddivisione in parti uguali

• alle relazioni tra parte e intero

LEZIONE INTRODUTTIVAOggi vi darò alcune cose da dividere in parti uguali.

Per fare questo dobbiamo imparare a disegnare nello stesso modo, con gli stessi simboli.

Disegniamo i bambini così e vediamo in 30 secondi quanti bambini riuscite a disegnare

Ora disegniamo una torta e due bambini

Ora scegliamo un colore diverso e dividiamo la torta in parti uguali tra i due bambini

Ora fate due frecce per farmi capire quale parte va ad ogni bambino

IN QUESTO MODO STO COSTRUENDO LA STESSA RAPPRESENTAZIONE CON TUTTA LA CLASSE

Ora disegnate 3 torte e due bambini

SOLUZIONI POSSIBILI:

• Molti bambini NON riusciranno a capire la seconda soluzione.

• Come portare l’allievo a rappresentare così?

• Il problema NON verrà affrontato adesso……..:

1. Prima metto gli allievi nella condizione di poter osservare anche la prima soluzione utilizzata da alcuni compagni (vedi uso della lavagna luminosa!!!!):si potranno già vedere degli spostamenti

2. Poi si potranno presentare alcune situazioni in cui gli oggetti NON si possono dividere materialmente, ad esempio, invece delle torte userò delle biglie, delle palline, delle figurine (situazioni in cui l’intero è una parte) MA NON A LIVELLO PRATICO, dando oggetti da tagliare, PERCHE’ DEVO RIMANERE A LIVELLO SIMBOLICO …. STO COSTRUENDO UNA RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA

PROGRESSIONE• Foglio bianco su cui far disegnare bambini il più velocemente possibile• Presentare situazioni che costringano l’allievo a frazionare• A seconda delle variabili in gioco aumentano o diminuiscono gli ostacoli

cognitivi (numero bambini e/o torte)• L’essenziale non è la riuscita nel compito ma lo sviluppo della

rappresentazione• Osservare le difficoltà emergenti• Rimettere in gioco le soluzioni emerse dai bambini• Lezione di rilancio alla classe• Invece delle torte usare le biciclette, le figurine,… Cosa succede? I bambini

le tagliano?

Situazioni di partizioneSituazioni di partizioneesempi di soluzioneesempi di soluzione

Dividiamo in parti ugualiDividiamo in parti uguali(Una progressione di situazioni che “mette in gioco” il tema della partizione.)

Gli obiettivi cognitivisono legati alla suddivisione in partipartiugualiuguali e alle relazionitra parti e interoparti e intero

Dividiamo in parti ugualiDividiamo in parti uguali

• Modifiche della distribuzione spaziale e della dimensione dei bambini (conservazione e invarianza)

• Modifiche della forma degli oggetti

• Uso di materiali concreti: tavolette, cerchietti di carta, corde ….

• (possibilità di verificare le procedure di partizione e l’uguaglianza delle parti)

MISURA

Situazione 1 – fase AObiettivo: Lo scopo di questo primo momento è di rendersi conto che il numero naturale non è più sufficiente per risolvere determinate situazioni. In sintesi, si tratta di una lezione-situazione attraverso la quale l’insegnante provoca l’ostacolo, rende cioè possibile, per l’allievo, l’incontro con la necessità (motivata dalla situazione stessa) di costruire “qualcosa di nuovo”. Situazioni di questo genere danno senso e “appartengono” al nuovo sapere, alla nuova conoscenza-competenza (concetto, procedura,...) in atto, in fase cioè di costruzione.

Per il docente si tratta anche di sperimentare, intenzionalmente, una situazione nella quale sappiamo in precedenza che difficilmente gli allievi potranno riuscire. Ci si potrebbe chiedere: ma perché farlo se la classe può riuscire solo parzialmente?

