ESTATÍSTICA BÁSICA - Distribuição Amostral da Proporção · Distribui˘c~oes Amostral da...
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ESTATISTICA BASICADistribuicao Amostral da Proporcao
Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/
[email protected] – sala 07
Curso: MATEMATICA
Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA
Distribuicoes Amostral da Proporcao
Seja uma populacao em que a proporcao de elementos portadores de certacaracterıstica e p.
Exemplos:
1 Em um lote de pecas a proporcao de pecas defeituosas e p = 20%;
2 A proporcao de eleitores de uma cidade que voltam no candidato A ep = 49, 5%.
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Em todos esses casos e possıvel definir uma v.a. X tal que:
X =
{1 , se o elemento apresentar a caracterıstica;0 , caso contrario.
em que, sorteando um elemento da populacao a probabilidade de que eleapresente a caracterıstica e:
P(X = 1) = p
e por extensao, a probabilidade de sortear um indivıduo que nao apresentea caracterıstica e:
P(X = 0) = 1− p .
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
A v.a. X assim definida caracteriza uma distribuicao de Bernoulli comparametro p, ou seja
X ∼ Bernoulli(p) ,
com media e variancia
E (X ) = p e Var(X ) = p(1− p)
ou de forma equivalente
µ = p e σ2 = p(1− p)
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Retirada uma AAS dessa populacao,
(X1, X2, . . . , Xn )
a media amostral para essa amostra e expressa por
X =
∑ni=1 Xi
n
Note que a soma no numerador da expressao acima assume valoresinteiros, ou seja
n∑i=1
Xi ∈ {0, 1, 2, ..., n} .
Portanto, X expressa a proporcao de indivıduos com a caracterısticade interesse na amostra.
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Retirada uma AAS dessa populacao,
(X1, X2, . . . , Xn )
a media amostral para essa amostra e expressa por
X =
∑ni=1 Xi
n
Note que a soma no numerador da expressao acima assume valoresinteiros, ou seja
n∑i=1
Xi ∈ {0, 1, 2, ..., n} .
Portanto, X expressa a proporcao de indivıduos com a caracterısticade interesse na amostra.
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Pelo TLC, tem-se que
X ∼ Normal
(µ,σ2
n
)se n→∞ ,
como X ∼ Bernoulli(p) entao
µ = p e σ2 = p(1− p)
Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 6 / 13
Distribuicoes Amostral da Proporcao
Pelo TLC, tem-se que
X ∼ Normal
(µ,σ2
n
)se n→∞ ,
como X ∼ Bernoulli(p) entao
µ = p e σ2 = p(1− p)
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Portanto,
X ∼ Normal
(p,
p(1− p)
n
)se n→∞ ,
pois X ∼ Bernoulli(p).
Representando X por P a proporcao amostral, tem-se que
P ∼ Normal
(p,
p(1− p)
n
)se n→∞ .
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Portanto,
X ∼ Normal
(p,
p(1− p)
n
)se n→∞ ,
pois X ∼ Bernoulli(p).
Representando X por P a proporcao amostral, tem-se que
P ∼ Normal
(p,
p(1− p)
n
)se n→∞ .
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Assim a proporcao amostral P tem distribuicao Normal para amostras gran-des (n→∞).
P ∼ Normal
(p,
p(1− p)
n
)se n→∞ .
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Exemplo 10.12
Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres.
Retira-se uma AAS de n = 10 estudantes e calcula-se P = proporcao demulheres na amostra.
a. Qual a distribuicao de P;
Resp.: P ∼ Normal(0, 3 ; 0, 0210).
b. Qual a probabilidade da proporcao amostral estar entre 25% e 30%?Resp.: P(0, 25 < P < 0, 30) = P(0 < Z < 0, 34) = 0, 13307.
c. Qual a probabilidade de que P difira de p em menos de 0,01?Resp.: P(|P − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < P − p < 0, 01) = P(−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056.
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Exemplo 10.12
Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres.
Retira-se uma AAS de n = 10 estudantes e calcula-se P = proporcao demulheres na amostra.
a. Qual a distribuicao de P;Resp.: P ∼ Normal(0, 3 ; 0, 0210).
b. Qual a probabilidade da proporcao amostral estar entre 25% e 30%?Resp.: P(0, 25 < P < 0, 30) = P(0 < Z < 0, 34) = 0, 13307.
c. Qual a probabilidade de que P difira de p em menos de 0,01?Resp.: P(|P − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < P − p < 0, 01) = P(−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056.
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Exemplo 10.12
Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres.
Retira-se uma AAS de n = 10 estudantes e calcula-se P = proporcao demulheres na amostra.
a. Qual a distribuicao de P;Resp.: P ∼ Normal(0, 3 ; 0, 0210).
b. Qual a probabilidade da proporcao amostral estar entre 25% e 30%?
