estatística e econometria - aula demonstrativa

AULA 00

ESTATÍSTICA E ECONOMETRIA – BANCO CENTRAL – ÁREA 2 PROFESSOR CÉSAR FRADE

Prof. César de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 1

Olá pessoal!

Primeiramente, irei fazer uma breve apresentação. Meu nome é César de

Oliveira Frade, sou funcionário de carreira do Banco Central do Brasil

aprovado no concurso de 1997. Atualmente trabalho com análises de risco de

mercado em um dos Departamentos da área de Fiscalização do Banco Central.

Antes disso, estive de licença interesse pelo prazo de um ano com o único

objetivo de dar aula para concursos públicos.

De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais na Secretaria

de Política Econômica do Ministério da Fazenda, auxiliando em todas as

mudanças legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham ligação

direta com o Conselho Monetário Nacional – CMN.

Sou professor de Finanças, Microeconomia, Macroeconomia, Sistema

Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobiliários, Estatística e Econometria.

Leciono na área de concursos públicos desde 2001, tendo dado aula em mais

de uma dezena de cursinhos em várias cidades do país, desde presenciais até

via satélite.

No início da carreira pública, trabalhei com a emissão de títulos da dívida

pública externa no Banco Central do Brasil, assim que tomei posse.

Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais –

UFMG. Possuo uma Pós-graduação em Finanças e Mercado de Capitais pelo

IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e

Futuros – BM&F e uma especialização em Derivativos Agrícolas pela Chicago Board of Trade – CBOT1. Sou Mestre em Economia2 com ênfase em Finanças na

Universidade de Brasília e no Doutorado, pela mesma Universidade, está faltando apenas a defesa da Tese3, sendo que os créditos já foram concluídos.

Vamos ao que interessa! Como será o curso? Acredito que o melhor

entendimento da matéria se dá não com a compreensão na ordem como a

ementa é apresentada no concurso. Mas sim, tentando mostrar em primeiro 1 A Chicago Board of Trade - CBOT é a maior bolsa de derivativos agrícolas do mundo.

2A dissertação “Contágio Cambial no Interbancário Brasileiro: Uma Análise Empírica” defendida em 2003 foi

publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Estudos Econômicos e em alguns dos mais importantes Congressos

de Economia da América Latina – LAMES. Versava sobre o risco sistêmico a ser propagado via mercado de câmbio e

as contribuições da Câmara de Compensação de Câmbio da BM&F para a mitigação desse risco. 3 Tese de Doutorado é um parto e a gestação já está durando alguns anos. Acho que pode ser que ela não saia.

AULA 00



lugar que aquilo que acreditamos ser muito complicado pode se tornar simples

desde que compreendamos os conceitos básicos e consigamos trazer o assunto

complexo para exemplos do nosso dia-a-dia.

Tenho um estilo peculiar de dar aulas. Prefiro tanto em sala quanto em aulas

escritas que ela transcorra como conversas informais. Com isso, acredito que a

leitura fica mais tranqüila e pode auxiliar no aprendizado de uma forma geral.

Exatamente por isso, utilizo com freqüência o Português de uma forma

coloquial.

Essa matéria não é das mais tranqüilas, mas também não chega a ser muito

complicada. O maior problema é que ela é bastante ampla e alguns tópicos não

possuem tantas questões disponíveis para exercitar.

Dessa forma, a “Aula Demonstrativa” mostrará para vocês um pouco do que

será esse curso. Acredito que consigo colocar toda a matéria e mais os

exercícios para vocês em pouco mais de 400 páginas e não haverá a

necessidade de recorrer a nenhum outro material. Todos os itens terão seus

conceitos exaustivamente construídos nas aulas e tentarei ser o mais claro

possível.

Não irei disponibilizar apenas o curso de Econometria porque a Estatística deve

estar consolidada para que possamos passar para a Econometria. Dessa forma,

um curso é pré-requisito do outro. Espero que vocês me entendam.

Observem que esse curso é recomendado para os alunos que desejam

fazer o concurso para a ÁREA 2 ou que ainda estão em dúvida entre as

ÁREAS 2 ou 3. As nove primeiras aulas serão idênticas ao curso da ÁREA 3.