CONSEGNAIl listello che tutti avete ricevuto, ci servirà oggi come unità di misura. Per comodità gli daremo un nome: ci sono proposte? …. breve discussione ….. Bene, allora questa unità di misura si chiamerà per tutti noi DONG.Ora attenti bene: immaginiamo di vivere in un paese dove non si conosce nessun’altra unità di misura convenzionale al di fuori del DONG, quindi né i centimetri, né i metri, né i millimetri,… e tutto deve venir pertanto misurato in DONG. Ciò che vi chiedo è di iniziare, e lo potete fare a coppie, a misurare delle lunghezze all’interno dell’aula. Misurate ciò che volete: quaderno, libri, banco, finestra, porta,…. cercando di essere il più precisi possibile,… ma, attenti(!) sempre e unicamente in DONG.

DONG

Il foglio è diviso in tre colonne: 1. “oggetto”, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo

Abbiamo scelto una lunghezza dei “DONG” di 16 cm.

Sul foglio che avete ricevuto scrivete (1) cosa avete misurato (ad esempio “larghezza del banco”) e poi (2) la misura precisa. Dovete scrivere bene poiché fra un quarto d’ora circa dovrete passare il foglio a dei compagni per un primo controllo (3). Anche se lavorate a coppie, ognuno scrive sul suo foglio (il controllo sarà poi individuale).

Esempi di misure scritte dagli allievi

Tracce delle misure emerse durante la situazione 1A.

Osservazioni a posteriori: - …..

Situazione 1 – fase B (soltanto in caso di “necessità”)

Obiettivo: questa “faseB” (la situazione rimane la stessa) viene proposta alla classe se le risposte iniziali sono state “povere” e parecchio imprecise. Per raggiungere una sufficiente precisione è infatti necessario suddividere il DONG in parti equivalenti, generalmente in mezzi, quarto ottavi, 16esimi, …32esimi, … 64esimi. Se necessario, si può “provocare” questa partizione attraverso delle piegature ripetute di una striscia di carta della lunghezza di un DONG (a metà, metà della metà,…).Questa “faseB” può anche essere proposta semplicemente come consolidamento quando un numero esiguo di allievi soltanto ha raggiunto l’espressione di misure corrette e precise. In questo caso le procedure adottate vengono prima discusse e mostrate cosicché possano venir spontaneamente abbandonate quelle meno efficaci (del tipo: “2 dong e un po’ ”; “1 dong, mezzo dong e un pochino”;…)

Discussione (prima dell’inizio della lezione)

Quali difficoltà avete incontrato ieri?......... discussione……. (verosimilmente uscirà il problema legato alla difficoltà di misurare in modo preciso la “parte restante”).

Alcuni di voi hanno suddiviso il DONG in parti,… vediamo un po’…. .Bene, ma come si potrebbe suddividerlo in parti più precise? (sempre restando nel gioco, ossia senza poter ricorrere all’aiuto delle misure convenzionali, in particolare dei cm e mm). Vediamo se qualcuno di voi ha qualche idea: …….(Nel caso in cui la discussione fosse povera l’insegnante potrebbe sollecitare la riflessione). Provate a ritagliare una striscia qualunque di carta lunga come il DONG. Come potreste fare per suddividerla in parti uguali, per esempio a metà?,…. (a questo punto ben difficilmente non usciranno delle partizioni piccole e precise).

In questo caso, l’impossibilità ad usare centimetri e millimetri è un esempio di vincolo didattico.

CONSEGNA

Bene, adesso che tutti hanno uno strumento di misura più preciso, riproviamo a misurare degli oggetti, delle lunghezze, come avete fatto ieri.Annotate sempre sul foglio la vostra misura, e l’oggetto, in modo che il compagno che controllerà lo possa trovare senza difficoltà.

Il foglio è diviso in tre colonne: 1. “oggetto”, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo

DONG

Striscia di carta


Tracce delle misure emerse durante la situazione 1B.


Situazione 2Obiettivo: Si qui gli allievi hanno incontrato il problema e l’hanno risolto suddividendo l’unità (la quantità 1) in parti equivalenti e creando delle misure espresse tutte secondo la stessa unità, cioè in DONG. Per fare ciò hanno utilizzato delle frazioni (in particolare, immaginiamo, quelle multiple di 2). Ora, e questo è l’obiettivo chiave di questa seconda situazione, si tratta di favorire l’emergere di frazioni espresse in decimi e centesimi.

