Estatística

Análise de Variância Tabela ANOVA

Prof. Walter Sousa

Análise de Variância Tabela ANOVA

ANÁLISE DE VARIÂNCIA A Análise da Variância (ANOVA) é um método para testar a igualdade de três ou mais médias populacionais, baseado na análise das variâncias amostrais, mas pode ser utilizada no modelo de regressão simples. Condições Populações normalmente distribuída. Populações tem mesma variância (ou mesmo desvio padrão). Amostras são aleatórias e mutuamente independentes. As diferentes amostras são obtidas de populações classificadas em

apenas uma categoria.

QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA Para montar o quadro da análise de variância, utilizaremos a notação Suv.

β = Sxy

Sxx

Sxy = ∑ xy − ∑ x∙∑ yn

Sxx = ∑ x2 − (∑ x)2

n

Syy = ∑ y2 − (∑ y)2

n

𝑌𝑌� = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽�̅�𝑥, 𝑌𝑌� 𝑒𝑒 �̅�𝑥 𝑠𝑠ã𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑚𝑚é𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑚𝑚é𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠. 𝛼𝛼 = 𝑌𝑌� − 𝛽𝛽�̅�𝑥

QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA Para montar o quadro da análise de variância, utilizaremos a notação Suv. VE: Variação explicada (pelo modelo) VR: Variação residual (devida aos resíduos) VT: Variação total K: número de variáveis no modelo (dependentes e independentes) n: número de elementos da amostra

VARIAÇÃO TOTAL

QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA O quadro da análise de variância, no modelo de regressão simples, 𝑌𝑌� = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝑋𝑋�

EXEMPLO

Monte o quadro da análise de variância.

(CESPE) Ao avaliar o efeito das variações de uma grandeza X sobre outra grandeza Y por meio de uma regressão linear da forma, 𝑌𝑌� = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝑋𝑋� um analista, usando o método dos mínimos quadrados, encontrou, a partir de 20 amostras, os seguintes somatórios (calculados sobre os vinte valores de cada variável):

Quadro Anova

𝑌𝑌� = −4 + 1,6 ∙ 𝑋𝑋�

O teste de hipóteses

𝐻𝐻𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑜𝑜𝐴𝐴𝑎𝑎

Quadro Anova 𝐸𝐸𝑠𝑠𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑠𝑠𝑎𝑎𝑒𝑒 − Estatística F (Fischer de Snedocor) 𝐹𝐹 = 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑚𝑚𝑚𝑄𝑄𝑚𝑚𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑚𝑚𝑄𝑄𝑄𝑄𝑚𝑚𝑚𝑚𝑄𝑄

𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑚𝑚𝑚𝑄𝑄𝑚𝑚𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑑𝑑 𝑄𝑄𝑚𝑚𝑑𝑑𝑠𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑑𝑑

𝐹𝐹 =𝜷𝜷∙𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙𝒌𝒌−𝟏𝟏

𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙−𝜷𝜷∙𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙𝒏𝒏−𝒌𝒌

Distribuição F

Não é simétrica, como a normal e a tabela t-student

Estatística

Anova Exercícios

Prof. Walter Sousa

Questão 1 (FCC) Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação entre os gastos anuais com propaganda (X), em R$ 1 000,00, e o lucro bruto anual (Y), em R$ 1 000,00, optou por utilizar o modelo linear simples Yi = α + βXi + εi , em que Yi é o valor do lucro bruto auferido no ano i, Xi é o valor gasto com propaganda no ano i e εi o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples (α e β são parâmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as seguintes informações referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa:

Questão 1

Gab. D

Questão 1

Questão 2 (FCC) Uma empresa, com finalidade de determinar a relação entre gastos anuais em pesquisa e desenvolvimento (X), em milhares de reais, e o acréscimo anual nas vendas (Y), também em milhares de reais, optou por utilizar o modelo linear simples Yi = α + βXi + εi , em que Yi é o acréscimo nas vendas no ano i e εi o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples (α e β são parâmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as seguintes informações referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa:

Questão 2

Questão 2

Questão 3 (CESPE) Determinado estudo considerou um modelo de regressão linear simples na forma yi = β0 + β1xi + εi, em que yi representa o número de leitos por habitante existente no município i; xi representa um indicador de qualidade de vida referente a esse mesmo município i, para i = 1, ..., n. A componente εi representa um erro aleatório com média 0 e variância σ2. A tabela a seguir mostra a tabela ANOVA resultante do ajuste desse modelo pelo método dos mínimos quadrados ordinários.

Questão 3 (1) O referido estudo contemplou um conjunto de dados obtidos de n = 11 municípios. (2) A correlação linear entre o número de leitos hospitalares por habitante (y) e o indicador de qualidade de vida (x) foi igual a 0,9. (3)O desvio padrão amostral do número de leitos por habitante foi superior a 10 leitos por habitante. (4) A estimativa de σ2 foi igual a 10.