Estatística Não Paramétrica
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Capítulo 16
Estatística Não-paramétrica
16-1 Introdução
Os procedimentos descritos neste capítulo são competidores dos Procedimentos paramétricos t e F.
16-2 O TESTE DOS SINAIS
16-2.1 Uma Descrição do Teste dos Sinais
O teste dos Sinais é usado para o teste de hipóteses sobre a mediana de uma distribuição contínua. É utilizado no lugar do teste t paramétrico da média.
~
5,0)~X(P)~X(P
01
00~~:H
~~:H
Exemplo 16- 1
Montgomery, Peck e Vining (2001) relatam um estudo no qual um motor de foguete é feito pela união de um propulsor de explosão e um propulsor de manutenção dentro de uma cápsula de metal. A força de resistência ao cisalhamento da união dos dois tipos de propulsores é uma característica importante. A Tabela 16-1 mostra os resultados de teste de 20 motores selecionados aleatoriamente. Gostaríamos de testar a hipótese de que a força de cisalhamento mediana é de 2000 psi ao nível de significância de 5%
2000~:
2000~:
1
0
H
H
Hipóteses
Sinais positivos: R+= 14 Sinais negativos: R-= 6
Menor entre R+ e R-
R = mín(R+, R-) R = mín(14, 6) = 6
Observação i Xi Xi - 2000 Sinal
1 2158,70 158,70 +
2 1678,15 -321,85 -
3 2316,00 316,00 +
4 2061,30 61,30 +
5 2207,50 207,50 +
6 1708,30 -291,70 -
7 1784,70 -215,30 -
8 2575,10 575,10 +
9 2357,90 357,90 +
10 2256,70 256,70 +
11 2165,20 165,20 +
12 2399,55 399,55 +
13 1779,80 -220,20 -
14 2336,75 336,75 +
15 1765,30 -234,70 -
16 2053,50 53,50 +
17 2414,40 414,40 +
18 2200,50 200,50 +
19 2654,20 654,20 +
20 1753,70 -246,30 -
Tabela 16-1 Dados da força de cisalhamento
de propulsores.
56 *
05,0 RR
Portanto, como R = 6 não é menor ou igual a R*0,05 = 5, não podemos rejeitar a hipótese nula de que a força de cisalhamento mediana seja de 2000 psi.
520
5
05,00\
n
5*
05,0 R
Tabela X – Valores críticos para o teste dos sinais.
Empates no teste dos sinais
Quando ocorre empate entre algum valor do conjunto de dados e a mediana, o valor é descartado, aplicando-se o teste dos sinais nos dados restantes.
Hipóteses alternativas unilaterais
01
00~~:H
~~:H
Rejeita-se H0 se *RR
01
00~~:H
~~:H
Rejeita-se H0 se *RR
Nesses casos, o Nível de significância é a metade do apresentado na tabela X
Distribuição Binomial
Observa-se que R é uma variável aleatória que segue a distribuição binomial, então é possível testar a hipótese de interesse, calculando diretamente um Valor P da distribuição binomial. Quando é verdadeira, R tem uma distribuição binomial com parâmetros n = 20 e p = 0,5. Assim, a probabilidade de observar seis ou menos sinais negativos em uma amostra de 20 observações é
200~:H0
058,0)5,0(5,0r
20)6R(P r20r
6
0r
Como o valor P = 0,058 não é menor que o nível de significância = 0,05 desejado, não podemos rejeitar a hipótese nula psi200~:H0
16-2.2 O teste dos sinais para amostras emparelhadas
Exemplo 16-2
Um engenheiro de automóveis está estudando dois tipos de aparelhos de medida por um sistema de injeção eletrônica a fim de determinar se eles diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível. O sistema é instalado em 12 carros diferentes, e um teste é realizado com cada sistema de medida em cada carro. Os dados do desempenho da milhagem de combustível, as diferenças e seus sinais, são mostrados na tabela 16-2.