Conteúdo Programático (uma aula a cada 15 dias – Segunda): Aula 0 – 13/06/2011

Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão – Parte 1

Aula 1 – 12/09/2011

Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão – Parte 2

Probabilidade. Funções de distribuição e densidade de probabilidade.

Momentos das distribuições.

AULA 00



Aula 2 – 26/09/2011

Probabilidade. Funções de distribuição e densidade de probabilidade.

Momentos das distribuições. Teorema de Bayes.

Aula 3 – 10/10/2011

Principais distribuições de Probabilidade

Aula 4 – 24/10/2011

Amostragem.

Aula 5 – 14/11/2011

Inferência estatística. Estimação por ponto e por intervalo. – Parte 1

Aula 6 – 28/11/2011

Inferência estatística. Estimação por ponto e por intervalo. – Parte 2

Aula 7 – 12/12/2011

Covariância. Correlação. Análise de variância.

Aula 8 – 09/01/2012

Teste de hipóteses. Problemas com dados. Regressão simples.

Aula 9 – 23/01/2012

Regressão simples e múltipla.

Aula 10 – 13/02/2012

Modelos com variáveis defasadas. Séries temporais.

Aula 11 – 27/02/2012

Vetor autoregressivo. Processos estocásticos, estacionaridade. Cointegração e

correlação de erros.

Aula 12 – 12/03/2012

Métodos de estimação. Números índices.

Saliento que tendo em vista o fato de o curso está sendo desenvolvido ao

mesmo tempo em que as aulas estão sendo disponibilizadas, é possível que

haja uma alteração na ementa das aulas 9 a 12 relativas a econometria.

AULA 00



Espero que este curso seja bastante útil a você e que possa, efetivamente,

auxiliá-lo na preparação para o concurso do BACEN e na conseqüente

conquista da tão sonhada vaga. As dúvidas serão sanadas por meio do fórum

do curso, a que todos os matriculados terão acesso. Caso tenha exercícios da

matéria e queira me enviar, farei todos os esforços para que eles sejam, à

medida do possível, incluído no curso. Envie para meu e-mail abaixo (e-mail

do Ponto).

As críticas ou sugestões poderão ser enviadas para: [email protected]. Finalmente, gostaria de dizer a vocês que mais do que saber toda a matéria, é

importante que você saiba fazer uma prova e esteja tranqüilo! Não interessa

saber a matéria, interessa marcar o “X” no lugar certo e ver o nome na lista.

Prof. César Frade

JUNHO/2011

AULA 00



1. Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central e Medidas

Dispersão

1.1. Medidas de Tendência Central

Uma medida de tendência central ou de posição de um conjunto de dados

mostra o valor em torno do qual se agrupam as observações. As principais

medidas de tendência central são a média aritmética, a mediana e a moda.

Também são bastante utilizadas a média ponderada, que é uma variação da

média aritmética, a média geométrica e a média harmônica.

Um conjunto de dados pode ser bem analisado se usarmos as medidas de

tendência central juntamente com as medidas de dispersão, de assimetria e de

concentração, permitindo assim, caracterizar de maneira bastante satisfatória

e concisa o conjunto de que dispomos.

Os diversos tipos de média são as medidas de tendência central mais usadas

para descrever resumidamente uma distribuição de freqüência. Veremos, a

média aritmética simples e a ponderada, que nada mais é do que uma variação

da simples, a média geométrica e a média harmônica.

Entretanto, é necessário esclarecer que uma média não é melhor que a

outra, ou seja, apesar da média mais comum ser a média aritmética, isto não

a deixa melhor do que a média geométrica, por exemplo. Uma média será

mais conveniente para a situação apresentada do que a outra. Isso

dependerá apenas das características dos dados apresentados. É importante

frisarmos que não há nenhum tipo de hierarquia entre as médias.

Se os dados apresentados forem de inflação, a média mais conveniente é a

geométrica, no entanto, se os dados forem as alturas dos alunos de uma

classe, a média mais conveniente seria a aritmética. E, às vezes, a média

também não é a melhor medida de tendência central. Imagine se quisermos

representar o salário dos brasileiros por um único número. Será que seria

interessante calcularmos a média aritmética dos salários dos brasileiros e dizer

que este número representaria bem? A resposta é não, na verdade, a mediana

representaria de forma bem mais satisfatória o salário dos brasileiros. Quando

AULA 00



há alguns dados que são muito dispersos, talvez seja um bom momento para

se usar uma mediana.