Resp.: P(0, 25 < P < 0, 30) = P(0 < Z < 0, 34) = 0, 13307.
c. Qual a probabilidade de que P difira de p em menos de 0,01?Resp.: P(|P − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < P − p < 0, 01) = P(−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056.
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Exemplo 10.12
Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres.
Retira-se uma AAS de n = 10 estudantes e calcula-se P = proporcao demulheres na amostra.
a. Qual a distribuicao de P;Resp.: P ∼ Normal(0, 3 ; 0, 0210).
b. Qual a probabilidade da proporcao amostral estar entre 25% e 30%?Resp.: P(0, 25 < P < 0, 30) = P(0 < Z < 0, 34) = 0, 13307.
c. Qual a probabilidade de que P difira de p em menos de 0,01?Resp.: P(|P − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < P − p < 0, 01) = P(−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056.
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Exemplo 10.12
Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres.
Retira-se uma AAS de n = 10 estudantes e calcula-se P = proporcao demulheres na amostra.
a. Qual a distribuicao de P;Resp.: P ∼ Normal(0, 3 ; 0, 0210).
b. Qual a probabilidade da proporcao amostral estar entre 25% e 30%?Resp.: P(0, 25 < P < 0, 30) = P(0 < Z < 0, 34) = 0, 13307.
c. Qual a probabilidade de que P difira de p em menos de 0,01?
Resp.: P(|P − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < P − p < 0, 01) = P(−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056.
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Distribuicoes Amostral da Proporcao
Exemplo 10.12
Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres.
Retira-se uma AAS de n = 10 estudantes e calcula-se P = proporcao demulheres na amostra.
a. Qual a distribuicao de P;Resp.: P ∼ Normal(0, 3 ; 0, 0210).
b. Qual a probabilidade da proporcao amostral estar entre 25% e 30%?Resp.: P(0, 25 < P < 0, 30) = P(0 < Z < 0, 34) = 0, 13307.
c. Qual a probabilidade de que P difira de p em menos de 0,01?Resp.: P(|P − p| < 0, 01) = P(−0, 01 < P − p < 0, 01) = P(−0, 07 < Z < 0, 07) = 0, 056.
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Exercıcios
Exercıcio 1
Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir ummaximo de 10% de itens defeituosos na producao.
A cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 20 pecas e, havendo mais de 15%de defeituosas, encerra-se a producao para verificacao do processo.
Qual a probabilidade de uma parada desnecessaria?
Resp. 0,23%.
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Exercıcios
Exercıcio 1
Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir ummaximo de 10% de itens defeituosos na producao.
A cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 20 pecas e, havendo mais de 15%de defeituosas, encerra-se a producao para verificacao do processo.
Qual a probabilidade de uma parada desnecessaria?Resp. 0,23%.
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Exercıcios
Exercıcio 2
Supondo que a producao do exemplo anterior esteja sob controle, isto e,p = 10%.
E que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades.
Qual a probabilidade de que uma caixa:
a) tenha mais do que 10% de defeituosos?
b) nao tenha itens defeituosos?
Resp. a) 0,5 b) 0,0.
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Exercıcios
Exercıcio 2
Supondo que a producao do exemplo anterior esteja sob controle, isto e,p = 10%.
E que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades.
Qual a probabilidade de que uma caixa:
a) tenha mais do que 10% de defeituosos?
b) nao tenha itens defeituosos?
Resp. a) 0,5 b) 0,0.
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Exercıcios
Exercıcio 3
Um professor da um teste rapido, constante de 20 questoes do tipo certo-errado.
Para testar a hipotese de o estudante estar adivinhando a resposta, ele adotaa seguinte regra de decisao:
“Se 13 ou mais questoes estiverem corretas, ele nao esta adivinhando”.
Qual a probabilidade do professor rejeitar a hipotese, sendo que na realidadeela e verdadeira?
Resp. 0,34%.
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Exercıcios
Exercıcio 3
Um professor da um teste rapido, constante de 20 questoes do tipo certo-errado.
Para testar a hipotese de o estudante estar adivinhando a resposta, ele adotaa seguinte regra de decisao:
“Se 13 ou mais questoes estiverem corretas, ele nao esta adivinhando”.
Qual a probabilidade do professor rejeitar a hipotese, sendo que na realidadeela e verdadeira?Resp. 0,34%.
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Exercıcios
Exercıcio 4
Um distribuidor de sementes determina, por meio de testes, que 5% dassementes nao germinam.
Ele vende pacotes com 200 sementes com garantia de 90% de germinacao.
Qual a probabilidade de que um pacote nao satisfaca a garantia?
Resp. 0,06%.
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Exercıcios
Exercıcio 4
Um distribuidor de sementes determina, por meio de testes, que 5% dassementes nao germinam.
Ele vende pacotes com 200 sementes com garantia de 90% de germinacao.
Qual a probabilidade de que um pacote nao satisfaca a garantia?Resp. 0,06%.
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