Aparelho de Medição
1 2 Diferença, Dj Sinal
17,6 16,8 0,8 +
19,4 20 -0,6 -
19,5 18,2 1,3 +
17,1 16,4 0,7 +
15,3 16 -0,7 -
15,9 15,4 0,5 +
16,3 16,5 -0,2 -
18,4 18,0 0,4 +
17,3 16,4 0,9 +
19,1 20,1 -1,0 -
17,8 16,7 1,1 +
18,2 17,9 0,3 +
16-2 Desempenho dos Aparelhos de Medição de fluxo
R+ = 8 R- = 4
R = min (R+ , R- )
R = min (8, 4) = 4
R+ = 8 R- = 4 R = min (R+ , R- ) = min(8, 4) = 4
Tabela X – Valores críticos para o teste dos sinais
Como R = 4 não é menor que R*0,05 = 2, não podemos rejeitar a hipótese nula de que os dois aparelhos de medição resultem no mesmo desempenho de milhagem de combustível
212
5
05,00\
n
R*0,05 = 2
24 *
05,0 RR
16-3 O TESTE DOS POSTOS COM SINAIS DE WILCOXON
16-3.1 Uma descrição do teste para uma amostra
Exemplo 16-3
Para ilustrar o teste dos postos com sinais de Wilcoxon considere os dados da força de cisalhamento de propulsores apresentados na tabela 16-1
Observação i Xi - 2000
Posto com sinal
16 +53,50 +1
4 +61,30 +2
1 +158,70 +3
11 +165,20 +4
18 +200,50 +5
5 +207,50 +6
7 -215,30 -7
13 -220,20 -8
15 -234,70 -9
20 -246,30 -10
10 +256,70 +11
6 -291,70 -12
3 +316,00 +13
2 -321,85 -14
14 +336,75 +15
9 +357,90 +16
12 +399,55 +17
17 +414,40 +18
8 +575,10 +19
19 +654,20 +20
R+ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5+ 6 + 11 +13 +15 +16 +17+ 18 +19 +20) = 150
R- = ( 7 + 8 +9 +10 + 12 + 14) = 60
R = min(R+ , R-
) = min(150 , 60 ) = 60
2000~:
2000~:
1
0
H
H
Hipóteses
Como R = 60 excede a R*0,05 = 52, não podemos rejeitar a hipótese nula de que a força de cisalhamento média (ou mediana, uma vez que se supõe que as populações sejam simétricas) seja de 2000 psi.
Tabela XI – Valores críticos para o teste
de Postos com sinais de Wilcoxon.
5220
4
05,00\
n
R*0,05 = 52
16-3.3 Observações emparelhadas
Exemplo 16-4
Considere os dados sobre os aparelhos de medição de combustível do exemplo 16-2. Os postos com sinais são mostrados a seguir:
Ordem crescente absoluta Carros Diferença
Posto com sinal
7 -0,2 -1
12 0,3 2
8 0,4 3
6 0,5 4
2 -0,6 -5
4 0,7 6,5
5 -0,7 -6,5
1 0,8 8
9 0,9 9
10 -1,0 -10
11 1,1 11
3 1,3 12
5,62
76
R+ = (2 + 3 +4 + 6,5 +8 + 9 +11 +12) =55,5
R- = (1 + 5 + 6,5 + 10) =22,5
R = mín(R+ , R- ) = mín(55,5 ; 22,5 ) = 22,5
Como R = 22,5 excede a R*0,05 = 13, não podemos rejeitar a hipótese nula de que os dois aparelhos de medição resultem no mesmo desempenho de milhagem de combustível
Tabela XI – Valores críticos para o teste
de Postos com sinais de Wilcoxon.