Entretanto, no nosso curso de Finanças usaremos, praticamente, apenas a

média aritmética, apesar de, nesse momento, estarmos iniciando uma revisão

das medidas de tendência central.

i. Média Aritmética

A média aritmética é a idéia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala

em “média”.

A média aritmética simples pode ser calculada pelo quociente entre a soma dos

valores de um conjunto e o número total de elementos.

Imagine que tenhamos um conjunto com 5 elementos, representando o

número de questões acertadas por um candidato nas últimas cinco provas de

português, quais sejam: 6, 8, 9, 11 e 11. Qual seria um número que poderia

representar bem esse conjunto?

Devemos representar essas notas pelo resultado da média aritmética simples

conforme abaixo:

95

45

5

1111986==

++++=x

Portanto, podemos dizer que essa pessoa tem uma média de acertos igual a 9

e que ela pode considerar esse número para a próxima prova. No entanto, isso

serve apenas para fazer uma previsão de quantas questões ela acertará na

próxima para saber se ela precisa ou não estudar mais.

Genericamente, podemos representar a média aritmética com a seguinte

fórmula:

AULA 00



N

x

x

N

i

i∑== 1

A média possui algumas propriedades úteis que explicam porque ela é a

medida de tendência central mais usada:

a) a média pode sempre ser calculada;

b) a média de um dado conjunto é sempre única;

c) se somarmos (subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos) a todos os

valores do conjunto um valor y qualquer, a nova média desse mesmo

conjunto será a média anterior somada (subtraída, multiplicada ou dividida)

de y;

d) a média é uma medida sensível que é afetada por todos os valores do

conjunto.

Se ao invés de utilizarmos a média aritmética para calcular um número que

representa bem as notas da pessoa, formos utilizar a média aritmética

ponderada teremos, exatamente, o mesmo resultado.

Devemos utilizar a ponderada quando os diversos elementos do conjunto

tiverem pesos ou freqüências diferentes. No exemplo acima, podemos usar a

média ponderada desde que façamos a seguinte análise:

Notas 6 8 9 11

Frequência4 1 1 1 2

Dessa forma, a média aritmética se calculada da forma ponderada seria:

95

45

5

211191816==

×+×+×+×=x

Portanto, a fórmula a ser usada na média aritmética ponderada é a seguinte:

4 A freqüência das notas é o número de vezes que cada uma delas aparece no conjunto.

AULA 00



Nf

f

fx

xk

i

ik

i

i

k

i

ii

=

⋅

= ∑∑

∑

=

=

=

1

1

1 sendo ,

ii. Média Geométrica

A média geométrica de n valores é definida como a raiz n-ésima do produto de

todos eles. É uma medida mais central quando as observações apresentam

uma taxa constante de crescimento em função do tempo, ou seja, é a medida

mais adequada quando as taxas crescem com capitalização composta

(exponencial).

No entanto, é importante ressaltar que esse tipo de média não aceita

observações menores ou iguais a zero. Uma aplicação freqüente da média

geométrica é no cálculo da taxa equivalente de uma operação financeira.

Podemos representar a média geométrica simples da seguinte forma:

nn

n

n

i

ig xxxxx ⋅⋅⋅== ∏=

L21

1

Se calcularmos a média geométrica desse conjunto de dados, apesar de não

fazer nenhum sentido, dada a natureza dos números, teríamos:

78,811119865 =⋅⋅⋅⋅=gx

iii. Média Harmônica

A média harmônica de um conjunto é o inverso da média aritmética dos

inversos, ou seja:

AULA 00



∑=

=

+++

=n

i in

h

x

n

n

xxx

x

121

1111

1

L

Com números iguais àqueles que foram dados no conjunto acima, a média

harmônica seria igual a 8,55.

