Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e...
Transcript of Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e...
![Page 1: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/1.jpg)
Estatística Espacial Aplicada
SEMANA 2Dados de área e Sofware
Renato M. Assuncao
LESTE - Laboratorio de Estatıstica Espacial
Departamento de Estatıstica - UFMG
http://www.est.ufmg.br/~assuncao
1
![Page 2: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/2.jpg)
Dados de Área
2
![Page 3: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/3.jpg)
Dados de Área
Mapa de uma região R particionado em n áreas.
Terminologia: Região e sub-região serão aglomerados de áreas.
Região R =⋃n
i=1Ai com Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j
Na área i é feita uma observação aleatória Yi.
Yi envolve uma agregação ou uma soma sobre a área Ai: número dehomicídios na área i; proporção de idosos na área i; arrecadação de ICMSna área i.
Medições referem-se a toda a área Ai, não a um ponto particular dentrodela
Vamos distinguir a variável aleatória de seu valor observado usando maiús-culas (Y ) para a variável e minúsculas (y) para seu valor observado.
3
![Page 4: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/4.jpg)
Padrão espacial é comum
Todo mapa apresenta sub-regiões com alguns valores relativamente maisaltos aglomerados em alguns cantos, enquanto que valores relativamentemais baixos �cam em outras partes do mapa.
Encontramos também muito "ruído": sub-regiões com valores altos ebaixos misturados aleatoriamente sem nenhum arranjo espacial mais or-ganizado.
Isto ocorre mesmo quando os valores observados no mapa são "jogados"deforma completamente casual nas áreas.
4
![Page 5: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/5.jpg)
Padrões espaciais espúrios
Por exemplo, role um dado bem balanceado para cada área e coloque umacor associada com a face que aparecer.
Qualquer aglomeração espacial de valores altos ou baixos é completamentecasual.
Não existe um mecanismo que, ao gerar os dados, estimule de algumaforma a organização espacial das cores.
Outro exemplo: SEM DIZER NADA SOBRE OMAPA, gere no computa-dor números aleatórios independentes e com normal N(0, 1). Aloque osnúmeros ao mapa de forma casual.
5
![Page 6: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/6.jpg)
Exemplos: casual
6
![Page 7: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/7.jpg)
Exemplos: casual
7
![Page 8: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/8.jpg)
Exemplos: casual
8
![Page 9: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/9.jpg)
Exemplos: casual
9
![Page 10: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/10.jpg)
Exemplos: ICAR
10
![Page 11: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/11.jpg)
Exemplos: ICAR
11
![Page 12: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemplos: ICAR
12
![Page 13: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/13.jpg)
Exemplos: ICAR
13
![Page 14: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/14.jpg)
E este? (1)
14
![Page 15: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/15.jpg)
E este? (2)
15
![Page 16: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/16.jpg)
E este? (3)
16
![Page 17: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/17.jpg)
E este? (4)
17
![Page 18: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/18.jpg)
Tarefa 1
A tarefa número 1 numa análise espacial é veri�car se é mesmo necessáriofazer uma análise espacial.
Se o mecanismo gerador dos dados parece gerar padrões espaciais espúrios,qual o sentido de analisar espacialmente estes dados?
Estaremos procurando explicar o acaso, o eventual.
Semelhante a achar que, ao ver que certas nuvens organizam-se em formasde animais, achar que existe um mecanismo que as organiza dessa formae sair em busca desse mecanismo.
Existe a tendência humana a enxergar padrões onde não existe nenhum.
18
![Page 19: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/19.jpg)
Hipóteses vagamente de�nidas
A tarefa número 1 então é fazer um teste de hipóteses.
Consideramos duas situações possíveis para o mecanismo gerador dos da-dos que observamos no mapa.
A hipótese nula diz que os dados y1, . . . , yn foram jogados no mapa deforma totalmente casual, de forma "cega"em relação à localização espacialdas áreas.
A hipótese alternativa diz que existe um mecanismo alocando os dados àsáreas que estimula áreas próximas a terem valores mais altos que o valormédio global ou a terem valores mais baixos que o valor médio global.
A hipótese alternativa também pode incluir mecanismos diferentes doacima: um valor ALTO numa região estimular valores BAIXOS no seuredor. Este caso é menos comum na prática.
19
![Page 20: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/20.jpg)
Decisões a partir de teste de hipóteses
A idéia de um teste de hipóteses é contrastar os dados com as situaçõestípicas sob as duas hipóteses em consideração e decidir por uma delas.
