Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 203 - ANO 2014 Inferência Estatística Camilo...
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Estatística: Aplicação ao Sensoriamento RemotoEstatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
SER 203 - ANO 2014SER 203 - ANO 2014
Inferência EstatísticaInferência Estatística
Camilo Daleles Rennó[email protected]://www.dpi.inpe.br/~camilo/
estatistica/
Inferência EstatísticaInferência Estatística
DISTRIBUIÇÃO CONHECIDAPARÂMETRO(S) DESCONHECIDO(S)
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas de uma urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujo valor representa o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. Qual a média e variância de X?
Quais os valores possíveis de X?X: {0, 1, 2, 3}
Qual a distribuição de probabilidade de X?Binomial
Quais os parâmetros que definem uma Binomial?n e p
n = 3p = ?
Inferência EstatísticaInferência Estatística
Numa imagem, um pixel é selecionado ao acaso. Define-se uma v.a. X cujo valor representa seu valor digital. Qual a probabilidade deste pixel possuir valor entre 100 e 150?
Quais os valores possíveis de X?X: {0, 1, ..., 255} (considerando uma imagem 8 bits)
Qual a distribuição de probabilidade de X?Desconhecida (discreta)
Que parâmetros são necessários para definir esta distribuição????????
DISTRIBUIÇÃO DESCONHECIDA
Inferência EstatísticaInferência Estatística
S
amostra
inferir certas características da população
distribuição desconhecidae/ou
parâmetros desconhecidos
n indivíduos (ou objetos) da população
ex: sortear n pixels de uma imagem(com ou sem reposição)
n realizações da v.a.ex: medir a reflectância de um
objeto n vezes
a amostra constitui um conjunto de n v.a.X1, X2, ..., Xn com mesma distribuição (desconhecida)
Amostra Aleatória
Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
População Amostra
Distribuição de Probabilidade (ou FDP)
Parâmetros
Distribuição Amostral (Frequências)
Estatísticas(valor fixo)
estimar
(variável aleatória)
pontual (estatísticas)
por intervalo (intervalos de confiança)Estimação
OBS: estatística:é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional) as vezes é chamada simplesmente de estimadorestimativa: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica
método dos momentosmétodo da máxima verossimilhança
Estimação PontualEstimação Pontual
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
Estimação PontualEstimação Pontual
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
ˆk é o k-ésimo estimador de
Mas qual é o melhor estimador pontual?
• não tendencioso
ˆ( )kE • variância mínima
ˆ ˆ( ) ( )k jVar Var k j
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
ExatoImprecis
o
InexatoPreciso
Tiro ao alvo
Estimação PontualEstimação Pontual
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
1
n
ii
x
n
ˆ X 1
( )N
j jj
x FR X x
dados agrupados
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
média amostral
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
ˆ( ) ( )E E X
• verificando a tendenciosidade de
1 2 nX X XE
n
1 2
1nE X X X
n
n
n
estimador
não tendencioso
X
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
ˆ( ) ( )Var Var X 1 2 nX X XVar
n
1 22
1nVar X X X
n
2
2
n
n
2
n
• calculando a variância deX
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
ˆ( )E 2
ˆ( )Varn
1
n
ii
x
n
ˆ X
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
Mas será um estimador tendencioso?
2 2 2
1 1
2n n
i i ii i
X X X XX X
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
2 2
1 1
2n n
i ii i
X X X nX
1
1
n
i ni
ii
XX X nX
n
2 2
1
n
ii
X nX
2 2 2
1
2n
ii
X nX nX
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
2 2
2 1ˆ
n
ii
X nXE E
n
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2( )iVar X 22i iE X E X 2 2
iE X 2 2 2iE X
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
2 2
2 1ˆ
n
ii
X nXE E
n
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2
( )Var Xn
22E X E X 2 2E X
22 2E X
n
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
2 2
2 1ˆ
n
ii
X nXE E
n
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2
2 2 2
n
2 2 2iE X
2
2 2E Xn
2 2n
n
21n
n
estimadortendencioso!
2
2 1ˆ1
n
ii
x Xn
n n
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1
1
n
ii
x Xs
n
2 2E s estimador
não tendencioso
(ver Estimadores.xls)
variância amostral
1
1
( )
( )
N
j j Nj
j jj
x FA X x
X x FR X xn
1
n
ii
xX
n
Estimação Pontual de Estimação Pontual de e e 22
X• média amostralValor
Freq. Absolut
a
Freq. Relativa
0 1 1/121 2 1/62 4 1/33 3 1/44 1 1/125 1 1/12
Total 12 1
Exemplo: uma amostra (n = 12) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais.
distribuição amostral
0 2 3 ... 2 7
12 3X
0*1 1*2 2*4 3*3 4*1 5*1 7
12 3X
1 1 1 1 1 1 70* 1* 2* 3* 4* 5*
12 6 3 4 12 12 3X
(usando FA)
(usando FR)
(dados brutos)
(dados agrupados)
2 2 2
1 12
( ) ( )
1 1
N N
j j j jj j
x X FA X x x FA X x nX
sn n
(dados
agrupados)
2 2
1
1
n
ii
x nX
n
2
2 1
1
n
ii
x Xs
n
Estimação Pontual de Estimação Pontual de e e 22
• variância amostral s2
Exemplo: uma amostra (n = 12) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais.
22 2 22 2 2 77 7 732 3 3 3
(0 2 ... 2 ) 12*(0 ) (2 ) ... (2 )1,88
11 11s
ValorFreq.
Absoluta
Freq. Relativa
0 1 1/121 2 1/62 4 1/33 3 1/44 1 1/125 1 1/12
Total 12 1
22 2 22 2 2 77 7 732 3 3 3
(0 *1 1 *2 ... 5 *1) 12*(0 ) *1 (1 ) *2 ... (5 ) *11,88
11 11s
distribuição amostral
(dados brutos)
7
3X