Apesar de não fazer sentido algum, estatisticamente, calcular as médias

geométrica e harmônica de um conjunto de notas, fizemos os cálculos apenas

para mostrar que:

xxx gh ≤≤

1.2. Medidas de Dispersão

Quando comparamos vários conjuntos de números, além da informação com

relação ao “centro” do conjunto, devemos também avaliar o grau de dispersão

dos dados. Essa dispersão nos indicará se os valores estão relativamente

próximos uns dos outros ou não.

Antigamente, quando íamos aos bancos, deveríamos formar filas separadas

para os diversos caixas. Hoje em dia, apenas uma fila é formada normalmente.

Apesar desse fato não ter alterado o tempo médio de espera, fez com que a

variação de tempo que passamos na fila tenha diminuído consideravelmente,

pois a partir daí o tempo de espera não mais dependia da eficiência da pessoa

que operava o caixa da fila onde estava nem se as pessoas que estavam na

minha frente iriam dar mais ou menos trabalho aos caixas. Com isso, os

clientes ficam muito mais satisfeitos.

Nos interessam, em princípio, a variância e o desvio-padrão de um conjunto de

dados. Além deles, a correlação e a covariância.

i. Variância

AULA 00



A variância nos mostra a média do quadrado da distância em relação à média

que é representada pela seguinte fórmula:

( )

n

xxn

i

i∑=

−

= 1

2

2σ ou

( )

n

n

x

xn

i

n

i

i

i∑∑

=

=−

= 1

1

2

2

2σ

ii. Desvio-Padrão

O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância e nos mostra a raiz

quadrada da média do quadrado da distância em relação à média que é

representada pela seguinte fórmula:

( )

n

xxn

i

i∑=

−

= 1

2

σ ou

( )

n

n

x

xn

i

n

i

i

i∑∑

=

=−

= 1

1

2

2

σ

iii. Covariância

Temos ainda que considerar as fórmulas tanto da covariância quanto da

correlação para podermos compreender de forma perfeita a Teoria de Carteiras

em Finanças. Dessa forma, seguem abaixo as duas fórmulas5:

( ) ( )

n

xxxxn

i

BB

iAA

i

BA

∑=

−⋅−

= 1,σ

5 Devido ao fato de que esta matéria (finanças) apenas utiliza ferramentas da Estatística, caso você tenha alguma dúvida em relação aos conceitos estatísticos sugiro dar uma olhada em algum material específico do assunto.

AULA 00



iv. Correlação

A correlação é a razão entre a covariância existente entre duas grandezas e o

produto dos seus desvios.

BA

BA

BAσσ

σρ

⋅=

,

,

2. Retorno Esperado e Retorno Médio de um Ativo

Inicialmente vamos falar sobre o retorno esperado de uma carteira, ou seja,

qual o retorno que eu espero que uma carteira venha a ter. Na verdade,

esperamos que o retorno médio de uma carteira seja dado pela média

aritmética dos retornos dos ativos que compõem essa carteira.

Há uma diferença entre esses dois conceitos, mas não vejo necessidade em

me aprofundar nisso nessa matéria. Talvez fosse algo a ser estudado de

forma mais profunda em Estatística. Aqui, acredito que devo apenas salientar

que quando falamos de Retorno Esperado estamos usando o operador

Esperança utilizado em Estatística. Dessa forma, estaríamos informando o

quanto esperamos para o retorno futuro de um portfólio.

Por outro lado, quando falamos sobre Retorno Médio estamos calculando a

média do retorno de uma carteira, de um portfólio. Nesse caso, estaríamos nos

referindo a uma média aritmética mesmo.

Imagine a situação em que podem ocorrer 3 cenários possíveis, sendo cada

um deles com uma probabilidade específica de ocorrência e um dado retorno

conforme descrito abaixo:

Cenário Probabilidade Retorno

Crescimento 0,30 20%

Estabilidade 0,20 10%

Recessão 0,50 5%

AULA 00



Qual seria a expectativa de retorno ou a Esperança de Retorno de um ativo

dadas as expectativas de retorno do ativo em cada um dos cenários e as

respectivas probabilidades de ocorrência desse cenário, conforme colocado

acima?