Se concluirmos que os dados podem muito bem ter sido gerados sob ahipótese nula, então não faz sentido prosseguir com uma análise espacial.
Os aglomerados que vemos no mapa são perfeitamente explicáveis por ummecanismo casual de alocação de cores ao mapa.
Aceitamos a hipótese nula até evidência adicional futura vir a mudar nossaconclusão.
20
![Page 21: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/21.jpg)
Como decidir?
Para decidir entre hipóteses precisamos de um pouco mais de estruturamatemática pois temos de considerar o que é um padrão espacial USUALou TÍPICO sob a hipótese nula.
A solução estatística é usar um índice I que mede o grau de correlaçãoespacial entre os valores do mapa e obter a distribuição desse índice soba hipótese nula.
Isto é, o índice I vai medir quão parecidas são as áreas que estão local-izadas próximas umas das outras.
21
![Page 22: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/22.jpg)
Como decidir? - Slide 2
Se o o valor do índice for tal que ele poderia muito bem ter acontecidose a hipótese nula fosse verdadeira, não poderemos descartar a hipótesenula como explicação para o padrão espacial.
Para isto, calculamos se o valor do índice I poderia acontecer facilmentese a hipótese nula fosse verdadeira. Isto é, vamos calcular o P-VALORassociado com o índice medido.
Se o P-VALOR for alto (maior que 5%), NÃO descartamos a hipótese nulae interrompemos a análise ESPACIAL (prosseguimos com uma análiseNÃO-ESPACIAL).
Se o P-VALOR for baixo (menor que 5%), DESCARTAMOS a hipótesenula e PROSSEGUIMOS com uma análise espacial.
22
![Page 23: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/23.jpg)
Indices de auto-correlação espacial
O mais famoso é o índice de Moran.
Outro índice é o de Geary
Geary é menos usado que o de Moran.
Os dois índices dependem da de�nição de uma matriz de vizinhança W .
23
![Page 24: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/24.jpg)
Matriz de Vizinhança W
Matriz W de dimensão n× n.
Elemento Wij representa o peso ou o grau de conectividade ou de prox-imidade espacial entre as áreas i e j.
Diagonal nula: Wii = 0
Escolha de Wij é arbitrária (dentro de certas condições).
Especi�cação de W deveria ser feita levando em conta o problema especí-�co sob análise.
Para mapas com muitas áreas, a matriz W é construída usando um Sis-tema de Informação Geográ�co.
Armazenamento da matriz é feito usando uma codi�cação para matrizesesparsas (com muitos zeros) já que, tipicamente, mais de 95% dos elemen-tos da matriz são iguais a zero.
24
![Page 25: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/25.jpg)
De curso do INPE
25
![Page 26: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/26.jpg)
Exemplos para W
Por de�nição, Wii = 0, SEMPRE
Contiguidade espacial:
Wij ={ 1, se áreas i 6= j compartilham fronteiras
0, caso contrário
W é simétrica: W = W t
26
![Page 27: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/27.jpg)
Do curso do INPE
27
![Page 28: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/28.jpg)
Vizinhança por Contiguidade
Considere um reticulado regular
Dois tipos simples de vizinhança por contiguidade
28
![Page 29: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/29.jpg)
Exemplos para W
Para cada área, associe uma posição no plano como sendo a "localização"da área.
Por exemplo, o centróide da área ou as coordenadas da sede de um mu-nicípio.
Seja dij a distância entre as "posições "das áreas i e j.
Então
Wij ={
g(dij), se dij < δ0, caso contrário
29
![Page 30: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/30.jpg)
Exemplos para W
Opções típicas para g(dij) se dij < δ:
Step-function: g(dij) = 1
Inverso da distância: g(dij) = 1/dαij
Deacimento exponencial: g(dij) = e−α dij
Tipicamente, o parâmetro α é conhecido e, em geral, �xado a priori comosendo 1 ou 2.
30
![Page 31: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/31.jpg)
Do curso do INPE
31
![Page 32: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/32.jpg)
Ainda mais um exemplo para W
lij = comprimento da fronteira comum entre as áreas i e j
li = o perímetro da área i
Wij = lij/li
Wij 6= Wji, em geral.
32
![Page 33: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/33.jpg)
Do curso do INPE
33
![Page 34: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/34.jpg)
Padronizando W
Às vezes, matriz W é linha-padronizada: linhas da matriz W somam 1 epodem ser vistos realmente como pesos entre 0 e 1 e somando 1.