Naturalmente questo secondo (terzo) momento, deve essere preceduto e seguito da una discussione collettiva,

centrata sui momenti di comunicazione, argomentazione e, quando necessario, di validazione.

Discussione (prima dell’inizio della lezione) Quali difficoltà avete incontrato ieri? .. è andata meglio? .. siete riusciti ad essere precisi?... ….Oggi, la situazione sarà un po’ diversa, cambieremo paese, non userete più il DONG, bensì questo nuovo listello, questo (lungo 10 cm) , che chiameremo …. Qualcuno ha un’idea?… bene, …che chiameremo allora TANG.

CONSEGNAAncora una volta avete il vostro foglio e il vostro strumento di misura, il TANG.TANGVisto che noi lavoriamo usando un sistema che funziona di 10 in 10, ecc... (vedi decine, centinai, migliaia,…), per “comodità”, e anche per fare un’esperienza, il vostro Tang cercherete di dividerlo in 10 e in 100 parti uguali. Per fare queste suddivisioni in modo preciso potete usare per un momento la vostra riga o la squadra.1 Il foglio è diviso in tre colonne:

1. “oggetto”, cosa misuro 2. MISURA 3. Controllo

[1] A questo punto gli allievi scoprono che il loro TANG misura esattamente 10 centimetri, cioè 1Tang= 1 dm. Questa “vicinanza” serve loro (vedremo perché), anche se al momento è imposto un vincolo che consiste nel dover esprimere tutte le misure unicamente in “Tang”. Infatti, per gli allievi, sarebbe sicuramente più facile esprimere le misure in centimetri e millimetri. Ma qui siamo proprio a un punto chiave nella costruzione del concetto di numero decimale dove, ad esempio rispetto al numero 24,56, una sola è (e deve essere!) l’unità di riferimento (vedi osservazioni circa il valore posizionale delle cifre).Sarebbe anche possibile consegnare ad ogni allievo un TANG già suddiviso, usando dei materiali già esistenti (decimetri suddivisi in dieci e cento parti), però riteniamo che costruirlo (un lavoretto comunque di soli 5 min) sia un’esperienza utile (dipende naturalmente anche dalle precedenti attività svolte durante l’introduzione delle misure convenzionali).


Tracce delle misure emerse durante la situazione 2.


Situazione 3Obiettivo: Esercitare e consolidare quanto sin qui appreso in vari ambiti: lunghezze, pesi, capacità, valore.


Tramite le esperienze con i Dong e con i Tang avete appreso a misurare in modo preciso le “parti restanti”, quelle più piccole di un Dong o di un Tang. Vediamo di riassumere come avete fatto e soprattutto cosa avete usato per queste misurazioni. (… si discute)……….. (verosimilmente sull’uso delle frazioni)…. .Fase di istituzionalizzazione Bene, avete quindi scritto delle misure composte da una parte intera e da una parte frazionaria. E la parte frazionaria si riferiva sempre alla stessa ed unica unità di misura.Oggi cercheremo di consolidare quanto appreso e di correggere eventuali errori, aiutandoci a coppie. Le coppie la faremo per sorteggio, con le carte da gioco.

CONSEGNACiò che dovete fare è tutto scritto sui tre fogli che ora vi consegno. Desidero vedervi lavorare con il dovuto rispetto, soprattutto aspettando il momento opportuno per lavorare con la bilancia, i liquidi e gli stampini dei soldi.Oggi però le regole cambiano, potete usare gli strumenti di misura che credete più opportuni.Si tratta di collaborare, discutere, confrontare le idee, aiutarsi, analizzare i risultati, correggere eventuali errori.