Observe que existem três cenários possíveis para a economia de um país. No

caso de essa economia apresentar crescimento e isso ocorrerá, dada a situação

atual, com uma probabilidade 30%, espera-se que o rendimento dessa ação

em questão (ou portfólio) seja de 20%. Ou seja, para a avaliação feita, o

crescimento da economia dará ao ativo a possibilidade de ter seu preço

majorado em 30%.

Caso haja uma estabilidade na economia e isso pode ocorrer com 20% de

probabilidade, espera-se que o rendimento seja de 10% no período. Ou seja,

as avaliações feitas por analistas estão prevendo que mesmo que não ocorra

crescimento na economia, essas ações podem ter seus preços majorados em

10%.

Ocorrendo uma recessão e a probabilidade de ocorrência deste fato é de 50%,

analistas esperam um retorno de 5% para as ações dessa empresa.

Dessa forma, devemos utilizar a seguinte fórmula para determinarmos a

Esperança de Retorno desta carteira:

[ ] [ ]∑=

⋅=N

i

iip REpRE1

Essa fórmula prevê que a Esperança de Retorno de um ativo p (pode ser de

um portfólio ou carteira também) é dada pela média ponderada dos retornos

quando da ocorrência de cada evento i.

Portanto, a Esperança do Retorno será:

[ ][ ][ ] %5,10

%5,2%2%6

%550,0%1020,0%2030,0

=

++=

×+×+×=

p

p

p

RE

RE

RE

AULA 00



Observe que esse cálculo é do Retorno Esperado do ativo. Logo, estamos

fazendo estimativas com base em probabilidades de ocorrências futuras da

ocorrência de um evento e, daí, retirando uma base para a valorização do

ativo.

Por outro lado, se tivermos que calcular o retorno médio de uma ação,

devemos utilizar dados históricos para efetuarmos o cálculo. Essa estimativa

será dada pela média aritmética dos retornos. Observe que a partir do

momento em que estamos interessados no retorno médio do ativo como uma

proxy para um provável retorno futuro estamos partindo do pressuposto de

que o mercado, em um futuro próximo, se comportará de forma similar ao seu

comportamento passado.

O preço das ações, dos ativos pode ser facilmente conseguido no mercado. No

entanto, um dos problemas existentes é qual seria o prazo ideal para se fazer

o estudo. Deveríamos retirar os dados de fechamento diário de pregão do

último mês, dos últimos três meses, doze meses. Ou os dados seriam do

fechamento do pregão apenas do último dia do mês. Enfim, essas são decisões

que após serem tomadas pelos investidores faz com que a grande maioria

passe a ter dados diferentes mesmo utilizando os mesmos dados do mercado.

Veja na tabela abaixo o preço de fechamento do último pregão do mês das

ações da Vale (VALE5) cotadas na BOVESPA, de agosto a novembro de 2010.

Data Preço de

Fechamento

Retorno

Mensal

30/07/2010 42,67

31/08/2010 41,43 -2,91%

30/09/2010 46,30 11,75%

29/10/2010 47,75 3,13%

30/11/2010 48,00 0,52%

AULA 00



O retorno mensal das ações é calculado da seguinte forma6:

%52,00052,0175,47

00,48

%13,30313,0130,46

75,47

%75,111175,0143,41

30,46

%91,20291,0167,42

43,41

==−=

==−=

==−=

−=−=−=

NOV

OUT

SET

AGO

x

x

x

x

Portanto, o retorno médio das ações da VALE5 negociadas no IBOVESPA nos

quatro primeiros meses desse ano foi de7:

%12,34

%52,0%13,3%75,11%91,2

1

=+++−

=

=∑=

VALE

N

i

i

x

xx

A média de 3,12% mostra que o retorno médio mensal da VALE entre os

meses de agosto e novembro de 2008 foi de 3,12% ao mês.

É muito interessante notarmos que nesses meses avaliados o resultado da

VALE foi positivo. Entretanto, se fizermos uma comparação do preço de

fechamento do último pregão de Novembro de 2010 com o preço de

fechamento do último pregão de 2007 (antes da crise, portanto) veremos que

o preço da ação ficou praticamente estável, tendo um pequeno recuo.