Rede�na a matriz de vizinhança como sendo W ∗ com
W ∗ij = Wij/Wi+
onde Wi+ =∑
k Wik.
Isto é, W ∗ 1 = 1.
Esta padronização garante que 0 ≤ Wij ≤ 1
Permite também que parâmetros espaciais de diferentes modelos sejamcomparáveis entre si: parâmetros espaciais ρ deverão ser < 1/λmax = 1.No entanto, não é simples interpretar estes parâmetros (ver Melanie Wall,2004).
Padronização pode tornar W ∗ não simétrica mesmo quando W ésimétrica.
34
![Page 35: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/35.jpg)
Variáveis �ltradas ou defasadas espacialmente
Considere a matriz n× n de vizinhança espacial W com Wii = 0
Vamos usar Y defasada espacialmente
WY = (Y1, . . . , Yn)t:
Y1 = W11Y1 + W12Y2 + W13Y3 + · · ·+ W1nYn
Y2 = W21Y1 + W22Y2 + W23Y3 + · · ·+ W2nYn
Y3 = W31Y1 + W32Y2 + W33Y3 + · · ·+ W3nYn· · · · · ·Yn = Wn1Y1 + Wn2Y2 + Wn3Y3 + · · ·+ WnnYn
Yi é a média ponderada das observações nas áreas vizinhas à área i.
Nesta média Yi, o peso dado à área j é Wij.
Se i e j não são vizinhos, o peso Wij é igual a zero.
35
![Page 36: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/36.jpg)
Quando W é padronizada?
Na discussão sobre o índice de Moran, a matriz W pode ser linha-padronizada ou não-padronizada.
Os resultados que vamos apresentar valem para os dois casos, linha-padronizada ou não-padronizada.
Quando estivermos lidando com uma matriz linha-padroniozada nósdeixaremos isto explícito.
36
![Page 37: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/37.jpg)
Do curso do INPE
37
![Page 38: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/38.jpg)
Do curso do INPE
38
![Page 39: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/39.jpg)
Do curso do INPE
39
![Page 40: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/40.jpg)
Do curso do INPE
40
![Page 41: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/41.jpg)
Do curso do INPE
41
![Page 42: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/42.jpg)
Do curso do INPE
42
![Page 43: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/43.jpg)
Do curso do INPE
43
![Page 44: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/44.jpg)
Do curso do INPE
44
![Page 45: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/45.jpg)
Do curso do INPE
45
![Page 46: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/46.jpg)
Acontece que nem sempre y será normal...
Nem sempre as observações y serão normais e a aproximação anteriorNÂO pode ser usada .
Por exemplo, y pode ser binária, com apenas dois valores: 0 ou 1.
Uma variável binária poderia estar apenas indicando se a área i possui ounão possui certo atributo.
Pode ser uma informação mais fácil de ser obtida do que mensurar exta-mente o valor de certa variável:.
Por exemplo, área i possui área verde ou não; área i teve pelo menos umincêndio �orestal no último ano.
46
![Page 47: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/47.jpg)
E y pode ser assimétrica...
Muitas vezes, as observações y poderão ter distribuição assimétrica (eportanto, não-normais) como no PIB per capita em municípios mineiros(ou seu log).
47
![Page 48: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/48.jpg)
Teste de permutação
Nossa hipótese nula é a que as variáveis aleatórias Y1, . . . , Yn são per-mutáveis (exchangeable, em inglês).
Isto é, se não existe autocorrelação espacial então toda possível alocaçãodas variáveis Y1, . . . , Yn ás áreas do mapa seria igualmente provável.
Ou seja, se (1), . . . , (n) indica uma permutação qualquer dos índices1, . . . , n, então a distribuição conjunta de Y1, . . . , Yn e a de Y(1), . . . , Y(n)são idênticas.
vetor permutável não implica ter componentes i.i.d. mas o contrário éválido: se Y1, . . . , Yn são i.i.d., então elas são permutáveis.
48
![Page 49: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/49.jpg)
Teste de permutação - como fazer?
Calcule o índice I de Moran com os dados observados no mapa obtendoI1.
Gere um PSEUDO-MAPA permutando aleatoriamente os valores de yientre as áreas
Calcule o índice I no pseudo-mapa obtendo um valor para o índice deMoran I(1)
Gere outros 998 PSEUDO-MAPAS adicionais calculando sempre o índicede Moran em cada um deles.