1312
4
05,00\
n
R*0,05 = 13
16-4 O TESTE DA SOMA DOS POSTOS DE WILCOXON
Exemplo 16-5
Está sendo estudado o esforço axial médio em membros extensíveis usados nas estrutura de aeronaves. Duas ligas estão sendo investigadas. A liga 1 é um material tradicional, e a liga 2 é uma nova liga de alumínio e lítio, muito mais leve do que o material padrão. Dez espécimes de cada liga são testados, medindo o esforço axial em psi. Os dados amostrais estão reunidos na ta bela a seguir:
Liga 1 Liga 2
3238 3254 3261 3248
3195 3229 3187 3215
3246 3225 3209 3226
3190 3217 3212 3240
3204 3241 3258 3234
Ordem crescente
R1 = (2 + 3 +4 + 8 + 9 + 11 + 13 + 15 + 16 + 18) = 99 R2 = n1 (n1 + n2 + 1) - R1
n1 = n2 = 10
R2 = 10 (10 + 10 + 1) - 99 = 111
Soma menor dos postos
Número da liga Tensão Axial Posto
2 3187 1
1 3190 2
1 3195 3
1 3204 4
2 3209 5
2 3212 6
2 3215 7
1 3217 8
1 3225 9
2 3226 10
1 3229 11
2 3234 12
1 3238 13
2 3240 14
1 3241 15
1 3246 16
2 3248 17
1 3254 18
2 3258 19
2 3261 20
Como nem R1 nem R2 são menores do que R*0,05 = 78, não podemos rejeitar a hipótese nula de que ambas as ligas mostrem o mesmo esforço axial médio.
Tabela XI – Valores críticos para o Teste de Wilcoxon de duas amostras
R*0,05
7810
4
102\ 12
nn
R*0,05 = 78
16-5 MÉTODOS NÃO-PARAMÉTRICOS NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 16-5.1 O este de Kruskall -Wallis
a210 :H
iijiij
n,2,,1j
a,,2,1iy
Estatística do teste Fórmula Alternativa Para a = 3 grupos e ni 6 para i = 1, 2, 3, ou para a > 3 e ni 5 para i = 1,2 ,. . .,a, K tem proximadamente
distribuição qui-quadrado com a-1 graus de
liberdade. Rejeita-se H0 se
2a
1i.ii
2
1NRn
)1N(N
12K
)1N(3ni
R
)1N(N
12K
a
1i
2.i
21a,
K
Empates no teste de kruskall –Wallis Quando houver empate entre as observações no teste de Kruskall Wallis, deve-se associar um posto médio a cada uma das observações empatadas. Nesse caso a Estatística do teste será:
4
)1N(N
ni
R
S
1K
2a
1i
2.i
2
a
1i
n
1j
22ij
2j
4
)1N(NR
1N
1S
Exemplo 16-6
Em Design and Analysis of experiments, 5ª Edição (John Wiley & Sons, 2001), D. C. Montgomery apresenta dados de um experimento no qual cinco níveis diferentes de conteúdo de algodão em uma fibra sintética foram testados para determinar se o conteúdo de algodão tem um efeito sobre a força de tração da fibra. Os dados amostrais e os postos desse experimento estão na tabela 16-3.
23
321
73
876
5,9
2
109
5,122
1312
5,16
4
18171615
5,20
4
22212019
Porcentagem de algodão
15 20 25 30 35
Y1j R1j Y2j R2j Y3j R3j Y4j R4j Y5j R5j
7 2 12 9,5 14 11,0 19,25 20,5 7 2
7 2 17 14 18 16,5 22 25 10 5
15 12,5 12 9,5 18 16,5 19 23 11 7
11 7 18 16,5 19 20,5 23 20,5 15 12,5
9 4 18 16,5 19 20,5 24 11 7
Rj. 27,5 66,0 85 113 33,5
Como há empates entre as observações usaremos
a
1i
n
1j
22ij
2j
4
)1N(NR
1N
1S
03,534
)26(2579,5497
24
1S
22
79,549775,1222R 2222a
1i
n
1j
2ij
j