Em novembro de 2007, a ação da VALE chegou ao preço R$ 52,15, enquanto

que três anos depois ela estaria cotada por R$ 48,00. No entanto, é possível

mostrar a vocês que nos últimos 13 anos as ações da companhia deram uma

rentabilidade enorme. Nas aulas de matemática financeira voltarei a abordar

esse tópico de forma aplicada.

6 Essa forma mostrada é como você deve pensar para calcular na prova. No entanto, os analistas utilizam uma forma

com logaritmo neperiano, mas nestas aulas para concurso não vejo motivos para discutir nem apresentar o assunto. 7 Apesar desse de que para este tipo dado seja mais aconselhável utilizar uma média geométrica, utilizamos com

freqüência a média aritmética, pois os dados são muito próximos.

AULA 00



3. Retornos das Carteiras de Ativos

Uma carteira de ações é composta por um conjunto de ações que são

ponderadas conforme a quantidade de recursos que foram aplicados em cada

um dos ativos. Portanto, para calcularmos o retorno médio de uma carteira

devemos calcular a média ponderada dos retornos dos ativos que compõem a

carteira.

Dessa forma, a fórmula a ser utilizada no cálculo do retorno médio da carteira

é:

∑=

⋅=N

i

iip RXR1

Imaginemos o caso em que tenhamos os retornos das ações A e B conforme

descrito abaixo:

Retorno de A Retorno de B

5% 4%

10% -3%

8% 8%

-3% 3%

Assim, temos:

%34

%3%8%3%4

%54

%3%8%10%5

=++−

=

=−++

=

B

A

R

R

Portanto, se colocarmos 60% dos recursos no ativo A e 40% dos recursos no

ativo B, teremos que o retorno médio dessa carteira será:

AULA 00



%20,4

%2,1%0,3

%340,0%560,0

=

+=

×+×=

p

p

p

R

R

R

Por outro lado, vamos imaginar um situação em que tenhamos dois ativos e os

possíveis retornos desses ativos para cada uma das situações hipotéticas

possíveis para o futuro. Veja abaixo:

Cenário Probabilidade Retorno A Retorno

B

Crescimento 0,30 20% -10%

Estabilidade 0,20 10% 8%

Recessão 0,50 5% 21%

Devemos utilizar o operador esperança para poder encontrar o retorno

esperado de cada ativo. Dessa forma, a fórmula a ser utilizada é:

[ ] [ ]∑=

⋅=N

i

iip REpRE1

O Retorno esperado do ativo A é:

[ ][ ][ ] %5,10

%5,2%2%6

%550,0%1020,0%2030,0

=

++=

×+×+×=

p

p

p

RE

RE

RE

O Retorno esperado do ativo B é:

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] %1,8

%5,10%6,1%3

%2150,0%820,0%1030,0

=

++−=

×+×+−×=

p

p

p

RE

RE

RE

AULA 00



Se montarmos uma carteira com 60% dos recursos aplicados no ativo A e 40%

aplicados em B, teremos o seguinte retorno esperado da carteira:

%54,9

%24,3%30,6

%1,84,0%5,106,0

1

=

+=

⋅+⋅=

⋅=∑=

p

p

p

N

i

iip

R

R

R

RXR

Isso significa que com uma aplicação de 60% dos recursos no ativo A e 40%

no ativo B, os investidores devem esperar um retorno de 9,54% no período em

questão.

AULA 00



QUESTÕES PROPOSTAS

Questão 1 (ESAF – BACEN – 2001) – Um analista acredita que a tabela apresentada a

seguir é uma descrição satisfatória da distribuição de probabilidades da taxa de

retorno de uma certa ação.


1 0,15 -10%

2 0,25 - 2%

3 0,30 + 5%

4 0,30 + 15%

De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-

padrão da taxa de retorno da ação são, respectivamente:

a) 5,5% e 10,86%

b) 5,5% e 8,66%

c) 4,0% e 25%

d) 4,0% e 10,86%

e) 4,0% e 8,66%

AULA 00



QUESTÕES RESOLVIDAS Questão 1 (ESAF – BACEN – 2001) – Um analista acredita que a tabela apresentada a

seguir é uma descrição satisfatória da distribuição de probabilidades da taxa de

retorno de uma certa ação.