Questo terzo momento può essere organizzato nei modi più diversi (molte sono le variabili su cui poter agire). Nel nostro caso si è scelto di lavorare “a tutto campo”, dalle lunghezze, ai pesi, alle capacità, ai soldi. Però si potrebbe suddividere questo momento in modo del tutto diverso, a dipendenza della classe, limitando ad esempio una prima esercitazione solo alle misure di lunghezza e di valore. Poi aggiungere un secondo momento per le misure di peso e di capacità. Si potrebbe anche immaginare, a dipendenza dei risultati e del tempo a disposizione, di affrontare ogni campo di misurazione separatamente. Il fatto comunque di considerare tutti questi diversi campi è essenziale in quanto implicitamente si comunica che quanto si sta imparando ha un valore generale. (Rimane l’ostacolo delle misure di tempo che verrà affrontato in un tempo successivo, dopo aver consolidato il numero decimale in queste prime misurazioni.)

Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi durante la situazione 3.

Osservazioni a posteriori:

- …..

- …..

Situazione 4 - lezione “classica” Obiettivo: Insegnamento, istituzionalizzazione ed esercitazione della scrittura decimale.


… siamo allora d’accordo: le parti più piccole dell’unità si possono misurare o costruire in modo esatto grazie ai frazionamenti che voi avete fatto delle unità. (Puntualizzazione) In tutte le esperienze sin qui vissute abbiamo usato tante diverse frazioni che possiamo dividere in due gruppi, quelle non decimali e quelle decimali.Provate un po’ a ricordare, … potete anche consultare il vostro materiale…. Da questo lato della lavagna scriveremo le frazioni NON decimali e da quest’altra parte quelle decimali.

Questo è un momento in cui l’insegnante deve insegnare. La scrittura decimale, come tutte le convenzioni, non può essere appresa per raziocinio (ciò che invece è avvenuto nelle situazioni precedenti) e pertanto richiama alla necessità di un processo di trasmissione culturale: l’allievo adatta alla nuova scrittura insegnata le “strutture” da lui costruite e quanto con ragionamento ha precedentemente appreso. Non c’è infatti un ragionamento che giustifica la scrittura convenzionale, caso mai una spiegazione (infatti si sarebbe potuto scrivere in tanti altri modi!).

Frazioni NON-decimali Frazioni decimali

½ 3/8 5/6 7/16 ¼

3/10 5/100 7/100 38/100

Fase di istituzionalizzazione Bene, avete quindi scritto delle misure composte da una parte intera e da una parte frazionaria. Ricordiamo anche, ed è molto importante, che la parte frazionaria in questi casi si riferisce sempre ad una ed una sola(!) unità.Quanto avete fatto è perfettamente corretto però a volte un po’ complesso da scrivere. Dovete sapere che esiste un modo molto semplice per scrivere esattamente le stesse cose, grazie ad una “invenzione” fatta circa cinque secoli fa:

- Invece di scrivere 8 e 3/10 si può infatti scrivere semplicemente 8,3- Invece di scrivere 6 e 2/10 e 5/100 si può scrivere semplicemente 5,25Naturalmente sapendo esattamente che quel 2 vale 2/10 e che quel 5 vale 5/100.

Finora conoscevate unità, decine, centinaia, migliaia, unità di migliaia,…ecc, Ora abbiamo allargato il nostro concetto di numero non più verso il “grande”, ma verso il “piccolo”: avete conosciuto i decimi e i centesimi e, più in là, incontrerete anche i millesimi.

Vediamo quindi di fare adesso una sintesi sul valore posizionale delle cifre.

Prendiamo ad esempio il numero 3546,72 e vediamo quanto vale ognuna delle cifre. Provate prima su di un foglio, per conto vostro, poi guarderemo subito assieme.

3546,72

La virgola (che nelle calcolatrici è un punto!) separa la parte intera dalla parte decimale del numero.

500 6

3000

40 7 10

2 100

CONSEGNA

Se per tutti è chiaro, adesso vi propongo questo esercizio. Guardate il foglio che vi ho dato. Nella prima colonna scrivete le misurazioni con le frazioni in decimi e/o centesimi che avete utilizzato sin qui nei vostri lavori. Guardate nei fogli che avete utilizzato si qui. Poi , nella colonna accanto, scrivete la stessa misura, però utilizzando la scrittura decimale che abbiamo imparato oggi.

Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi durante la situazione 4.


- ….

- …..

Situazione 5 Obiettivo: Ricapitolazione ed esercitazione. Poi e una situazione-problema che affronta il tema dell’equivalenza tra, ad esempio, 4 e 2/10 e 5/100 e 4 e 25/100

Discussione-ricapitolazione

Vediamo di rievocare mentalmente il percorso delle lezioni che ci hanno portato alla comprensione e alla scrittura dei numeri decimali. ………

CONSEGNA esercizio Oggi ci concentreremo dapprima solo sui numeri. Non importa quindi se si di tratta di Dong, di franchi, di metri o di chilometri,… o quant’altro, guardiamo unicamente i numeri.

Iniziamo con un esercizio facile se avete capito bene quanto avete imparato ieri.

Dovete semplicemente ricopiare nella casella destra i numeri decimali che io ho scritto su questa lavagna e, uno alla volta, riscriverlo a sinistra come lo avreste scritto prima di imparare la scrittura decimale, ossia parte intera e frazioni. E’ il lavoro inverso rispetto a quanto avete fatto sull’ultimo foglio che vi ho dato.

CONSEGNA situazione-problema (Dopo aver corretto l’esercizio attraverso lo scambio di fogli) Ora. a coppie, dovete cercare una risposta a questa situazione: Alla lavagna ho scritto due misure, queste: 3 e 2 /10 e 5/100 3 e 25/100 Queste due misure come sono? Una è più grande dell’altra oppure sono equivalenti? Non basta però la risposta, dovete dimostrare, spiegarne il perché. Appena avete terminato consegnate il vostro foglio con la risposta, la spiegazione e i vostri nomi, e riprendete con l’attività di laboratorio.

Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi durante la situazione 5 (esercizio).


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Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi durante la situazione 5 (situazione-problema). Osservazioni a posteriori:

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Situazioni 6…, 7…, 8…, 9…, 10…, … Le prime 5 situazioni sono servite per arrivare al numero decimale e per introdurne la scrittura.

Con le situazioni che seguono si vuole far sì che gli allievi possano man mano acquisire una sempre migliore padronanza del numero decimale, sia attraverso delle esercitazioni, dei compiti precisi, sia attraverso situazioni particolari e didatticamente significative (vedi ad esempio l’uso della scrittura frazionaria nell’eseguire delle addizioni e sottrazioni con i numeri decimali, oppure scoprire perché in un numero decimale la parte decimale deve forzatamente sempre essere inferiore a 1,…)

Grazie alle frazioni si è giunti al numero decimale, però dobbiamo stare attenti e considerare che la programmazione dell’insegnante deve a questo punto tener presente due esigenze diverse (anche se complementari): da un lato continuare la riflessione e l’apprendimento delle frazioni e, dall’altro, acquisire dimestichezza con i numeri decimali. Lo statuto dei decimi e dei centesimi nel numero decimale è infatti diverso dallo statuto e dall’utilizzo che si può fare in genere delle frazioni (fra le quali anche quelle in decimi e centesimi!).

Per fare un solo esempio possiamo dire che si può sia avere 2/10 nel numero 3,25 (e in questo caso 2/10 si riferisce quindi al valore posizionale della cifra 2 nel numero 3,25), ma, in una situazione completamente diversa (e qui abbiamo unicamente a che vedere con il concetto di frazione e non più di decimale) potrei essere nella condizione di calcolare, ad esempio, quant’è 2/10 di 30, o di 120, o di una qualunque quantità, misura o insieme.

Resta quindi chiaro che il problema della coordinazione e della relativizzazione-contestualizzazione delle conoscenze, in relazione alle diverse situazioni, non si risolve con l’introduzione del numero decimale, anzi. … Ma qui stiamo entrando in un ulteriore “oggetto” d’apprendimento (a dimostrazione comunque che siamo dentro un “reticolo” per cui un “oggetto” attira l’altro,…) Lo schema accanto sintetizza queste riflessioni:

I.D. 9 febbraio 2008

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