49
![Page 50: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/50.jpg)
Mapa original
50
![Page 51: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/51.jpg)
Mapa original e 3 pseudo-mapas
51
![Page 52: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/52.jpg)
Teste de permutação: p-valor
Temos o índice de Moran I(1) com os dados originais e mais 999 valoresde I calculados com os pseudo-mapas.
Os 999 valores dos pseudo-mapas dão uma boa idéia do que são os valoresusuais para I quando a hipótese nula é verdadeira.
Se o índice I(1) dos dados originais for similar aos 999 ele então poderiaaparecer facilmente se os dados forssem alocados de forma completamentecasual ao mapa.
É muito útil fazer um histograma com os valores gerados para situar quãocomum ou quão raro (extremo) é o valor original I(1) do índice.
52
![Page 53: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/53.jpg)
Moran de mapa original e 3 pseudo-mapas
53
![Page 54: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/54.jpg)
Teste de permutação: p-valor
O p-valor do teste é a proporção dos índices dentre os 1000 valores quesão maiores ou iguais ao valor original I(1) do índice.
Isto é, o p-valor é igual a
p-valor =número de I 's que são ≥ I(1)
1000
Observe que calculamos a proporção incluindo o próprio valor original doíndice. Assim, o p-valor é, no mínimo, 1/1000 pois I(1) ≥ I(1).
Rejeite a hipótese nula num teste de nível 5% se p− val < 0.05.
54
![Page 55: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/55.jpg)
Voltando aos mapas de MG: aleatório
55
![Page 56: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/56.jpg)
Voltando aos mapas de MG: aleatório
56
![Page 57: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/57.jpg)
Voltando aos mapas de MG: aleatório
57
![Page 58: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/58.jpg)
Voltando aos mapas de MG: aleatório
58
![Page 59: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/59.jpg)
Voltando aos mapas de MG: ICAR
59
![Page 60: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/60.jpg)
Voltando aos mapas de MG: ICAR
60
![Page 61: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/61.jpg)
Voltando aos mapas de MG: ICAR
61
![Page 62: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/62.jpg)
Voltando aos mapas de MG: ICAR
62
![Page 63: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/63.jpg)
Voltando aos mapas de MG: CAR com ρ = 0.7
63
![Page 64: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/64.jpg)
Voltando aos mapas de MG: CAR com ρ = 0.7
64
![Page 65: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/65.jpg)
Voltando aos mapas de MG: CAR com ρ = 0.7
65
![Page 66: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/66.jpg)
Voltando aos mapas de MG: CAR com ρ = 0.7
66
![Page 67: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/67.jpg)
Testes com variáveis binárias
Quando a variável for binária (valores de yi só podem ser 0 ou 1), podemoscalcular o número de conexões entre áreas vizinhas.
O índice usual é o número de conexões do tipo 0-1.
Quando os dados são binários, o teste de permutação baseado no índicede conexões é equivalente ao teste baseado em Moran.
Podemos também calcular o número de conexões do tipo 0-0 ou do tipo1-1 (mas estas alternativas são piores que o teste baseado em conexões dotipo 0-1)
P-valor é calculado do mesmo modo que antes, após permutar várias vezes(999) os valores binários de yi.
67
![Page 68: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/68.jpg)
Exemplo
68
![Page 69: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/69.jpg)
Exemplo
69
![Page 70: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/70.jpg)
Exemplo
70
![Page 71: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/71.jpg)
Groenlândia
É uma ilha com 50 distritos. Situação ideal para estudar epidemias.
Quatro estruturas de viainhança: MST, air, roads, nearest larger place.
71
![Page 72: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/72.jpg)
Groenlândia - 2
312 meses de 1945-1970
Em cada mes, distrito era BLACK se havia pelo menos um caso registradoe WHITE, caso contrário.
Calculou o número de conexões BW dependendo da estrutura de vizin-hança e avaliou a signi�cância (se p-valor é menor que 5%).
Considerou 25 epidemias, 17 de in�uenza e 8 de sarampo.
Grá�cos com eixo-x sendo tempo (em semanas) a partir do ápice (pico)da epidemia.
Eixo-y é o número de vezes em que o índice BW foi signi�cativo
72
![Page 73: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/73.jpg)
Groenlândia - 3
73
![Page 74: Estatística Espacial Aplicada SEMANA 2 Dados de área e Sofwareleg.est.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/pessoais:renato:espacial:semana2.pdf · Temos o índice de Moran I(1) com os dados](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041714/5e49fffd693c86454d270776/html5/thumbnails/74.jpg)
Groenlândia - Conclusões
In�uenza: MST e road (implica espalhamento contágio )
74