1 0,15 -10%

2 0,25 - 2%

3 0,30 + 5%

4 0,30 + 15%

De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-

padrão da taxa de retorno da ação são, respectivamente:

a) 5,5% e 10,86%

b) 5,5% e 8,66%

c) 4,0% e 25%

d) 4,0% e 10,86%

e) 4,0% e 8,66%

Resolução: Observem que nesse caso temos os cenários, as probabilidades de ocorrência

de cada um dos cenários e retorno esperado neles. Devemos calcular, em

primeiro lugar, a esperança de retorno dos ativos e, para isso, utilizaremos a

seguinte fórmula:

[ ] [ ]∑=

⋅=N

i

iip REpRE1

Fazendo as devidas substituições, temos:

AULA 00



[ ] [ ]

[ ] ( ) ( )

[ ][ ] %0,4

%5,4%5,1%5,0%5,1

%1530,0%530,0%225,0%1015,0

1

=

++−−=

⋅+⋅+−⋅+−⋅=

⋅=∑=

p

p

p

N

i

iip

RE

RE

RE

REpRE

Com isso, vemos que a esperança de retorno do ativo é de 4,0%.

Uma dica: Sempre que estiver fazendo as questões, não vá simplesmente

resolvendo-as. Resolva as questões, voltando sempre às possíveis respostas, e

eliminando aquelas que não mais podem ser contempladas.

Com isso, temos que as únicas respostas possíveis são as letras c, d e e.

Passemos agora ao cálculo do desvio-padrão esperado.

( ) ( )[ ]∑=

−⋅=N

i

pii REREp1

22σ

Com o objetivo de simplificar a notação, a partir deste momento estarei

colocando essa fórmula apenas como:

( )2

1

2 ∑=

−⋅=N

i

pii RRpσ

Vou te dar outra dica para facilitar sua vida. Quando estiver fazendo as contas,

ao invés de usar o número correto (15%=0,15), utilize os números

multiplicados por cem, ou seja, sem a porcentagem (15% = 0,15*100=15). E

lembre-se daquelas propriedades estatísticas que dizem que:

• Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo

número, a média fica multiplicada por esse número.


número, a variância fica multiplicada pelo quadrado desse número.

AULA 00




número, o desvio-padrão fica multiplicado por esse número.

Portanto, ao invés de utilizarmos os retornos de -10%, -2%, +5% e +15%,

utilizaremos um conjunto que será igual ao produto desses retornos pelo número 100, ou seja, -108, 2, 5 e 15.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 22222

22222

2

1

2

1130,0130,0625,01415,0

41530,04530,04225,041015,0

⋅+⋅+−⋅+−⋅=

−⋅+−⋅+−−⋅+−−⋅=

−⋅=∑=

σ

σ

σN

i

pii RRp

Sou obrigado a abrir mais um parênteses nessa Resolução. A primeira

pergunta que você tem que responder é a seguinte: Você deseja fazer a

questão corretamente ou acertar a resposta e ganhar seu ponto?

Eu, César, não quero fazer a questão corretamente e, portanto, não preciso

ensinar vocês a fazerem corretamente. Minha intenção é ensinar vocês a

ganharem o ponto, ensinar vocês a criarem atalhos importantes para

minimizar o trabalho e o tempo gasto com a questão.

Concordam comigo. Sou adepto dessa teoria. Mas sempre tem um aluno que

fala assim: “Professor, eu quero aprender”. E acho que a melhor resposta é:

“você vai aprender mas o melhor agora é passar e depois que estiver com esse

ótimo salário, você acaba de aprender tudo, ok?”

Então...Antes de continuar vocês têm duas opções. Ou aprendem a fazer raiz

quadrada pois estamos calculando a variância e a resposta é o desvio-padrão

ou, então, aprender a acertar a questão sem fazer a raiz. Eu prefiro a segunda,

mas quem quiser ou souber fazer a raiz quadrada, nem precisa continuar a ler

a questão, basta acabar de efetuar os cálculos.

Vocês concordam que se a resposta é o desvio-padrão, o examinador está nos

perguntando a raiz quadrada daquilo que estamos calculando. Portanto, basta

pegarmos as respostas possíveis e elevá-las ao quadrado que acharemos o

valor daquilo que foi calculado, e aí é só marcar a resposta.

8 -10% * 100 = - 10

AULA 00



Pois bem. Temos como possibilidade de resposta, somente as letras c, d e e.

Certo?

A letra c informa que o desvio-padrão seria 25%. Como multiplicamos todos os

elementos do conjunto por 100 e o resultado que encontraremos também

ficará multiplicado por 100, caso essa seja a resposta deveríamos encontrar o

desvio-padrão igual a 25. Se o desvio é 25, logo a variância é igual a 252 =

625.

De forma análoga, se a resposta for d, o desvio encontrado no nosso cálculo

seria de 10,86. A variância seria igual a 10,862 = ESQUECE (não faça a conta).

Sabemos que 10,86 está entre 10 e 11 e que o quadrado de 10,86 está entre 1009 e 121 e mais próximo de 121 pois 10,86 está mais próximo de 11 do que

de 10. Chutemos que 10,862 deva ser igual a uns 115. Tá bom assim para

vocês? Para mim, está ótimo.

Da mesma forma, se a resposta for e, o desvio encontrado no nosso cálculo

seria de 8,66. Como 8,66 está entre 8 e 9, os cálculos deverão mostrar algum

número entre 64 e 81. Portanto, um bom chute seria que 8,662 é igual a uns

75.

Vocês entenderam o espírito da coisa? Queremos acertar a questão e não fazê-

la corretamente. Observe que temos três resultados possíveis e nossos

cálculos nos levarão a um valor próximo dos três números citados, ou seja,

625, 115 ou 75. Veja que esses três números são muito distantes, logo, não

precisamos calcular corretamente o valor da variância. Podemos arredondar

tudo.... Veja.

( ) ( )

12130,0130,03625,019615,0

1130,0130,0625,01415,0

2

22222

⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+−⋅+−⋅=

σ

σ

Se você fizer as operações indicadas acima, acertará as questões mas gastará

muito tempo. Você de cabeça não consegue fazer a conta 0,15 x 196, certo?

Mas como temos uma boa folga nas possíveis respostas, podemos transformar

essa operação em 0,15 x 200, assumindo que 200196 ≅ . Assim fica muito mais

rápido e sabemos que esse valor é igual a 30.

9 Dez ao quadrado é igual a 100 e onze ao quadrado igual a 121.

AULA 00



No segundo termo, não precisamos alterar, pois seus resultado é simples, igual

a 9. O terceiro termo é igual a 0,30, mas como estamos arredondando tudo,

0,30 é igual a zero. No último termo, chamamos 121 de 120 e calculamos 0,30

x 120 = 36.

Entenderam a lógica?? Não?? Se não entenderam, façam seus cálculos

normalmente. Se compreenderam, tentem utilizar essa metodologia nesse tipo

de questão que será bem mais fácil. Terminando a questão (fazendo as contas

com os arredondamentos):

75

36093012030,0030,03625,020015,0

2

2

≅

+++≅⋅+⋅+⋅+⋅≅

σ

σ

Sendo assim, encontramos que o gabarito é a letra E pois o desvio-padrão é

igual a 8,66%.

Agora, me digam...Se tivessem feito todas as contas, não teriam chutado tão

bem, não é mesmo?

Eu não tenho e nem quero ensinar vocês apenas a matéria. O importante é

que vocês tenham condições de minimizar o tempo com que fazem a prova e

acho que isso é meu papel também. Sei que alguns não gostam, por isso,

sempre que houver esse tipo de procedimento farei no final da questão, após

ter desenvolvido ela de tal forma que só faltaria acabar os cálculos.

Gabarito: E

AULA 00



Galera, essa foi uma aula introdutória e aproveitei para usar alguns conceitos

de Finanças. No entanto, a partir da segunda aula, essa abordagem será

relativamente abandonada e vamos partir para o estudo da estatística com

uma interferência menor em Finanças.

Estarei sempre dando dicas e macetes para a solução mais rápida das

questões.

Um grande abraço e encontro vocês na primeira aula.

César Frade

estatística e econometria - aula demonstrativa

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